Subiect Bac matematică pedagogic, model 2013 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2013 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați valoarea de adevăr a propoziției „$\frac{1}{3}-\frac{1}{18}+\frac{1}{12}=\frac{13}{36}$“.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Rezolvați sistemul de ecuații $\{\begin{array}{l}2x+3y=1\\ 3x+2y=-1\end{array}$, $x,y\in \mathbb{R}$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x^2+2x-3<0$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați domeniul maxim de definiție $D$ al funcției $f:D\to \mathbb{R}$, $f(x)={\log }_2(3-x)$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Se consideră pătratul $ABCD$ de centru $O$. Arătați că $\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că triunghiul care are laturile de $5\sqrt{2}$, $5$ și $5$ este dreptunghic isoscel.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y={\log }_3\left(3^x+3^y+1\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $0\circ 0=1$.

2. (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „$\circ$” este comutativă pe $\mathbb{R}$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ 0=x+1$.

4. (5 puncte) Arătați că $x\circ y>0$, pentru orice $x,y\in \mathbb{R}$.

5. (5 puncte) Verificați dacă legea de compoziție „$\circ$” admite element neutru.

6. (5 puncte) Arătați că $(x\circ x)\circ x={\log }_3\left(2+3^{x+1}\right)$, pentru orice $x\in \mathbb{R}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 2\\ 2& -1& m\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$ și sistemul (S) $\{\begin{array}{l}mx+y+2z=1\\ 2x-y+mz=2\\ x+y+z=-1\end{array}$, unde $m\in \mathbb{R}$.

1. (5 puncte) Pentru $m=1$, arătați că $\det A=3$.

2. (5 puncte) Calculați determinantul matricei $A$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real pozitiv $m$ pentru care $\det (2A)=-16$.

4. (5 puncte) Pentru $m=3$, verificați dacă tripletul $\left(\frac{7}{5},-\frac{8}{5},-\frac{4}{5}\right)$ este soluție a sistemului (S).

5. (5 puncte) Pentru $m=1$, rezolvați sistemul (S).

6. (5 puncte) Pentru $m=2$, arătați că sistemul (S) nu are soluții.

Barem și răspunsuri

Soluțiile păstrează ordinea rândurilor din baremul oficial, iar numărul îngroșat din paranteză arată câte puncte aduce rândul respectiv. Nouă cerințe au câte două rânduri, de $3+2$ sau de $2+3$, iar celelalte nouă au câte trei rânduri, de $2+2+1$, $1+2+2$ sau $2+1+2$; rândul de un punct se numește în barem uneori „Finalizare”. Cu cele 10 puncte din oficiu, lucrarea are 100 de puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — valoarea de adevăr a unei egalități cu fracții.

Aducem fracțiile la numitorul comun $36$: $\frac{1}{3}=\frac{12}{36}$, $\frac{1}{18}=\frac{2}{36}$ și $\frac{1}{12}=\frac{3}{36}$, deci $$\frac{1}{3}-\frac{1}{18}+\frac{1}{12}=\frac{12}{36}-\frac{2}{36}+\frac{3}{36}\text{(3 p)}.$$

Numitorul comun rămâne $36$, iar numărătorii se combină: $12-2+3=13$. Suma este $\frac{13}{36}$, adică exact membrul drept, deci propoziția este adevărată (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — un sistem de două ecuații cu două necunoscute.

Ca să dispară $y$, înmulțim prima ecuație cu $2$ și a doua cu $3$, așa că amândouă ajung să conțină termenul $6y$. Scăzând prima ecuație înmulțită din a doua, termenii cu $y$ se reduc; membrul drept devine $-3-2=-5$, iar coeficientul lui $x$ devine $9-4=5$. Rezultă $5x=-5$, deci $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

Din prima ecuație, $3y$ este $1$ minus dublul lui $x$, adică $1-2\cdot (-1)=3$, deci $y=1$. Verificare în a doua: $3\cdot (-1)+2\cdot 1=-1$. Soluția sistemului este perechea $(-1,1)$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — o inecuație de gradul al doilea.

