Test inițial tehnologic — clasa a X-a

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a X-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a X-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a X-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Recapitulare scurtă (30 de puncte)

Exercițiile 1–6 valorează câte 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Un depozit are șase grinzi cu lungimile de 7, 16, 25, 34, 43 și 52 dm. Notăm cu $A = {7, 16, 25, 34, 43, 52}$ mulțimea acestor lungimi. Care dintre enunțurile de mai jos este adevărat?

Variantele: a) „Pentru orice $x \in A$ , $x$ este număr impar”; b) „Există $x \in A$ astfel încât $x$ este pătrat perfect”; c) „Pentru orice $x \in A$ , $x < 52$ ”; d) „Există $x \in A$ astfel încât $x > 60$ ”.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Pe marginea unui drum, stâlpii de iluminat se află la 14 m, 23 m, 32 m, 41 m, … față de un reper, iar șirul acestor distanțe este o progresie aritmetică. Al câtelea stâlp se află la 158 m de reper?

Exercițiul 3 (5 puncte)

Un centru de curierat primește 7 colete în prima zi, iar în fiecare zi următoare de două ori mai multe decât în ziua dinainte: 7, 14, 28, … Câte colete primește centrul, în total, în primele 6 zile?

Exercițiul 4 (5 puncte)

Segmentul $A B$ al unei conducte are mijlocul $M (2, - 3)$ , iar unul dintre capete este $A (8, 1)$ , pe un plan cu unitatea de 1 m. Determină coordonatele celuilalt capăt, $B$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

Pe planul unui șantier, o conductă dreaptă trece prin punctele $A (- 2, 5)$ și $B (4, - 1)$ . Scrie ecuația dreptei $A B$ și află punctul în care ea taie axa $O x$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Care dintre numerele de mai jos este pozitiv?

Variantele: a) „ $sin 20 0^{\circ}$ ”; b) „ $cos 10 0^{\circ}$ ”; c) „ $tg 13 0^{\circ}$ ”; d) „ $cos 29 0^{\circ}$ ”.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a II-a are 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Parcarea unui service auto aplică tariful de 8 lei pe oră pentru primele 2 ore și de 3,5 lei pe oră pentru fiecare oră de după ele. Costul parcării, în lei, pentru $x$ ore, cu $x \in [0; 12]$ , este dat de funcția $f (x) = 8 x$ pentru $x \leq 2$ și $f (x) = 16 + 3, 5 (x - 2)$ pentru $x > 2$ .

a) (5 puncte) Calculează $f (1, 5)$ și $f (6)$ și explică de ce expresia de pe a doua ramură începe cu 16.

b) (5 puncte) Un autoturism a plătit 37 de lei. Câte ore a stat în parcare?

Exercițiul 8 (10 puncte)

Într-o zi de reduceri, numărul de cumpărători aflați în același timp într-un magazin de bricolaj, la $t$ ore după deschidere, este $N (t) = - 4 t^{2} + 48 t + 20$ , pentru $t \in [0; 12]$ .

a) (5 puncte) Calculează $N (0)$ și $N (3)$ și spune ce înseamnă $N (0)$ pentru magazin.

b) (5 puncte) La câte ore după deschidere sunt cei mai mulți cumpărători în magazin și câți sunt atunci? Dacă magazinul se deschide la ora 8, la ce oră din zi se întâmplă asta?

Exercițiul 9 (10 puncte)

O scară de lemn are 14 trepte, ale căror lungimi, în centimetri, formează o progresie aritmetică. Prima treaptă are 62 cm, iar ultima are 36 cm.

a) (5 puncte) Calculează rația progresiei și lungimea celei de-a opta trepte.

b) (5 puncte) Calculează lungimea totală de scândură necesară pentru toate cele 14 trepte.

