Subiecte titularizare matematică 2021: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la titularizarea din 2021 (concursul național de ocupare a posturilor didactice) s-a dat pe 21 iulie 2021 și a durat 4 ore. Are trei subiecte de câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Subiectele I și II sunt de specialitate: o expresie cu numărul complex și conjugatul lui, geometrie sintetică (centrul cercului înscris și cercul circumscris), un polinom de gradul al treilea cu relațiile lui Viète și o funcție rațională (o limită, o inegalitate, o arie). Subiectul al III-lea e de didactică: o probă de evaluare cu șase itemi, între care unul de tip pereche, la finalul unității „Elemente ale geometriei în spațiu. Paralelism” de la clasa a VIII-a. Baremul a punctat la fiecare item competența, formatul, baremul itemului și corectitudinea științifică, fără activitatea de învățare. Pe pagină: subiectul transcris exact, baremul oficial publicat de Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) și rezolvarea noastră completă, cu un model de răspuns la didactică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Structura probei · Subiectul · Baremul oficial · Rezolvarea · Didactica: model de răspuns · Întrebări frecvente

Structura probei din 2021

Baremul din 2021 precizează că nota se obține împărțind la 10 punctajul total al lucrării. Proba s-a dat după metodologia sesiunii 2021. Cum se combină notele celor doi evaluatori și cum intră nota la proba scrisă în media de repartizare, după regulile sesiunii 2026, e explicat pe pagina titularizării la matematică. Media se poate calcula cu calculatorul de medie la titularizare.

De unde avem documentele. Arhiva oficială a sesiunii 2021 era pe subiecte2021.edu.ro, o gazdă care nu mai răspunde: la 17.10.2026 numele ei de domeniu nu mai există. Am folosit copia arhivei oficiale păstrată de Internet Archive (web.archive.org), verificată de noi pe 17.10.2026: Titularizare_2021.zip, captura din 18 decembrie 2021 (aproximativ 26 MB, toate disciplinele). Ce am verificat:

• copia are exact dimensiunea fișierului de pe serverul oficial, așa cum a înregistrat-o Internet Archive (25.903.030 de octeți), și se dezarhivează fără erori. Serverul modificase arhiva ultima oară pe 24 noiembrie 2021, după probă;
• fișierele de matematică din arhivă, Tit_109_Matematica_P_2021_var_02_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2021_bar_02_LRO.pdf (baremul), poartă antetul Ministerului Educației și al CNPEE și au fost create pe 21 iulie 2021, ziua probei;
• amprenta SHA-256 a arhivei este 703e08d91bd0103f492ea24243d8170b2c4c2c3e5ee2e4d04002724692df6719.

Am transcris Varianta 2, adică varianta pe care CNPEE a publicat-o în arhiva oficială (în 2022–2025 a fost publicată Varianta 3).

Exersează în condiții de examen: pornește un cronometru de 4 ore, rezolvă doar secțiunea Subiectul oficial (o poți și tipări), apoi compară, cerință cu cerință, cu baremul și cu rezolvarea.

Subiectul oficial (Varianta 2)

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2021. Probă scrisă. Matematică. Varianta 2.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Se consideră numărul complex $a$ și expresia $E(z)=az-5\overline{z}$, unde $\overline{z}$ este conjugatul numărului complex $z$.

• (5p) a) Pentru $a=3+4i$, arătați că $E(2-i)=0$.
• (5p) b) Pentru $a=3-i$, determinați numărul complex $z$ pentru care $E(z)=15$.
• (5p) c) Demonstrați că, dacă $|a|\ne 5$ și $z_1$, $z_2$ sunt numere complexe astfel încât $E(z_1)=E(z_2)$, atunci $z_1=z_2$.

2. Punctul $I$ este centrul cercului înscris în triunghiul $ABC$ și punctul $N$ este al doilea punct de intersecție a dreptei $CI$ cu cercul circumscris triunghiului $ABC$.

• (5p) a) Arătați că măsura unghiului $AIN$ este egală cu jumătate din suma măsurilor unghiurilor $BAC$ și $ACB$.
• (5p) b) Demonstrați că triunghiul $ANI$ este isoscel.
• (5p) c) Știind că $AI\perp IM$, unde $M$ este mijlocul laturii $AC$, demonstrați că $CI=2IN$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Se consideră $x_1$, $x_2$ și $x_3$ rădăcinile polinomului $f=X^3+X^2+mX+1$, unde $m$ este număr real.

• (5p) a) Arătați că $f(-1)+f(1)=4$, pentru orice număr real $m$.
• (5p) b) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$.
• (5p) c) Demonstrați că, pentru $m\in \left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$, polinomul $f$ are o singură rădăcină număr real.

2. Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{1}{x\left(x^5+6\right)}$.

• (5p) a) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^7{f}^{\prime }(x)\right)=-6$.
• (5p) b) Arătați că $f(x)<\frac{1}{7}$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$.
• (5p) c) Demonstrați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=1$ și $x=2$ are aria egală cu $\frac{1}{30}\ln \frac{112}{19}$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VIII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VIII-a

1.4. Identificarea unor figuri plane sau a unor elemente caracteristice acestora în configurații spațiale date

• Identificarea, construcția, notarea și citirea unor drepte concurente/paralele/necoplanare în configurații spațiale, cu exemplificare și în realitatea înconjurătoare
• Identificarea, în configurații spațiale simple și în realitate, a pozițiilor relative ale unei drepte față de un plan
• Identificarea pozițiilor relative a două plane în configurații spațiale simple și în realitatea înconjurătoare
• Recunoașterea figurilor geometrice obținute în urma secționării unei piramide sau a unei prisme cu un plan paralel cu baza

