Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2016 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2016 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați numerele naturale $a$, $b$ și $c$, știind că $2016=2^a\cdot 3^b\cdot 7^c$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=4x^2-3$. Determinați abscisele punctelor care au ordonata egală cu $1$ și aparțin graficului funcției $f$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x+10}-2x=4-x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă suma cifrelor mai mică sau egală cu $10$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-1,2)$ și $B(3,5)$. Determinați coordonatele simetricului punctului $A$ față de punctul $B$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Perimetrul triunghiului dreptunghic $ABC$ este egal cu $72$. Determinați lungimea ipotenuzei $BC$, știind că $\sin C=0,8$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=xy+x+y$.

1. (5 puncte) Calculați $\left(-\sqrt{2}\right)\circ \sqrt{2}$.

2. (5 puncte) Arătați că $x\circ y=(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^2\circ x=-1$.

4. (5 puncte) Verificați dacă legea de compoziție „$\circ$” este asociativă.

5. (5 puncte) Demonstrați că numărul $n\circ n$ este multiplu de $8$, pentru orice număr natural par $n$.

6. (5 puncte) Dați un exemplu de două numere iraționale $a$ și $b$, pentru care $a\circ b\in \mathbb{N}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A(x)=\left(\begin{array}{cc}x& x-1\\ 1& 2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Calculați $\det (A(2))$.

2. (5 puncte) Arătați că $A(1)+A(3)=2A(2)$.

3. (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, pentru care $\left|\det (A(n))\right|=1-2n$.

4. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$, pentru care $\det \left(xA(x)-2I_2\right)\ge 0$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

5. (5 puncte) Demonstrați că matricea $A\left(x^2\right)$ este inversabilă, pentru orice număr real $x$.

6. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, pentru care $2X+3A(1)=4A(2)$.

Barem și răspunsuri

Rezolvările de mai jos sunt împărțite pe rândurile punctate ale foii oficiale; numărul îngroșat din paranteză este valoarea rândului, din cele 5 puncte ale cerinței. Itemii 4 și 6 au câte trei rânduri ($1+2+2$ puncte), iar ceilalți 16 au câte două rânduri ($3+2$ sau $2+3$ puncte). Cu cele 10 puncte din oficiu, totalul lucrării este 100.

Exercițiul 1. (5 p) — $2016$ scris ca produs de numere prime.

Împărțim succesiv la numere prime: $2016=2\cdot 1008$, $1008=2\cdot 504$, $504=2\cdot 252$, $252=2\cdot 126$ și $126=2\cdot 63$; apoi $63=3\cdot 21$, $21=3\cdot 7$, iar $7$ este prim. Factorul $2$ apare de cinci ori, factorul $3$ de două ori, factorul $7$ o dată: $$2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7^1\text{(2 p)}.$$ Scrierea ca produs de numere prime este unică, deci prin identificare cu $2^a\cdot 3^b\cdot 7^c$ obținem $\mathbf{a}=5$, $\mathbf{b}=2$ și $\mathbf{c}=1$. Verificare: $32\cdot 9\cdot 7=2016$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — punctele de ordonată $1$ ale unei parabole.

Punctele graficului sunt de forma $(x,f(x))$, iar ordonata $1$ înseamnă $f(x)=1$. Egalitatea se reduce astfel: $$4x^2-3=1⟺4x^2-4=0⟺x^2-1=0\text{(3 p)}.$$ Cum $x^2-1=(x-1)(x+1)$, ecuația are două soluții reale: $\mathbf{x}=-1$ și $\mathbf{x}=1$. Verificare: $f(-1)=f(1)=4-3=1$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Izolăm radicalul, mutând termenul $-2x$ în membrul drept: $\sqrt{3x+10}=4-x+2x=4+x$. Ridicăm la pătrat: în stânga rămâne $3x+10$, iar în dreapta pătratul sumei $4+x$ se desface după formula pătratului unei sume; trecem apoi toți termenii într-un membru: $$\sqrt{3x+10}=4+x\Rightarrow x^2+5x+6=0\text{(3 p)}.$$ Cum $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$, soluțiile ei sunt $x=-3$ și $x=-2$. Pătratul poate introduce soluții străine, de aceea le verificăm în ecuația dată: pentru $x=-3$, $\sqrt{1}-2\cdot (-3)=7=4-(-3)$; pentru $x=-2$, $\sqrt{4}-2\cdot (-2)=6=4-(-2)$. Ambele verifică, deci $\mathbf{x}=-3$ și $\mathbf{x}=-2$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — număr de cazuri favorabile și probabilitate.

