Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2014 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2014 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Verificați dacă $(2^{5} - 1) (2^{5} + 1) = 1023$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 2$ . Determinați coordonatele punctului $A$ care aparține graficului funcției $f$ și care are abscisa egală cu ordonata.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $lo g_{2} x^{3} = 12 - lo g_{2} x$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

O imprimantă are prețul de vânzare $186$ de lei. Calculați prețul imprimantei înainte de aplicarea TVA-ului, știind că TVA-ul este de $24%$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $M (3, 4)$ , $N (2, 1)$ și $P (a, b)$ . Determinați numerele reale $a$ și $b$ știind că punctul $N$ este mijlocul segmentului $M P$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 3)$ , $B (5, 3)$ și $C (5, 7)$ . Calculați $cos A$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = (x - 3) (y - 3) + 3$ .

1. (5 puncte) Calculați $2014 \circ 3$ .

2. (5 puncte) Verificați dacă legea de compoziție „ $\circ$ ” este asociativă.

3. (5 puncte) Determinați elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

4. (5 puncte) Arătați că $x \circ 3 = 3 \circ x = 3$ , pentru orice număr real $x$ .

5. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x \circ (x + 1) = 3$ .

6. (5 puncte) Determinați numerele întregi $a$ și $b$ pentru care $a \circ b = 4$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră mulțimea $M = {A (x, y) = (x - y y x) x, y \in R, x^{2} + y^{2} = 1}$ .

1. (5 puncte) Arătați că $det (A (x, y)) = 1$ .

2. (5 puncte) Dați un exemplu de matrice care aparține mulțimii $M$ .

3. (5 puncte) Calculați $A (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) + A (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ .

4. (5 puncte) Arătați că $A (x, y) \cdot A (x, - y) = A (1, 0)$ , pentru orice matrice $A (x, y), A (x, - y) \in M$ .

5. (5 puncte) Determinați numărul matricelor din mulțimea $M$ care au toate elementele numere întregi.

6. (5 puncte) Se consideră numerele reale $p$ și $q$ cu proprietatea că $p^{2} + q^{2} = 1$ . Demonstrați că matricea $(p - 2 - (q + 2) q + 2 p - 2)$ nu este element al mulțimii $M$ .

Barem și răspunsuri

Fiecare rând din baremul oficial are rezolvarea lui mai jos, în aceeași ordine; numărul îngroșat din paranteză este punctajul rândului, din cele 5 ale cerinței. Șaptesprezece cerințe se împart în două rânduri, de $3 + 2$ sau $2 + 3$ puncte, iar cerința III.5 are trei, de $2 + 2 + 1$ . Adăugând cele 10 puncte din oficiu, se ajunge la 100 de puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — o egalitate numerică cu puteri ale lui $2$ .

Factorii au forma $a - 1$ și $a + 1$ , cu $a = 2^{5}$ , deci produsul lor este diferența pătratelor, $a^{2} - 1$ . Cum $(2^{5})^{2} = 2^{10}$ , obținem $(2^{5} - 1) (2^{5} + 1) = 2^{10} - 1 (2 p) .$

Puterea $2^{10}$ este $1024$ , așa că $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$ , iar egalitatea din enunț este adevărată (3 p). Verificare directă: $2^{5} - 1 = 31$ , $2^{5} + 1 = 33$ și $31 \cdot 33 = 1023$ .

Exercițiul 2. (5 p) — punctul graficului cu abscisa egală cu ordonata.

Un punct al graficului are coordonatele $(x, f (x))$ . Abscisa egală cu ordonata înseamnă $f (x) = x$ , adică ecuația $f (x) = x \Rightarrow 3 x + 2 = x (3 p) .$

Rezultă $2 x = - 2$ , deci $x = - 1$ , iar ordonata este $f (- 1) = 3 \cdot (- 1) + 2 = - 1$ . Punctul este $A (- 1, - 1)$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — o ecuație cu logaritmi.

Argumentele logaritmilor trebuie să fie pozitive: $x^{3} > 0$ și $x > 0$ , deci $x > 0$ . Regula puterii spune că $lo g_{2} x^{3}$ este de trei ori $lo g_{2} x$ ; aducem termenii cu logaritm în stânga, unde se adună patru logaritmi ai lui $x$ , iar în dreapta rămâne $12$ . Prin urmare $x > 0, 4 lo g_{2} x = 12 \Rightarrow lo g_{2} x = 3 (3 p) .$

Atunci $x = 2^{3} = 8$ , număr pozitiv. Verificare: $lo g_{2} 8^{3} = lo g_{2} 512 = 9$ și $12 - lo g_{2} 8 = 12 - 3 = 9$ , deci $x = 8$ convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — prețul înainte de TVA.