2.4. Reprezentarea, prin desen sau prin modele, a unor configurații spațiale date

• Reprezentarea prin desen sau prin modele a unor configurații spațiale în/din contexte reale
• Utilizarea instrumentelor geometrice și a softurilor matematice pentru a desena diferite configurații spațiale
• Utilizarea diferitelor mijloace didactice pentru a modela rezultate asociate relațiilor de paralelism și perpendicularitate în spațiu
• Utilizarea convențiilor de notare și citire a configurațiilor spațiale
• Reprezentarea, prin desen, a proiecțiilor și a unghiurilor
• Clasificarea prismelor/piramidelor după forma bazei
• Construirea înălțimii unei prisme sau a unei piramide

3.4. Folosirea unor proprietăți de paralelism sau perpendicularitate pentru analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și planelor

• Utilizarea măsurilor unghiurilor și a distanțelor pentru stabilirea pozițiilor relative între drepte și/sau plane
• Determinarea paralelismului în spațiu, între drepte și/sau plane cu ajutorul proprietăților relațiilor de paralelism și de perpendicularitate în configurații simple
• Determinarea perpendicularității în spațiu, între drepte și/sau plane cu ajutorul proprietăților relațiilor de paralelism și de perpendicularitate în configurații simple

4.4. Descrierea în limbaj matematic a elementelor unei configurații geometrice

• Construirea unor configurații geometrice cu drepte și plane aflate în relații de paralelism sau perpendicularitate
• Verificarea validității unor afirmații legate de pozițiile relative ale dreptelor și/sau ale planelor prin exemple și contraexemple
• Identificarea și utilizarea axiomelor, teoremelor directe/reciproce pentru rezolvarea de probleme în configurații spațiale simple
• Evidențierea unor aspecte particulare sau a unor aspecte ce pot fi generalizate, referitoare la configurații spațiale

5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea descrierii unor configurații spațiale și a calculării unor elemente metrice

• Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme de geometrie în spațiu
• Adecvarea reprezentărilor configurațiilor spațiale la cerințele problemelor, în vederea optimizării rezolvării problemei
• Optimizarea rezolvării de probleme prin utilizarea instrumentelor interactive de realizare a reprezentărilor geometrice (softuri matematice)
• Analizarea/interpretarea unor situații din realitatea înconjurătoare și transpunerea lor în probleme de geometrie în spațiu

6.4. Modelarea unor situații practice în limbaj geometric, utilizând configurații spațiale

• Formularea de ipoteze și de concluzii în probleme cu conținut practic legate de proiecții pe plan a unor puncte, drepte, segmente
• Verificarea validității unor rezultate, în cazul înlocuirii unor părți din ipoteză cu părți din concluzie
• Transpunerea unor situații date în limbajul specific geometriei, interpretarea rezultatelor obținute și corelarea răspunsului geometric cu restricțiile impuse de realitatea înconjurătoare

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informațiile din secvența de mai sus, în vederea evaluării formării/dezvoltării competențelor specifice precizate, elaborați o probă de evaluare la finalul unității de învățare „Elemente ale geometriei în spațiu. Paralelism”, care să cuprindă 6 itemi: un item de completare, un item cu răspuns scurt, un item de tip pereche, un item de tip alegere multiplă, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme.

Notă. Pentru fiecare dintre itemii elaborați se punctează menționarea competenței specifice evaluate, respectarea formatului itemului, elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) și corectitudinea științifică a informației de specialitate.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2021. Probă scrisă. Matematică. Varianta 2. Barem de evaluare și de notare.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (30 de puncte)

1. a)

• $E(2-i)=(3+4i)(2-i)-5(2+i)=$ — 3p
• $=6-3i+8i+4-10-5i=0$ — 2p

1. b)

• $E(z)=(3-i)z-5\overline{z}$, deci, pentru $z=x+iy$, obținem $(3-i)(x+iy)-5(x-iy)=15$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale — 2p
• $(3x+y-5x)+i(3y-x+5y)=15$, de unde obținem $x=-8$ și $y=-1$, deci $z=-8-i$ — 3p

1. c)

• $a{z}_1-5\overline{z_1}=a{z}_2-5\overline{z_2}$, deci $a\left(z_1-z_2\right)=5\left(\overline{z_1}-\overline{z_2}\right)$ — 2p
• $\left|a\left(z_1-z_2\right)\right|=\left|5\left(\overline{z_1}-\overline{z_2}\right)\right|\Rightarrow |a|\left|z_1-z_2\right|=5\left|\overline{z_1}-\overline{z_2}\right|$ și, cum $\left|\overline{z_1}-\overline{z_2}\right|=\left|\overline{z_1-z_2}\right|=\left|z_1-z_2\right|$, obținem $|a|\left|z_1-z_2\right|=5\left|z_1-z_2\right|$, de unde, cum $|a|\ne 5$, obținem $\left|z_1-z_2\right|=0$, deci $z_1=z_2$ — 3p

2. a)

• Unghiul $AIN$ este unghi exterior triunghiului $AIC$, deci $\sphericalangle AIN=\sphericalangle CAI+\sphericalangle ACI$ — 2p
• Cum $I$ este centrul cercului înscris în $\Delta ABC$, semidreptele $AI$ și $CI$ sunt bisectoarele unghiurilor $BAC$, respectiv $ACB$, deci $\sphericalangle AIN=\frac{1}{2}\sphericalangle BAC+\frac{1}{2}\sphericalangle ACB=\frac{1}{2}\left(\sphericalangle BAC+\sphericalangle ACB\right)$ — 3p

2. b)

• $\sphericalangle NAB=\frac{1}{2}\stackrel{⌢}{\mathrm{NB}}=\sphericalangle NCB$ — 2p
• $\sphericalangle NAI=\sphericalangle NAB+\sphericalangle BAI=\frac{1}{2}\sphericalangle ACB+\frac{1}{2}\sphericalangle BAC$, deci $\sphericalangle NAI=\sphericalangle AIN$, de unde obținem că triunghiul $ANI$ este isoscel — 3p