Cazurile posibile sunt numerele $10,11,\dots ,99$, în număr de $99-10+1=90$ (1 p).

Notăm cu $c$ cifra zecilor (de la $1$ la $9$) și cu $u$ cifra unităților (de la $0$ la $9$); suma cifrelor este $c+u\le 10$. Pentru $c=1$ cifra $u$ ia cele $10$ valori $0,\dots ,9$; pentru $c=2$ ia $9$ valori, adică $0,\dots ,8$, și tot așa mai departe, până la $c=9$, unde $u\in \{0,1\}$ dă $2$ valori: $$10+9+8+7+6+5+4+3+2=54\text{(2 p)}.$$ Sunt deci $54$ de cazuri favorabile, iar probabilitatea este fracția cu numărătorul egal cu numărul cazurilor favorabile și numitorul egal cu numărul celor posibile: $p=\frac{54}{90}=\frac{3}{5}$ (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — coordonatele unui punct simetric.

Punctul $C(x_C,y_C)$, simetricul lui $A$ față de $B$, are proprietatea că $B$ se află la jumătatea segmentului $AC$. Fiecare coordonată a lui $B$ este media coordonatelor corespunzătoare ale lui $A$ și $C$; pe abscise: $$3=\frac{-1+x_C}{2}⟺-1+x_C=6⟺x_C=7\text{(3 p)}.$$ Pe ordonate, $5=\frac{2+y_C}{2}$, adică $2+y_C=10$ și $y_C=8$. Punctul cerut este $\mathbf{C}(7,8)$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — ipotenuza dintr-un perimetru și un sinus.

Ipotenuza este $BC$, deci unghiul drept este $A$, iar latura din fața unghiului $C$ este $AB$. Sinusul lui $C$ se obține împărțind lungimea laturii $AB$ la lungimea ipotenuzei: $$\sin C=\frac{AB}{BC}\Rightarrow AB=0,8\cdot BC=\frac{4}{5}BC\text{(1 p)}.$$ Cu teorema lui Pitagora obținem $A{C}^2=B{C}^2-A{B}^2=B{C}^2-\frac{16}{25}B{C}^2=\frac{9}{25}B{C}^2$, iar $AC>0$ conduce la $$A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2\Rightarrow AC=\frac{3}{5}BC\text{(2 p)}.$$ Perimetrul însumează cele trei laturi: $$\frac{4}{5}BC+\frac{3}{5}BC+BC=72⟺\frac{12}{5}BC=72⟺\mathbf{BC}=30\text{(2 p)}.$$ Verificare: $AB=24$ și $AC=18$, iar $24+18+30=72$, $24^2+18^2=576+324=900=30^2$ și $\sin C=\frac{24}{30}=0,8$.

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem $x=-\sqrt{2}$ și $y=\sqrt{2}$ în $x\circ y=xy+x+y$: $$\left(-\sqrt{2}\right)\circ \sqrt{2}=\left(-\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{2}+\left(-\sqrt{2}\right)+\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$ Produsul $\left(-\sqrt{2}\right)\cdot \sqrt{2}$ este $-2$, iar ceilalți doi termeni sunt opuși și se reduc; rezultatul este $-2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — forma cu paranteze a legii.

