Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2015 (varianta 8) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2015 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $32 - 18 - 2 = 0$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f : R \to R$ , $f (x) = x + 1$ și $g : R \to R$ , $g (x) = 4 - 2 x$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{5 - 3 x} = 25$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale pare de două cifre se pot forma cu cifrele $1, 2, 3, 4$ și $5$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 3)$ , $B (5, 3)$ și $C (5, 6)$ . Arătați că $A B = B C$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $sin 3 0^{\circ} + sin 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ} = 1$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y + x + y$ .

1. (5 puncte) Arătați că $2015 \circ (- 1) = - 1$ .

2. (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „ $\circ$ ” este asociativă.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e = 0$ este element neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

4. (5 puncte) Arătați că $x \circ x = (x + 1)^{2} - 1$ , pentru orice număr real $x$ .

5. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x \circ x \circ x \circ x = 0$ .

6. (5 puncte) Arătați că $x \circ (x + 1) \geq x$ , pentru orice număr real $x$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (a) = (a 1 2 a + 1)$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det (A (0)) = - 2$ .

2. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (A (a)) = 0$ .

3. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $det (A (a) - I_{2}) < 0$ .

4. (5 puncte) Arătați că $(2 a + 1) A (a) - A (a) \cdot A (a) = (a^{2} + a - 2) I_{2}$ , pentru orice număr real $a$ .

5. (5 puncte) Determinați inversa matricei $A (2)$ .

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale $m$ pentru care $det (A (m)) \leq 1$ .

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare urmează rândurile baremului: la capătul rândului, cifra din paranteză spune câte puncte valorează acel rând. Dintre cerințe, șaptesprezece au câte două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3), iar cerința III.4 are trei rânduri (1 + 2 + 2).

Exercițiul 1. (5 p) — o sumă de trei radicali.

Se caută pătrate perfecte în numerele de sub radical: $32 = 16 \cdot 2$ și $18 = 9 \cdot 2$ , deci $32 = 16 \cdot 2 = 42, 18 = 9 \cdot 2 = 32 (2 p) .$ Cu aceste forme, termenii sunt asemenea și se reduc: $32 - 18 - 2 = 42 - 32 - 2 = (4 - 3 - 1) 2 = 0 (3 p) .$

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția graficelor a două funcții.

La intersecție ordonatele coincid, iar abscisa $x$ a punctului se află din egalitatea $f (x) = g (x)$ : $x + 1 = 4 - 2 x ⟺ 3 x = 3 (3 p) .$ Rezultă $x = 1$ , iar ordonata este $f (1) = 1 + 1 = 2$ ; același număr dă și $g (1) = 4 - 2 = 2$ . Punctul de intersecție este $(1, 2)$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu baza $5$ .

Numărul $25$ este $5^{2}$ , deci ecuația este $5^{5 - 3 x} = 5^{2}$ . Baza fiind aceeași, mai mare decât $1$ , exponenții trebuie să fie egali: $5^{5 - 3 x} = 5^{2} ⟺ 5 - 3 x = 2 (3 p) .$ Din $3 x = 5 - 2 = 3$ rezultă $x = 1$ . Verificare: $5^{5 - 3} = 5^{2} = 25$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — numere pare de două cifre din cifrele $1, 2, 3, 4, 5$ .

Un număr este par când se termină cu o cifră pară, iar dintre cifrele $1, 2, 3, 4, 5$ sunt pare doar $2$ și $4$ ; cifra unităților are deci $2$ alegeri (2 p).

Enunțul nu cere cifre distincte, așa că cifra zecilor poate fi oricare dintre cele $5$ cifre, oricare ar fi cifra unităților. Numărul cerut este $2 \cdot 5 = 10$ ; ele sunt $12, 22, 32, 42, 52$ și $14, 24, 34, 44, 54$ (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — două lungimi de segment din reper.

