Subiecte titularizare matematică 2023: barem și rezolvare pas cu pas

Pe scurt: proba scrisă de matematică de la titularizarea din 2023 (concursul național de ocupare a posturilor didactice) s-a dat pe 12 iulie 2023 și a durat 4 ore. Are trei subiecte de câte 30 de puncte, plus 10 puncte din oficiu. Subiectele I și II sunt de specialitate: funcția de gradul al doilea cu parametru (preimaginea unei mulțimi), geometrie sintetică (linia mijlocie, paralelograme, asemănare, bisectoare), o lege de compoziție cu module și o funcție cu radical (concavitate, limita unei sume, o integrală prin părți). Subiectul al III-lea e de didactică: o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității „Elemente ale geometriei în spațiu. Perpendicularitate” de la clasa a VIII-a, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip de item. Pe pagină: subiectul transcris exact, baremul oficial publicat de Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație (CNPEE) și rezolvarea noastră completă, cu un model de răspuns la didactică.

Actualizat: 17 octombrie 2026.

Pe pagină: Structura probei · Subiectul · Baremul oficial · Rezolvarea · Didactica: model de răspuns · Întrebări frecvente

Structura probei din 2023

Baremul din 2023 precizează că nota se obține împărțind la 10 punctajul total al lucrării. Proba s-a dat după metodologia sesiunii 2023; cum se combină notele celor doi evaluatori și cum intră nota la proba scrisă în media de repartizare, după regulile sesiunii 2026, e explicat pe pagina titularizării la matematică. Media se poate calcula cu calculatorul de medie la titularizare.

De unde avem documentele. Arhiva oficială a sesiunii 2023 era pe subiecte2023.edu.ro, o gazdă care nu mai răspunde: la 17.10.2026 numele ei de domeniu nu mai există. Am folosit copia arhivei oficiale păstrată de Internet Archive (web.archive.org), verificată de noi pe 17.10.2026: Titularizare_2023.zip, captura din 17 iulie 2024 (aproximativ 27 MB, toate disciplinele). Ce am verificat:

• arhiva are exact dimensiunea și data de modificare a fișierului de pe serverul oficial, așa cum le-a înregistrat Internet Archive (27.273.289 de octeți, 12 iulie 2023), și se dezarhivează fără erori;
• fișierele de matematică, Tit_109_Matematica_P_2023_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2023_bar_03_LRO.pdf (baremul), poartă antetul Ministerului Educației și al CNPEE și au fost create pe 12 iulie 2023, ziua probei;
• amprenta SHA-256 a arhivei este fb72ea53b7d10310e60f7512b6f5f00d42ba511f19e99f9a1be4771ac08c82cc.

Am transcris Varianta 3, adică varianta pe care CNPEE a publicat-o în arhiva oficială.

Exersează în condiții de examen: pornește un cronometru de 4 ore, rezolvă doar secțiunea Subiectul oficial (o poți și tipări), apoi compară, cerință cu cerință, cu baremul și cu rezolvarea.

Subiectul oficial (Varianta 3)

Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 12 iulie 2023. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3.

• Toate subiectele sunt obligatorii. Se acordă zece puncte din oficiu.
• Timpul de lucru efectiv este de patru ore.

Subiectul I (30 de puncte)

1. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+mx-2$, unde $m$ este număr real.

• (5p) a) Arătați că ecuația $f(x)=0$ are două soluții reale distincte, pentru orice număr real $m$.
• (5p) b) Pentru $m=2$, parabola asociată funcției $f$ are vârful $V$ și intersectează axa $Ox$ în punctele $A$ și $B$. Arătați că triunghiul $VAB$ este echilateral.
• (5p) c) Arătați că, pentru orice număr real $m$, mulțimea $f^{-1}\left(\{x_1,x_2\}\right)$ are $4$ elemente, unde $x_1$ și $x_2$ sunt soluțiile ecuației $f(x)=0$ și $f^{-1}(A)=\left\{x\in \mathbb{R}\mid f(x)\in A\right\}$, $A\subset \mathbb{R}$.

2. Se consideră triunghiul $ABC$, cu $AB<BC$, punctele $D$ și $E$ sunt mijloacele segmentelor $AB$, respectiv $AC$, iar $M$ este un punct situat pe segmentul $DE$, diferit de punctele $D$ și $E$. Punctele $N$ și $P$ sunt simetricele lui $M$ față de punctele $D$ și respectiv $E$, iar $Q$ este punctul de intersecție a dreptelor $BM$ și $CP$ și $T$ este punctul de intersecție a dreptelor $CM$ și $BN$.

• (5p) a) Arătați că dreptele $BN$ și $CP$ sunt paralele.
• (5p) b) Demonstrați că $A{M}^2=PQ\cdot NT$.
• (5p) c) Arătați că, dacă semidreapta $BM$ este bisectoarea unghiului $ABC$, atunci $2EQ=BC-AB$.

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+|xy|-|x|-|y|+1$.

• (5p) a) Arătați că $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.
• (5p) b) Arătați că $x\ast y\in [0,1]$, pentru orice $x,y\in [0,1]$.
• (5p) c) Se consideră mulțimea $A=\{(a,b)\in \mathbb{R}\times \mathbb{R}\mid a\ast x=a$, pentru orice $x\in [b,+\infty )\}$. Determinați valoarea minimă a lui $a+b$, unde $(a,b)\in A$.

2. Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-\sqrt{4x^2+1}$.

• (5p) a) Arătați că funcția $f$ este concavă.
• (5p) b) Demonstrați că $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(n-\left(f^{\prime }\left(\frac{1}{n^2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{2}{n^2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{3}{n^2}\right)+\dots +f^{\prime }\left(\frac{n}{n^2}\right)\right)\right)=2$.
• (5p) c) Demonstrați că ${\int }_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}\frac{x-f(x)}{x^3}dx=\frac{9}{8}+\ln 2$.

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Următoarea secvență face parte din programa școlară de matematică pentru clasa a VIII-a.

