Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2020 (varianta 6) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2020 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră o progresie aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{1} = 5$ și $r = - 2$ . Calculați $a_{3}$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați numărul real $a$ , știind că punctul $A (1, 2)$ aparține graficului funcției $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} + a x + 3$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x = x^{2} - 2$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un pix costă de cinci ori mai mult decât un creion și de șapte ori mai puțin decât un stilou. Determinați cât costă un creion, dacă un stilou costă $70$ de lei.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră un paralelogram $A B C D$ și $O$ , punctul de intersecție a dreptelor $A C$ și $B D$ . Arătați că $O C = \frac{1}{2} (A B + A D)$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

În triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , avem $A C = 2 A B$ și $B C = 5$ . Arătați că perimetrul triunghiului $A B C$ este egal cu $35 + 5$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x^{2} - x y + y^{2}$ .

1. (5 puncte) Arătați că $1 \circ 2 = 3$ .

2. (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.

3. (5 puncte) Dacă $a = (1 \circ 3) \circ 2$ și $b = 1 \circ (3 \circ 2)$ , calculați $b - a$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 4$ .

5. (5 puncte) Demonstrați că, dacă $x$ și $y$ sunt numere reale pentru care $x \circ y = 0$ , atunci $x = y = 0$ .

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $3 \circ 2^{x} = 7$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A (a) = (10 a 1)$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det (A (5)) = 1$ .

2. (5 puncte) Calculați $det (A (1) + A (2))$ .

3. (5 puncte) Demonstrați că $A (a) \cdot A (b) = A (a + b)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .

4. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A (a) \cdot A (2 a) = A (30)$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (I_{2} + x A (x)) = 25$ .

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $A (n) \cdot A (n) = A (2 n^{2})$ .

Barem și răspunsuri

Rândurile soluțiilor sunt cele ale foii oficiale de evaluare, cu punctele lor îngroșate la capăt (2 sau 3 puncte pe rând, 5 pe cerință). Adunate, cele 18 cerințe dau 90 de puncte, iar cele 10 din oficiu aduc totalul la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — al treilea termen al unei progresii aritmetice.

În progresia aritmetică, termenul următor este termenul curent plus rația $r$ , deci $a_{2} = a_{1} + r$ și $a_{3} = a_{2} + r = a_{1} + 2 r$ (3 p). Cu $a_{1} = 5$ și $r = - 2$ rezultă $a_{3} = 5 + 2 \cdot (- 2) = 5 - 4 = 1$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — un punct pe graficul unei funcții.

Punctul $A (1, 2)$ aparține graficului lui $f$ exact atunci când $f (1) = 2$ : abscisa $1$ se pune în formulă, iar ordonata $2$ este valoarea obținută. Aceasta înseamnă $1^{2} + a \cdot 1 + 3 = 2, adic \overset{a}{˘} 1 + a + 3 = 2 (3 p) .$ Rămâne $a + 4 = 2$ , deci $a = - 2$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radicali de ordinul $2$ .

Prin ridicarea la pătrat a celor doi membri se obține $x = x^{2} - 2$ , adică $x^{2} - x - 2 = 0$ (3 p). Discriminantul este $Δ = (- 1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 2) = 9$ , iar $x = \frac{1 \pm 3}{2}$ , deci $x = - 1$ sau $x = 2$ . Ridicarea la pătrat poate aduce soluții străine, așa că fiecare valoare se pune în ecuația dată. La $x = - 1$ , radicalul $x = - 1$ nu este un număr real, deci $x = - 1$ nu convine. La $x = 2$ avem $2 = 2^{2} - 2 = 2$ , deci $x = 2$ convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — o problemă de prețuri.

Fie $x$ prețul unui creion, în lei. Pixul costă de cinci ori mai mult, adică $5 x$ lei, iar stiloul valorează de șapte ori prețul pixului, adică $7 \cdot 5 x = 35 x$ lei. Stiloul costă $70$ de lei, deci $35 x = 70 (3 p) .$ Rezultă $x = 70 : 35 = 2$ lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — o relație vectorială într-un paralelogram.

Regula paralelogramului, pentru paralelogramul $A B C D$ , dă $A B + A D = A C (2 p) .$ Diagonalele paralelogramului se taie în părți egale, așa că $O$ este mijlocul lui $A C$ și $O C = \frac{1}{2} A C$ . Înlocuind $A C$ cu suma de mai sus, $O C = \frac{1}{2} (A B + A D)$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — perimetrul unui triunghi dreptunghic.