Partea a III-a – Sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din Partea a III-a are 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) Pe planul unui teren, în metri, patrulaterul $A B C D$ are vârfurile $A (- 2, 1)$ , $B (6, 3)$ , $C (10, 9)$ și $D (2, 7)$ .

a) (5 puncte) Arată că $A B C D$ este paralelogram, arătând că diagonalele $A C$ și $B D$ au același mijloc.

b) (5 puncte) Scrie ecuația dreptei $A B$ și arată că punctul $E (14, 5)$ , unde se află un stâlp al gardului, este pe prelungirea laturii $A B$ , dincolo de $B$ .

c) (5 puncte) Calculează lungimile diagonalelor și arată că $A C$ este de mai mult de două ori mai lungă decât $B D$ .

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Un tambur de macara, cu raza de 24 cm, are un semn vopsit pe margine, aflat la început pe semiaxa pozitivă $O x$ a unui reper cu originea în centrul tamburului. Tamburul se rotește în sens trigonometric cu 1 230°.

a) (5 puncte) Reduce unghiul de 1 230° la un unghi din intervalul $[0^{\circ}, 36 0^{\circ})$ , spune în ce cadran se află semnul și calculează $sin 123 0^{\circ}$ , $cos 123 0^{\circ}$ și $tg 123 0^{\circ}$ .

b) (5 puncte) Scrie coordonatele semnului, în centimetri.

c) (5 puncte) Cu cât trebuie rotit tamburul în plus, în același sens, ca semnul să ajungă din nou, pentru prima dată, pe semiaxa pozitivă $O x$ ?

Barem și răspunsuri

Mai jos, fiecare exercițiu e rezolvat pe pași, cu punctele pașilor între paranteze; dacă ai ajuns la rezultat pe alt drum, corect, iei aceleași puncte. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar „Verificare” nu are puncte. La sinteză, un rezultat corect lipsit de calcule și de explicații nu ia punctele subpunctului.

Exercițiul 1.

Un enunț cu „pentru orice” este fals dacă are un singur contraexemplu, iar un enunț cu „există” este adevărat dacă are un singur exemplu (2 p). Elementul $16 = 4^{2}$ este pătrat perfect, deci enunțul $b)$ este adevărat (2 p). Celelalte sunt false: $16$ este par, deci a) cade; elementul $52$ nu este mai mic decât $52$ , deci c) cade; cel mai mare element este $52$ , nu un număr peste $60$ , deci d) cade (1 p). Verificare: $16 = 4^{2}$ și $25 = 5^{2}$ sunt singurele pătrate perfecte din $A$ ; numerele $7$ , $34$ , $43$ și $52$ nu sunt pătrate.

Exercițiul 2.

Rația progresiei este $23 - 14 = 9$ (1 p). Termenul al $n$ -lea este $a_{n} = 14 + (n - 1) \cdot 9$ , deci $158 = 14 + 9 (n - 1)$ (2 p), adică $n - 1 = 16$ și $n = 17$ (2 p). Verificare: $14 + 16 \cdot 9 = 158$ .

Exercițiul 3.

Numerele 7, 14, 28, … formează o progresie geometrică cu $b_{1} = 7$ și rația $q = 2$ , iar suma primilor $n$ termeni este $S_{n} = b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ (2 p). Pentru $n = 6$ se obține $S_{6} = 7 \cdot \frac{2 ^{6} - 1}{2 - 1} = 7 \cdot 63$ (1 p), adică $441$ de colete (2 p). Verificare: $7 + 14 + 28 + 56 + 112 + 224 = 441$ . Cine scrie $7 \cdot 2^{6} = 448$ uită să scadă 1 din $2^{6}$ , iar 224 este numai numărul coletelor din ziua a șasea, nu totalul.

Exercițiul 4.

Fiecare coordonată a mijlocului este media coordonatelor capetelor, de exemplu $x_{M} = \frac{x _{A} + x _{B}}{2}$ (1 p). Egalitatea $2 = \frac{8 + x _{B}}{2}$ dă $x_{B} = 4 - 8 = - 4$ (2 p), iar egalitatea $- 3 = \frac{1 + y _{B}}{2}$ dă $y_{B} = - 6 - 1 = - 7$ (2 p). Verificare: $\frac{8 + ( - 4 )}{2} = 2$ și $\frac{1 + ( - 7 )}{2} = - 3$ . Cine scrie $x_{B} = \frac{2 + 8}{2} = 5$ face media dintre mijloc și capăt, nu invers.

