Subiect Bac matematică pedagogic, august 2015 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2015 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^4\right):\frac{33}{16}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ pentru care $f(2)+f(-2)=4$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x^2+2}=3^{3x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $200$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $O(0,0)$, $A(-3,4)$ și $B(3,4)$. Determinați distanța de la punctul $O$ la punctul $M$, știind că $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria triunghiului $ABC$, știind că $m(\sphericalangle B)=45^{\circ }$ și $AB=AC=\sqrt{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-2015$.

1. (5 puncte) Arătați că $1007\ast 1008=0$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=2015$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că $x\ast x=2015$.

5. (5 puncte) Arătați că $x\ast (x+2015)=(x+1007)\ast (x+1008)$, pentru orice număr real $x$.

6. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^x\ast 25^x=-1985$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 3& 4\end{array}\right)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=3$.

2. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$ astfel încât $B-A=4I_2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

3. (5 puncte) Pentru $a=0$, determinați numărul real $b$ pentru care $\det B=9$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că $AB=BA$.

5. (5 puncte) Arătați că inversa matricei $A$ este matricea $\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{3}\\ -1& \frac{1}{3}\end{array}\right)$.

6. (5 puncte) Pentru $a=b=1$, rezolvați în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $B\cdot X=A$.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare urmează rândurile baremului oficial, iar cifra din paranteza de la sfârșitul unui rând spune cât valorează acel rând. Cerințele se împart în două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3); numai cerința II.6 se împarte în trei (2 + 2 + 1).

Exercițiul 1. (5 p) — o putere de fracție și un cât de numere egale.

Exponentul $4$ se aplică atât numărătorului, cât și numitorului: ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1^4}{2^4}=\frac{1}{16}$. Cum $2=\frac{32}{16}$, paranteza are valoarea $$2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^4=2+\frac{1}{16}=\frac{33}{16}\text{(3 p)}.$$ Deîmpărțitul și împărțitorul sunt egale și nenule, iar un număr nenul împărțit la el însuși dă $1$: $\frac{33}{16}:\frac{33}{16}=1$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — parametrul funcției $f(x)=x+a$.

Valorile funcției sunt $f(2)=2+a$ și $f(-2)=-2+a$; termenii $2$ și $-2$ se reduc în sumă: $$f(2)+f(-2)=(2+a)+(-2+a)=2a\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț devine $2a=4$, deci $\mathbf{a}=2$. Verificare: pentru $a=2$ avem $f(2)=4$ și $f(-2)=0$, iar $4+0=4$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu aceeași bază.

Cele două puteri au baza $3$, mai mare decât $1$, deci sunt egale numai dacă exponenții sunt egali. Ecuația se reduce la $x^2+2=3x$, iar mutând pe $3x$ în stânga cu semn schimbat, $$x^2+2=3x⟺x^2-3x+2=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $\Delta =9-8=1$, iar rădăcinile sunt $\frac{3\pm 1}{2}$, adică $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{x}=2$. Verificare: la $x=1$ exponenții sunt $3$ și $3$, iar la $x=2$ sunt $6$ și $6$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două scumpiri succesive cu câte $10\%$.

Prima scumpire adaugă $10\%\cdot 200=20$ de lei, deci prețul devine $200+20=220$ de lei (2 p).

A doua scumpire se calculează din prețul nou, de $220$ de lei: $10\%\cdot 220=22$, iar prețul final este $220+22=242$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea segmentului dintre origine și mijlocul lui $AB$.

Abscisa mijlocului $M$ este media absciselor capetelor, iar ordonata, media ordonatelor lor: $x_M=\frac{-3+3}{2}=0$ și $y_M=\frac{4+4}{2}=4$, deci $M(0,4)$ (2 p).

Distanța de la $O(0,0)$ la $M(0,4)$ este $OM=\sqrt{(0-0{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{16}=4$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi isoscel, cunoscând unghiul de la bază.

