Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2025 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2025 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=3$ și $a_2=9$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-5$. Arătați că $f(3)+f(2)+f(0)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{9x-5}=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $30\%$, un obiect costă $56$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,1)$, $B(5,6)$ și $C(7,2)$. Arătați că $AB=AC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\left(\sin 30^{\circ }+3\cos 60^{\circ }\right)\cdot {\left(\sin 45^{\circ }\right)}^2=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}2& x\\ -1& 2x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=5$.

b) (5 puncte) Arătați că $A+3I_2=2B(1)$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det (B(2x)-B(x)\cdot A)=x^2$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-8x-8y+8$.

a) (5 puncte) Arătați că $0\ast 1=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast 2=2x$.

c) (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale, cu $m<n$, pentru care $(8+m)\ast (8+n)=2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-4,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{4x+7}{x+4}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{9}{(x+4{)}^2}$, $x\in (-4,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați $a\in (-4,+\infty )$, știind că panta tangentei la graficul funcției $f$ în punctul $A(a,f(a))$ este egală cu $1$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(-3,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+\sqrt{x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-\sqrt{x+3}\right)dx=3$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^6\frac{1}{f(x)-2x}dx=2$.

c) (5 puncte) Arătați că volumul corpului obținut prin rotația graficului funcției $g:[0,6]\to \mathbb{R}$, $g(x)=\frac{x}{f(x)-2x}$, în jurul axei $Ox$ este egal cu $9\pi \ln 3$.

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din cerințe + 10 p din oficiu = 100 p. Subiectul I – 30 p (itemii 1–6, câte 5 p) · Subiectul al II-lea – 30 p (itemii 7–8) · Subiectul al III-lea – 30 p (itemii 9–10). La itemii 7–10, fiecare subpunct valorează 5 p, împărțite pe două rânduri. Rândurile punctate de mai jos respectă baremul oficial de evaluare și de notare al sesiunii speciale 2025 (Varianta 3); textul rezolvărilor, explicațiile și probele sunt scrise de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația este diferența dintre doi termeni consecutivi: $$r=a_2-a_1=9-3=6\text{(3 p)}.$$ Fiecare termen se obține adăugând rația la cel dinainte: $$a_3=a_2+r=9+6=15\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: termenul general este $a_n=3+6(n-1)$, deci $a_3=3+12=15$. Probă: $\frac{3+15}{2}=9$, adică $a_2$ este media vecinilor. Capcană: raportul $\frac{9}{3}=3$ ar fi rația unei progresii geometrice, la care al treilea termen ar fi $9\cdot 3=27$, nu $15$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții de gradul întâi.

Se înlocuiește pe rând în $f(x)=3x-5$: $$f(3)=3\cdot 3-5=4,f(2)=3\cdot 2-5=1,f(0)=3\cdot 0-5=-5\text{(3 p)}.$$ Suma cerută este $$f(3)+f(2)+f(0)=4+1-5=0\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: suma are forma $3(3+2+0)-3\cdot 5=15-15$, fiindcă termenul liber $-5$ apare de trei ori. Capcană: funcția nu e aditivă; $f(3+2+0)=f(5)=10$, nu $0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Ambii membri ai ecuației $\sqrt{9x-5}=2$ sunt nenegativi, deci se pot ridica la pătrat: $$9x-5=2^2=4\text{(3 p)}.$$ Atunci $9x=9$, adică $\mathbf{x}=1$. Soluția convine: sub radical rămâne $9\cdot 1-5=4\ge 0$ (2 p).

(Probă: $\sqrt{9\cdot 1-5}=\sqrt{4}=2$. Capcană: se uită ridicarea la pătrat și iese $9x-5=2$, adică $x=\frac{7}{9}$; dar atunci $\sqrt{9\cdot \frac{7}{9}-5}=\sqrt{2}\ne 2$. Altă greșeală: radicalul se aplică doar lui $9x$, $\sqrt{9x}-5=2$; ar da $3\sqrt{x}=7$, adică $x=\frac{49}{9}$, iar $\sqrt{9\cdot \frac{49}{9}-5}=\sqrt{44}\ne 2$.)