Prețul de vânzare este prețul fără TVA plus TVA-ul, care este $24%$ din prețul fără TVA. Dacă $x$ este prețul fără TVA, în lei, $x + 24% \cdot x = 186 (2 p) .$

Membrul stâng este $\frac{124}{100} x$ , deci $x = 186 \cdot \frac{100}{124} = 150$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — un capăt al segmentului cu mijlocul dat.

Coordonatele mijlocului $N$ sunt mediile coordonatelor capetelor $M (3, 4)$ și $P (a, b)$ : $2 = \frac{3 + a}{2} ș i 1 = \frac{4 + b}{2} (3 p) .$

Din prima egalitate, $3 + a = 4$ , deci $a = 1$ ; din a doua, $4 + b = 2$ , deci $b = - 2$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — cosinusul unui unghi, cu punctele în reper.

Lungimile laturilor sunt $A B = (5 - 2)^{2} + (3 - 3)^{2} = 3$ , $B C = (5 - 5)^{2} + (7 - 3)^{2} = 4$ și $A C = (5 - 2)^{2} + (7 - 3)^{2} = 25 = 5$ : $A B = 3, B C = 4, A C = 5 (3 p) .$

Cum $3^{2} + 4^{2} = 5^{2}$ , triunghiul este dreptunghic în $B$ , iar $cos A$ este raportul dintre cateta alăturată, $A B$ , și ipotenuza $A C$ : $cos A = \frac{A B}{A C} = \frac{3}{5}$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere cu primul operand mare.

Punem în definiție primul operand egal cu $2014$ și al doilea egal cu $3$ : $2014 \circ 3 = (2014 - 3) (3 - 3) + 3 (3 p) .$

Al doilea factor, $3 - 3$ , este $0$ , deci produsul este $0$ , iar rezultatul este $0 + 3 = 3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — asociativitatea legii.

Calculăm cele două grupări pentru $x$ , $y$ , $z$ reale oarecare. În $(x \circ y) \circ z$ primul operand este $(x - 3) (y - 3) + 3$ ; din el se scade $3$ înainte de înmulțirea cu $z - 3$ , deci termenul $+ 3$ al primei compuneri dispare: $(x \circ y) \circ z = ((x - 3) (y - 3) + 3) \circ z = (x - 3) (y - 3) (z - 3) + 3 (2 p) .$

În cealaltă grupare, al doilea operand este $y \circ z = (y - 3) (z - 3) + 3$ ; scăzând $3$ din el rămâne produsul diferențelor $y - 3$ și $z - 3$ : $x \circ (y \circ z) = x \circ ((y - 3) (z - 3) + 3) = (x - 3) (y - 3) (z - 3) + 3 = (x \circ y) \circ z .$ Egalitatea are loc pentru orice $x$ , $y$ , $z$ reali, deci legea este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — elementul neutru.

Căutăm un număr real $e$ cu $x \circ e = x$ pentru orice $x$ . Înmulțirea numerelor reale este comutativă, așa că $x \circ e = (x - 3) (e - 3) + 3 = (e - 3) (x - 3) + 3 = e \circ x, pentru orice x (2 p) .$ Rămâne de rezolvat o singură egalitate.

Egalitatea $x \circ e = x$ , după scăderea lui $3$ din fiecare membru, spune că produsul diferențelor $x - 3$ și $e - 3$ este egal cu $x - 3$ ; mutând totul într-un membru, apare produsul diferențelor $x - 3$ și $e - 4$ , care trebuie să fie nul pentru orice $x$ real. Factorul $x - 3$ este nenul pentru $x \neq = 3$ , deci $e - 4 = 0$ : $x \circ e = x ⟺ (x - 3) (e - 4) = 0 pentru orice x real, deci e = 4 (3 p) .$ Verificare: $x \circ 4 = (x - 3) \cdot 1 + 3 = x$ , iar $4 \circ x$ este aceeași expresie.

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — numărul $3$ în legea $\circ$ .

Pentru orice $x$ real, al doilea factor este $3 - 3 = 0$ : $x \circ 3 = (x - 3) (3 - 3) + 3 = 3 (2 p) .$

În ordine inversă, primul factor este $3 - 3 = 0$ : $3 \circ x = (3 - 3) (x - 3) + 3 = 3 = x \circ 3, pentru orice num \overset{a}{˘} r real x (3 p) .$

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație cu legea $\circ$ .