Exercițiul 5.

Panta dreptei $A B$ este $m = \frac{- 1 - 5}{4 - ( - 2 )} = - 1$ (1 p). Ecuația este $y - 5 = - 1 \cdot (x + 2)$ , adică $y = - x + 3$ (2 p). Pe axa $O x$ avem $y = 0$ , deci $x = 3$ și punctul este $(3; 0)$ (2 p). Verificare: pentru $B$ , $- 4 + 3 = - 1$ , adică ordonata lui $B$ ; pentru $x = 3$ , $- 3 + 3 = 0$ .

Exercițiul 6.

Unghiul de $20 0^{\circ}$ este în cadranul III, unde sinusul este negativ; unghiurile de $10 0^{\circ}$ și $13 0^{\circ}$ sunt în cadranul II, unde cosinusul și tangenta sunt negative; unghiul de $29 0^{\circ}$ este în cadranul IV, unde cosinusul este pozitiv (3 p). Singurul număr pozitiv este $cos 29 0^{\circ}$ , adică varianta $d)$ (2 p). Verificare: $29 0^{\circ} = 36 0^{\circ} - 7 0^{\circ}$ , iar $cos 29 0^{\circ} = cos 7 0^{\circ}$ , cosinusul unui unghi ascuțit. Cine crede că în cadranul II toate funcțiile sunt pozitive, ca sinusul, alege b) sau c).

Exercițiul 7.

a) (5 p) Cum $1, 5 \leq 2$ , se folosește prima ramură: $f (1, 5) = 8 \cdot 1, 5 = 12$ lei (2 p). Cum $6 > 2$ , se folosește a doua ramură: $f (6) = 16 + 3, 5 \cdot (6 - 2) = 30$ lei (2 p). Termenul 16 este costul primelor 2 ore, $8 \cdot 2 = 16$ , plătit întreg și după ce tariful se schimbă (1 p).

b) (5 p) Primele 2 ore costă 16 lei, iar $37 > 16$ , deci autoturismul a stat mai mult de 2 ore și se folosește a doua ramură (1 p). Ecuația este $16 + 3, 5 (x - 2) = 37$ (1 p), de unde $3, 5 (x - 2) = 21$ , $x - 2 = 6$ și $x = 8$ ore (2 p). Valoarea 8 este în domeniul $[0; 12]$ (1 p). Verificare: $f (8) = 16 + 3, 5 \cdot 6 = 37$ .

Exercițiul 8.

a) (5 p) $N (0) = 20$ (2 p): atâția cumpărători sunt în magazin chiar în momentul deschiderii, adică cei care așteptau la ușă (1 p). $N (3) = - 4 \cdot 9 + 48 \cdot 3 + 20 = - 36 + 144 + 20 = 128$ (2 p).

b) (5 p) Coeficientul lui $t^{2}$ este $- 4 < 0$ , deci parabola are ramurile în jos și valoarea maximă în vârf, la $t = - \frac{48}{2 \cdot ( - 4 )} = 6$ ore după deschidere, moment aflat în intervalul $[0; 12]$ (2 p). Atunci $N (6) = - 144 + 288 + 20 = 164$ de cumpărători (2 p), la ora $8 + 6 = 14$ (1 p). Verificare: $N (5) = - 100 + 240 + 20 = 160$ și $N (7) = - 196 + 336 + 20 = 160$ , amândouă sub 164. Cine răspunde „la ora 6” confundă orele trecute de la deschidere cu ora din zi.

Exercițiul 9.

a) (5 p) Ultimul termen este $a_{14} = a_{1} + 13 r$ , deci $36 = 62 + 13 r$ (3 p), adică $r = - 2$ . A opta treaptă are $a_{8} = 62 + 7 \cdot (- 2) = 48$ cm (2 p).

b) (5 p) Suma primilor 14 termeni este $S_{14} = \frac{14 ( 62 + 36 )}{2}$ (2 p), adică $7 \cdot 98 = 686$ cm (3 p). Verificare: lungimea medie a unei trepte este $\frac{62 + 36}{2} = 49$ cm, iar $14 \cdot 49 = 686$ . Treapta a opta, de 48 cm, este în apropierea mediei, ca la orice progresie aritmetică.

