Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2025 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2025 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3 \cdot (1, 5 - 0, 3) + 0, 8 : 2 = 4$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f (a) = f (3) - a$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} (5 x - 12) = lo g_{2} (2 x)$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $35%$ , un obiect costă $54$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 5)$ , $B (4, 1)$ , $C (6, 0)$ și $M$ , mijlocul segmentului $A B$ . Arătați că $O M = C M$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 16$ și $5 A B = 4 B C$ . Arătați că $A C = 12$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - 6 (x + y) + 14$ .

1. (5 puncte) Arătați că $0 * 2 = 2$ .

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „ $*$ ” este comutativă.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x * 4 = 4$ .

4. (5 puncte) Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale, cu $m < n$ , pentru care $(- m) * (- n) = (m * n) + 36$ .

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(1 + 3^{x}) * (1 - 3^{x}) = 0$ .

6. (5 puncte) Arătați că $x * \frac{1}{x} \leq 3$ , pentru orice $x \in (0, + \infty)$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $M (x) = (2 x 3 x 2)$ , unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det (M (1)) = 1$ .

2. (5 puncte) Arătați că $M (1) + 2 M (4) = 3 M (3)$ .

3. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $M (2) \cdot M (- 2) = a I_{2}$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (M (x) + M (- 2 x)) = 4$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $M (x) \cdot M (- 1) + M (y) = 12 M (- 1)$ .

6. (5 puncte) Demonstrați că numărul natural $N = det (2 M (1) + n I_{2})$ este multiplu de $4$ , pentru orice număr natural par $n$ .

Barem și răspunsuri

Cele 18 cerințe însumează 90 de puncte, iar cu 10 puncte din oficiu totalul lucrării este 100. Cifrele îngroșate din paranteze arată cât din cele 5 puncte revine fiecărei etape a rezolvării, în ordinea foii de evaluare.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu numere zecimale.

Întâi paranteza și câtul: $1, 5 - 0, 3 = 1, 2$ și $0, 8 : 2 = 0, 4$ . Expresia devine $3 \cdot (1, 5 - 0, 3) + 0, 8 : 2 = 3 \cdot 1, 2 + 0, 4 (3 p) .$ Produsul $3 \cdot 1, 2$ este $3, 6$ , iar $3, 6 + 0, 4 = 4$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

Valoarea în $3$ este $f (3) = 2 \cdot 3 + 1 = 7$ , iar în $a$ este $f (a) = 2 a + 1$ (3 p). Condiția din enunț, $f (a) = f (3) - a$ , înseamnă $f (a) + a = f (3)$ , adică $2 a + 1 + a = 7$ . Rămâne $3 a = 6$ , deci $a = 2$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul în baza $2$ este injectiv, așa că doi logaritmi egali au argumente egale: $5 x - 12 = 2 x (3 p) .$ Rezultă $3 x = 12$ și $x = 4$ . Pentru $x = 4$ argumentele sunt $5 \cdot 4 - 12 = 8$ și $2 \cdot 4 = 8$ , ambele strict pozitive, deci $x = 4$ este soluție (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — scumpire cu un procent.

Notăm cu $p$ prețul de dinainte, în lei. Scumpirea adaugă $\frac{35}{100} \cdot p$ , iar prețul nou este $54$ : $p + \frac{35}{100} \cdot p = 54 (3 p) .$ Membrul stâng se scrie $\frac{135}{100} \cdot p$ , de unde $p = 54 \cdot \frac{100}{135} = 40$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și lungimi în reper.

Coordonatele mijlocului sunt semisumele coordonatelor capetelor: $x_{M} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ și $y_{M} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ . Segmentul care leagă originea de $M (3, 3)$ are lungimea $O M = 3^{2} + 3^{2} = 18 = 32 (3 p) .$ Pentru $C (6, 0)$ , lungimea lui $C M$ este $(6 - 3)^{2} + (0 - 3)^{2} = 18 = 32$ , așadar $OM = CM$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic.

Din $5 A B = 4 B C$ și $A B = 16$ avem $4 \cdot B C = 80$ , adică $B C = 20 (2 p) .$ Cum unghiul drept e în $A$ , ipotenuza este $B C$ , iar Pitagora dă $A C^{2} = B C^{2} - A B^{2} = 2 0^{2} - 1 6^{2} = 400 - 256 = 144$ . Lungimea fiind pozitivă, $AC = 12$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea ei într-o pereche.

Introducem $x = 0$ și $y = 2$ în definiția legii: $0 * 2 = 0 \cdot 2 - 6 (0 + 2) + 14 (3 p) .$ Rămâne $0 - 12 + 14 = 2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: comutativitatea.