2. c)

• $\Delta ANI$ este isoscel cu vârful în $N$, deci $NP\perp AI$, unde $P$ este mijlocul segmentului $AI$ și, cum $AI\perp IM$, obținem că $NP\parallel IM$, deci $PQ$ este linie mijlocie în $\Delta AIM$, unde $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $NP$ și $AC$ — 2p
• $Q$ este mijlocul segmentului $AM$ și $M$ este mijlocul segmentului $AC$, deci $\frac{CM}{MQ}=2$ și, cum $NQ\parallel IM$, obținem $\frac{CI}{IN}=\frac{CM}{MQ}=2$, deci $CI=2IN$ — 3p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. a)

• $f(-1)=(-1{)}^3+(-1{)}^2-m+1=-m+1$, pentru orice număr real $m$ — 2p
• $f(1)=1^3+1^2+m+1=m+3$, deci $f(-1)+f(1)=4$, pentru orice număr real $m$ — 3p

1. b)

• $x_1+x_2+x_3=-1$, $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=m$, pentru orice număr real $m$ — 2p
• $x_1^2+x_2^2+x_3^2={\left(x_1+x_2+x_3\right)}^2-2\left(x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1\right)=1-2m\Rightarrow 1-2m=1$, deci $m=0$ — 3p

1. c)

• $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}={\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}\right)}^2-2\left(\frac{1}{x_1{x}_2}+\frac{1}{x_1{x}_3}+\frac{1}{x_2{x}_3}\right)={\left(\frac{x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3}{x_1{x}_2{x}_3}\right)}^2-\frac{2\left(x_1+x_2+x_3\right)}{x_1{x}_2{x}_3}=$ $=m^2-2<0$, pentru orice $m\in \left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)$ — 3p
• Cum $f\in \mathbb{R}[X]$ și are gradul egal cu $3$, iar numerele $x_1$, $x_2$ și $x_3$ nu sunt toate reale, obținem că polinomul $f$ are o singură rădăcină număr real — 2p

2. a)

• $f^{\prime }(x)=-\frac{6x^5+6}{{\left(x^6+6x\right)}^2}$, $x\in (0,+\infty )$ — 3p
• $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^7{f}^{\prime }(x)\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-\left(6x^{12}+6x^7\right)}{{\left(x^6+6x\right)}^2}=-6$ — 2p

2. b)

• $f^{\prime }(x)<0$, pentru orice $x\in [1,+\infty )$, deci $f$ este strict descrescătoare pe $[1,+\infty )$, de unde obținem $f(x)<f(1)$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$ — 3p
• $f(1)=\frac{1}{7}$, deci $f(x)<\frac{1}{7}$, pentru orice $x\in (1,+\infty )$ — 2p

2. c)

• $\mathcal{A}={\int }_1^2\left|f(x)\right|dx={\int }_1^2\frac{1}{x\left(x^5+6\right)}dx={\int }_1^2\frac{x^4}{x^5\left(x^5+6\right)}dx=\frac{1}{5}{\int }_1^2\frac{1}{6}\left(\frac{1}{x^5}-\frac{1}{x^5+6}\right){\left(x^5\right)}^{\prime }dx=$ — 3p
• $=\frac{1}{30}\left(\ln x^5-\ln \left(x^5+6\right)\right){|}_1^2=\frac{1}{30}\left(\ln 32-\ln 38-\ln 1+\ln 7\right)=\frac{1}{30}\ln \frac{112}{19}$ — 2p

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Itemul de completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Itemul cu răspuns scurt elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip pereche elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare) — 1p
• corectitudinea științifică a informației de specialitate — 2p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Rezolvările urmează baremul. Acolo unde baremul sare o justificare (de ce o fracție are sens, unde se află punctele în figură, de ce o ipoteză se poate îndeplini), o scriem, din rigoare: corectorul notează după barem, dar demonstrația e completă abia cu ea. Fiecare rezultat de mai jos a fost refăcut independent, prin calcul simbolic.

Subiectul I.1: numărul complex și conjugatul lui

a) Cu $a=3+4i$ și $z=2-i$, $\overline{z}=2+i$: $$E(2-i)=(3+4i)(2-i)-5(2+i)=(6-3i+8i-4i^2)-10-5i=(10+5i)-10-5i=0.$$

b) Fie $z=x+iy$, cu $x,y\in \mathbb{R}$, deci $\overline{z}=x-iy$. Atunci $$(3-i)(x+iy)-5(x-iy)=(3x+y-5x)+i(3y-x+5y)=(-2x+y)+i(8y-x).$$ Egalitatea cu $15$ cere $-2x+y=15$ și $8y-x=0$. Din a doua, $x=8y$; înlocuind, $-15y=15$, deci $y=-1$ și $x=-8$. Soluția este $z=-8-i$. Verificare: $(3-i)(-8-i)=-25+5i$, $5\overline{z}=-40+5i$, iar diferența lor este $15$. Soluția e unică: sistemul are o singură soluție, iar c) o confirmă, pentru că $|3-i|=\sqrt{10}\ne 5$.

c) Din $E(z_1)=E(z_2)$ obținem $a\left(z_1-z_2\right)=5\left(\overline{z_1}-\overline{z_2}\right)=5\overline{z_1-z_2}$. Luăm modulul și folosim $|\overline{w}|=|w|$: $$|a|\cdot \left|z_1-z_2\right|=5\left|z_1-z_2\right|⟺\left(|a|-5\right)\left|z_1-z_2\right|=0.$$ Cum $|a|\ne 5$, $\left|z_1-z_2\right|=0$, deci $z_1=z_2$.