Exercițiul 4. (5 p) — procente: prețul de dinainte.

Fie $x$ prețul înainte de ieftinire. După o ieftinire cu $30\%$ rămân $100\%-30\%=70\%$ din preț, iar acestea costă $56$ de lei: $$\frac{70}{100}x=56\text{(3 p)}.$$ De aici $x=56\cdot \frac{100}{70}$: $$x=80\text{ de lei}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $30\%$ din $80$ este $24$, iar $80-24=56$. Capcană: se adună $30$ la $56$ și iese $86$; dar $30$ nu este reducerea în lei — reducerea este $30\%$ din prețul inițial, adică $24$ de lei.)

Exercițiul 5. (5 p) — două segmente egale în reperul cartezian.

Distanța dintre două puncte este radicalul sumei pătratelor diferențelor coordonatelor lor. Pentru $A(0,1)$ și $B(5,6)$, diferențele sunt $5$ și $5$: $$AB=\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Pentru $A(0,1)$ și $C(7,2)$, diferențele sunt $7$ și $1$: $$AC=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}=AB\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: se compară pătratele, fără radicali, $A{B}^2=25+25=50$ și $A{C}^2=49+1=50$. Capcană: $\sqrt{50}$ se scrie $25\sqrt{2}$, deși ${\left(25\sqrt{2}\right)}^2=1250$; avem $50=25\cdot 2$, iar din $25$ iese $5$ de sub radical. O altă greșeală: ordonata lui $A$ se ia $0$ în loc de $1$, iar $AB$ iese $\sqrt{25+36}=\sqrt{61}$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Se scriu întâi valorile unghiurilor remarcabile care apar în expresie: $$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2},\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\text{(3 p)}.$$ Înlocuite, ele dau paranteza $\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$ și pătratul ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$: $$\left(\sin 30^{\circ }+3\cos 60^{\circ }\right){\left(\sin 45^{\circ }\right)}^2=2\cdot \frac{1}{2}=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }$ și ${\sin }^{2}45^{\circ }+{\cos }^{2}45^{\circ }=1$, deci ${\sin }^{2}45^{\circ }=\frac{1}{2}$. Capcană: pătratul se uită și iese $2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$; sau pătratul se pune doar la numărător, $\frac{(\sqrt{2}{)}^2}{2}=1$, și rezultatul devine $2\cdot 1=2$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$.

a) (5 p) Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right)$: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 2\\ -2& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-2\cdot (-2)\text{(3 p)}.$$ $$\det A=1+4=5\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: o matrice de forma $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ -q& p\end{array}\right)$ are determinantul $p^2+q^2$, aici $1+4$. Capcană: semnul lui $-2$ se pierde, $1\cdot 1-2\cdot 2=-3$; sau diagonalele se iau în ordine inversă, $2\cdot (-2)-1\cdot 1=-5$.)

b) (5 p) Se adună $3I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)$ la $A$: $$A+3I_2=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pentru $x=1$, $B(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 2\end{array}\right)$, deci $$2B(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ -2& 4\end{array}\right)=A+3I_2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: scalarul $2$ înmulțește toate elementele lui $B(1)$, nu doar pe cele de pe diagonală; $\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& 4\end{array}\right)$ nu este $2B(1)$.)

c) (5 p) Se înlocuiește $x$ cu $2x$: $B(2x)=\left(\begin{array}{cc}2& 2x\\ -1& 4x\end{array}\right)$. Produsul, rând cu coloană: $$B(x)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2-2x& 4+x\\ -1-4x& -2+2x\end{array}\right).$$ Diferența este $$B(2x)-B(x)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2x& x-4\\ 4x& 2x+2\end{array}\right),\text{ iar }\det =2x(2x+2)-4x(x-4)=20x\text{(3 p)}.$$ Termenii de gradul al doilea, $4x^2$, se anulează. Ecuația $20x=x^2$ se scrie $x(x-20)=0$, deci $$\mathbf{x}=0\text{ sau }\mathbf{x}=20\text{(2 p)}.$$