Competențe specifice și exemple de activități de învățare

Clasa a VIII-a

1.4. Identificarea unor figuri plane sau a unor elemente caracteristice acestora în configurații spațiale date

• Identificarea, construcția, notarea și citirea unor drepte concurente/paralele/necoplanare în configurații spațiale, cu exemplificare și în realitatea înconjurătoare
• Identificarea, în configurații spațiale simple și în realitate, a pozițiilor relative ale unei drepte față de un plan
• Identificarea pozițiilor relative a două plane în configurații spațiale simple și în realitatea înconjurătoare
• Recunoașterea figurilor geometrice obținute în urma secționării unei piramide sau a unei prisme cu un plan paralel cu baza

2.4. Reprezentarea, prin desen sau prin modele, a unor configurații spațiale date

• Reprezentarea prin desen sau prin modele a unor configurații spațiale în/din contexte reale
• Utilizarea instrumentelor geometrice și a softurilor matematice pentru a desena diferite configurații spațiale
• Utilizarea diferitelor mijloace didactice pentru a modela rezultate asociate relațiilor de paralelism și perpendicularitate în spațiu
• Utilizarea convențiilor de notare și citire a configurațiilor spațiale
• Reprezentarea, prin desen, a proiecțiilor și a unghiurilor
• Clasificarea prismelor/piramidelor după forma bazei
• Construirea înălțimii unei prisme sau a unei piramide

3.4. Folosirea unor proprietăți de paralelism sau perpendicularitate pentru analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și planelor

• Utilizarea măsurilor unghiurilor și a distanțelor pentru stabilirea pozițiilor relative între drepte și/sau plane
• Determinarea paralelismului în spațiu, între drepte și/sau plane cu ajutorul proprietăților relațiilor de paralelism și de perpendicularitate în configurații simple
• Determinarea perpendicularității în spațiu, între drepte și/sau plane cu ajutorul proprietăților relațiilor de paralelism și de perpendicularitate în configurații simple

4.4. Descrierea în limbaj matematic a elementelor unei configurații geometrice

• Construirea unor configurații geometrice cu drepte și plane aflate în relații de paralelism sau perpendicularitate
• Verificarea validității unor afirmații legate de pozițiile relative ale dreptelor și/sau ale planelor prin exemple și contraexemple
• Identificarea și utilizarea axiomelor, teoremelor directe/reciproce pentru rezolvarea de probleme în configurații spațiale simple
• Evidențierea unor aspecte particulare sau a unor aspecte ce pot fi generalizate, referitoare la configurații spațiale

5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea descrierii unor configurații spațiale și a calculării unor elemente metrice

• Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme de geometrie în spațiu
• Adecvarea reprezentărilor configurațiilor spațiale la cerințele problemelor, în vederea optimizării rezolvării problemei
• Optimizarea rezolvării de probleme prin utilizarea instrumentelor interactive de realizare a reprezentărilor geometrice (softuri matematice)
• Analizarea/interpretarea unor situații din realitatea înconjurătoare și transpunerea lor în probleme de geometrie în spațiu

6.4. Modelarea unor situații practice în limbaj geometric, utilizând configurații spațiale

• Formularea de ipoteze și de concluzii în probleme cu conținut practic legate de proiecții pe plan a unor puncte, drepte, segmente
• Verificarea validității unor rezultate, în cazul înlocuirii unor părți din ipoteză cu părți din concluzie
• Transpunerea unor situații date în limbajul specific geometriei, interpretarea rezultatelor obținute și corelarea răspunsului geometric cu restricțiile impuse de realitatea înconjurătoare

[…]

Notă: Conținuturile vor fi abordate din perspectiva competențelor specifice. Activitățile de învățare sugerate oferă o imagine posibilă privind contextele de formare/dezvoltare a acestor competențe.

(Programa școlară pentru disciplina Matematică, OMEN nr. 3393/28.02.2017)

Folosind informațiile din secvența de mai sus, în vederea evaluării formării/dezvoltării competențelor specifice precizate, elaborați o probă de evaluare la finalul unității de învățare „Elemente ale geometriei în spațiu. Perpendicularitate”, care să cuprindă cinci itemi: un item de completare, un item cu răspuns scurt, un item de tip alegere multiplă, un item de tip întrebare structurată și un item de tip rezolvare de probleme.

Pentru fiecare item propus:

• menționați competența specifică evaluată;
• menționați activitatea de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat;
• precizați un avantaj al utilizării acestui tip de item;
• precizați un dezavantaj al utilizării acestui tip de item;
• respectați formatul tipului de item;
• respectați corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat.

Baremul oficial de evaluare și de notare

Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 12 iulie 2023. Probă scrisă. Matematică. Varianta 3. Barem de evaluare și de notare.

Reguli generale, din barem:

• Se punctează orice modalitate de rezolvare corectă a cerințelor, în limita punctajului maxim corespunzător.
• Nu se acordă fracțiuni de punct, dar se pot acorda punctaje intermediare pentru rezolvări parțiale, în limitele punctajului indicat în barem.
• Se acordă zece puncte din oficiu. Nota finală se calculează prin împărțirea la zece a punctajului total acordat pentru lucrare.

Subiectul I (30 de puncte)

1. a)

• $x^2+mx-2=0$, $\Delta =m^2+8$ — 2p
• $\Delta >0$, pentru orice număr real $m$, deci ecuația $f(x)=0$ are două soluții reale distincte — 3p

1. b)

• $A\left(-1-\sqrt{3},0\right)$, $B\left(-1+\sqrt{3},0\right)$, deci $AB=2\sqrt{3}$ — 2p
• Cum $V(-1,-3)$, obținem $VA=VB=2\sqrt{3}$, deci triunghiul $VAB$ este echilateral — 3p

1. c)

• $f(x)=x_i$, cu ${\Delta }_i=\Delta +4x_i$, $i=\overline{1,2}$; $x_1+x_2=-m$, $x_1{x}_2=-2$, pentru orice număr real $m$ — 2p
• ${\Delta }_1+{\Delta }_2=2(m-1{)}^2+14>0$, ${\Delta }_1{\Delta }_2=m^2(m-2{)}^2+4\left(3m^2-8m+8\right)>0$, de unde obținem ${\Delta }_1>0$ și ${\Delta }_2>0$, deci ecuațiile $f(x)=x_i$, $i=\overline{1,2}$, au câte două soluții reale distincte și, cum $x_1\ne x_2$, obținem că mulțimea $f^{-1}\left(\{x_1,x_2\}\right)$ are $4$ elemente, pentru orice număr real $m$ — 3p

2. a)

• Segmentele $AB$ și $MN$ au același mijloc, de unde obținem că patrulaterul $ANBM$ este paralelogram, deci $BN\parallel AM$ — 2p
• Segmentele $AC$ și $MP$ au același mijloc, de unde obținem că patrulaterul $AMCP$ este paralelogram, deci $CP\parallel AM$, de unde obținem $BN\parallel CP$ — 3p