Triunghiul are unghiul drept în $A$ , așa că ipotenuza este $B C$ , iar teorema lui Pitagora spune că $B C^{2} = A B^{2} + A C^{2}$ . Cu $A C = 2 A B$ și $B C = 5$ se obține $25 = A B^{2} + 4 A B^{2} = 5 A B^{2}$ , deci $A B^{2} = 5$ și, lungimea fiind pozitivă, $A B = 5$ (3 p). Atunci $A C = 25$ , iar perimetrul este $P_{A B C} = A B + B C + A C = 5 + 5 + 25 = 35 + 5 (2 p) .$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea pentru o pereche.

În definiția legii se pun $x = 1$ și $y = 2$ : $1 \circ 2 = 1^{2} - 1 \cdot 2 + 2^{2} (3 p) .$ Calculând, $1 - 2 + 4 = 3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: comutativitatea.

Comutativitatea înseamnă $x \circ y = y \circ x$ pentru toate numerele reale $x$ și $y$ . Primul membru este $x \circ y = x^{2} - x y + y^{2}$ . În $y \circ x$ operanzii își schimbă locurile, deci $x \circ y = x^{2} - x y + y^{2} = y^{2} - y x + x^{2} (3 p),$ unde ultima egalitate folosește $y x = x y$ și faptul că adunarea nu depinde de ordine. Expresia $y^{2} - y x + x^{2}$ este chiar $y \circ x$ , așadar $x \circ y = y \circ x$ pentru orice $x$ și $y$ reali, adică legea este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: două grupări ale aceleiași compuneri.

Se calculează întâi paranteza: $1 \circ 3 = 1^{2} - 1 \cdot 3 + 3^{2} = 1 - 3 + 9 = 7$ . Atunci $a = (1 \circ 3) \circ 2 = 7 \circ 2 = 7^{2} - 7 \cdot 2 + 2^{2} = 49 - 14 + 4 = 39 (3 p) .$ La fel pentru $b$ : $3 \circ 2 = 3^{2} - 3 \cdot 2 + 2^{2} = 9 - 6 + 4 = 7$ , deci $b = 1 \circ 7 = 1 - 7 + 49 = 43$ . Diferența este $b - a = 43 - 39 = 4$ (2 p). Cum $b \neq = a$ , gruparea schimbă rezultatul, așadar asociativitatea nu are loc.

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuația $x \circ x = 4$ .

Cei doi operanzi sunt egali, așa că $x \circ x = x^{2} - x \cdot x + x^{2} = x^{2} - x^{2} + x^{2} = x^{2}, pentru orice x real (3 p) .$ Ecuația devine $x^{2} = 4$ , cu soluțiile reale $x = - 2$ și $x = 2$ (2 p); într-adevăr, $(- 2)^{2} = 4$ și $2^{2} = 4$ .

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: o implicație.

Se presupune că $x$ și $y$ sunt reale și $x \circ y = 0$ , adică $x^{2} - x y + y^{2} = 0$ . Se completează pătratul în $x$ : $x^{2} - x y = (x - \frac{y}{2})^{2} - \frac{y ^{2}}{4}$ , deci $x^{2} - x y + y^{2} = (x - \frac{y}{2})^{2} + \frac{3 y ^{2}}{4},$ iar ipoteza devine $(x - \frac{y}{2})^{2} + \frac{3 y ^{2}}{4} = 0$ (2 p). Cei doi termeni ai sumei nu sunt negativi (un pătrat, respectiv $\frac{3}{4}$ înmulțit cu un pătrat), iar o sumă de numere nenegative este nulă doar dacă fiecare termen este nul. Rezultă $x - \frac{y}{2} = 0$ și $y = 0$ , de unde $x = y = 0$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: ecuația $3 \circ 2^{x} = 7$ .

În definiție $x$ devine $3$ , iar $y$ devine $2^{x}$ : $3 \circ 2^{x} = 3^{2} - 3 \cdot 2^{x} + (2^{x})^{2} = 9 - 3 \cdot 2^{x} + 2^{2 x}$ . Ecuația $9 - 3 \cdot 2^{x} + 2^{2 x} = 7$ ajunge, după scăderea lui $7$ , la $2^{2 x} - 3 \cdot 2^{x} + 2 = 0$ . Termenul $2^{2 x}$ este $2^{x} \cdot 2^{x}$ , iar $- 3 \cdot 2^{x}$ se scrie $- 2 \cdot 2^{x} - 2^{x}$ . Primii doi termeni se scriu ca $2^{x}$ înmulțit cu $2^{x} - 2$ , iar ultimii doi, $- 2^{x} + 2$ , sunt opusul lui $2^{x} - 2$ ; așadar $2^{x} - 2$ este factor comun, iar ecuația este $(2^{x} - 1) (2^{x} - 2) = 0 (3 p) .$ Din $2^{x} = 1$ rezultă $x = 0$ , iar din $2^{x} = 2$ rezultă $x = 1$ , deci $x = 0$ sau $x = 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin $2$ .