(Probă: la $x=20$ determinantul este $20\cdot 20=400=20^2$. Capcană: determinantul diferenței se scrie ca diferență de determinanți; $\det B(2x)=10x$ și $\det (B(x)\cdot A)=5x\cdot 5=25x$ ar da $-15x$, dar $\det (U-V)\ne \det U-\det V$. O altă greșeală: ecuația $20x=x^2$ se împarte la $x$ și soluția $x=0$ se pierde.)

Exercițiul 8. (15 p) — lege de compoziție.

a) (5 p) Se înlocuiește $x=0$ și $y=1$ în definiția legii: $$0\ast 1=0\cdot 1-8\cdot 0-8\cdot 1+8\text{(3 p)}.$$ $$0\ast 1=0-0-8+8=0\text{(2 p)}.$$

(Altă formă a legii: $x\ast y=(x-8)(y-8)-56$; atunci $0\ast 1=(-8)(-7)-56=0$. Capcană: ultimul termen se scrie $-8$, iar rezultatul devine $-16$.)

b) (5 p) Pentru orice număr real $x$, $$x\ast 2=2x-8x-16+8=-6x-8\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-6x-8=2x$ dă $-8=8x$, deci $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

(Probă: $(-1)\ast 2=-2+8-16+8=-2$, iar $2\cdot (-1)=-2$. Capcană: termenul $-8x$ se scrie $+8x$ și iese $10x-8=2x$, adică $x=1$; dar $1\ast 2=2-8-16+8=-14$, nu $2$.)

c) (5 p) Pentru $x=8+m$ și $y=8+n$, produsul și sumele se reduc: din $(8+m)(8+n)$ rămâne $mn+8m+8n+64$, iar $-8(8+m)-8(8+n)$ aduce $-8m-8n-128$. Termenii în $m$ și $n$ se anulează, iar constantele, cu $+8$ din definiție, dau $64-128+8=-56$. Atunci $$(8+m)\ast (8+n)=mn-56\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $mn-56=2$ dă $mn=58$. Cum $58=2\cdot 29$ și $29$ este prim, divizorii lui $58$ sunt $1$, $2$, $29$ și $58$; pentru $m<n$ rămân perechile $$(1,58)\text{ și }(2,29)\text{(3 p)}.$$

(Probă: $9\ast 66=594-72-528+8=2$ și $10\ast 37=370-80-296+8=2$. Capcană: se scriu și perechile cu $m>n$, $(29,2)$ și $(58,1)$, deși se cere $m<n$; sau se încearcă $m=0$, care ar da $0\cdot n=58$, imposibil.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, asimptotă, tangentă.

a) (5 p) Se aplică regula derivatei câtului, cu $u=4x+7$ și $v=x+4$: $$f^{\prime }(x)=\frac{4(x+4)-(4x+7)\cdot 1}{(x+4{)}^2}\text{(3 p)}.$$ La numărător, $4x+16-4x-7=9$: $$f^{\prime }(x)=\frac{9}{(x+4{)}^2},x\in (-4,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: $4x+7=4(x+4)-9$, deci $f(x)=4-\frac{9}{x+4}$, iar derivata este $\frac{9}{(x+4{)}^2}$. Capcană: în numărător se inversează ordinea și iese $-\frac{9}{(x+4{)}^2}$, o derivată negativă pentru o funcție care crește.)

b) (5 p) Limita funcției spre $+\infty$ se calculează împărțind numărătorul și numitorul la $x$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4+\frac{7}{x}}{1+\frac{4}{x}}=4\text{(3 p)}.$$ Cum limita e un număr real, graficul lui $f$ se apropie spre $+\infty$ de dreapta orizontală $$\mathbf{y}=4,$$ care îi este deci asimptotă (2 p).