Pornim de la lege și adunăm, apoi scădem $1$, fără să schimbăm valoarea: $$x\circ y=xy+x+y=xy+x+y+1-1\text{(2 p)}.$$ Primii doi termeni se grupează în $xy+x=x(y+1)$, iar ceilalți doi sunt $y+1$; factorul comun $y+1$ dă $$x(y+1)+(y+1)-1=(x+1)(y+1)-1,$$ iar identitatea are loc oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — o ecuație cu $x^2\circ x$.

Cu $x^2$ în locul lui $x$ și $x$ în locul lui $y$, forma de la cerința II.2 dă $x^2\circ x=\left(x^2+1\right)(x+1)-1$. Ecuația devine $$\left(x^2+1\right)(x+1)-1=-1⟺\left(x^2+1\right)(x+1)=0\text{(3 p)}.$$ Produsul a două numere reale se anulează numai dacă măcar unul dintre ele este zero. Factorul $x^2+1$ este cel puțin $1$, deci nu se anulează; rămâne $x+1=0$, adică $\mathbf{x}=-1$. Verificare: $x^2=1$ și $1\circ (-1)=1\cdot (-1)+1+(-1)=-1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — asociativitatea legii.

Lucrăm cu forma de la cerința II.2, pentru trei numere reale oarecare $x$, $y$, $z$. În $(x\circ y)\circ z$, rezultatul $(x+1)(y+1)-1$ al primei compuneri este mărit cu $1$ la a doua și revine la $(x+1)(y+1)$: $$(x\circ y)\circ z=\left((x+1)(y+1)-1+1\right)(z+1)-1=(x+1)(y+1)(z+1)-1\text{(2 p)}.$$ În $x\circ (y\circ z)$, rezultatul $(y+1)(z+1)-1$ este mărit tot cu $1$: $$x\circ (y\circ z)=(x+1)\left((y+1)(z+1)-1+1\right)-1=(x+1)(y+1)(z+1)-1.$$ Expresiile sunt egale oricare ar fi $x$, $y$, $z$ reali, deci legea „$\circ$” este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o divizibilitate cu $8$.

Din forma de la cerința II.2, cu $x=y=n$, obținem $n\circ n=(n+1{)}^2-1=n^2+2n$. Numărul $n$ este natural par, deci $n=2k$ cu $k$ natural: $$n\circ n=(2k{)}^2+2\cdot 2k=4k^2+4k=4k(k+1)\text{(3 p)}.$$ Dintre $k$ și $k+1$, numere naturale consecutive, unul este par, deci produsul $k(k+1)$ se împarte la $2$. Atunci $4k(k+1)$ se împarte la $4\cdot 2=8$, adică $n\circ n$ este multiplu de $8$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — un exemplu cu numere iraționale.

Din forma de la cerința II.2, $a\circ b=(a+1)(b+1)-1$. Valoarea $a\circ b$ aparține lui $\mathbb{N}$ doar dacă $(a+1)(b+1)-1\in \mathbb{N}$, deci doar dacă produsul $(a+1)(b+1)$ este natural nenul: $(a+1)(b+1)\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (3 p).

Căutăm $a$ și $b$ iraționale cu produsul $(a+1)(b+1)$ natural nenul. Alegem $a+1=\sqrt{2}$ și $b+1=2\sqrt{2}$, adică $a=\sqrt{2}-1$ și $b=2\sqrt{2}-1$. Ele sunt iraționale: presupunând $\sqrt{2}-1$ rațional, am obține rațional și $\sqrt{2}=\left(\sqrt{2}-1\right)+1$; la fel, $2\sqrt{2}-1$ rațional ar face rațional pe $2\sqrt{2}$ și, prin împărțire la $2$, pe $\sqrt{2}$. Produsul este $(a+1)(b+1)=\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4$, deci $a\circ b=4-1=3\in \mathbb{N}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A(2)$.

Pentru $x=2$ elementele matricei sunt $x=2$, $x-1=1$, $1$ și $2$, deci $A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, iar $\det (A(2))=\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right|$ (2 p).