2. b)

• $\Delta MTN\sim \Delta MCP$, de unde obținem $\frac{TN}{CP}=\frac{MN}{MP}$ — 2p
• $\Delta MBN\sim \Delta MQP$, de unde obținem $\frac{BN}{QP}=\frac{MN}{MP}$, deci $\frac{TN}{CP}=\frac{BN}{QP}$ și, cum $BN=CP=AM$, obținem $A{M}^2=PQ\cdot NT$ — 3p

2. c)

• $\sphericalangle CBM=\sphericalangle MBD$ și $DE\parallel BC$, deci $BD=MD$, de unde obținem că $ANBM$ este dreptunghi și, cum $QE$ este mediana corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul dreptunghic $MPQ$, obținem $EQ=\frac{MP}{2}$ — 3p
• $EQ=\frac{NP-NM}{2}$ și, cum $BCPN$ este paralelogram și $NM=AB$, obținem $EQ=\frac{BC-AB}{2}$, adică $2EQ=BC-AB$ — 2p

Subiectul al II-lea (30 de puncte)

1. a)

• $x\ast 1=x+|x|-|x|-1+1=x$, pentru orice număr real $x$ — 2p
• $1\ast x=x+|x|-1-|x|+1=x$, pentru orice număr real $x$, deci $e=1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$” — 3p

1. b)

• $x,y\in [0,1]\Rightarrow \left|x-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{2}$ și $\left|y-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{2}$, de unde obținem $\left|\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)\right|\le \frac{1}{4}$, pentru orice $x,y\in [0,1]$ — 3p
• $0\le 2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\le 1$, de unde obținem $0\le 2xy-x-y+1\le 1$, deci $x\ast y\in [0,1]$, pentru orice $x,y\in [0,1]$ — 2p

1. c)

• Pentru $(a,b)\in A$, există $x_0\in [b,+\infty )$ cu $x_0>1$ și, cum $a\ast x_0=a$, obținem $\left(x_0-1\right)\left(a+|a|-1\right)=0$, deci $a+|a|-1=0$, de unde rezultă $a=\frac{1}{2}$ — 2p
• $\frac{1}{2}\ast x=\frac{1}{2}\iff \frac{x-|x|+1}{2}=\frac{1}{2}\iff x\in [0,+\infty )$, deci, pentru $(a,b)\in A$, valoarea minimă a lui $b$ este $0$, de unde obținem că valoarea minimă a lui $a+b$ este egală cu $\frac{1}{2}$ — 3p

2. a)

• $f^{\prime }(x)=1-\frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}$, $x\in \mathbb{R}$ — 2p
• $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{4}{\left(4x^2+1\right)\sqrt{4x^2+1}}<0$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$, de unde obținem că funcția $f$ este concavă — 3p

2. b)

• $n-\left(f^{\prime }\left(\frac{1}{n^2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{2}{n^2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{3}{n^2}\right)+\dots +f^{\prime }\left(\frac{n}{n^2}\right)\right)=\sum _{k=1}^n\frac{4k}{\sqrt{4k^2+n^4}}$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ și $\frac{2n(n+1)}{\sqrt{4n^2+n^4}}\le \sum _{k=1}^n\frac{4k}{\sqrt{4k^2+n^4}}\le \frac{2n(n+1)}{\sqrt{4+n^4}}$, pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ — 3p
• $\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n(n+1)}{\sqrt{4n^2+n^4}}=\underset{n\to +\infty }{\lim }\frac{2n(n+1)}{\sqrt{4+n^4}}=2$, de unde obținem $\underset{n\to +\infty }{\lim }\left(\sum _{k=1}^n\frac{4k}{\sqrt{4k^2+n^4}}\right)=2$ — 2p

2. c)

• ${\int }_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}\frac{x-f(x)}{x^3}dx={\int }_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}{\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}^{\prime }\sqrt{4x^2+1}dx=\left(-\frac{1}{2x^2}\right)\sqrt{4x^2+1}{|}_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}+{\int }_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}\frac{2}{x\sqrt{4x^2+1}}dx=$ — 2p
• $=-\frac{3}{4}+\frac{15}{8}-2{\int }_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }\cdot \frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}dx=\frac{9}{8}-2\ln \left(\frac{1}{x}+\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}\right){|}_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}=\frac{9}{8}+\ln 2$ — 3p

Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Itemul de completare elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul cu răspuns scurt elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip alegere multiplă elaborat:

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip întrebare structurată elaborat:

• menționarea competenței/competențelor specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Itemul de tip rezolvare de probleme elaborat

• menționarea competenței specifice evaluate — 1p
• menționarea activității de învățare în cadrul căreia itemul poate fi utilizat — 1p
• precizarea unui avantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• precizarea unui dezavantaj al utilizării acestui tip de item — 1p
• respectarea formatului itemului — 1p
• respectarea corectitudinii științifice, inclusiv a răspunsului așteptat — 1p

Rezolvarea noastră, pas cu pas

Rezolvările urmează baremul. Acolo unde baremul sare o justificare (un șir de unghiuri, de ce un paralelogram e dreptunghi, de ce o substituție e permisă), o scriem, din rigoare: corectorul notează după barem, dar demonstrația e completă abia cu ea. Fiecare rezultat de mai jos a fost refăcut independent, prin calcul simbolic.

Subiectul I.1: funcția de gradul al doilea cu parametru

a) $\Delta =m^2+8\ge 8>0$ pentru orice $m$ real, deci ecuația $f(x)=0$ are două soluții reale distincte.

b) Pentru $m=2$: $f(x)=x^2+2x-2=(x+1{)}^2-3$. Vârful este $V(-1,-3)$, iar soluțiile ecuației $f(x)=0$ sunt $-1\pm \sqrt{3}$, deci $A\left(-1-\sqrt{3},0\right)$ și $B\left(-1+\sqrt{3},0\right)$, cu $AB=2\sqrt{3}$. Apoi $V{A}^2={\left(\sqrt{3}\right)}^2+3^2=12$, deci $VA=2\sqrt{3}$; la fel $VB=2\sqrt{3}$ (vârful e pe axa de simetrie $x=-1$). Triunghiul are toate laturile egale, deci este echilateral.