Lungimea $A B$ se află din coordonatele capetelor, $A (2, 3)$ și $B (5, 3)$ : $A B = (5 - 2)^{2} + (3 - 3)^{2} = 9 = 3 (2 p) .$ La fel pentru $B (5, 3)$ și $C (5, 6)$ : $B C = (5 - 5)^{2} + (6 - 3)^{2} = 9 = 3$ . Cum $A B = 3$ și $B C = 3$ , avem $AB = BC$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — o expresie cu sinus și cosinus.

Valorile din tabelul unghiurilor remarcabile sunt $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ , iar $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ (3 p).

Le punem în expresie: $sin 3 0^{\circ} + sin 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ} = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

În $x \circ y = x y + x + y$ se pun $x = 2015$ și $y = - 1$ : $2015 \circ (- 1) = 2015 \cdot (- 1) + 2015 + (- 1) (3 p) .$ Produsul este $- 2015$ , deci rezultatul este $- 2015 + 2015 - 1 = - 1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — asociativitatea legii.

Pentru trei numere reale oarecare $x$ , $y$ , $z$ se compune întâi $x \circ y = x y + x + y$ , apoi rezultatul cu $z$ : $(x \circ y) \circ z = (x y + x + y) \circ z = (x y + x + y) z + (x y + x + y) + z = x y z + x z + y z + x y + x + y + z (2 p) .$ Cealaltă ordine: se compune întâi $y \circ z = y z + y + z$ , apoi $x$ cu rezultatul: $x \circ (y \circ z) = x \circ (y z + y + z) = x (y z + y + z) + x + (y z + y + z) = x y z + x y + x z + x + y z + y + z .$ Cele două rezultate au aceiași opt termeni, doar în altă ordine: $(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)$ pentru orice $x$ , $y$ , $z$ , deci legea este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — verificarea elementului neutru $e = 0$ .

Un element neutru lasă pe $x$ neschimbat, indiferent de partea pe care stă. Cu $0$ în dreapta: $x \circ 0 = x \cdot 0 + x + 0 = x$ (2 p).

Cu $0$ în stânga: $0 \circ x = 0 \cdot x + 0 + x = x$ . Prin urmare $0 \circ x = x = x \circ 0$ pentru orice $x$ real, iar $e = 0$ este element neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — forma $(x + 1)^{2} - 1$ a lui $x \circ x$ .

Din definiție, cu ambii operanzi egali cu $x$ : $x \circ x = x \cdot x + x + x = x^{2} + 2 x (2 p) .$ Adăugând și scăzând $1$ , obținem $x^{2} + 2 x = x^{2} + 2 x + 1 - 1$ , iar primii trei termeni formează un pătrat: $x \circ x = x^{2} + 2 x + 1 - 1 = (x + 1)^{2} - 1 (3 p) .$ Egalitatea are loc pentru orice $x$ real.

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — ecuația $x \circ x \circ x \circ x = 0$ .

Legea este asociativă (cerința II.2), deci operanzii se pot grupa: $x \circ x \circ x \circ x = (x \circ x) \circ (x \circ x)$ . Pentru orice $a$ și $b$ avem $(a + 1) (b + 1) - 1 = ab + a + b = a \circ b$ , așa că $a \circ b = (a + 1) (b + 1) - 1$ . Cu $a = b = x \circ x = (x + 1)^{2} - 1$ (cerința II.4), factorii $a + 1$ și $b + 1$ sunt amândoi $(x + 1)^{2}$ : $x \circ x \circ x \circ x = (x + 1)^{2} \cdot (x + 1)^{2} - 1 = (x + 1)^{4} - 1 (2 p) .$ Ecuația devine $(x + 1)^{4} = 1$ , adică pătratul numărului $(x + 1)^{2}$ este $1$ . Cum $(x + 1)^{2} \geq 0$ , rămâne $(x + 1)^{2} = 1$ , deci $x + 1 = 1$ sau $x + 1 = - 1$ , adică $x = 0$ sau $x = - 2$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — inegalitatea $x \circ (x + 1) \geq x$ .

Diferența dintre cei doi membri se calculează din definiție, cu $y = x + 1$ : $x \circ (x + 1) - x = x (x + 1) + x + (x + 1) - x = x^{2} + 2 x + 1 (2 p) .$ Aceasta este $(x + 1)^{2}$ , un pătrat, deci nenegativă pentru orice $x$ real: $x \circ (x + 1) - x \geq 0$ , adică $x \circ (x + 1) \geq x$ , pentru orice număr real $x$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A (0)$ .