Din produsul diagonalei principale se scade produsul diagonalei secundare: $2\cdot 2-1\cdot 1=4-1=3$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — suma $A(1)+A(3)$.

Înlocuind $x$, obținem $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$ și $A(3)=\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\end{array}\right)$. Adunarea matricelor lucrează pe poziții: $$A(1)+A(3)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricea sumă se obține din $A(2)$ înmulțind fiecare element cu $2$: $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)=2A(2)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — o ecuație cu modulul determinantului.

Pentru $A(n)=\left(\begin{array}{cc}n& n-1\\ 1& 2\end{array}\right)$, determinantul este $\det (A(n))=n\cdot 2-(n-1)\cdot 1=2n-n+1=n+1$ (2 p).

Egalitatea din enunț devine $|n+1|=1-2n$. Cum $n$ este natural, $n+1>0$, deci $|n+1|=n+1$, iar ecuația devine $n+1=1-2n$, adică $3n=0$ și $\mathbf{n}=0$. Verificare: $\left|\det (A(0))\right|=|1|=1=1-2\cdot 0$, iar $0$ este număr natural (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — o inecuație cu determinant.

Calculăm $xA(x)$ înmulțind fiecare element cu $x$, apoi scădem $2I_2$: $$xA(x)-2I_2=\left(\begin{array}{cc}{x}^2& x^2-x\\ x& 2x\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2-2& x^2-x\\ x& 2x-2\end{array}\right).$$ Elementele $2x-2$ și $x^2-x$ se scriu $2(x-1)$ și $x(x-1)$. În determinant, produsul diagonalei principale este $\left(x^2-2\right)\cdot 2(x-1)$, iar al diagonalei secundare este $x\cdot x(x-1)$; factorul $x-1$ se scoate în față, iar paranteza rămasă se descompune ca o diferență de pătrate: $$\det \left(xA(x)-2I_2\right)=(x-1)(x-2)(x+2)\text{(3 p)}.$$ Rădăcinile $-2$, $1$ și $2$ taie axa numerelor în patru intervale. Produsul este negativ pe $(-\infty ,-2)$, cu toți cei trei factori negativi; pozitiv pe $(-2,1)$, cu doi factori negativi și unul pozitiv; negativ pe $(1,2)$, cu doi factori pozitivi și unul negativ; pozitiv pe $(2,+\infty )$, cu toți factorii pozitivi. În cele trei rădăcini produsul este $0$, deci intră în soluție: $\mathbf{x}\in [-2,1]\cup [2,+\infty )$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — inversabilitatea matricei $A\left(x^2\right)$.

Se înlocuiește $x$ cu $x^2$ în toată matricea: $A\left(x^2\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2& x^2-1\\ 1& 2\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $$\det \left(A\left(x^2\right)\right)=\left|\begin{array}{cc}{x}^2& x^2-1\\ 1& 2\end{array}\right|=2x^2-\left(x^2-1\right)=x^2+1\text{(3 p)}.$$ Pătratul oricărui număr real este cel puțin $0$, deci $x^2+1\ge 1>0$ pentru orice $x$ real. Determinantul nu ia niciodată valoarea $0$, iar o matrice pătratică cu determinantul nenul admite inversă; așadar $A\left(x^2\right)$ este inversabilă pentru orice număr real $x$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație matriceală cu scalari.

Scalarul înmulțește pe rând cele patru elemente: $3A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& 6\end{array}\right)$ și $4A(2)=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 8\end{array}\right)$. Ecuația devine $$2X+\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 3& 6\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}8& 4\\ 4& 8\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scădem $3A(1)$ din ambii membri: $2X$ are liniile $(8-3,4-0)$ și $(4-3,8-6)$, adică $(5,4)$ și $(1,2)$. Împărțim fiecare element la $2$; elementele sunt reale, deci $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$: $$\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{2}& 2\\ \frac{1}{2}& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

Pentru părinți și profesori

Pagina reproduce simularea din 2016 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, pentru clasa a XII-a, filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare. Foaia are trei subiecte obligatorii, iar fiecare are câte șase cerințe de 5 puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Cele 18 cerințe valorează în total 90 de puncte, iar lucrarea durează trei ore. Textul fiecărei cerințe este cel de pe foaia oficială; rezolvările, explicațiile și ghidajul interactiv sunt ale Matepolis și urmează rândurile punctate ale foii de evaluare.