Exercițiul 10.

a) (5 p) Mijlocul lui $A C$ este $(\frac{- 2 + 10}{2}, \frac{1 + 9}{2}) = (4, 5)$ (2 p), iar mijlocul lui $B D$ este $(\frac{6 + 2}{2}, \frac{3 + 7}{2}) = (4, 5)$ (2 p). Diagonalele se înjumătățesc una pe alta, deci $A B C D$ este paralelogram (1 p).

b) (5 p) Panta dreptei $A B$ este $\frac{3 - 1}{6 - ( - 2 )} = \frac{1}{4}$ (1 p), iar ecuația ei este $y - 1 = \frac{1}{4} (x + 2)$ , adică $y = \frac{x}{4} + \frac{3}{2}$ (2 p). Pentru $x = 14$ se obține $y = \frac{14}{4} + \frac{3}{2} = 5$ , deci $E$ este pe dreapta $A B$ ; cum abscisa lui $E$ este mai mare decât abscisa lui $B$ , $14 > 6$ , punctul $E$ se află pe prelungirea laturii, dincolo de $B$ (2 p). Verificare: panta lui $B E$ este $\frac{5 - 3}{14 - 6} = \frac{1}{4}$ , aceeași cu panta lui $A B$ .

c) (5 p) Diagonalele au lungimile $A C = 1 2^{2} + 8^{2} = 208 = 413$ (1 p) și $B D = 4^{2} + 4^{2} = 32 = 42$ (1 p). Raportul lor este $\frac{4 13}{4 2} = \frac{13}{2}$ , iar $\frac{13}{2} > 2$ este același lucru cu $\frac{13}{2} > 4$ , adevărat (3 p). Verificare: $413 \approx 14, 42$ și $42 \approx 5, 66$ , iar $2 \cdot 5, 66 = 11, 32 < 14, 42$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) Cum $1230 = 3 \cdot 360 + 150$ , unghiul redus este $15 0^{\circ}$ (2 p), în cadranul II (1 p). Atunci $sin 123 0^{\circ} = sin 15 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , $cos 123 0^{\circ} = cos 15 0^{\circ} = - \frac{3}{2}$ și $tg 123 0^{\circ} = - \frac{3}{3}$ (2 p).

b) (5 p) Coordonatele semnului sunt $(24 cos 123 0^{\circ}, 24 sin 123 0^{\circ})$ (2 p), adică $(24 \cdot (- \frac{3}{2}), 24 \cdot \frac{1}{2}) = (- 123; 12)$ (3 p). Verificare: $(- 123)^{2} + 1 2^{2} = 432 + 144 = 576 = 2 4^{2}$ , deci semnul este pe margine; abscisa este negativă și ordonata pozitivă, ca în cadranul II.

c) (5 p) Semnul este la $15 0^{\circ}$ față de $O x$ , deci mai are de parcurs $36 0^{\circ} - 15 0^{\circ}$ (3 p), adică $210^{\circ}$ (2 p). Verificare: $15 0^{\circ} + 21 0^{\circ} = 36 0^{\circ}$ , o tură completă.

Pentru părinți și profesori

La începutul clasei a X-a, acest test arată ce își mai amintește elevul din cele cinci unități ale clasei a IX-a de la trunchiul comun (logică, progresii, geometrie analitică, funcții și trigonometrie), pe care se sprijină lecțiile clasei a X-a. Nu se trece în catalog. Fiecare exercițiu arată ce noțiune din clasa a IX-a mai e vie și ce lecție a clasei a IX-a o explică, ca să știi ce reiei înainte de lecțiile noi. Exercițiile de aici sunt altele decât cele din testele de unitate ale clasei a IX-a.