Al doilea operand este $x + 1$ , iar ecuația $x \circ (x + 1) = 3$ ajunge, după reducerea lui $+ 3$ în ambii membri, la un produs egal cu zero: $(x - 3) ((x + 1) - 3) + 3 = 3 \Rightarrow (x - 3) (x - 2) = 0 (3 p) .$

Din produsul nul rezultă că unul dintre factori este $0$ , deci $x = 2$ sau $x = 3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — perechi de numere întregi.

Din $a \circ b = 4$ rezultă, după scăderea lui $3$ din fiecare membru, că produsul diferențelor $a - 3$ și $b - 3$ este $1$ . Cum aceste diferențe sunt numere întregi, ele sunt ambele egale cu $1$ ori ambele egale cu $- 1$ : $a \circ b = 4 \Rightarrow (a - 3) (b - 3) = 1 ș i a, b \in Z \Rightarrow a - 3 = b - 3 = 1 sau a - 3 = b - 3 = - 1 (3 p) .$

Primul caz dă $a = b = 4$ , al doilea dă $a = b = 2$ . Perechile sunt $(4, 4)$ și $(2, 2)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul unei matrice din $M$ .

Pentru o matrice din $M$ avem $x^{2} + y^{2} = 1$ . Determinantul de ordin $2$ este produsul diagonalei principale minus produsul diagonalei secundare: $det (A (x, y)) = x - y y x = x \cdot x - y \cdot (- y) (3 p) .$

Produsele sunt $x^{2}$ și $- y^{2}$ , deci $det (A (x, y)) = x^{2} + y^{2} = 1$ , fiindcă $x^{2} + y^{2} = 1$ în $M$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — un exemplu de matrice din $M$ .

O matrice din $M$ are forma $(x - y y x)$ cu $x^{2} + y^{2} = 1$ . Alegem $x = 1$ și $y = 0$ : $A (1, 0) = (1001) (3 p) .$

Condiția din definiția lui $M$ este îndeplinită, fiindcă $1^{2} + 0^{2} = 1$ ; deci $A (1, 0)$ aparține lui $M$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — suma a două matrice din $M$ .

Pentru $y = - \frac{3}{2}$ , elementul din dreapta sus este $- \frac{3}{2}$ , iar cel din stânga jos este $- y = \frac{3}{2}$ . Cele două matrice sunt $A (\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) + A (\frac{1}{2}, - \frac{3}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{2} \frac{3}{2} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \frac{1}{2} (2 p) .$

Adunăm element cu element: pe diagonală $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ , iar în afara ei $\frac{3}{2} + (- \frac{3}{2}) = 0$ și $- \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0$ . Rezultatul este $(1001) (3 p) .$

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — produsul $A (x, y) \cdot A (x, - y)$ .

În $A (x, - y)$ se înlocuiește $y$ cu $- y$ : sus apare $- y$ , iar jos $- (- y) = y$ , deci $A (x, - y) = (x y - y x)$ . Produsul se face linie cu coloană: $A (x, y) \cdot A (x, - y) = (x - y y x) (x y - y x) (2 p) .$

Elementele produsului sunt $x \cdot x + y \cdot y = x^{2} + y^{2}$ , $x \cdot (- y) + y \cdot x = 0$ , $(- y) \cdot x + x \cdot y = 0$ și $(- y) (- y) + x \cdot x = x^{2} + y^{2}$ . Cum $x^{2} + y^{2} = 1$ în $M$ : $(x^{2} + y^{2} 0 0 x^{2} + y^{2}) = (1001) = A (1, 0) (3 p) .$

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matricele din $M$ cu elemente întregi.

Matricea $A (x, y)$ are toate elementele întregi exact când $x$ și $y$ sunt întregi, iar în $M$ trebuie să avem $x^{2} + y^{2} = 1$ . Suma pătratelor a două numere întregi poate fi $1$ numai dacă un pătrat este $1$ și celălalt este $0$ .

Cazul $x^{2} = 1$ și $y^{2} = 0$ dă două perechi: $x^{2} = 1, y^{2} = 0 \Rightarrow x = 1, y = 0 sau x = - 1, y = 0 (2 p) .$

Cazul $x^{2} = 0$ și $y^{2} = 1$ dă alte două perechi: $x^{2} = 0, y^{2} = 1 \Rightarrow x = 0, y = 1 sau x = 0, y = - 1 (2 p) .$

Cele patru perechi $(1, 0)$ , $(- 1, 0)$ , $(0, 1)$ și $(0, - 1)$ dau matrice diferite, deci $M$ conține $4$ matrice cu toate elementele numere întregi (1 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o matrice care nu aparține mulțimii $M$ .