Pentru $a = 0$ , $A (0) = (0121)$ , iar determinantul ei este $det (A (0)) = 0121 = 0 \cdot 1 - 1 \cdot 2 (3 p) .$ Rămâne $0 - 2 = - 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — valorile lui $a$ pentru care $det (A (a)) = 0$ .

Determinantul ca expresie în $a$ este $det (A (a)) = a 1 2 a + 1 = a (a + 1) - 1 \cdot 2 = a^{2} + a - 2 (3 p) .$ Ecuația $a^{2} + a - 2 = 0$ are $Δ = 1 + 8 = 9$ și rădăcinile $\frac{- 1 \pm 3}{2}$ , adică $a = - 2$ și $a = 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — inecuația $det (A (a) - I_{2}) < 0$ .

Se scade $1$ din ambele elemente ale diagonalei principale: $A (a) - I_{2} = (a - 1 1 2 a)$ , iar determinantul este $det (A (a) - I_{2}) = (a - 1) \cdot a - 1 \cdot 2 = a^{2} - a - 2 (2 p) .$ Trinomul $a^{2} - a - 2$ are $Δ = 1 + 8 = 9$ și rădăcinile $\frac{1 \pm 3}{2}$ , adică $- 1$ și $2$ . Coeficientul lui $a^{2}$ este pozitiv, deci trinomul este negativ între rădăcini: $a^{2} - a - 2 < 0 ⟺ a \in (- 1, 2)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — o identitate cu matrice.

Înmulțim fiecare element al lui $A (a)$ cu $2 a + 1$ : $(2 a + 1) A (a) = ((2 a + 1) a 2 a + 1 (2 a + 1) \cdot 2 (2 a + 1) (a + 1)) = (2 a^{2} + a 2 a + 1 4 a + 2 2 a^{2} + 3 a + 1) (1 p) .$ Produsul $A (a) \cdot A (a)$ se face linie cu coloană, element cu element: $A (a) \cdot A (a) = (a \cdot a + 2 \cdot 1 1 \cdot a + (a + 1) \cdot 1 a \cdot 2 + 2 (a + 1) 1 \cdot 2 + (a + 1)^{2}) = (a^{2} + 2 2 a + 1 4 a + 2 a^{2} + 2 a + 3) (2 p) .$ Diferența se face pe poziții: stânga sus $2 a^{2} + a - a^{2} - 2 = a^{2} + a - 2$ ; dreapta sus și stânga jos dau $0$ , fiindcă $4 a + 2 - (4 a + 2) = 0$ și $2 a + 1 - (2 a + 1) = 0$ ; dreapta jos $2 a^{2} + 3 a + 1 - a^{2} - 2 a - 3 = a^{2} + a - 2$ . Atunci $(2 a + 1) A (a) - A (a) \cdot A (a) = (a^{2} + a - 2 0 0 a^{2} + a - 2) = (a^{2} + a - 2) (1001) = (a^{2} + a - 2) I_{2},$ pentru orice număr real $a$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — inversa matricei $A (2)$ .

Pentru $a = 2$ matricea este $A (2) = (2123)$ , cu determinantul $2 \cdot 3 - 2 \cdot 1 = 4 \neq = 0$ , deci $A (2)$ este inversabilă (2 p).

Elementele diagonalei principale, $2$ și $3$ , își schimbă locurile, iar cele ale diagonalei secundare, $2$ și $1$ , își schimbă semnul; rezultatul se împarte la determinantul $4$ : $(A (2))^{- 1} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \frac{1}{2} (3 p) .$

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — numerele naturale $m$ cu $det (A (m)) \leq 1$ .