Punctaj: exercițiile adună 90 de puncte, la care mai vin 10 puncte din oficiu, pentru un maxim de 100.
Timp: 50 de minute.
Cum se lucrează: singur, pe foaie, cu calculatorul închis; unde enunțul are unități, ele se scriu și în răspuns. La sinteză (Partea a III-a) scrii și calculele intermediare, nu numai rezultatul final. Ghidajul tratează fiecare exercițiu în etape: o grilă cu patru răspunsuri, apoi numere de calculat, iar răspunsul greșit la grilă își primește explicația. Îl deschizi numai la exercițiile care nu ies.
La 90–100 de puncte: începi direct cu lecțiile clasei a X-a.
La 75–89 de puncte: reiei, cu ghidajul pornit, exercițiile cu puncte pierdute, înainte de lecția lor.
La 60–74 de puncte: pentru exercițiile cu mai puțin de jumătate din puncte citești lecția din tabel și refaci exercițiul după o săptămână.
Sub 60 de puncte: parcurgi lecțiile din tabel în ordinea exercițiilor și lucrezi testul cu ghidajul pornit de la primul exercițiu; abia apoi treci la clasa a X-a.
Formule de reținut: al $n$ -lea termen al unei progresii aritmetice este $a_{1} + (n - 1) r$ , iar suma primilor $n$ termeni este $\frac{n ( a _{1} + a _{n} )}{2}$ ; la o progresie geometrică cu rația $q \neq = 1$ , suma primilor $n$ termeni este $b_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1}$ ; mijlocul unui segment are coordonatele mediilor coordonatelor capetelor; panta dreptei prin două puncte este variația ordonatei împărțită la variația abscisei, iar dreapta taie axa $O x$ unde $y = 0$ ; vârful parabolei $y = a x^{2} + b x + c$ , cu $a \neq = 0$ , are abscisa $- \frac{b}{2 a}$ , iar pentru $a < 0$ în vârf funcția are valoarea maximă; unghiul $x + k \cdot 36 0^{\circ}$ , cu $k$ număr întreg, are aceleași valori trigonometrice ca $x$ , iar pentru unghiuri din cadranele II–IV semnul și valoarea vin din unghiul redus la primul cadran.

Exercițiile	Noțiunea din clasa a IX-a verificată	Lecția clasei a IX-a de reluat dacă iese prost
1	cuantificatorii „pentru orice” și „există” pe o mulțime finită	Toți, niciunul, unii: cuantificatori la tehnologic
2, 9	termenul general și suma la progresia aritmetică	Progresia aritmetică la tehnologic: rate, salarii
3	suma primilor termeni la progresia geometrică	Progresia geometrică în epurarea apei, tehnologic
4, 10 a) c)	mijlocul unui segment și distanța dintre două puncte	Reper cartezian și plan de șantier, tehnologic
10 b)	panta, ecuația dreptei și punctele aflate pe aceeași dreaptă	Panta la tehnologic: rampe, drumuri, acoperișuri
5	ecuația dreptei prin două puncte și intersecția cu o axă	Ecuația dreptei pentru tehnologic: tarife
6	semnul funcțiilor trigonometrice la unghiuri din cadranele II–IV	Cercul trigonometric pentru tehnologic: unghiuri
7	valoarea unei funcții într-un punct și argumentul pentru o valoare dată, la o funcție definită pe porțiuni	Citești graficul: agenda salonului, tehnologic
8	funcția de gradul al II-lea: valori și maximul din vârf	Profit maxim: funcția de gradul II la tehnologic
11	unghiuri mai mari de 360° reduse la primul cadran	Unghiuri mari la primul cadran, la tehnologic

Programa și examenul. Testul nu face parte din programa de examen: e un diagnostic pe lecțiile clasei a IX-a de la trunchiul comun, filiera tehnologică (programa nouă, OMEC 6930/2025, Anexa 3, aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027 și la clasa a X-a din 2027–2028), pe care se așază lecțiile clasei a X-a. Pentru elevii care au început clasa a IX-a în 2026–2027 sau după aceea, examenul este Bacalaureatul din 2030 încolo, cu matematica printre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Promoțiile 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029, după programa OMEN 4430/2014.

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.