Matricea dată are forma $(x - y y x)$ cu $x = p - 2$ și $y = q + 2$ , deci ar fi în $M$ doar dacă $(p - 2)^{2} + (q + 2)^{2} = 1$ . Din $p^{2} + q^{2} = 1$ rezultă $p^{2} \leq 1$ și $q^{2} \leq 1$ , adică $- 1 \leq p \leq 1$ și $- 1 \leq q \leq 1$ . Atunci $p - 2 \leq - 1$ , deci pătratul lui $p - 2$ este cel puțin $1$ , și $q + 2 \geq 1$ , deci pătratul lui $q + 2$ este cel puțin $1$ : $p^{2} + q^{2} = 1 \Rightarrow - 1 \leq p \leq 1 \Rightarrow (p - 2)^{2} \geq 1 ș i - 1 \leq q \leq 1 \Rightarrow (q + 2)^{2} \geq 1 (3 p) .$

Adunând cele două inegalități, $(p - 2)^{2} + (q + 2)^{2} \geq 2 > 1$ , deci matricea nu este element al mulțimii $M$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Elevii clasei a XII-a au dat în 2014 o simulare pentru examenul de matematică M_pedagogic, la filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare; ea conține trei subiecte obligatorii. Cele șase cerințe ale fiecărui subiect valorează câte 5 puncte, iar totalul este de 90 de puncte; se lucrează 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Cerințele sunt cele din foaia originală, iar rezolvările și ghidajul interactiv, făcute de Matepolis, urmează rândurile punctate ale baremului.

Ce cuprinde. Subiectul I are șase cerințe fără legătură între ele: o egalitate numerică cu puteri ale lui $2$ , punctul de pe graficul unei funcții de gradul I care are abscisa egală cu ordonata, o ecuație cu logaritmi, prețul fără TVA, un capăt al unui segment cu mijlocul dat și cosinusul unui unghi dintr-un triunghi din reper. Subiectul al II-lea are ca bază legea $x \circ y = (x - 3) (y - 3) + 3$ , cu cerințe despre o valoare, asociativitate, elementul neutru, o egalitate cu numărul $3$ , o ecuație și perechile de numere întregi cu $a \circ b = 4$ . Subiectul al III-lea lucrează cu mulțimea $M$ a matricelor de forma $(x - y y x)$ cu $x^{2} + y^{2} = 1$ : un determinant, un exemplu, o sumă, un produs, numărul matricelor cu elemente întregi și o matrice care nu aparține mulțimii.

Locul în programă. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014 începe să se aplice la Bacalaureatul 2015, deci simularea din 2014 este anterioară ei; folosim ordinul doar ca reper pentru clasa fiecărui capitol. Operațiile cu numere reale și funcția de gradul I țin de clasa a IX-a. Logaritmii, procentele, TVA-ul și coordonatele punctelor în plan aparțin clasei a X-a. Legile de compoziție se studiază în clasa a XI-a, iar mulțimile de matrice, determinanții și operațiile cu matrice, în clasa a XII-a. La TVA ajută lecția Procente și TVA la tehnologic: factura, iar pentru înmulțirea a două matrice lecția Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