Ipoteza $|a|\ne 5$ chiar contează. Pentru $a=5$ (deci $|a|=5$), $E(z)=5\left(z-\overline{z}\right)=10i\cdot \mathrm{Im}z$, iar $E(0)=E(1)=0$, deși $0\ne 1$. Baremul nu cere acest exemplu; îl dăm ca să se vadă rolul ipotezei.

Subiectul I.2: cercul înscris și cercul circumscris

Figura. $I$ e în interiorul triunghiului, deci în interiorul cercului circumscris. Dreapta $CI$ iese din cerc în $C$ și în $N$, de o parte și de alta a lui $I$: punctul $I$ e între $C$ și $N$. Cum $CI$ e bisectoarea unghiului $ACB$, $N$ e mijlocul arcului $AB$ care nu conține pe $C$, deci $N$ și $C$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AB$.

a) $I$ e între $C$ și $N$, deci unghiul $AIN$ e unghi exterior triunghiului $AIC$, în vârful $I$, și e egal cu suma unghiurilor neadiacente: $\sphericalangle AIN=\sphericalangle CAI+\sphericalangle ACI$. $AI$ și $CI$ sunt bisectoare, deci $$\sphericalangle AIN=\frac{1}{2}\sphericalangle BAC+\frac{1}{2}\sphericalangle ACB=\frac{1}{2}\left(\sphericalangle BAC+\sphericalangle ACB\right).$$

b) Unghiurile înscrise $NAB$ și $NCB$ cuprind același arc $NB$, deci $\sphericalangle NAB=\frac{1}{2}\stackrel{⌢}{\mathrm{NB}}=\sphericalangle NCB=\frac{1}{2}\sphericalangle ACB$. Punctele $N$ și $I$ sunt de o parte și de alta a dreptei $AB$ ($I$ e de aceeași parte cu $C$), deci semidreapta $AB$ e în interiorul unghiului $NAI$, iar $$\sphericalangle NAI=\sphericalangle NAB+\sphericalangle BAI=\frac{1}{2}\sphericalangle ACB+\frac{1}{2}\sphericalangle BAC=\sphericalangle AIN.$$ Triunghiul $ANI$ are două unghiuri congruente, deci e isoscel, cu $NA=NI$.

c) Ipoteza se poate îndeplini. Condiția $AI\perp IM$ nu are loc în orice triunghi. Pe coordonate, cu $a=BC$, $b=CA$, $c=AB$, ea e echivalentă cu $a+b=3c$, adică $BC+CA=3\cdot AB$. Exemplu: triunghiul cu $AB=3$, $CA=4$, $BC=5$ (dreptunghic în $A$). Pe acest triunghi am verificat și concluzia, $CI=2IN$.

Fie $P$ mijlocul lui $AI$. Din b), triunghiul $ANI$ e isoscel cu vârful $N$, deci mediana $NP$ e și înălțime: $NP\perp AI$. Dreptele $NP$ și $IM$ sunt amândouă perpendiculare pe $AI$, deci paralele. Dreapta $NP$ taie $AC$ într-un punct $Q$ (nu e paralelă cu $AC$, pentru că $IM$ taie $AC$ în $M$). În triunghiul $AIM$, dreapta prin mijlocul $P$ al lui $AI$, paralelă cu $IM$, taie latura $AM$ în mijlocul ei: $Q$ e mijlocul lui $AM$, deci $MQ=\frac{1}{2}AM=\frac{1}{2}CM$.

Ordinea punctelor pe $AC$ este $C$, $M$, $Q$, $A$, iar pe dreapta $CN$ este $C$, $I$, $N$. În triunghiul $CQN$, $IM\parallel NQ$, cu $I\in (CN)$ și $M\in (CQ)$. Din teorema lui Thales, $$\frac{CI}{IN}=\frac{CM}{MQ}=2,\text{deci }CI=2IN.$$

O privire în plus. În orice triunghi, $\frac{CI}{IN}=\frac{a+b-c}{c}$ (verificat pe coordonate și pe triunghiuri aleatoare). Cu $a+b=3c$, raportul este exact $2$.

Subiectul al II-lea.1: polinomul de gradul al treilea

a) $f(-1)=-1+1-m+1=1-m$ și $f(1)=1+1+m+1=m+3$, deci $f(-1)+f(1)=4$, oricare ar fi $m$.

b) Relațiile lui Viète: $x_1+x_2+x_3=-1$, $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=m$, $x_1{x}_2{x}_3=-1$. Atunci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-1{)}^2-2m=1-2m,$$ iar $1-2m=1$ dă $m=0$.

c) Rădăcinile sunt nenule: $f(0)=1\ne 0$, deci fracțiile $\frac{1}{x_k}$ au sens (baremul nu o spune). Cu relațiile lui Viète, $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\frac{1}{x_3}=\frac{x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3}{x_1{x}_2{x}_3}=\frac{m}{-1}=-m,\frac{1}{x_1{x}_2}+\frac{1}{x_1{x}_3}+\frac{1}{x_2{x}_3}=\frac{x_1+x_2+x_3}{x_1{x}_2{x}_3}=1,$$ deci $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+\frac{1}{x_3^2}=m^2-2<0,\text{pentru }m\in \left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right).$$ Dacă toate rădăcinile ar fi reale, suma pătratelor inverselor lor ar fi pozitivă. Deci $f$ are cel puțin o rădăcină nereală $\alpha$. Coeficienții sunt reali, deci și $\overline{\alpha }\ne \alpha$ e rădăcină. Gradul e $3$, deci a treia rădăcină e reală (altfel rădăcinile nereale ar trebui să vină în perechi de conjugate, iar trei nu se împart în perechi). Polinomul are exact o rădăcină reală.