Din $AB=AC$ rezultă că unghiurile de la baza $BC$ sunt egale: $m(\sphericalangle C)=m(\sphericalangle B)=45^{\circ }$. Suma unghiurilor triunghiului este $180^{\circ }$, deci $m(\sphericalangle A)=180^{\circ }-45^{\circ }-45^{\circ }=90^{\circ }$. Triunghiul $ABC$ are unghiul drept în $A$, iar catetele sunt $AB$ și $AC$, așadar $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ Produsul este $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, iar $\frac{2}{2}=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

În $x\ast y=x+y-2015$ se pun $x=1007$ și $y=1008$: $$1007\ast 1008=1007+1008-2015\text{(3 p)}.$$ Suma $1007+1008$ este $2015$, deci rezultatul este $2015-2015=0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — asociativitatea legii.

Un triplet oarecare $x$, $y$, $z$ de numere reale se compune în două moduri. Mai întâi se calculează $x\ast y=x+y-2015$, apoi se compune rezultatul cu $z$: $$(x\ast y)\ast z=(x+y-2015)+z-2015=x+y+z-4030\text{(2 p)}.$$ În al doilea mod se calculează $y\ast z=y+z-2015$, apoi se compune $x$ cu rezultatul: $$x\ast (y\ast z)=x+(y+z-2015)-2015=x+y+z-4030.$$ Cele două expresii coincid, deci $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice numere reale $x$, $y$, $z$, iar legea „$\ast$” este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — verificarea elementului neutru $e=2015$.

Numărul $2015$ este element neutru dacă nu schimbă niciun $x$ real, indiferent de partea pe care stă. Cu $2015$ în dreapta: $x\ast 2015=x+2015-2015=x$ (2 p).

Cu $2015$ în stânga: $2015\ast x=2015+x-2015=x$. Așadar $2015\ast x=x=x\ast 2015$ pentru orice $x$ real, deci $e=2015$ este elementul neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — ecuația $x\ast x=2015$.

Compunerea lui $x$ cu el însuși se obține punând $x$ în locul ambilor operanzi, deci ecuația este $$x+x-2015=2015\text{(3 p)}.$$ Termenii $x+x$ dau $2x$, iar numărul $2015$ din stânga trece în dreapta cu plus: $2x=4030$, adică $\mathbf{x}=2015$. Verificare: $2015\ast 2015=2015+2015-2015=2015$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o egalitate între două compuneri.

Membrul stâng este $x\ast (x+2015)=x+(x+2015)-2015=2x$ (2 p).

Membrul drept este $(x+1007)\ast (x+1008)=(x+1007)+(x+1008)-2015=2x+2015-2015=2x$. Ambii membri sunt egali cu $2x$, deci egalitatea are loc pentru orice număr real $x$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — ecuația $5^x\ast 25^x=-1985$.

Din definiția legii, $5^x\ast 25^x=5^x+25^x-2015$, iar ecuația devine $5^x+25^x-2015=-1985$, adică $5^x+25^x-30=0$. Baza $25$ este $5^2$, deci $25^x$ este $5^{2x}$, adică pătratul lui $5^x$, și obținem $$5^x+5^{2x}-30=0⟺{\left(5^x\right)}^2+5^x-30=0\text{(2 p)}.$$ Trinomul se descompune: $\left(5^x-5\right)\left(5^x+6\right)={\left(5^x\right)}^2+6\cdot 5^x-5\cdot 5^x-30={\left(5^x\right)}^2+5^x-30$. Un produs este nul când un factor este nul. Din $5^x-5=0$ rezultă $5^x=5=5^1$, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Celălalt factor, $5^x+6$, ar cere ca $5^x$ să ia valoarea $-6$; aceasta nu convine, fiindcă $5^x>0$ pentru orice $x$ real, deci ecuația cu $-6$ nu are soluții (1 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A$.

Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\end{array}\right)$ se scade din produsul diagonalei principale produsul diagonalei secundare: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\end{array}\right|=1\cdot 0-(-1)\cdot 3\text{(3 p)}.$$ Rămâne $0+3=3$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — condiția $B-A=4I_2$.

Matricele se scad pe poziții, iar $4I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$: $$B-A=\left(\begin{array}{cc}a-1& b+1\\ 0& 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Dacă două matrice sunt egale, fiecare element al uneia coincide cu elementul aflat în același loc în cealaltă. Stânga sus dă $a-1=4$, adică $\mathbf{a}=5$; dreapta sus dă $b+1=0$, adică $\mathbf{b}=-1$; celelalte două poziții dau $0=0$ și $4=4$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — $\det B=9$ pentru $a=0$.

Pentru $a=0$ matricea este $B=\left(\begin{array}{cc}0& b\\ 3& 4\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $$\det B=\left|\begin{array}{cc}0& b\\ 3& 4\end{array}\right|=0\cdot 4-b\cdot 3=-3b\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $\det B=9$ devine $-3b=9$, deci $\mathbf{b}=-3$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — egalitatea $AB=BA$.

Produsele se fac linie cu coloană, element cu element: $$AB=\left(\begin{array}{cc}1\cdot a+(-1)\cdot 3& 1\cdot b+(-1)\cdot 4\\ 3\cdot a+0\cdot 3& 3\cdot b+0\cdot 4\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a-3& b-4\\ 3a& 3b\end{array}\right),$$ $$BA=\left(\begin{array}{cc}a\cdot 1+b\cdot 3& a\cdot (-1)+b\cdot 0\\ 3\cdot 1+4\cdot 3& 3\cdot (-1)+4\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+3b& -a\\ 15& -3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $AB=BA$ cere ca toate cele patru perechi de elemente să fie egale: $a-3=a+3b$, $b-4=-a$, $3a=15$ și $3b=-3$. Din prima, $3b=-3$, deci $b=-1$; din a treia, $a=5$. Celelalte două ecuații se verifică: $-1-4=-5=-a$ și $3b=-3$. Așadar $\mathbf{a}=5$ și $\mathbf{b}=-1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — inversa lui $A$.

Matricea din enunț este inversa lui $A$ dacă produsul lor, în ambele ordini, este $I_2$. Mai întâi, cu $A$ scrisă prin elementele ei: $$\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{3}\\ -1& \frac{1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 0+(-1)\cdot (-1)& 1\cdot \frac{1}{3}+(-1)\cdot \frac{1}{3}\\ 3\cdot 0+0\cdot (-1)& 3\cdot \frac{1}{3}+0\cdot \frac{1}{3}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(3 p)}.$$ Apoi, în ordinea inversă: $$\left(\begin{array}{cc}0& \frac{1}{3}\\ -1& \frac{1}{3}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 3& 0\cdot (-1)+\frac{1}{3}\cdot 0\\ (-1)\cdot 1+\frac{1}{3}\cdot 3& (-1)\cdot (-1)+\frac{1}{3}\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2.$$ Ambele produse sunt $I_2$, deci matricea din enunț este inversa lui $A$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — ecuația matriceală $B\cdot X=A$.

Pentru $a=b=1$ matricea este $B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& 4\end{array}\right)$, cu $\det B=1\cdot 4-1\cdot 3=1\ne 0$, deci $B$ are inversă. Pe diagonala principală se schimbă elementele, iar pe cea secundară li se schimbă semnul, apoi se împarte la determinant: $$B^{-1}=\frac{1}{1}\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Se înmulțește $B\cdot X=A$ la stânga cu $B^{-1}$: $B^{-1}BX=B^{-1}A$, iar $B^{-1}B=I_2$, deci $X=B^{-1}A$: $$X=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ -3& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4\cdot 1+(-1)\cdot 3& 4\cdot (-1)+(-1)\cdot 0\\ (-3)\cdot 1+1\cdot 3& (-3)\cdot (-1)+1\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -4\\ 0& 3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