Inversăm operanzii: $y * x = y x - 6 (y + x) + 14$ . La numere reale, $y x = x y$ și $y + x = x + y$ , deci $y * x = x y - 6 (x + y) + 14 (3 p) .$ Partea dreaptă este definiția lui $x * y$ . Fiindcă $y * x = x * y$ oricare ar fi $x$ și $y$ , legea este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu un operand fixat.

Cu $y = 4$ : $x * 4 = 4 x - 6 (x + 4) + 14 = 4 x - 6 x - 24 + 14$ , adică $x * 4 = - 2 x - 10 (3 p) .$ Egalitatea $x * 4 = 4$ cere $- 2 x = 4 + 10$ , adică $- 2 x = 14$ , deci $x = - 7$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: perechi de numere naturale.

Punem $- m$ în locul lui $x$ și $- n$ în locul lui $y$ . Produsul $(- m) (- n)$ este $mn$ , iar suma $(- m) + (- n)$ este $- (m + n)$ , deci $(- m) * (- n) = mn + 6 (m + n) + 14 (2 p) .$ Membrul drept al egalității din enunț este $(m * n) + 36 = mn - 6 (m + n) + 14 + 36$ . Reducem $mn$ și $14$ : $6 (m + n) = - 6 (m + n) + 36$ , adică $12 (m + n) = 36$ și $m + n = 3$ . Cu $m < n$ naturale, perechile sunt $(0, 3)$ și $(1, 2)$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: ecuație exponențială.

Factorii au produsul $(1 + 3^{x}) (1 - 3^{x}) = 1 - 3^{2 x}$ și suma $(1 + 3^{x}) + (1 - 3^{x}) = 2$ , deci $(1 + 3^{x}) * (1 - 3^{x}) = 1 - 3^{2 x} - 6 \cdot 2 + 14 = 3 - 3^{2 x} (3 p) .$ Ecuația $3 - 3^{2 x} = 0$ dă $3^{2 x} = 3^{1}$ . Bazele coincid, deci coincid și exponenții: $2 x = 1$ , iar $x = \frac{1}{2}$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o inegalitate.

Cu $y = \frac{1}{x}$ , produsul $x \cdot \frac{1}{x}$ este $1$ , iar suma $x + \frac{1}{x}$ este $\frac{x ^{2} + 1}{x}$ : $x * \frac{1}{x} = 1 - \frac{6 ( x ^{2} + 1 )}{x} + 14 = 15 - \frac{6 ( x ^{2} + 1 )}{x} (2 p) .$ Suma $x + \frac{1}{x}$ apare în rezultat: $x * \frac{1}{x} = 15 - 6 (x + \frac{1}{x})$ . Pentru $x > 0$ , inegalitatea $(x - 1)^{2} \geq 0$ dă $x^{2} + 1 \geq 2 x$ , iar împărțirea la $x$ arată că $x + \frac{1}{x} \geq 2$ . Prin urmare $x * \frac{1}{x} \leq 15 - 6 \cdot 2 = 3$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $x = 1$ matricea este $M (1) = (2132)$ . La o matrice $(a c b d)$ determinantul este $a d - b c$ , deci $det (M (1)) = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 1 (3 p) .$ Aceasta înseamnă $4 - 3 = 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: suma cu un multiplu al unei matrice.

Avem $M (1) = (2132)$ și $M (4) = (24122)$ , deci $2 M (4) = (48244)$ și $M (1) + 2 M (4) = (69276) (3 p) .$ Toate elementele se împart la $3$ : $(69276) = 3 (2392)$ . Matricea din paranteză are $9 = 3 \cdot 3$ în dreapta sus și $3$ în stânga jos, deci este $M (3)$ , iar $M (1) + 2 M (4) = 3 M (3)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: un produs egal cu $a I_{2}$ .

Fie $M (2) = (2262)$ și $M (- 2) = (2 - 2 - 6 2)$ . Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al produsului se obține combinând linia $i$ din primul factor cu coloana $j$ din al doilea: $M (2) \cdot M (- 2) = (2 \cdot 2 + 6 \cdot (- 2) 2 \cdot 2 + 2 \cdot (- 2) 2 \cdot (- 6) + 6 \cdot 2 2 \cdot (- 6) + 2 \cdot 2) = (- 8 0 0 - 8) = - 8 I_{2} (3 p) .$ Matricea $a I_{2}$ are $a$ pe ambele locuri diagonale și $0$ în rest; pentru ca ea să fie egală cu $- 8 I_{2}$ trebuie ca $a = - 8$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: ecuație cu determinant.

Avem $M (- 2 x) = (2 - 2 x - 6 x 2)$ , deci $M (x) + M (- 2 x) = (4 - x - 3 x 4)$ , iar $det (M (x) + M (- 2 x)) = 4 \cdot 4 - (- 3 x) (- x) = 16 - 3 x^{2} (3 p) .$ Din $16 - 3 x^{2} = 4$ rezultă $3 x^{2} = 12$ , adică $x^{2} = 4$ . Soluțiile sunt $x = - 2$ și $x = 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: ecuație matriceală cu două necunoscute.