Subiectul al II-lea.2: funcția rațională

Pe $(0,+\infty )$, $f(x)=\frac{1}{x^6+6x}>0$.

a) $f^{\prime }(x)=-\frac{{\left(x^6+6x\right)}^{\prime }}{{\left(x^6+6x\right)}^2}=-\frac{6x^5+6}{{\left(x^6+6x\right)}^2}$. Atunci $$x^7{f}^{\prime }(x)=-\frac{6x^{12}+6x^7}{x^{12}+12x^7+36x^2}=-\frac{6+\frac{6}{x^5}}{1+\frac{12}{x^5}+\frac{36}{x^{10}}}\underset{x\to +\infty }{\to }-6.$$

b) Numărătorul $6x^5+6$ e pozitiv, deci $f^{\prime }(x)<0$ pe $(0,+\infty )$, în particular pe $[1,+\infty )$. Funcția e strict descrescătoare pe $[1,+\infty )$, deci pentru $x>1$, $f(x)<f(1)=\frac{1}{1\cdot 7}=\frac{1}{7}$.

c) Pe $[1,2]$, $f>0$, deci aria e integrala lui $f$ (modulul din barem dispare). Amplificăm cu $x^4$ și notăm $t=x^5$, cu $dt=5x^{4}dx$: $$\mathcal{A}={\int }_1^2\frac{x^4}{x^5\left(x^5+6\right)}dx=\frac{1}{5}{\int }_1^{32}\frac{dt}{t(t+6)}=\frac{1}{30}{\int }_1^{32}\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{t+6}\right)dt=\frac{1}{30}\ln \frac{t}{t+6}{|}_1^{32}.$$ Deci $\mathcal{A}=\frac{1}{30}\left(\ln \frac{32}{38}-\ln \frac{1}{7}\right)=\frac{1}{30}\ln \frac{224}{38}=\frac{1}{30}\ln \frac{112}{19}$.

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.c: rândul de 3 puncte cere egalitatea dintre modulul diferenței conjugatelor și modulul diferenței, apoi folosirea lui $|a|\ne 5$.
• I.2.c: rândul de 2 puncte cere, în ordine, $NP\perp AI$ (din triunghiul isoscel de la b)), $NP\parallel IM$ și linia mijlocie în triunghiul $AIM$.
• II.1.c: rândul de 2 puncte cere argumentul de la sfârșit: polinom cu coeficienți reali, de gradul 3, cu rădăcini care nu sunt toate reale; suma negativă singură nu ajunge.
• II.2.b: rândul de 3 puncte cere semnul derivatei și monotonia strictă; rândul de 2 puncte, valoarea $f(1)=\frac{1}{7}$.

Din rigoare (baremul nu le cere): poziția punctelor ($I$ între $C$ și $N$ la I.2.a, semidreapta $AB$ în interiorul unghiului $NAI$ la I.2.b); faptul că ipoteza $AI\perp IM$ se poate îndeplini (I.2.c); rădăcinile nenule, $f(0)=1$, la II.1.c; $f>0$ pe $[1,2]$, de unde aria fără modul, la II.2.c. Le-am scris în rezolvare pentru o demonstrație completă; corectorul notează după barem.

Subiectul al III-lea: modelul nostru de răspuns la didactică

În 2021, baremul a punctat la fiecare dintre cei șase itemi patru criterii: competența specifică (1 punct), formatul (1 punct), baremul itemului, adică răspunsul așteptat (1 punct), și corectitudinea științifică (2 puncte). Activitatea de învățare și avantajele sau dezavantajele tipurilor de itemi nu s-au cerut, așa că nu le scriem: modelul arată exact ce se punctează. Baremul oficial nu dă itemi-model; mai jos e un model de răspuns, gândit să îndeplinească fiecare criteriu din barem. L-am construit ca pe un test real: 90 de puncte plus 10 din oficiu (nota = punctajul / 10), pe care îl poți da la clasă.

Cum se construiește un răspuns de 5 puncte pe item în formatul din 2021:

• competența specifică se alege din secvența dată și se copiază cuvânt cu cuvânt;
• fiecare item are baremul lui: răspunsul așteptat și punctajul pe etape. Fără el, se pierde un punct la fiecare item;
• corectitudinea științifică are 2 puncte: enunțul, răspunsul și baremul trebuie să fie exacte;
• itemul rămâne în unitatea „Elemente ale geometriei în spațiu. Paralelism”: puncte, drepte, plane, determinarea planului, corpurile geometrice (descriere), drepte paralele, unghiul a două drepte, dreaptă paralelă cu un plan, plane paralele, secțiuni paralele cu baza. Perpendicularitatea, proiecțiile, teorema celor trei perpendiculare și distanțele la un plan sunt în lista de conținuturi, dar țin de unitatea următoare, „Perpendicularitate”; ariile și volumele, de altă unitate. Nu le folosim.

Formatul fiecărui tip de item. Programa de concurs numește doar tema („Tipologia itemilor”), fără o clasificare. În clasificarea obișnuită din docimologie, itemul pereche și alegerea multiplă sunt obiective, completarea, răspunsul scurt și întrebarea structurată sunt semiobiective, iar rezolvarea de probleme e un item subiectiv.

Itemul 1, de completare (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 4.4. Descrierea în limbaj matematic a elementelor unei configurații geometrice.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. Dacă dreapta $d$ nu este inclusă în planul $\alpha$ și este paralelă cu o dreaptă inclusă în planul $\alpha$, atunci dreapta $d$ este $\dots \dots$ cu planul $\alpha$.
• Baremul de evaluare (răspunsul așteptat): „paralelă” — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• De ce e corect: este criteriul de paralelism dintre o dreaptă și un plan. Cele două condiții sunt amândouă necesare: fără „nu este inclusă în $\alpha$”, dreapta ar putea fi chiar în plan (în cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, $AB\parallel CD$ și amândouă sunt în planul $(ABC)$); fără paralelism, dreapta ar putea tăia planul. Răspunsul e unic, un singur cuvânt. Itemul cere enunțarea în limbaj matematic a unei teoreme din unitate.