Pentru părinți și profesori

Textul de mai jos este al variantei 1 de la proba E. c din august 2015, la matematică M_pedagogic, dată în filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Lucrarea cuprinde trei subiecte, toate obligatorii; fiecare are șase cerințe de câte 5 puncte, așa că cele 18 cerințe valorează în total 90 de puncte. Timpul de lucru a fost de trei ore. La cele 90 de puncte ale cerințelor se adaugă oficiul. Se acordă 10 puncte din oficiu. Rezolvările și ghidajul interactiv sunt scrise de Matepolis; enunțurile au rămas întocmai ca în foaie, iar etapele urmează rândurile punctate ale baremului.

Cuprinsul foii. Primul subiect adună șase probleme independente: valoarea unei expresii cu o putere de fracție și un cât, parametrul $a$ al funcției $f(x)=x+a$, aflat din suma $f(2)+f(-2)$, ecuația exponențială $3^{x^2+2}=3^{3x}$, prețul unui obiect după două scumpiri succesive de câte $10\%$, lungimea segmentului care unește originea reperului cu mijlocul unui segment dat și aria unui triunghi isoscel în care un unghi are $45^{\circ }$. Al doilea subiect pornește de la legea $x\ast y=x+y-2015$ și cere o valoare, asociativitatea, verificarea elementului neutru $2015$, o ecuație cu doi operanzi egali, o egalitate între două compuneri și o ecuație exponențială. Al treilea subiect lucrează cu matricele $A$ și $B$ și cere $\det A$, condiția $B-A=4I_2$, un determinant pentru $a=0$, egalitatea $AB=BA$, verificarea inversei lui $A$ și ecuația $B\cdot X=A$.

Ce se reia din programă. Itemii se sprijină pe programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), în vigoare începând cu Bacalaureatul din 2015, prin urmare și la această variantă din august 2015. Clasa a IX-a aduce operațiile cu numere reale, funcția de gradul I, ecuația de gradul al doilea și triunghiul dreptunghic. Clasa a X-a aduce ecuațiile exponențiale, procentele și calculele cu puncte din reper. Clasa a XI-a aduce legea de compoziție, iar clasa a XII-a matricele, determinantul, inversa și ecuația matriceală. Înainte de itemul 3 poate fi reluată lecția Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice, iar înainte de cerința III.6 lecția Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Pași în care se strică rezultatul, cu dovada.