c) Un număr $x$ este în $f^{-1}\left(\{x_1,x_2\}\right)$ exact când $f(x)=x_1$ sau $f(x)=x_2$. Ecuația $f(x)=x_i$, adică $x^2+mx-2-x_i=0$, are discriminantul ${\Delta }_i=m^2+8+4x_i=\Delta +4x_i$. Din relațiile lui Viète, $x_1+x_2=-m$ și $x_1{x}_2=-2$, deci $${\Delta }_1+{\Delta }_2=2\Delta +4(x_1+x_2)=2m^2+16-4m=2(m-1{)}^2+14>0,$$ $${\Delta }_1{\Delta }_2={\Delta }^2+4\Delta (x_1+x_2)+16x_1{x}_2={\left(m^2+8\right)}^2-4m\left(m^2+8\right)-32=m^2(m-2{)}^2+4\left(3m^2-8m+8\right).$$ Trinomul $3m^2-8m+8$ are discriminantul $64-96<0$, deci e pozitiv; atunci ${\Delta }_1{\Delta }_2>0$. Suma și produsul fiind pozitive, ${\Delta }_1>0$ și ${\Delta }_2>0$: fiecare ecuație are două soluții reale distincte.

Cele patru soluții sunt distincte (baremul o spune într-un cuvânt): o soluție comună a celor două ecuații ar avea $f(x)=x_1$ și $f(x)=x_2$, imposibil pentru $x_1\ne x_2$. Deci mulțimea are exact $4$ elemente.

Subiectul I.2: mijloace, simetrice și bisectoarea

Figura. $DE$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$: $DE\parallel BC$ și $DE=\frac{BC}{2}$. Punctele $N$, $D$, $M$, $E$, $P$ sunt pe dreapta $DE$, în această ordine: $M$ e între $D$ și $E$, $N$ e simetricul lui $M$ dincolo de $D$, iar $P$ simetricul lui $M$ dincolo de $E$.

a) $D$ este mijlocul lui $AB$ și al lui $MN$, deci diagonalele patrulaterului $ANBM$ se înjumătățesc: $ANBM$ este paralelogram, cu $BN\parallel AM$ și $BN=AM$. La fel, $E$ este mijlocul lui $AC$ și al lui $MP$, deci $AMCP$ este paralelogram, cu $CP\parallel AM$ și $CP=AM$. Rezultă $BN\parallel CP$ (și $BN=CP$). Paralelogramele nu degenerează: $M$ nu e pe $AB$ sau pe $AC$, pentru că e strict între $D$ și $E$.

b) Dreptele $BN$ și $CP$ sunt paralele, iar $N$, $M$, $P$ sunt coliniare.

• $T$ este pe $BN$ și pe $CM$: în triunghiurile $MTN$ și $MCP$, $TN\parallel CP$, deci $\Delta MTN\sim \Delta MCP$ și $\frac{TN}{CP}=\frac{MN}{MP}$.
• $Q$ este pe $BM$ și pe $CP$: la fel, $BN\parallel QP$, deci $\Delta MBN\sim \Delta MQP$ și $\frac{BN}{QP}=\frac{MN}{MP}$.

Din cele două, $\frac{TN}{CP}=\frac{BN}{QP}$, adică $TN\cdot QP=BN\cdot CP=AM\cdot AM=A{M}^2$.

c) Șirul de unghiuri pe care baremul îl comprimă. $DE\parallel BC$, cu secanta $BM$, dă $\sphericalangle DMB=\sphericalangle MBC$ (alterne interne). Din ipoteză, $\sphericalangle MBC=\sphericalangle MBD$. Deci $\sphericalangle DMB=\sphericalangle DBM$, triunghiul $DBM$ e isoscel și $MD=BD=\frac{AB}{2}$.

• Atunci $MN=2MD=AB$: paralelogramul $ANBM$ are diagonalele $AB$ și $MN$ egale, deci este dreptunghi, iar $AM\perp BM$.
• Cum $CP\parallel AM$, rezultă $BM\perp CP$, adică $\sphericalangle MQP=90^{\circ }$.
• În triunghiul dreptunghic $MQP$, $E$ este mijlocul ipotenuzei $MP$, deci $EQ=\frac{MP}{2}$.

$M$ este între $N$ și $P$, deci $MP=NP-NM$. Patrulaterul $BCPN$ are $BN\parallel CP$ și $BN=CP$, deci e paralelogram și $NP=BC$; iar $NM=AB$. Rezultă $EQ=\frac{BC-AB}{2}$, adică $2EQ=BC-AB$.

Ce rol are ipoteza $AB<BC$. Cu bisectoarea, punctul $M$ e determinat de $MD=\frac{AB}{2}$, iar $DE=\frac{BC}{2}$. Punctul $M$ cade strict între $D$ și $E$, cum cere enunțul, exact când $AB<BC$. Fără ipoteză, bisectoarea din $B$ nu ar tăia segmentul $DE$ într-un punct interior, iar configurația de la c) nu ar exista. Ipoteza face ca $BC-AB$ să fie pozitiv.

Subiectul al II-lea.1: legea de compoziție cu module

a) Cu $|x\cdot 1|=|x|$ și $|1|=1$: $x\ast 1=x+|x|-|x|-1+1=x$, iar $1\ast x=x+|x|-1-|x|+1=x$, pentru orice $x$ real. Deci $e=1$ este elementul neutru.

b) Pentru $x,y\in [0,1]$, modulele dispar: $x\ast y=2xy-x-y+1=2\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}$. Din $\left|x-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{2}$ și $\left|y-\frac{1}{2}\right|\le \frac{1}{2}$, produsul $\left(x-\frac{1}{2}\right)\left(y-\frac{1}{2}\right)$ e între $-\frac{1}{4}$ și $\frac{1}{4}$, deci $x\ast y$ e între $0$ și $1$. Capetele sunt atinse: $0\ast 1=0$ și $0\ast 0=1$.

c) Fie $(a,b)\in A$. Alegem un $x_0\ge b$ cu $x_0>1$ (de exemplu, cel mai mare dintre $b$ și $1$, plus $1$). Pentru $x_0>0$, $|x_0|=x_0$ și $|a{x}_0|=|a|x_0$, deci $$a\ast x_0-a=a{x}_0+|a|x_0-|a|-x_0+1-a=\left(x_0-1\right)\left(a+|a|-1\right).$$ Cum $a\ast x_0=a$ și $x_0\ne 1$, obținem $a+|a|=1$. Pentru $a<0$ ar rezulta $0=1$, imposibil; deci $a\ge 0$, $2a=1$ și $a=\frac{1}{2}$.