Itemul 2, cu răspuns scurt (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea descrierii unor configurații spațiale și a calculării unor elemente metrice.
• Itemul: Cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ are muchia de $4$ cm, iar $M$ și $N$ sunt mijloacele muchiilor $A^{\prime }{B}^{\prime }$, respectiv $A^{\prime }{D}^{\prime }$. Scrieți lungimea segmentului $MN$.
• Baremul de evaluare (răspunsul așteptat): $MN=2\sqrt{2}$ cm (sau $\sqrt{8}$ cm) — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• De ce e corect: segmentul $MN$ e în fața $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, un pătrat cu latura de $4$ cm, deci reprezentarea potrivită e chiar această față. Diagonala ei are $B^{\prime }{D}^{\prime }=4\sqrt{2}$ cm, iar $MN$ e linie mijlocie în triunghiul $A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$: $MN\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ și $MN=\frac{1}{2}{B}^{\prime }{D}^{\prime }=2\sqrt{2}$ cm. Alegerea feței e partea de „reprezentare adecvată” din competență.

Itemul 3, de tip pereche (15 puncte)

• Competența specifică evaluată: 1.4. Identificarea unor figuri plane sau a unor elemente caracteristice acestora în configurații spațiale date.
• Itemul: Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Scrieți pe foaie asocierile corecte dintre fiecare element din coloana A și poziția relativă din coloana B. Fiecărui element din coloana A îi corespunde un singur element din coloana B; două elemente din coloana B nu se folosesc.

• Baremul de evaluare (răspunsul așteptat): 1 – a, 2 – c, 3 – b, 4 – d, 5 – f; câte 3 puncte pentru fiecare asociere corectă, în total 15 puncte.

• De ce e corect:

  • 1: $AB\parallel DC$ și $DC\parallel D^{\prime }{C}^{\prime }$, deci $AB\parallel C^{\prime }{D}^{\prime }$;
  • 2: $AB$ și $C{C}^{\prime }$ nu au puncte comune și nu sunt paralele ($C{C}^{\prime }\parallel B{B}^{\prime }$, care taie $AB$), deci nu sunt coplanare;
  • 3: diagonalele pătratului $ABCD$ se taie în centrul lui;
  • 4: $A^{\prime }{B}^{\prime }\parallel AB$, cu $AB\subset (ABC)$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }\not\subset (ABC)$;
  • 5: fețele opuse ale cubului sunt în plane paralele.

  Fiecare premisă are o singură pereche corectă. Coloana B nu oferă „drepte coplanare”, care s-ar potrivi și la 1, și la 3: așa, perechea rămâne unică. Răspunsurile de prisos (e, g) reduc ghicitul prin eliminare la premisele 4 și 5; la premisele 1–3, cele trei răspunsuri potrivite (a, b, c) se folosesc câte o dată.

Itemul 4, de tip alegere multiplă (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 3.4. Folosirea unor proprietăți de paralelism sau perpendicularitate pentru analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și planelor.

• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare răspunsului corect. În cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, măsura unghiului dreptelor $A^{\prime }{C}^{\prime }$ și $AB$ este:

  A. $45^{\circ }$ B. $60^{\circ }$ C. $90^{\circ }$ D. $135^{\circ }$

• Baremul de evaluare (răspunsul așteptat): A — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.

• De ce e corect: $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$, deci unghiul dreptelor $A^{\prime }{C}^{\prime }$ și $AB$ este unghiul dreptelor $A^{\prime }{C}^{\prime }$ și $A^{\prime }{B}^{\prime }$, adică $\sphericalangle B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }=45^{\circ }$ (diagonala pătratului face $45^{\circ }$ cu latura). Distractorii vin din greșeli tipice: B ($60^{\circ }$) ia dreapta $A^{\prime }B$ în loc de $AB$ (triunghiul $A^{\prime }B{C}^{\prime }$ e echilateral); C ($90^{\circ }$) crede că două drepte necoplanare din fețe diferite sunt perpendiculare; D ($135^{\circ }$) ia unghiul obtuz dintre cele două direcții, deși unghiul a două drepte are cel mult $90^{\circ }$.

Itemul 5, de tip întrebare structurată (20 de puncte)

• Competențele specifice evaluate: 2.4. Reprezentarea, prin desen sau prin modele, a unor configurații spațiale date (a); 3.4. Folosirea unor proprietăți de paralelism sau perpendicularitate pentru analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și planelor (b, c).
• Itemul: Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$.
  • a) Reprezentați prin desen cubul, cu muchiile nevăzute punctate, și trasați segmentele $A{B}^{\prime }$, $A{D}^{\prime }$, $BD$, $B{C}^{\prime }$ și $D{C}^{\prime }$.
  • b) Știind că patrulaterul $AD{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ este paralelogram, arătați că dreapta $A{B}^{\prime }$ este paralelă cu planul $(BD{C}^{\prime })$.
  • c) Știind că dreptele $A{B}^{\prime }$ și $A{D}^{\prime }$ sunt paralele cu planul $(BD{C}^{\prime })$, arătați că planele $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ și $(BD{C}^{\prime })$ sunt paralele.
• Baremul de evaluare (răspunsul așteptat):
  • a) cubul desenat corect: fețele ca paralelograme, muchiile paralele desenate paralele, cele trei muchii din vârful ascuns punctate — 3 puncte; cele cinci segmente trasate și notate corect — 2 puncte.
  • b) $AD{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ paralelogram, deci $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$ — 3 puncte; $D{C}^{\prime }\subset (BD{C}^{\prime })$ — 2 puncte; $A{B}^{\prime }\not\subset (BD{C}^{\prime })$, pentru că $A\notin (BD{C}^{\prime })$ (planul $(BD{C}^{\prime })$ taie fața $ABCD$ după dreapta $BD$, iar $A\notin BD$), deci $A{B}^{\prime }\parallel (BD{C}^{\prime })$ — 2 puncte.
  • c) $A{B}^{\prime }$ și $A{D}^{\prime }$ sunt concurente în $A$ și sunt incluse în planul $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ — 3 puncte; amândouă sunt paralele cu planul $(BD{C}^{\prime })$ — 2 puncte; un plan care conține două drepte concurente paralele cu alt plan este paralel cu acesta, deci $(A{B}^{\prime }{D}^{\prime })\parallel (BD{C}^{\prime })$ — 3 puncte.
• De ce e corect: $AD\parallel BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ și $AD=B^{\prime }{C}^{\prime }$, deci $AD{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ e paralelogram (chiar dreptunghi), iar $A{B}^{\prime }\parallel D{C}^{\prime }$. La fel, $AB{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ e paralelogram, deci $A{D}^{\prime }\parallel B{C}^{\prime }\subset (BD{C}^{\prime })$. Planele sunt distincte, pentru că $A\notin (BD{C}^{\prime })$. Subîntrebările se pot rezolva independent: b) și c) dau în enunț faptele de care au nevoie. Formatul: o configurație comună și trei cerințe gradate, de la desen la demonstrație.