(Altă cale: $f(x)=4-\frac{9}{x+4}$, iar fracția tinde la $0$. Capcană: se iau în raport termenii liberi, $\frac{7}{4}$, în loc de coeficienții lui $x$, $\frac{4}{1}$; sau se scrie ecuația ca $x=4$, care este o dreaptă verticală, nu orizontală.)

c) (5 p) Panta tangentei în punctul de abscisă $a$ este $f^{\prime }(a)$, deci condiția din enunț se scrie $$f^{\prime }(a)=1\text{(2 p)}.$$ Cu derivata de la a), $\frac{9}{(a+4{)}^2}=1$, adică $(a+4{)}^2=9$, deci $a+4=3$ sau $a+4=-3$. Din $a>-4$ avem $a+4>0$, așa că rămâne $a+4=3$: $$\mathbf{a}=-1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(-1)=\frac{9}{3^2}=1$, iar $f(-1)=\frac{-4+7}{-1+4}=1$, deci punctul este $A(-1,1)$. Capcană: se păstrează și $a=-7$, care nu aparține intervalului $(-4,+\infty )$; sau $(a+4{)}^2=9$ se rezolvă ca $a+4=9$, de unde $a=5$, dar $f^{\prime }(5)=\frac{9}{81}=\frac{1}{9}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu radical și volum.

a) (5 p) Din $f(x)=2x+\sqrt{x+3}$, diferența $f(x)-\sqrt{x+3}$ rămâne $2x$: $${\int }_1^2\left(f(x)-\sqrt{x+3}\right)dx={\int }_1^{2}2xdx=x^2{|}_1^2\text{(3 p)}.$$ $$=4-1=3\text{(2 p)}.$$

(Probă geometrică: pe $[1,2]$, dreapta $y=2x$ are valorile $2$ și $4$ la capete, iar aria de sub ea este un trapez cu bazele $2$ și $4$ și înălțimea $1$: $\frac{2+4}{2}\cdot 1=3$. Capcană: o primitivă a lui $2x$ se scrie $2x^2$ și iese $8-2=6$; sau $x$, și iese $2-1=1$.)

b) (5 p) Acum $f(x)-2x=\sqrt{x+3}$, care este pozitiv pe $[1,6]$. O primitivă a lui $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ este $2\sqrt{x+3}$: $${\int }_1^6\frac{1}{\sqrt{x+3}}dx=2\sqrt{x+3}{|}_1^6\text{(3 p)}.$$ $$=2\cdot 3-2\cdot 2=2\text{(2 p)}.$$

(Verificare de ordin de mărime: pe $[1,6]$ funcția $\frac{1}{\sqrt{x+3}}$ scade de la $\frac{1}{2}$, în $x=1$, la $\frac{1}{3}$, în $x=6$; pe un interval de lungime $5$, integrala este deci între $\frac{5}{3}$ și $\frac{5}{2}$, iar $2$ se află între ele. Capcană: se ia drept primitivă chiar derivata lui $\sqrt{x+3}$; valoarea ar fi $\frac{1}{6}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{12}$, negativă pentru o funcție pozitivă.)

c) (5 p) Funcția este $g(x)=\frac{x}{\sqrt{x+3}}$ pe $[0,6]$, iar pătratul ei face să dispară radicalul: $g^2(x)=\frac{x^2}{x+3}$. Volumul corpului de rotație este $$\mathcal{V}=\pi {\int }_0^6{g}^2(x)dx=\pi {\int }_0^6\frac{x^2}{x+3}dx\text{(2 p)}.$$ Numărătorul se scrie $x^2=(x+3)(x-3)+9$, deci $\frac{x^2}{x+3}=x-3+\frac{9}{x+3}$ și $$\mathcal{V}=\pi \left(\frac{x^2}{2}-3x+9\ln (x+3)\right){|}_0^6=\pi \left(9\ln 9-9\ln 3\right)=9\pi \ln 3\text{(3 p)}.$$