Exercițiul 1: produsul $(- 1) \cdot 1$ este $- 1$ , nu $+ 1$ . Cu $+ 1$ ar ieși $2^{10} + 1 = 1025$ , dar $31 \cdot 33 = 1023$ .
Exercițiul 2: ecuația este $f (x) = x$ , nu $f (x) = 0$ . Cu $f (x) = 0$ s-ar obține punctul $(- \frac{2}{3}, 0)$ de pe axa absciselor, a cărui abscisă nu este egală cu ordonata.
Exercițiul 3: termenul $lo g_{2} x$ se mută în stânga cu plus, deci în stânga se adună patru logaritmi egali. Dacă ar fi scăzut, ar rămâne doar doi logaritmi, ar ieși $x = 64$ , iar $lo g_{2} 6 4^{3} = 18$ , nu $12 - lo g_{2} 64 = 6$ .
Exercițiul 4: TVA-ul de $24%$ se calculează din prețul fără TVA, nu din $186$ de lei. Pentru $x = 150$ TVA-ul este de $36$ de lei, iar $150 + 36 = 186$ ; dacă s-ar lua $24%$ din $186$ , TVA-ul ar ieși mai mare decât $36$ de lei, iar prețul fără TVA, mai mic decât $150$ de lei.
Exercițiul 5: mijlocul este $N$ , deci $N$ stă în membrul stâng al egalităților. Dacă punctul $M$ ar fi mijlocul lui $N P$ , ar ieși $P (4, 7)$ , iar mijlocul lui $M P$ ar fi $(\frac{7}{2}, \frac{11}{2})$ , nu $N$ .
Exercițiul 6: cosinusul este raportul dintre cateta alăturată, $A B$ , și ipotenuza $A C$ . Fracția $\frac{4}{5}$ este $\frac{B C}{A C}$ , adică $sin A$ .
Cerința II.1: al doilea factor, $3 - 3 = 0$ , anulează produsul, deci numărul $2014$ nu mai contează în rezultat.
Cerința II.2: din primul operand al lui $(x \circ y) \circ z$ se scade $3$ înainte de înmulțire. Pentru $x = y = z = 4$ avem $(4 \circ 4) \circ 4 = 4 \circ 4 = 4$ ; dacă primul operand, $4 \circ 4 = 4$ , s-ar înmulți cu $z - 3 = 1$ fără să se scadă $3$ din el, s-ar obține $4 \cdot 1 + 3 = 7$ .
Cerința II.3: elementul neutru este $4$ , nu $3$ . Pentru $x = 5$ avem $5 \circ 4 = 5$ , dar $5 \circ 3 = 3$ .
Cerința II.4: numărul $3$ nu este element neutru, ci un element care absoarbe pe celelalte: $x \circ 3 = 3$ pentru orice $x$ . Pentru $x = 5$ avem $5 \circ 3 = 3$ , nu $5$ .
Cerința II.5: ecuația are soluțiile $2$ și $3$ , iar $4$ nu e soluție: $4 \circ 5 = 5$ , nu $3$ .
Cerința II.6: divizorii întregi ai lui $1$ sunt $1$ și $- 1$ , iar produsul unor factori de semne diferite este $- 1$ . Pentru perechea $(4, 2)$ avem $4 \circ 2 = 2$ , nu $4$ .
Cerința III.1: egalitatea $det (A (x, y)) = 1$ vine din $x^{2} + y^{2} = 1$ . Pentru $x = y = 1$ determinantul $x^{2} + y^{2}$ este $2$ , iar matricea $A (1, 1)$ nu este în $M$ .
Cerința III.2: nu orice matrice de forma cerută este în $M$ . Matricea $(1 - 1 11)$ are $x^{2} + y^{2} = 2$ .
Cerința III.3: elementele de pe diagonală se adună: $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ , nu $\frac{1}{2}$ .
Cerința III.4: în $A (x, - y)$ stă $- y$ sus și $y$ jos. Dacă semnul nu se schimbă, produsul $A (x, y) \cdot A (x, y)$ pentru $(x, y) = (0, 1)$ este $- I_{2}$ , nu $I_{2}$ .
Cerința III.5: perechea $(0, 0)$ nu convine, fiindcă $0^{2} + 0^{2} = 0$ , nu $1$ . Cele două cazuri dau câte două perechi, adică $2 + 2 = 4$ matrice.
Cerința III.6: din $- 1 \leq p \leq 1$ rezultă $p - 2 \leq - 1$ , deci pătratul lui $p - 2$ este cel puțin $1$ , dar nu cel puțin $4$ : pentru $p = 1$ pătratul lui $p - 2$ este chiar $1$ .

Despre litere. Primul subiect are funcția $f$ , punctul căutat $A$ cu abscisa $x$ , apoi aceeași literă $x$ ca necunoscută a ecuației logaritmice și, pusă de noi ca în barem, ca preț fără TVA; $M$ și $N$ sunt puncte date, iar $P (a, b)$ are coordonate necunoscute; $A$ , $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului din ultima cerință. Al doilea subiect lucrează cu numere reale arbitrare $x$ , $y$ , $z$ când cere o proprietate a legii și cu $x$ necunoscut în ecuație; $a$ și $b$ sunt numerele întregi căutate la sfârșit, iar $e$ este elementul neutru căutat, notat ca în barem, nu numărul lui Euler. În al treilea subiect, $x$ și $y$ sunt elementele matricei $A (x, y)$ , cu $x^{2} + y^{2} = 1$ în mulțimea $M$ ; într-o cerință ele sunt numere întregi, iar $p$ și $q$ din ultima cerință sunt numere reale cu $p^{2} + q^{2} = 1$ .