Pentru $a = 5$ se obține $A (5) = (1051)$ . Determinantul unei matrice $(p r q s)$ este $p s - q r$ , deci $det (A (5)) = 1051 = 1 \cdot 1 - 5 \cdot 0 (3 p) .$ Atunci $det (A (5)) = 1 - 0 = 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: determinantul unei sume.

Suma se calculează întâi, termen cu termen: $A (1) + A (2) = (1011) + (1021) = (2032) (2 p) .$ Apoi $det (A (1) + A (2)) = 2032 = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 0 = 4$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: produsul a două matrice de aceeași formă.

Liniile primei matrice se înmulțesc cu coloanele celei de-a doua: $A (a) \cdot A (b) = (10 a 1) \cdot (10 b 1) = (1 \cdot 1 + a \cdot 0 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0 1 \cdot b + a \cdot 1 0 \cdot b + 1 \cdot 1) = (10 b + a 1) (3 p) .$ Cum $b + a = a + b$ , matricea este $(10 a + b 1) = A (a + b)$ , pentru toate valorile reale ale lui $a$ și $b$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: o ecuație cu un produs.

Linie cu coloană, în dreapta sus apare $1 \cdot 2 a + a \cdot 1$ , iar celelalte elemente sunt $1$ , $0$ , $1$ : $A (a) \cdot A (2 a) = (10 1 \cdot 2 a + a \cdot 1 1) = (10 a + 2 a 1) = A (a + 2 a) = A (3 a) (2 p),$ pentru orice $a$ real. Egalitatea $A (3 a) = A (30)$ cere ca elementele de pe aceleași poziții să coincidă, deci $3 a = 30$ și $a = 10$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: un determinant egal cu $25$ .

Fiecare element al lui $A (x)$ se înmulțește cu $x$ , iar rezultatul se însumează cu $I_{2}$ termen cu termen: $I_{2} + x A (x) = (1001) + x (10 x 1) = (1 + x 0 x^{2} 1 + x),$ deci $det (I_{2} + x A (x)) = (1 + x) (1 + x) - x^{2} \cdot 0 = (1 + x)^{2}$ (3 p). Ecuația $(1 + x)^{2} = 25$ înseamnă $1 + x = 5$ sau $1 + x = - 5$ , adică $x = 4$ sau $x = - 6$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o egalitate între două matrice de aceeași formă.

În produsul $A (n) \cdot A (n)$ , elementul din dreapta sus este $1 \cdot n + n \cdot 1 = n + n$ , iar celelalte sunt $1$ , $0$ , $1$ , deci $A (n) \cdot A (n) = A (n + n)$ . Egalitatea $A (n + n) = A (2 n^{2})$ cere $n + n = 2 n^{2}$ , adică $2 n = 2 n^{2}$ (3 p). Ecuația se scrie $2 n (n - 1) = 0$ , deci $n = 0$ sau $n = 1$ . Mulțimea numerelor naturale conține și $0$ , deci atât $0$ , cât și $1$ sunt numere naturale și convin: $n = 0$ sau $n = 1$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Foaia din iunie 2020, varianta 6 a probei E. c) la matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare), este rezolvată aici cerință cu cerință. Lucrarea are trei subiecte, fiecare cu șase cerințe a câte 5 puncte (90 de puncte în total pentru cele 18 cerințe), iar durata ei este de trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Textele cerințelor sunt cele de pe foaia oficială; soluțiile, capcanele și întrebările de ghidaj sunt scrise de Matepolis, iar punctele stau pe rândurile foii de evaluare.

Pe scurt. Primul subiect cere, pe rând, al treilea termen al unei progresii aritmetice date prin primul termen și rație, parametrul $a$ al funcției $f (x) = x^{2} + a x + 3$ când graficul trece printr-un punct dat, ecuația $x = x^{2} - 2$ , prețul unui creion dintr-o problemă cu pix și stilou, o relație vectorială într-un paralelogram și perimetrul unui triunghi dreptunghic cu $A C = 2 A B$ și $B C = 5$ . Al doilea subiect lucrează cu legea $x \circ y = x^{2} - x y + y^{2}$ : valoarea $1 \circ 2$ , comutativitatea, diferența a două grupări ale lui $1 \circ 3 \circ 2$ , ecuațiile $x \circ x = 4$ și $3 \circ 2^{x} = 7$ și o implicație despre perechile cu $x \circ y = 0$ . Al treilea subiect folosește matricele $A (a) = (10 a 1)$ : doi determinanți de calculat, regula $A (a) \cdot A (b) = A (a + b)$ , două ecuații care o aplică și o ecuație cu un determinant egal cu $25$ .