Cu $det (A (m)) = m^{2} + m - 2$ (cerința III.2), condiția devine $m^{2} + m - 2 \leq 1 ⟺ m^{2} + m - 3 \leq 0 (2 p) .$ Trinomul $m^{2} + m - 3$ are $Δ = 13$ și rădăcinile $\frac{- 1 \pm 13}{2}$ ; fiindcă $3 < 13 < 4$ , rădăcina pozitivă este între $1$ și $2$ , iar cea negativă este mai mică decât $- 1$ . Trinomul este deci $\leq 0$ pe intervalul dintre rădăcini, care conține numerele naturale $0$ și $1$ și nu conține pe $2$ . Verificare: pentru $m = 0$ avem $- 3 \leq 0$ , pentru $m = 1$ avem $- 1 \leq 0$ , iar pentru orice număr natural mai mare decât $1$ trinomul crește și are cel puțin valoarea $2^{2} + 2 - 3 = 3$ , adică este pozitiv. Soluțiile sunt $m = 0$ și $m = 1$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Aici se găsește varianta 8 din sesiunea de iunie 2015, la matematică M_pedagogic, scrisă de absolvenții filierei vocaționale, profil pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Trei subiecte obligatorii alcătuiesc lucrarea, iar fiecare are șase cerințe de câte 5 puncte; împreună, cerințele totalizează 90 de puncte, pe care le completează oficiul. Se acordă 10 puncte din oficiu. Mai departe, enunțurile sunt cele din foaia oficială, iar rezolvările și ghidajul pas cu pas sunt ale Matepolis.

Pe scurt, cele trei subiecte. În primul: o sumă de radicali, intersecția graficelor a două funcții de gradul I, o ecuație exponențială cu baza $5$ , numărul numerelor pare de două cifre formate cu cinci cifre date, egalitatea a două lungimi de segment din reper și o expresie cu sinus și cosinus. În al doilea, legea $x \circ y = x y + x + y$ : o valoare, asociativitatea, elementul neutru $0$ , o formă pătratică pentru $x \circ x$ , o ecuație cu patru operanzi egali și o inegalitate cu $x \circ (x + 1)$ . În al treilea, matricea $A (a)$ : un determinant, ecuația $det (A (a)) = 0$ , inecuația $det (A (a) - I_{2}) < 0$ , o identitate cu matrice, inversa lui $A (2)$ și inecuația $det (A (m)) \leq 1$ în numere naturale.

Ce programă acoperă varianta. Varianta se sprijină pe programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014, care se aplică de la Bacalaureatul din 2015, deci și sesiunii din iunie 2015. La clasa a IX-a se leagă intersecția graficelor, ecuația și inecuația de gradul al doilea și valorile sinusului și cosinusului la $3 0^{\circ}$ și $4 5^{\circ}$ ; la clasa a X-a, distanța dintre două puncte, numărarea, ecuațiile exponențiale și radicalii; la clasa a XI-a, legea de compoziție; la clasa a XII-a, matricele, determinantul și inversa. Lecția Factori de sub radical, ordin 2 și 3: tehnologic ajută la itemul 1, iar lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic la cerința III.5.

Greșeli posibile, cu dovada lor.