Cu $M (- 1) = (2 - 1 - 3 2)$ obținem $M (x) \cdot M (- 1) = (4 - 3 x 2 x - 2 - 6 + 6 x 4 - 3 x)$ . Adunăm $M (y) = (2 y 3 y 2)$ : $M (x) \cdot M (- 1) + M (y) = (6 - 3 x 2 x + y - 2 6 x + 3 y - 6 6 - 3 x) (3 p) .$ În dreapta, $12 M (- 1) = (24 - 12 - 36 24)$ . Pe diagonală, $6 - 3 x = 24$ dă $x = - 6$ ; pe locul din dreapta sus, $6 x + 3 y - 6 = - 36$ dă $3 y = 6$ , deci $y = 2$ . Locul din stânga jos se verifică: $2 \cdot (- 6) + 2 - 2 = - 12$ . Soluția este $x = - 6$ și $y = 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: un determinant divizibil cu 4.

Din $2 M (1) = (4264)$ rezultă $2 M (1) + n I_{2} = (4 + n 2 6 4 + n)$ , iar $N = (4 + n)^{2} - 6 \cdot 2 = n^{2} + 8 n + 4 (3 p) .$ Un număr natural par are forma $n = 2 k$ , cu $k$ natural. Atunci $N = 4 k^{2} + 16 k + 4 = 4 (k^{2} + 4 k + 1)$ ; paranteza e număr natural, deci $N$ se împarte exact la $4$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă varianta 1 a probei E. c) de matematică M_pedagogic din sesiunea iunie 2025: trei ore de lucru, 18 cerințe de câte 5 puncte, adică 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile urmează foaia oficială. Calculele și explicațiile sunt ale Matepolis, iar fiecare etapă punctată dintr-o rezolvare corespunde unui rând al foii de evaluare.

Cine o susține: matematica M_pedagogic se dă numai la specializarea învățător-educatoare; la celelalte specializări ale profilului pedagogic, proba E. c) este istorie.

Ce conține această variantă. Primele șase cerințe sunt independente: un calcul cu zecimale, o funcție de gradul întâi, o ecuație logaritmică, o scumpire cu procente, o problemă în reperul cartezian și un triunghi dreptunghic. Următoarele șase alcătuiesc o singură problemă, despre legea de compoziție dată prin formula $x * y = x y - 6 (x + y) + 14$ pe mulțimea $R$ . Ultimele șase alcătuiesc tot o singură problemă, despre matricele pătratice $M (x)$ de ordinul doi.

Legătura cu programa. Programa de examen M_pedagogic așază funcția de gradul întâi în clasa a IX-a, logaritmii și procentele în clasa a X-a, legile de compoziție în clasa a XI-a, iar matricele și determinanții în clasa a XII-a. Pentru recapitulare se pot folosi lecțiile Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru (problema cu legea de compoziție) și Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple (problema cu matrice).

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

Exercițiul 4: scăderea a $35%$ din $54$ de lei dă $54 - 18, 9 = 35, 1$ , care nu e prețul cerut; procentul se ia din prețul de dinainte de scumpire, nu din cel de după.
Cerința II.3: răspunsul $x = 4$ nu verifică ecuația, pentru că $4 * 4 = - 18$ . Un element neutru $u$ ar trebui să satisfacă $x * u = x$ pentru orice $x$ , adică $u = 7$ și, în același timp, $6 u = 14$ ; deci legea nu are element neutru.
Cerința II.4: $(- m) * (- n)$ nu este $- (m * n)$ ; pentru $m = 1$ și $n = 2$ prima valoare este $34$ , a doua $2$ .
Cerința III.3: înmulțirea element cu element a lui $M (2)$ cu $M (- 2)$ dă $(4 - 4 - 36 4)$ , matrice care nu e de forma $a I_{2}$ ; produsul adevărat are zerouri în afara diagonalei.
Cerința III.5: produsul $M (x) \cdot M (- 1)$ nu se poate înlocui cu o matrice de forma $M (t)$ ; pentru $x = 2$ el are pe diagonală valoarea $- 2$ , în timp ce orice $M (t)$ are $2$ pe diagonală, așa că produsul trebuie calculat efectiv, linie cu coloană, înainte de a-l aduna cu $M (y)$ .

Despre litere. Aceeași literă își schimbă rolul de la un item la altul: $a$ este necunoscuta în itemul 2, dar în cerința III.3 este scalarul din $a I_{2}$ . În problema cu matrice, $x$ este parametrul lui $M (x)$ , iar în cerințele III.4 și III.5 este și necunoscuta; în cerința III.6, $n$ este un număr natural par, iar $N$ este determinantul calculat.