Ce se cunoaște la fiecare clasă. Potrivit programei de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, în vigoare pentru Bacalaureatul din 2015 încoace, în clasa a IX-a intră progresiile, funcțiile pătratice, calculul vectorial în plan și rezolvarea triunghiului dreptunghic; clasa a X-a aduce ecuațiile cu radicali și pe cele exponențiale, clasa a XI-a legile de compoziție, iar clasa a XII-a matricele și determinanții. Pentru itemul 3 se poate relua lecția Ecuații cu radicali: verifici soluțiile, tehnologic, iar pentru itemul 5, lecția Vectori: forțe și deplasări, tehnologic.

Greșeli frecvente, cu numerele lor.

Exercițiul 1: de la $a_{1}$ la $a_{3}$ rația se adaugă de două ori; cu trei adăugări s-ar ajunge la $a_{4}$ , iar $5 + 3 \cdot (- 2) = - 1$ , nu $1$ .
Exercițiul 2: din $A (1, 2) \in G_{f}$ rezultă $f (1) = 2$ , nu $f (2) = 1$ ; inversarea coordonatelor ar da $a = - 3$ , o valoare greșită.
Exercițiul 3: soluția $x = - 1$ a ecuației de gradul al doilea nu convine, fiindcă $- 1$ nu există în $R$ ; singura soluție este $x = 2$ .
Exercițiul 4: $70$ de lei costă stiloul, nu pixul: pixul costă $70 : 7 = 10$ lei, iar creionul $10 : 5 = 2$ lei.
Exercițiul 6: $(2 A B)^{2} = 4 A B^{2}$ , nu $2 A B^{2}$ ; pe varianta greșită s-ar scrie $3 A B^{2} = 25$ , deci $A B^{2} = \frac{25}{3}$ , iar corect $A B^{2} = 5$ .
Cerința II.3: gruparea contează; $(1 \circ 3) \circ 2 = 39$ , dar $1 \circ (3 \circ 2) = 43$ , deci legea nu este asociativă.
Cerința II.5: egalitatea $x \circ y = 0$ nu se rezolvă luând numai $x = \frac{y}{2}$ ; pentru $x = 1$ și $y = 2$ avem $1 \circ 2 = 3$ , nu $0$ .
Cerința II.6: $3^{2} = 9$ , nu $3$ ; de aceea ecuația are termenul $9$ și nu $3$ .
Cerința III.2: determinantul sumei, $4$ , nu este suma determinanților, $det A (1) + det A (2) = 1 + 1 = 2$ .
Cerința III.5: sub diagonală elementul este $0$ , deci al doilea produs din determinant, $x^{2} \cdot 0$ , este $0$ ; dacă din $(1 + x)^{2} = 25$ se păstrează numai $1 + x = 5$ , se pierde soluția $x = - 6$ .
Cerința III.6: împărțirea ecuației $2 n = 2 n^{2}$ la $n$ pierde soluția $n = 0$ , care este număr natural.

Despre litere. Exercițiul 1: $(a_{n})_{n \geq 1}$ , $a_{1}$ și $r$ sunt date, iar $a_{3}$ este termenul cerut. Exercițiul 2: $x$ este variabila funcției $f$ , $A$ este un punct dat, iar $a$ este numărul căutat. Exercițiul 3: $x$ este necunoscuta. Exercițiul 4: $x$ este prețul creionului, notat în rezolvare. Exercițiul 5: $A$ , $B$ , $C$ , $D$ sunt vârfurile paralelogramului, iar $O$ este intersecția diagonalelor. Exercițiul 6: $A$ , $B$ , $C$ sunt vârfurile triunghiului. Al doilea subiect: $x$ și $y$ sunt variabilele legii; la cerința II.3, $a$ și $b$ sunt numerele definite în enunț, adică $39$ , respectiv $43$ , nu parametri; la cerința II.4, $x$ este necunoscuta; la cerința II.5, $x$ și $y$ sunt numere reale care satisfac ipoteza $x \circ y = 0$ ; la cerința II.6, $x$ este necunoscuta, iar $t$ notează $2^{x}$ numai în ghidaj. Al treilea subiect: $a$ din cadru poate fi orice număr real; la cerințele III.1 și III.2 el ia valori date, la cerința III.3 $a$ și $b$ sunt oarecare, la cerința III.4 $a$ este necunoscuta, la cerința III.5 necunoscuta este $x$ , iar $I_{2}$ este matricea unitate de ordin $2$ , folosită fără definiție în enunțul oficial; la cerința III.6, $n$ este numărul natural căutat.