Exercițiul 1: din $32$ iese în față rădăcina pătrată a lui $16$ , adică $4$ , nu $16$ . Cu $162$ expresia ar fi $162 - 32 - 2 = 122$ , nu $0$ .
Exercițiul 2: perechea se scrie cu abscisa prima, deci $(1, 2)$ , nu $(2, 1)$ . Punctul $(2, 1)$ nu stă pe graficul lui $f$ , fiindcă $f (2) = 3$ .
Exercițiul 3: numărul $25$ este $5^{2}$ , nu $5^{5}$ . Cu $5^{5}$ s-ar cere ca exponentul din stânga să fie $5$ , de unde $x = 0$ , dar pentru $x = 0$ puterea $5^{5 - 3 x}$ este $3125$ , nu $25$ .
Exercițiul 4: enunțul nu cere cifre distincte, iar numerele $22$ și $44$ îl respectă. Cu cifre distincte ar rămâne $2 \cdot 4 = 8$ numere, adică mai puține decât în realitate.
Exercițiul 5: sub radical se adună pătratele diferențelor, iar rădăcina se extrage. Fără extragere, $A B^{2} = 3^{2} + 0^{2} = 9$ ar fi luat drept lungime, deși $A B = 3$ .
Exercițiul 6: $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , nu $\frac{1}{2}$ . Cu $\frac{1}{2}$ ar ieși $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$ , nu $1$ .
Cerința II.1: $2015 \cdot (- 1)$ este $- 2015$ . Dacă semnul se pierde, ar ieși $2015 + 2015 + (- 1) = 4029$ , nu $- 1$ .
Cerința II.2: trei numere alese nu dovedesc asociativitatea. Legea $x ⋄ y = x^{2} + y$ are $(0 ⋄ y) ⋄ z = 0 ⋄ (y ⋄ z)$ pentru orice $y$ și $z$ , dar $(1 ⋄ 2) ⋄ 3 = 12$ , iar $1 ⋄ (2 ⋄ 3) = 8$ .
Cerința II.3: un element neutru acționează din ambele părți. Legea $x ⋄ y = x + 2 x y$ are $x ⋄ 0 = x$ oricare ar fi $x$ , însă $0 ⋄ 3 = 0$ și nu $3$ .
Cerința II.4: fără scăderea lui $1$ , expresia $(x + 1)^{2}$ este cu $1$ mai mare decât $x \circ x$ . Pentru $x = 0$ avem $0 \circ 0 = 0$ , iar $(0 + 1)^{2} = 1$ .
Cerința II.5: numărul $- 2$ verifică ecuația, fiindcă $(- 2 + 1)^{4} - 1 = 0$ . Dacă se reține numai $x + 1 = 1$ , soluția $- 2$ se pierde.
Cerința II.6: inegalitatea nu este strictă. Pentru $x = - 1$ avem $(- 1) \circ 0 = - 1$ , adică exact $x$ .
Cerința III.2: produsul diagonalei secundare se scade din cel al diagonalei principale. Pentru $a = 1$ matricea $A (1)$ are liniile $(1, 2)$ și $(1, 2)$ , deci determinantul $0$ ; dacă produsul secundar s-ar aduna, ar ieși $4$ .
Cerința III.3: scăderea lui $I_{2}$ afectează ambele elemente de pe diagonala principală. Dacă se scade numai din primul, ar ieși $a^{2} - 3$ ; pentru $a = 0$ determinantul este $- 2$ , nu $- 3$ .
Cerința III.4: $A (a) \cdot A (a)$ nu se obține ridicând la pătrat fiecare element. Pentru $a = 1$ , elementul din stânga sus al lui $A (1) \cdot A (1)$ este $1 \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 3$ , nu $1^{2} = 1$ .
Cerința III.5: fără împărțirea la determinant, matricea obținută din $A (2)$ prin schimbarea locurilor pe diagonala principală și a semnelor pe cea secundară dă cu $A (2)$ produsul $4 I_{2}$ , nu $I_{2}$ .
Cerința III.6: numărul natural $0$ convine, fiindcă $det (A (0)) = - 2 \leq 1$ . Dacă este omis, rămâne numai $m = 1$ .

Rolul literelor. În itemul 2, $f$ și $g$ sunt numele funcțiilor, iar $x$ este variabila lor comună; la itemul 3, $x$ este necunoscuta din exponent. În itemul 5, $A$ , $B$ și $C$ sunt puncte cu coordonate date, iar la itemul 6 nu apare nicio literă. Subiectul II are $x$ , $y$ și $z$ numere reale oarecare la cerința II.2; la cerința II.3, $e = 0$ se află în enunț și rămâne de verificat; $x$ este oarecare la cerințele II.4 și II.6 și devine necunoscută la cerința II.5, unde rezolvarea folosește și literele $a$ și $b$ pentru doi operanzi oarecari ai legii (alt rol decât parametrul $a$ din Subiectul III). În Subiectul III, $a$ este parametrul matricei $A (a)$ : oarecare la cerința III.4, necunoscut la cerințele III.2 și III.3; $m$ din cerința III.6 este numărul natural căutat, iar $I_{2}$ este matricea unitate din cadru.