Ce cuprinde. Subiectul I are șase cerințe fără legătură între ele: numărul $2016$ scris ca produs de puteri de numere prime, abscisele punctelor de ordonată $1$ de pe o parabolă, o ecuație cu radical, o probabilitate legată de suma cifrelor, coordonatele unui punct simetric față de un punct dat și ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu perimetrul $72$. Subiectul al II-lea pornește de la legea $x\circ y=xy+x+y$ și cere o valoare, o formă cu paranteze, o ecuație, asociativitatea, o divizibilitate cu $8$ și un exemplu cu numere iraționale. Subiectul al III-lea folosește matricea $A(x)$, cu elementele $x$, $x-1$, $1$ și $2$: un determinant, o sumă de matrice, o ecuație cu modul, o inecuație de gradul al treilea, inversabilitatea și o ecuație matriceală.

Locul în programă. Simularea din 2016 se încadrează în programa de examen M_pedagogic stabilită prin OMEN 4430/2014, care se aplică din sesiunea Bacalaureatului 2015. În clasa a IX-a se studiază triunghiul dreptunghic, funcția de gradul al II-lea și modulul; în clasa a X-a, ecuațiile cu radicali, probabilitatea și coordonatele în reperul cartezian; în clasa a XI-a, legile de compoziție; în clasa a XII-a, matricele, determinantul, inversa și ecuațiile matriceale. Descompunerea în factori primi din itemul 1 este cunoștință de gimnaziu. Pentru ecuațiile cu radical se poate relua lecția Ecuații cu radicali: verifici soluțiile, tehnologic, iar pentru determinantul de ordinul 2 lecția Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: factorul $7$ apare o singură dată, deci exponentul lui este $c=1$, nu $0$; cu $c=0$ produsul $2^5\cdot 3^2\cdot 7^0$ ar fi $288$, nu $2016$.
• Exercițiul 2: din $x^2=1$ rezultă două numere, nu unul. Valoarea $x=1$ dă $f(1)=4\cdot 1^2-3=1$, dar și $x=-1$ dă $f(-1)=4\cdot (-1{)}^2-3=1$, deci ambele puncte, $(1,1)$ și $(-1,1)$, sunt pe grafic.
• Exercițiul 3: radicalul trebuie izolat întâi, apoi ecuația se ridică la pătrat. Ridicarea termen cu termen nu merge: pentru $x=-2$, membrul stâng al ecuației de pornire este $\sqrt{4}-2\cdot (-2)=6$, iar pătratul lui este $36$, nu $4-16=-12$.
• Exercițiul 4: între $10$ și $99$ se află $90$ de numere, nu $100$. Cu $100$ de cazuri posibile ar ieși $\frac{54}{100}=\frac{27}{50}$, nu $\frac{3}{5}$.
• Exercițiul 5: punctul $B$ este mijlocul segmentului $AC$, nu $C$ mijlocul lui $AB$. Mijlocul lui $AB$ este $\left(1,\frac{7}{2}\right)$, iar punctul cerut este $C(7,8)$.
• Exercițiul 6: perimetrul cuprinde toate trei laturile, inclusiv ipotenuza. Fără $BC$ în sumă, ecuația $\frac{4}{5}BC+\frac{3}{5}BC=72$ ar da $BC=\frac{360}{7}$, nu $30$. Latura din fața unghiului $C$ este $AB$; cu $AB=\frac{3}{5}BC$ raportul $\frac{AB}{BC}$ ar fi $\frac{3}{5}$, iar sinusul dat este $0,8$.
• Cerința II.2: în $(x+1)(y+1)=xy+x+y+1$ apare un $1$ în plus, de aceea se scade $1$. Fără scădere, pentru $x=y=0$ s-ar obține $1$, iar $0\circ 0=0$.
• Cerința II.4: o singură triplă de numere nu dovedește asociativitatea. Legea $x\diamond y=2x-y$ verifică egalitatea pentru $x=y=z=0$, fiindcă $(0\diamond 0)\diamond 0=0=0\diamond (0\diamond 0)$, dar nu o verifică pentru $(1,0,0)$: $(1\diamond 0)\diamond 0=4$, iar $1\diamond (0\diamond 0)=2$.
• Cerința II.5: condiția „par” contează. Pentru $n=3$, număr impar, $n\circ n=3\cdot 3+3+3=15$, număr care nu se împarte la $8$.
• Cerința II.6: nu orice pereche de numere iraționale convine. Pentru $a=b=\sqrt{2}$ se obține $a\circ b=2+2\sqrt{2}$, un număr irațional, deci nu natural.
• Cerința III.2: adunarea matricelor se face pe poziții, iar parametrii nu se adună, deci $A(1)+A(3)$ nu este $A(4)$. Matricea $A(4)$ are $3$ în dreapta sus și $1$ în stânga jos, iar suma $A(1)+A(3)$ are $2$ în ambele locuri.
• Cerința III.3: ramura $-(n+1)=1-2n$ dă $n=2$, dar pentru $n=2$ membrul drept este $1-4=-3$, negativ, deci nu poate egala un modul; de fapt $\left|\det (A(2))\right|=3$.
• Cerința III.4: semnul unui produs de trei factori nu se află cerând ca toți factorii să fie pozitivi. Cu $x-1\ge 0$, $x-2\ge 0$ și $x+2\ge 0$ ar rămâne doar $x\ge 2$ și s-ar pierde intervalul $[-2,1]$; pentru $x=0$ avem $(0-1)(0-2)(0+2)=4\ge 0$.
• Cerința III.5: pentru matricea $A(x)$ determinantul $x+1$ se anulează la $x=-1$, iar $A(-1)$ nu are inversă. Argumentul din cerința III.5 este însă $x^2$, care nu poate fi $-1$, iar determinantul $x^2+1$ este cel puțin $1$.
• Cerința III.6: diferența $4A(2)-3A(1)$ se face pe poziții și apoi se împarte la $2$ toată matricea. Fără împărțire ar ieși matricea cu liniile $(5,4)$ și $(1,2)$, care nu verifică egalitatea: dublul ei, adunat cu $3A(1)$, are $13$ în stânga sus, iar $4A(2)$ are acolo $8$.