Itemul 6, de tip rezolvare de probleme (25 de puncte)

• Competența specifică evaluată: 6.4. Modelarea unor situații practice în limbaj geometric, utilizând configurații spațiale.
• Itemul: Un cort are forma unei piramide patrulatere regulate $VABCD$, cu toate muchiile de $3$ m; baza $ABCD$ este podeaua cortului. Pentru lampioane, se întind patru sfori între mijloacele $M$, $N$, $P$, $Q$ ale muchiilor laterale $VA$, $VB$, $VC$, respectiv $VD$: sforile $MN$, $NP$, $PQ$ și $QM$.
  • a) Arătați că sforile $MN$ și $PQ$ sunt paralele.
  • b) Arătați că planul $(MNP)$ este paralel cu podeaua cortului.
  • c) Calculați lungimea totală a celor patru sfori.
  • d) Determinați măsura unghiului dintre sfoara $MN$ și muchia $VC$.
  • e) Sfoara se vinde în role de câte $5$ m. La fiecare dintre cele patru bucăți se adaugă $10$ cm pentru noduri. Câte role trebuie cumpărate?
• Baremul de evaluare (răspunsul așteptat):
  • a) $MN$ e linie mijlocie în triunghiul $VAB$, deci $MN\parallel AB$; $PQ$ e linie mijlocie în triunghiul $VCD$, deci $PQ\parallel CD$ — 3 puncte; $AB\parallel CD$, deci $MN\parallel PQ$ — 2 puncte.
  • b) $MN\parallel AB$ și $NP\parallel BC$, cu $AB$, $BC$ incluse în planul bazei — 3 puncte; $MN$ și $NP$ sunt concurente în $N$, deci $(MNP)\parallel (ABC)$ — 2 puncte.
  • c) fiecare sfoară e jumătate dintr-o latură a bazei: $1,5$ m — 3 puncte; lungimea totală: $4\cdot 1,5=6$ m — 2 puncte.
  • d) $MN\parallel DC$, deci unghiul cerut este unghiul dreptelor $DC$ și $VC$ — 2 puncte; triunghiul $VCD$ e echilateral, deci unghiul are $60^{\circ }$ — 3 puncte.
  • e) o bucată are $1,5+0,1=1,6$ m, iar cele patru au $6,4$ m — 2 puncte; dintr-o rolă se pot tăia trei bucăți ($3\cdot 1,6=4,8\le 5$), nu patru ($6,4>5$); a patra bucată se taie din a doua rolă, deci trebuie cumpărate $2$ role — 3 puncte.
• De ce e corect: toate muchiile au $3$ m, deci fețele laterale sunt triunghiuri echilaterale și baza e un pătrat cu latura de $3$ m. Dreptele $MN$ și $VC$ sunt necoplanare, iar unghiul lor se găsește prin paralela $DC$, exact cum cere conținutul „unghiul a două drepte”. Patrulaterul $MNPQ$ e secțiunea paralelă cu baza, un pătrat cu latura de $1,5$ m. La e), dintr-o rolă se taie doar trei bucăți de $1,6$ m ($4,8$ m), deci a patra cere a doua rolă: răspunsul geometric se corelează cu restricția din realitate, cum cere competența.

Dacă dai testul la clasă: legătura cu standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au fost aprobate prin OMEC nr. 4615/04.08.2026 și publicate în Monitorul Oficial nr. 674 bis/14.08.2026, deci la peste cinci ani după proba din 21 iulie 2021. Baremul din 2021 nu le cere. Se aplică însă la clasă din anul școlar 2026–2027. Încadrarea de mai jos e a noastră, după descriptorii clasei a VIII-a din Monitorul Oficial (paginile 934–937):

Încadrarea pe standarde nu coincide peste tot cu competența declarată. La itemul 1, competența din programă e 4.4, dar descriptorii VIII.CS.4.4 privesc proiecțiile și distanțele (perpendicularitatea); cel mai apropiat e la VIII.CS.3.4, și acela doar parțial: descriptorul De bază vorbește de muchiile corpurilor geometrice studiate, iar itemul enunță criteriul în general, fără un corp. La itemul 6, descriptorii VIII.CS.6.4 cer distanțe și unghiul a două plane, adică materie din unitatea „Perpendicularitate”; subpunctul d) (unghiul de $60^{\circ }$) corespunde descriptorului Consolidat de la VIII.CS.3.4. Standardele tuturor claselor sunt pe pagina standardelor de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al III-lea, în formatul din 2021