• Exercițiul 1: puterea ${\left(\frac{1}{2}\right)}^4$ înseamnă patru factori egali cu $\frac{1}{2}$ și are valoarea $\frac{1}{16}$; dacă exponentul s-ar înmulți cu numitorul, paranteza ar fi $\frac{17}{8}$, iar câtul $\frac{34}{33}$, nu $1$.
• Exercițiul 2: pentru $x=-2$ funcția dă $f(-2)=-2+a$, nu $2+a$. Dacă am scrie $f(-2)=2+a$, suma ar fi dublul lui $2+a$, iar condiția din enunț ar da $a=0$, dar pentru $a=0$ suma este $f(2)+f(-2)=2+(-2)=0$, nu $4$.
• Exercițiul 3: termenul $3x$ trece în stânga cu semn schimbat, deci ecuația este $x^2-3x+2=0$. Cu $+3x$ rădăcinile ar fi $-1$ și $-2$, dar pentru $x=-1$ exponenții sunt $3$ și $-3$, iar $3^3\ne 3^{-3}$.
• Exercițiul 4: a doua scumpire se aplică prețului de $220$ de lei, nu celui de $200$. Cu $10\%$ din $200$, adică $20$ de lei, s-ar ajunge la $240$ de lei, nu la $242$.
• Exercițiul 5: distanța cerută este până la mijlocul $M$, nu până la un capăt al segmentului: $OA=\sqrt{(-3{)}^2+4^2}=5$, dar $OM=4$.
• Exercițiul 6: produsul catetelor, $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$, este aria pătratului cu latura $\sqrt{2}$; triunghiul este jumătate din el, deci aria este $1$, nu $2$.
• Cerința II.2: un singur triplet nu dovedește asociativitatea. Legea $x\diamond y=2x+y$ are $(0\diamond y)\diamond z=0\diamond (y\diamond z)$ pentru orice $y$ și $z$, dar $(1\diamond 2)\diamond 3=11$, iar $1\diamond (2\diamond 3)=9$.
• Cerința II.3: elementul neutru lasă pe $x$ neschimbat din ambele părți, iar verificarea unei singure părți poate înșela. Pentru legea $x\diamond y=x-y$ avem $x\diamond 0=x$ oricare ar fi $x$, însă $0\diamond 3=-3$ și nu $3$, așa că $0$ nu este element neutru al ei.
• Cerința II.4: din $2x-2015=2015$ numărul $2015$ trece în dreapta cu plus, deci $2x=4030$. Dacă trece cu minus, ar ieși $2x=0$ și $x=0$, dar $0\ast 0=-2015$, nu $2015$.
• Cerința II.5: în fiecare membru se scade $2015$. Dacă într-un membru scăderea lipsește, $(x+1007)+(x+1008)=2x+2015$, iar celălalt membru este $2x$.
• Cerința II.6: puterea $25^x$ este pătratul lui $5^x$, nu dublul lui. Cu dublul, ecuația ar fi $3\cdot 5^x=30$, deci $5^x=10$, dar atunci $25^x=100$, iar suma $5^x+25^x$ ar fi $110$, nu $30$.
• Cerința III.2: elementul din dreapta sus al lui $B-A$ este $b-(-1)=b+1$, nu $b-1$. Din $b-1=0$ ar ieși $b=1$, dar pentru $b=1$ elementul este $1+1=2$, nu $0$.
• Cerința III.4: o singură egalitate de elemente nu ajunge; stânga sus dă numai $b=-1$. Pentru $a=0$ și $b=-1$ avem $AB=\left(\begin{array}{cc}-3& -5\\ 0& -3\end{array}\right)$, dar $BA=\left(\begin{array}{cc}-3& 0\\ 15& -3\end{array}\right)$.
• Cerința III.5: produsul de matrice se face linie cu coloană; în stânga sus, $1\cdot 0+(-1)\cdot (-1)=1$, nu $1\cdot 0=0$, cât ar da produsul elementelor de pe aceleași poziții.
• Cerința III.6: din $B\cdot X=A$, inversa lui $B$ înmulțește la stânga, deci $X=B^{-1}A$. Ordinea $A{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}7& -2\\ 12& -3\end{array}\right)$ nu convine: $B\cdot A{B}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}19& -5\\ 69& -18\end{array}\right)\ne A$.

Ce înseamnă literele. Exercițiul 2: $a$ este parametrul lui $f$ și, în același timp, numărul căutat. Exercițiul 3: $x$ apare numai în exponenți și este necunoscuta. Exercițiul 5: $O$ este originea reperului, $A$ și $B$ sunt puncte date, iar $M$ este mijlocul lui $AB$; itemul 6: $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului. Subiectul II: cerința II.2 are trei numere reale oarecare, $x$, $y$ și $z$; cerința II.5 are un singur $x$ oarecare, pe când la cerințele II.4 și II.6 litera $x$ este necunoscuta; numărul $e=2015$ din cerința II.3 se află în enunț și rămâne de verificat. Subiectul III: $A$ este matricea fixă din cadru, iar $a$ și $b$ sunt elementele lui $B$, necunoscute la cerințele III.2 și III.4; la cerința III.3 avem $a=0$ și $b$ căutat, iar la cerința III.6 avem $a=b=1$ și matricea căutată $X$; $I_2$ este matricea unitate din enunțul cerinței III.2.