Despre litere. În itemul 1, $a$, $b$ și $c$ sunt exponenții căutați, numere naturale. În itemul 2, $f$ este numele funcției, iar $x$ este abscisa căutată. În itemul 3, $x$ este necunoscuta de sub radical. În itemul 4, $c$ și $u$ sunt cifra zecilor și cifra unităților, notate așa în rezolvare. În itemul 5, $A$ și $B$ sunt punctele date, iar $C$ este simetricul căutat; coordonatele lui, $x_C$ și $y_C$, sunt notate de barem. În itemul 6, $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului, iar unghiul drept este $A$, fiindcă ipotenuza este $BC$. În Subiectul II, $x$ și $y$ sunt două numere reale arbitrare (la cerința II.4 li se adaugă $z$), iar $x$ devine necunoscută la cerința II.3; la cerința II.5, $n$ este numărul natural par, iar $k$, jumătatea lui, este litera pe care o introduce baremul; la cerința II.6, $a$ și $b$ sunt numerele iraționale căutate. În Subiectul III, $x$ este parametrul real al matricei $A(x)$ și devine necunoscută la cerința III.4; la cerința III.3, $n$ este numărul natural căutat, iar $X$ de la cerința III.6 este matricea necunoscută, deosebită de numărul $x$ prin litera mare.