Pentru $a=\frac{1}{2}$: $\frac{1}{2}\ast x=\frac{x}{2}+\frac{|x|}{2}-\frac{1}{2}-|x|+1=\frac{x-|x|+1}{2}$, egal cu $\frac{1}{2}$ exact când $|x|=x$, adică $x\ge 0$. Așadar $\left(\frac{1}{2},b\right)\in A$ exact când $[b,+\infty )\subset [0,+\infty )$, adică $b\ge 0$. Mulțimea este $A=\left\{\left(\frac{1}{2},b\right)\mid b\ge 0\right\}$, iar valoarea minimă a lui $a+b$ este $\frac{1}{2}$, pentru $b=0$.

Subiectul al II-lea.2: funcția cu radical

a) $f^{\prime }(x)=1-\frac{8x}{2\sqrt{4x^2+1}}=1-\frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}$. Derivând încă o dată, $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{4\sqrt{4x^2+1}-4x\cdot \frac{4x}{\sqrt{4x^2+1}}}{4x^2+1}=-\frac{4}{\left(4x^2+1\right)\sqrt{4x^2+1}}<0,$$ deci $f$ este concavă pe $\mathbb{R}$.

b) Scriem $n=\underset{n}{\underbrace{1+1+\dots +1}}$ și grupăm: suma din paranteză se scade termen cu termen. $$1-f^{\prime }\left(\frac{k}{n^2}\right)=\frac{\frac{4k}{n^2}}{\sqrt{\frac{4k^2}{n^4}+1}}=\frac{4k}{\sqrt{4k^2+n^4}},\text{deci}n-\sum _{k=1}^n{f}^{\prime }\left(\frac{k}{n^2}\right)=\sum _{k=1}^n\frac{4k}{\sqrt{4k^2+n^4}}.$$ Pentru $1\le k\le n$, numitorul e între $\sqrt{4+n^4}$ și $\sqrt{4n^2+n^4}$. Cu ${\sum }_{k=1}^{n}4k=2n(n+1)$, obținem încadrarea din barem. Împărțind la $n^2$, ambele margini tind la $2$, deci, prin criteriul cleștelui, limita este $2$.

c) Pe intervalul de integrare $x>0$, iar $x-f(x)=\sqrt{4x^2+1}$. Integrăm prin părți, cu ${\left(-\frac{1}{2x^2}\right)}^{\prime }=\frac{1}{x^3}$: $${\int }_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{4x^2+1}}{x^3}dx=\left(-\frac{\sqrt{4x^2+1}}{2x^2}\right){|}_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}+{\int }_{\frac{2}{3}}^{\sqrt{2}}\frac{2}{x\sqrt{4x^2+1}}dx.$$ Termenul integrat: la $\sqrt{2}$, $-\frac{3}{4}$; la $\frac{2}{3}$, $-\frac{9}{8}\cdot \frac{5}{3}=-\frac{15}{8}$; diferența e $-\frac{3}{4}+\frac{15}{8}=\frac{9}{8}$.

Pentru integrala rămasă, folosim $x>0$ (baremul o face fără să o spună): $x\sqrt{4x^2+1}=x^2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$, deci integrandul este $-2{\left(\frac{1}{x}\right)}^{\prime }\frac{1}{\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}}$, cu primitiva $-2\ln \left(\frac{1}{x}+\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}\right)$. Expresia din logaritm valorează $\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{3}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ în $\sqrt{2}$ și $\frac{3}{2}+\frac{5}{2}=4$ în $\frac{2}{3}$, deci integrala rămasă este $-2\left(\ln 2\sqrt{2}-\ln 4\right)=-2\ln \frac{\sqrt{2}}{2}=\ln 2$. Total: $\frac{9}{8}+\ln 2$.

Unde se pierd puncte la specialitate

Aici sunt doar pașii pe care baremul îi punctează explicit:

• I.1.c: rândul de 3 puncte cere pozitivitatea lui ${\Delta }_1$ și ${\Delta }_2$, din suma și produsul lor, și observația $x_1\ne x_2$, care face ca cele patru soluții să fie distincte.
• I.2.c: rândul de 3 puncte cere $BD=MD$, din bisectoare și din $DE\parallel BC$. Rândul de 2 puncte cere $NP=BC$, din paralelogramul $BCPN$, și $NM=AB$.
• II.1.c: rândul de 2 puncte cere alegerea unui $x_0\ge b$ cu $x_0>1$, care elimină modulele și dă $\left(x_0-1\right)\left(a+|a|-1\right)=0$.
• II.2.b: rândul de 3 puncte cere încadrarea sumei între $\frac{2n(n+1)}{\sqrt{4n^2+n^4}}$ și $\frac{2n(n+1)}{\sqrt{4+n^4}}$, iar cel de 2 puncte, limitele celor două margini.

Din rigoare (baremul nu le cere): la I.2.c, de ce $ANBM$ e dreptunghi (diagonale egale, $MN=2MD=AB$), de ce unghiul din $Q$ e drept ($CP\parallel AM$, $AM\perp BM$) și ordinea $N$, $M$, $P$, necesară pentru $MP=NP-NM$; la II.1.c, excluderea cazului $a<0$; la II.2.c, condiția $x>0$ pentru scrierea $x\sqrt{4x^2+1}=x^2\sqrt{4+\frac{1}{x^2}}$. Le-am scris în rezolvare pentru o demonstrație completă; corectorul notează după barem.

Subiectul al III-lea: modelul nostru de răspuns la didactică

Baremul oficial nu dă itemi-model: punctează orice probă corectă, după cele șase criterii de mai sus, câte 1 punct fiecare. Mai jos e un model de răspuns, gândit să îndeplinească fiecare criteriu din barem. Cerința e o probă de evaluare la finalul unității „Elemente ale geometriei în spațiu. Perpendicularitate”, așa că am construit-o ca pe un test real: 90 de puncte plus 10 din oficiu (nota = punctajul / 10), pe care îl poți da la clasă.