(Baremul notează volumul cu $V$; la noi este $\mathcal{V}$. Verificare de ordin de mărime: $g^2\le 4$ pe $[0,6]$, deci ${\int }_0^6{g}^{2}dx\le 24$, iar $9\ln 3<24$, fiindcă $\ln 3<2$ (căci $e^2>3$). Capcană: se uită pătratul funcției și se integrează $\frac{x}{\sqrt{x+3}}$, ceea ce dă $4\pi \sqrt{3}$, nu $9\pi \ln 3$; sau se uită factorul $\pi$ și rezultatul rămâne $9\ln 3$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde lucrarea de matematică tehnologic din sesiunea specială a Bacalaureatului 2025, proba E. c). Pe foaia oficială scrie „Varianta 3", iar disciplina se numește Matematică M_tehnologic; în școli i se spune și „M3". În antet figurează Ministerul Educației și Cercetării și Centrul Național pentru Curriculum și Evaluare. Lucrarea e scrisă pentru elevii filierei tehnologice, oricare ar fi calificarea lor profesională (servicii, resurse sau tehnic). Enunțurile sunt reproduse literă cu literă; rezolvările, comentariile și ghidajul aparțin paginii, iar rândurile punctate sunt cele ale baremului oficial.

Proba, pe scurt. Din 2013, tehnologicul are la matematică o probă proprie, M_tehnologic, cu subiecte scrise numai pentru filiera lui; lucrarea de mai jos este una dintre ele.

Forma. Șase cerințe scurte, apoi patru probleme de câte trei subpuncte; peste punctele din cerințe, toți candidații primesc 10 puncte din oficiu.

Cerințele, cu clasa din programa de examen:

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1 (cerința 3). Drumul este cel algebric: radicalul se ridică la pătrat, iar soluția se verifică. La examen, ecuațiile cu radicali țin de clasa a X-a; programa școlară nouă le rezolvă pe grafic sau digital, deci drumul acesta nu are acolo o unitate proprie. Pentru candidații din 2027, 2028 și 2029, cu clasele a IX-a și a X-a făcute după programa veche, el se află în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 2 (cerința 4). La examen, procentele sunt de la matematicile financiare din clasa a X-a. În programa nouă, procentul e doar exemplu în alte teme, nu capitol; pe site, materia stă în „Supliment Bac M3 2027–2029: matematici financiare".
• Nota 3 (cerința 5). Distanța dintre două puncte din plan este la examen în clasa a X-a, iar programa școlară nouă o așază în clasa a IX-a. Nu e o greșeală, ci felul în care sunt împărțite cele două programe.
• Nota 4 (cerința 6). Unghiurile sunt date în grade, iar programa nouă scrie valorile funcțiilor trigonometrice în radiani, la clasa a IX-a: $30^{\circ }$ înseamnă $\frac{\pi }{6}$, $45^{\circ }$ înseamnă $\frac{\pi }{4}$, iar $60^{\circ }$ înseamnă $\frac{\pi }{3}$. Valorile sunt aceleași, doar unitatea de măsură diferă.

Ce a avut special varianta 3. La Subiectul I, cerințele 1, 2 și 4 se rezolvă dintr-o singură relație simplă, iar cerința 5 cere două distanțe egale, câte $5\sqrt{2}$, ambele ieșite din $\sqrt{50}$. La Subiectul al II-lea, determinantul din subpunctul c) are la început termeni de gradul al doilea, care se anulează între ei; legea de compoziție de la a doua problemă se simplifică mult dacă numerele se scriu ca $8+m$ și $8+n$, iar subpunctul c) se reduce la descompuneri ale numărului $58$. La Subiectul al III-lea, funcția $f$ din prima problemă are numărătorul legat de numitor printr-o relație simplă, iar în a doua problemă scăderea lasă din $f$ câte un singur termen: la a) dispare radicalul și rămâne $2x$, iar la b) dispare $2x$ și rămâne radicalul.