• Itemul fără baremul lui: „elaborarea răspunsului așteptat (baremul de evaluare)” e un punct separat la fiecare item, deci baremul se scrie la toți cei șase.
• Item de tip pereche cu perechi ambigue: de exemplu „drepte coplanare” oferit lângă „drepte paralele” și „drepte concurente”, sau „paralelipiped dreptunghic” lângă „cub”. Corectitudinea științifică are 2 puncte, iar formatul cere o singură pereche corectă pentru fiecare premisă.
• Item în afara unității: un calcul cu teorema celor trei perpendiculare, o distanță de la un punct la un plan, o arie sau un volum. Unitatea cerută se oprește la paralelism.
• „Două drepte care nu se intersectează sunt paralele”: în spațiu pot fi necoplanare. O astfel de afirmație într-un enunț sau într-un barem costă la corectitudinea științifică.
• Completare cu mai multe răspunsuri corecte sau alegere multiplă cu două variante corecte.
• Întrebare structurată fără material comun sau baremul doar cu rezultatul final, la itemii 5 și 6.

Materiale pentru unitate

• Programa clasei a VIII-a, cu toate competențele: programa de matematică la clasa a VIII-a.
• Lecțiile unității: Puncte, drepte și plane în spațiu, Determinarea dreptei și a planului, Poziții relative a două drepte în spațiu, Unghiul a două drepte în spațiu, Dreaptă paralelă cu un plan, Plane paralele, Secțiuni paralele cu baza în corpurile geometrice, Piramida și piramida regulată.
• Teste pentru elevi: puncte, drepte și plane în spațiu, paralelism în spațiu și piramida regulată și tetraedrul regulat.

Întrebări frecvente

Unde se pierd cele mai multe puncte la titularizarea la matematică din 2021?

Pe pașii pe care baremul îi punctează explicit. La I.1.c, pe egalitatea dintre modulul conjugatului și modulul numărului și pe folosirea condiției ca modulul lui a să fie diferit de 5. La II.1.c, pe argumentul final: un polinom cu coeficienți reali, de gradul al treilea, cu rădăcini care nu sunt toate reale, are o singură rădăcină reală. La didactică, pe baremul fiecărui item, care valorează un punct separat, și pe corectitudinea științifică, care valorează 2 puncte la fiecare item.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la titularizare matematică 2021?

Gazda oficială a sesiunii, subiecte2021.edu.ro, nu mai răspunde. Arhiva oficială Titularizare_2021.zip (aproximativ 26 MB, cu toate disciplinele) există în copia păstrată de Internet Archive, captura din 18 decembrie 2021. Fișierele de matematică sunt Tit_109_Matematica_P_2021_var_02_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2021_bar_02_LRO.pdf (baremul), adică Varianta 2. Pe pagina asta, amândouă sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost Subiectul al III-lea la titularizare matematică 2021?

Din clasa a VIII-a. Subiectul dă o secvență din programa școlară de matematică (OMEN nr. 3393/28.02.2017), competențele specifice 1.4–6.4 și conținuturile capitolului „Elemente ale geometriei în spațiu”. Cere o probă de evaluare cu șase itemi la finalul unității „Elemente ale geometriei în spațiu. Paralelism”: de completare, cu răspuns scurt, de tip pereche, de tip alegere multiplă, de tip întrebare structurată și de tip rezolvare de probleme.

Cum se punctează un item de tip pereche la titularizarea din 2021?

Ca oricare dintre cei șase itemi, cu 5 puncte: 1 pentru competența specifică, 1 pentru respectarea formatului, 1 pentru baremul itemului (răspunsul așteptat) și 2 pentru corectitudinea științifică. Formatul cere două coloane, o instrucțiune care spune cum se asociază elementele și, pentru fiecare element din prima coloană, o singură pereche corectă; de regulă, a doua coloană are mai multe elemente decât prima.

Mai departe

• Titularizare matematică: toate subiectele, programa și media: pagina examenului, cu tabelul pe ani.
• Titularizare matematică 2022: proba din anul următor, rezolvată la fel.
• Titularizare matematică 2023: tot geometrie în spațiu la didactică, unitatea „Perpendicularitate”.
• Calculatorul de medie la titularizare: media de repartizare din nota la proba scrisă și nota la inspecție.
• Programa școlară de matematică: programele în vigoare la toate clasele.

Sursele

• Subiectul și baremul: Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, „Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 21 iulie 2021, Probă scrisă, Matematică, Varianta 2”, subiect și barem, arhiva Titularizare_2021.zip de pe subiecte2021.edu.ro, în copia păstrată de Internet Archive (captura din 18.12.2021, SHA-256 703e08d91bd0103f492ea24243d8170b2c4c2c3e5ee2e4d04002724692df6719).
• Programa școlară: OMEN nr. 3393/28.02.2017, Anexa nr. 2.
• Programa de concurs în vigoare la 17.10.2026: Programa pentru disciplina Matematică, Concursul național de ocupare a posturilor didactice (București, 2020), aprobată prin OMEC nr. 5975/09.11.2020.
• Standardele: OMEC nr. 4615/04.08.2026, anexa nr. 29, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis/14.08.2026, paginile 934–937.

Verificat de noi pe 17.10.2026: transcrierea subiectului și a baremului e comparată cu imaginea fiecărei pagini a PDF-urilor din arhivă, inclusiv formulele: conjugatul din $E(z)$, modulul $|a|$ de la I.1.c, modulele și conjugatele din barem și modulul din integrala de la II.2.c apar corect doar în imagine. Simbolul de triunghi lipsește din imaginea baremului la I.2 și a fost confirmat din stratul de text. Fiecare rezultat al rezolvării a fost refăcut prin calcul simbolic (scriptul de control, inclusiv geometria pe coordonate și pe triunghiuri aleatoare, perechile și unghiurile din itemii de didactică și suma punctajelor lor).