Cum se construiește un răspuns de 6 puncte pe item în formatul din 2023:

• competența specifică și activitatea de învățare se aleg din secvența dată și se copiază cuvânt cu cuvânt; activitatea e din blocul aceleiași competențe;
• secvența acoperă toată unitatea a 4-a (inclusiv paralelismul și corpurile), dar proba e la finalul părții „Perpendicularitate”. Itemii rămân în ultimele trei rânduri de conținuturi: drepte și plane perpendiculare, înălțimi, proiecții, unghiul dintre o dreaptă și un plan, unghiul diedru, teorema celor trei perpendiculare, distanțe. Activitățile care țin doar de paralelism (de exemplu, „Determinarea paralelismului în spațiu…”) nu se potrivesc;
• avantajul și dezavantajul sunt ale tipului de item, nu ale itemului concret, și se scriu la fiecare item. Fiecare valorează 1 punct;
• răspunsul așteptat intră la criteriul „corectitudinea științifică, inclusiv a răspunsului așteptat” (1 punct), așa că itemul are nevoie de un răspuns unic, verificat.

Tipurile de itemi. Programa de concurs numește doar tema („Tipologia itemilor”). În clasificarea obișnuită din docimologie, alegerea multiplă e un item obiectiv, completarea, răspunsul scurt și întrebarea structurată sunt semiobiective, iar rezolvarea de probleme e subiectivă. Tabelul general, cu formatul fiecărui tip și formulări de avantaje și dezavantaje, e pe pagina subiectului din 2025; mai jos le-am adaptat la geometria în spațiu.

Itemul 1, de completare (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 2.4. Reprezentarea, prin desen sau prin modele, a unor configurații spațiale date.
• Activitatea de învățare: „Construirea înălțimii unei prisme sau a unei piramide”.
• Itemul: Completați spațiul punctat cu răspunsul corect. În piramida patrulateră regulată $VABCD$, punctul $O$ este punctul de intersecție a diagonalelor bazei $ABCD$. Înălțimea piramidei este segmentul $\dots \dots$.
• Răspunsul așteptat (barem): $VO$ (se acceptă și $OV$) — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Avantajul tipului de item: se corectează repede și obiectiv, pentru că răspunsul e unic.
• Dezavantajul tipului de item: verifică recunoașterea, nu justificarea; aici, elevul poate numi $VO$ fără să arate că e perpendiculară pe bază.
• De ce e corect: într-o piramidă regulată, piciorul înălțimii este centrul bazei; la baza pătrată $ABCD$, centrul este intersecția diagonalelor, $O$. Deci $VO\perp (ABC)$, iar $VO$ este înălțimea. Conținuturile numesc explicit „înălțimea unei piramide” la perpendicularitate. Greșeala tipică: o apotemă ($VM$, cu $M$ mijlocul unei laturi a bazei) sau o muchie laterală.

Itemul 2, cu răspuns scurt (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 1.4. Identificarea unor figuri plane sau a unor elemente caracteristice acestora în configurații spațiale date.
• Activitatea de învățare: „Identificarea pozițiilor relative a două plane în configurații spațiale simple și în realitatea înconjurătoare”.
• Itemul: Se consideră cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Scrieți câte dintre fețele cubului sunt conținute în plane perpendiculare pe planul $(ABC)$.
• Răspunsul așteptat (barem): $4$ — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Avantajul tipului de item: elevul produce singur răspunsul, nu îl recunoaște dintr-o listă.
• Dezavantajul tipului de item: acoperă o singură relație din configurație și nu arată raționamentul; aici, numărul 4 nu arată criteriul folosit pentru fiecare față.
• De ce e corect: fețele laterale $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$, $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$, $CD{D}^{\prime }{C}^{\prime }$ și $DA{A}^{\prime }{D}^{\prime }$ conțin muchii laterale, perpendiculare pe planul bazei (de exemplu, $A{A}^{\prime }\perp (ABC)$), deci sunt perpendiculare pe $(ABC)$. Fața $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ e paralelă cu baza, iar $ABCD$ e chiar în planul $(ABC)$. Distractorii naturali sunt 5 (cu fața de sus) și 6.

Itemul 3, de tip alegere multiplă (10 puncte)

• Competența specifică evaluată: 4.4. Descrierea în limbaj matematic a elementelor unei configurații geometrice.
• Activitatea de învățare: „Verificarea validității unor afirmații legate de pozițiile relative ale dreptelor și/sau ale planelor prin exemple și contraexemple”.
• Itemul: Încercuiți litera corespunzătoare singurei afirmații adevărate.
  • A. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe două drepte dintr-un plan, atunci ea este perpendiculară pe acel plan.
  • B. Dacă o dreaptă este perpendiculară pe un plan, atunci ea este perpendiculară pe orice dreaptă conținută în acel plan.
  • C. Două drepte perpendiculare pe aceeași dreaptă sunt paralele.
  • D. Dacă două plane sunt perpendiculare, atunci orice dreaptă conținută în unul dintre ele este perpendiculară pe celălalt.
• Răspunsul așteptat (barem): B — 10 puncte; orice alt răspuns — 0 puncte.
• Avantajul tipului de item: verifică înțelegerea definițiilor și a criteriilor de perpendicularitate, nu doar calculul; fiecare variantă falsă corespunde unei confuzii anume.
• Dezavantajul tipului de item: răspunsul se poate ghici (25 %), iar elevul nu își arată raționamentul.
• De ce e corect: B este chiar definiția dreptei perpendiculare pe un plan. Contraexemplele din cubul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$:
  • A: $A{D}^{\prime }\perp AB$ și $A{D}^{\prime }\perp DC$, dar $AB\parallel DC$, iar $A{D}^{\prime }$ nu e perpendiculară pe $(ABC)$. Criteriul cere două drepte concurente din plan;
  • C: $AB\perp A{A}^{\prime }$ și $AD\perp A{A}^{\prime }$, dar $AB$ și $AD$ se intersectează. În spațiu, cele două drepte pot fi și concurente, și necoplanare;
  • D: $(ABC)\perp (AD{D}^{\prime })$, dar dreapta $AC$ din $(ABC)$ nu e perpendiculară pe $(AD{D}^{\prime })$.