Cum o parcurgi, cu ceasul în față:

• Ordine: Subiectul I mai întâi, apoi subpunctele a) din cele patru probleme, apoi b) și, la sfârșit, c); subpunctele a) și b) se pot rezolva din formule, iar c) cere o idee.
• Timp: trei ore, fără calculator. Cele 180 de minute se pot împărți astfel: 6 minute pentru fiecare dintre cele 6 cerințe ale Subiectului I (36 de minute), apoi 11 minute pentru fiecare dintre cele 12 subpuncte (132 de minute); rămân 12 minute pentru recitire.
• Notarea oficială (scrisă pe barem), în cuvinte puține: un drum corect, dar diferit de cel din barem, își primește punctele rândurilor parcurse; punctul nu se taie în bucăți; nota rezultă împărțind la zece totalul, în care intră și oficiul. Nota 5 cere 50 de puncte, adică 40 din cele 90 ale cerințelor.
• Greșeli de redactare de evitat: soluția ecuației de la cerința 3 lăsată fără verificare; la 7.c), calculul determinantului diferenței ca diferență de determinanți; la 8.c), perechea $(2,29)$ scrisă și ca $(29,2)$, deși se cere $m<n$; la 9.c), valoarea $a=-7$ păstrată, deși nu aparține intervalului $(-4,+\infty )$; la 10.c), pătratul funcției $g$ uitat sub integrală.
• După aceea: subpunctele ratate se caută în tabelul de mai sus, pe rândul cerinței.

Ce înseamnă totalul. Sub 40 de puncte din 90, nota 5 nu e acoperită încă: reia Subiectul I și subpunctele a) și b), unde ajung formulele, fără idei. Între 40 și 65 sunt bazele; punctele lipsă se caută mai întâi la c). Peste 65 rămân viteza și curățenia redactării.

Din formule, ai nevoie de, pe subiecte:

• Subiectul I. Într-o progresie aritmetică, $a_{n+1}=a_n+r$; $\sqrt{u}=v$, cu $v\ge 0$, atrage $u=v^2$; dacă prețul scade cu $p\%$, rămân $100\%-p\%$ din el; distanța dintre două puncte este radicalul sumei pătratelor diferențelor coordonatelor lor; $\sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
• Subiectul al II-lea. Pentru $M=\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$, $\det M=ps-qr$; produsul a două matrice se face „rând cu coloană"; o matrice se înmulțește cu un număr element cu element.
• Subiectul al III-lea. Derivata câtului, $\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; dreapta $y=b$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ dacă $f(x)\to b$ când $x\to +\infty$; panta tangentei în punctul de abscisă $a$ este $f^{\prime }(a)$; volumul corpului de rotație este $\mathcal{V}=\pi {\int }_a^b{g}^2(x)dx$.

Cum se citesc literele. $f$ denumește trei funcții în lucrare: $f(x)=3x-5$ (cerința 2), $f(x)=\frac{4x+7}{x+4}$ (Subiectul al III-lea, problema 1) și $f(x)=2x+\sqrt{x+3}$ (problema 2). Litera $A$ este punct la cerința 5, iar la Subiectul al II-lea este o matrice, fără argument, spre deosebire de $B(x)$; la III.1.c), $A(a,f(a))$ este un punct al graficului. Literele $m$ și $n$ de la II.2.c) sunt numere naturale. Simbolul $\ast$ denumește legea de compoziție și nu înseamnă înmulțire.

Dacă te întrebi de ce titlurile scriu „itemul": așa numește baremul fiecare cerință, iar noi am păstrat cuvântul doar acolo.