Itemul 4, de tip întrebare structurată (30 de puncte)

• Competențele specifice evaluate: 3.4. Folosirea unor proprietăți de paralelism sau perpendicularitate pentru analizarea pozițiilor relative ale dreptelor și planelor (a); 4.4. Descrierea în limbaj matematic a elementelor unei configurații geometrice (b); 5.4. Alegerea reprezentărilor geometrice adecvate în vederea descrierii unor configurații spațiale și a calculării unor elemente metrice (c).
• Activitățile de învățare, câte una pentru fiecare competență:
  • a), 3.4: „Determinarea perpendicularității în spațiu, între drepte și/sau plane cu ajutorul proprietăților relațiilor de paralelism și de perpendicularitate în configurații simple”;
  • b), 4.4: „Identificarea și utilizarea axiomelor, teoremelor directe/reciproce pentru rezolvarea de probleme în configurații spațiale simple”;
  • c), 5.4: „Argumentarea demersului de rezolvare a unei probleme de geometrie în spațiu”.
• Itemul: Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu $AB=6$ cm și $AC=8$ cm. Pe planul triunghiului se ridică perpendiculara $AD$, cu $AD=3,6$ cm, iar $M$ este piciorul perpendicularei din $A$ pe dreapta $BC$.
  • a) Arătați că dreptele $AD$ și $BC$ sunt perpendiculare.
  • b) Demonstrați că $DM\perp BC$.
  • c) Calculați distanța de la punctul $D$ la dreapta $BC$, justificând fiecare pas.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • a) $AD\perp (ABC)$ — 4 puncte; $BC\subset (ABC)$, deci $AD\perp BC$ — 6 puncte.
  • b) $AD\perp (ABC)$, $AM\perp BC$, cu $AM$ și $BC$ în planul $(ABC)$ — 5 puncte; din teorema celor trei perpendiculare, $DM\perp BC$ — 5 puncte.
  • c) $BC=\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm — 2 puncte; $AM=\frac{AB\cdot AC}{BC}=4,8$ cm — 3 puncte; din b), distanța de la $D$ la $BC$ este $DM$ — 2 puncte; $AD\perp AM$ (pentru că $AM\subset (ABC)$), deci $DM=\sqrt{3,6^2+4,8^2}=\sqrt{36}=6$ cm — 3 puncte.
• Avantajul tipului de item: evaluează gradat, pe aceeași configurație, o perpendicularitate (a), aplicarea unei teoreme (b) și un calcul argumentat (c).
• Dezavantajul tipului de item: subîntrebările sunt legate: c) folosește concluzia de la b). De aceea, la c) se acordă punctajul de calcul dacă elevul folosește corect $DM\perp BC$, chiar dacă la b) nu a justificat-o complet.
• De ce respectă formatul: materialul comun (triunghiul și perpendiculara pe planul lui) e urmat de trei subîntrebări de dificultate crescătoare, toate în conținuturile de perpendicularitate: dreaptă perpendiculară pe un plan, teorema celor trei perpendiculare, calculul distanței de la un punct la o dreaptă. Valorile sunt alese ca rezultatul să fie exact: $3,6^2+4,8^2=12,96+23,04=36$.

Itemul 5, de tip rezolvare de probleme (30 de puncte)

• Competența specifică evaluată: 6.4. Modelarea unor situații practice în limbaj geometric, utilizând configurații spațiale.
• Activitatea de învățare: „Transpunerea unor situații date în limbajul specific geometriei, interpretarea rezultatelor obținute și corelarea răspunsului geometric cu restricțiile impuse de realitatea înconjurătoare”.
• Itemul: O sală de clasă are forma unui paralelipiped dreptunghic cu lungimea de $5$ m, lățimea de $4$ m și înălțimea de $3$ m. Pentru o serbare, elevii vor să întindă o ghirlandă în linie dreaptă, de la un colț al podelei până la colțul tavanului cel mai depărtat de el. Ghirlandele se vând doar la metru întreg. Aflați ce lungime are cea mai scurtă ghirlandă pe care o pot cumpăra, justificând de ce triunghiurile folosite în calcul sunt dreptunghice.
• Răspunsul așteptat (barem):
  • modelarea: sala este paralelipipedul $ABCD{A}^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, cu $AB=5$ m, $BC=4$ m, $A{A}^{\prime }=3$ m, iar ghirlanda este diagonala $A{C}^{\prime }$ — 4 puncte;
  • triunghiul $ABC$ e dreptunghic în $B$: $A{C}^2=5^2+4^2=41$ — 5 puncte;
  • $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ și $AC\subset (ABC)$, deci $C{C}^{\prime }\perp AC$, iar triunghiul $AC{C}^{\prime }$ e dreptunghic în $C$ — 6 puncte;
  • $A{C}^{\prime 2}=41+3^2=50$, deci $A{C}^{\prime }=5\sqrt{2}$ m — 5 puncte;
  • comparația exactă: $7^2=49<50<64=8^2$, deci $7<5\sqrt{2}<8$ — 6 puncte;
  • răspunsul final: o ghirlandă de $7$ m nu ajunge, deci trebuie cumpărată una de $8$ m — 4 puncte.
• Avantajul tipului de item: evaluează modelarea unei situații reale cu un corp geometric și corelarea rezultatului cu o restricție practică (vânzarea la metru întreg).
• Dezavantajul tipului de item: corectarea cere un barem pe etape, iar rezolvarea durează mai mult; elevii pot alege și alte diagonale echivalente, care trebuie punctate la fel.
• De ce e corect: cu aproximarea $5\sqrt{2}\approx 7,07$, unii elevi ar rotunji „corect matematic” la $7$ m și ar cumpăra o ghirlandă prea scurtă. Decizia se ia pe comparația exactă $49<50$, fără aproximări. Perpendicularitatea muchiei $C{C}^{\prime }$ pe planul podelei e exact conținutul „înălțimea … paralelipipedului dreptunghic”, iar triunghiul $AC{C}^{\prime }$ este o secțiune diagonală, tot din lista de conținuturi.

Dacă dai testul la clasă: legătura cu standardele din 2026

Standardele naționale de evaluare au fost aprobate prin OMEC nr. 4615/04.08.2026 și publicate în Monitorul Oficial nr. 674 bis/14.08.2026, deci la peste trei ani după proba din 12 iulie 2023. Baremul din 2023 nu le cere. Se aplică însă la clasă din anul școlar 2026–2027. Încadrarea de mai jos e a noastră, după descriptorii clasei a VIII-a din Monitorul Oficial (paginile 934–937):

Încadrarea pe standarde nu coincide peste tot cu competența declarată. La itemul 3, programa pune verificarea afirmațiilor prin contraexemple la 4.4, iar standardele 4.4 vorbesc despre proiecții și distanțe. La itemul 4 a), descriptorul De bază de la VIII.CS.3.4 se referă la muchiile corpurilor geometrice; configurația itemului nu e un corp. Standardele tuturor claselor sunt pe pagina standardelor de evaluare la matematică.

Greșeli frecvente la Subiectul al III-lea, la această unitate

• Avantajul sau dezavantajul scris doar o dată, pentru toată proba: baremul le punctează la fiecare item.
• Avantaj al itemului concret, nu al tipului („e o figură cunoscută”): criteriul cere avantajul utilizării acestui tip de item.
• Itemi de paralelism la o probă de perpendicularitate: secțiuni paralele cu baza sau trunchiuri, care țin de partea „Paralelism”.
• Competența și activitatea din blocuri diferite: de exemplu, competența 6.4 cu activitatea „Argumentarea demersului de rezolvare…”, care e în blocul 5.4.
• Alegere multiplă cu două afirmații adevărate, de obicei din cauza unei formulări vagi („o dreaptă perpendiculară pe un plan e perpendiculară pe drepte din plan”).
• Rezolvare de probleme fără restricție practică: fără decizia de la final, problema se reduce la un calcul de diagonală.

Materiale pentru unitate

• Programa clasei a VIII-a, cu toate competențele: programa de matematică la clasa a VIII-a.
• Lecțiile unității: Dreapta perpendiculară pe un plan, Plane perpendiculare, Proiecții pe un plan, Unghiul dintre o dreaptă și un plan, Unghiul diedru și unghiul a două plane, Teorema celor trei perpendiculare, Distanța de la un punct la un plan, distanțe în spațiu.
• Teste pentru elevi: perpendicularitate și proiecții în spațiu și teorema celor trei perpendiculare și distanțe.

Întrebări frecvente

Unde se pierd cele mai multe puncte la titularizarea la matematică din 2023?

Pe pașii pe care baremul îi punctează explicit. La I.1.c, pe pozitivitatea celor doi discriminanți, din suma și produsul lor, și pe observația că x1 și x2 sunt diferite, deci cele patru soluții sunt distincte. La I.2.c, pe egalitatea BD = MD, din bisectoare și din paralela DE, și pe paralelogramul BCPN, care dă NP = BC. La II.1.c, pe alegerea unui x0 mai mare decât 1, care elimină modulele. La didactică, când avantajul și dezavantajul lipsesc la unii itemi sau nu sunt ale tipului de item: baremul le punctează cu câte 1 punct la fiecare item.

Unde găsesc subiectul și baremul oficial de la titularizare matematică 2023?

Gazda oficială, subiecte2023.edu.ro, nu mai răspunde la 17.10.2026. Arhiva oficială Titularizare_2023.zip (aproximativ 27 MB, cu toate disciplinele) se găsește în copia păstrată de Internet Archive (web.archive.org), captura din 17 iulie 2024, pe care am verificat-o: dimensiunea și data fișierului coincid cu cele de pe serverul oficial, iar PDF-urile au antetul CNPEE și data probei. Fișierele de matematică sunt Tit_109_Matematica_P_2023_var_03_LRO.pdf (subiectul) și Tit_109_Matematica_P_2023_bar_03_LRO.pdf (baremul). Pe pagina asta, amândouă sunt transcrise integral.

Din ce clasă a fost Subiectul al III-lea la titularizare matematică 2023?

Din clasa a VIII-a. Subiectul dă o secvență din programa școlară de matematică (OMEN nr. 3393/28.02.2017), competențele specifice 1.4–6.4 și conținuturile unității „Elemente ale geometriei în spațiu”. Cere o probă de evaluare cu cinci itemi la finalul unității „Elemente ale geometriei în spațiu. Perpendicularitate”, cu un avantaj și un dezavantaj pentru fiecare tip de item.

Ce itemi se potrivesc la finalul unității „Perpendicularitate” de la clasa a VIII-a?

Itemi care rămân la drepte și plane perpendiculare, proiecții, unghiuri și distanțe. La completare, înălțimea unei piramide regulate. La răspuns scurt, câte fețe ale cubului sunt perpendiculare pe bază. La alegere multiplă, patru afirmații despre perpendicularitate, una singură adevărată, celelalte infirmate prin contraexemple din cub. La întrebarea structurată, o perpendiculară pe planul unui triunghi și teorema celor trei perpendiculare. La rezolvarea de probleme, diagonala unei camere, cu o decizie practică la final.

Mai departe

• Titularizare matematică: toate subiectele, programa și media: pagina examenului, cu tabelul pe ani.
• Titularizare matematică 2024 și 2022: probele vecine, rezolvate la fel.
• Calculatorul de medie la titularizare: media de repartizare din nota la proba scrisă și nota la inspecție.
• Programa școlară de matematică: programele în vigoare la toate clasele.

Sursele

• Subiectul și baremul: Ministerul Educației, Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație, „Concursul național de ocupare a posturilor didactice/catedrelor vacante/rezervate din învățământul preuniversitar, 12 iulie 2023, Probă scrisă, Matematică, Varianta 3”, subiect și barem, arhiva Titularizare_2023.zip de pe subiecte2023.edu.ro, în copia păstrată de Internet Archive (captura din 17.07.2024, SHA-256 fb72ea53b7d10310e60f7512b6f5f00d42ba511f19e99f9a1be4771ac08c82cc).
• Programa școlară: OMEN nr. 3393/28.02.2017, Anexa nr. 2.
• Programa de concurs în vigoare la 17.10.2026: Programa pentru disciplina Matematică, Concursul național de ocupare a posturilor didactice (București, 2020), aprobată prin OMEC nr. 5975/09.11.2020.
• Standardele: OMEC nr. 4615/04.08.2026, anexa nr. 29, Monitorul Oficial, Partea I, nr. 674 bis/14.08.2026, paginile 934–937.

Verificat de noi pe 17.10.2026: transcrierea subiectului și a baremului e comparată cu imaginea fiecărei pagini a PDF-urilor din arhivă, inclusiv formulele: modulele din legea de compoziție, mulțimile de la I.1.c și II.1.c, radicalii și limitele de integrare apar corect doar în imagine. Simbolul Δ lipsește din imaginea baremului la I.1 (discriminanții) și la I.2.b (triunghiurile asemenea) și a fost confirmat din stratul de text. Fiecare rezultat al rezolvării a fost refăcut prin calcul simbolic (scriptul de control, inclusiv geometria pe coordonate generale și pe triunghiuri aleatoare, răspunsurile itemilor de didactică și suma punctajelor lor).