Rădăcinile trinomului se află din ecuația asociată lui, cu $\Delta =4+12=16$ și $x=\frac{-2\pm 4}{2}$: $$x^2+2x-3=0\Rightarrow x_1=1,x_2=-3\text{(3 p)}.$$

Parabola $y=x^2+2x-3$ are ramurile în sus, deci trinomul ia valori negative doar între cele două rădăcini, care nu aparțin mulțimii fiindcă inegalitatea este strictă: $\mathbf{x}\in (-3,1)$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — domeniul unei funcții cu logaritm.

Logaritmul este definit doar pentru argument strict pozitiv, așadar $3-x>0$ (2 p).

Din $3-x>0$ rezultă $x<3$, iar domeniul maxim este $$x<3\Rightarrow D=(-\infty ,3)\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 5. (5 p) — o egalitate de vectori în pătrat.

Aplicăm regula triunghiului pentru punctele $A$, $B$, $O$: $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$ (2 p).

Pătratul $ABCD$ este un paralelogram, deci $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}=-\overrightarrow{CD}$, iar $O$, centrul pătratului, este punctul în care se înjumătățește diagonala $BD$, deci $\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$: $$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD},\overrightarrow{BO}=\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}\text{(2 p)}.$$

Finalizare: înlocuim cele două relații în $\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BO}$ și obținem $\overrightarrow{AO}=-\overrightarrow{CD}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BD}$ (1 p).

Exercițiul 6. (5 p) — un triunghi dreptunghic isoscel.

Două dintre laturi au lungimea $5$, deci triunghiul este isoscel (1 p).

Latura cea mai lungă are pătratul ${\left(5\sqrt{2}\right)}^2=25\cdot 2=50$, iar celelalte două au pătratele $5^2$ și $5^2$, cu suma $25+25=50$: $${\left(5\sqrt{2}\right)}^2=5^2+5^2\text{(2 p)}.$$

Egalitatea $50=25+25$ spune că pătratul laturii mari este suma pătratelor celorlalte două; conform reciprocei teoremei lui Pitagora, unghiul din fața laturii $5\sqrt{2}$ este drept, deci triunghiul este dreptunghic (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — valoarea legii pentru $0$ și $0$.

Punem $x=y=0$ în definiție: $$0\circ 0={\log }_3\left(3^0+3^0+1\right)\text{(2 p)}.$$

Puterea $3^0$ este $1$, deci argumentul este $1+1+1=3$ și $$0\circ 0={\log }_{3}3\text{(2 p)}.$$

Logaritmul unui număr în baza lui însăși este $1$, deci $0\circ 0=1$ (1 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — comutativitatea legii.

Fie $x$ și $y$ numere reale oarecare. Din definiție, $$x\circ y={\log }_3\left(3^x+3^y+1\right)\text{(2 p)}.$$

Cu rolurile schimbate, primul operand este $y$ și al doilea este $x$: $$y\circ x={\log }_3\left(3^y+3^x+1\right)\text{(2 p)}.$$

Finalizare: adunarea nu ține cont de ordinea termenilor, deci $x\circ y=y\circ x$ pentru orice $x$ și $y$ reali, iar legea este comutativă pe $\mathbb{R}$ (1 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — ecuația $x\circ 0=x+1$.

Cum $3^0=1$, avem $x\circ 0={\log }_3\left(3^x+1+1\right)={\log }_3\left(2+3^x\right)$, deci ecuația este $$x\circ 0=x+1\Rightarrow {\log }_3\left(2+3^x\right)=x+1\text{(2 p)}.$$

Numărul $x+1$ este logaritmul în baza $3$ al puterii cu exponentul $x+1$, deci argumentele sunt egale; această putere este de trei ori $3^x$, iar după scăderea lui $3^x$ din ambii membri rămâne $2$ egal cu dublul lui $3^x$: $$2+3^x=3^{x+1}\Rightarrow 3^x=1\text{(2 p)}.$$

Din $3^x=3^0$ rezultă $\mathbf{x}=0$ (1 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — semnul lui $x\circ y$.

Orice putere a numărului pozitiv $3$ este pozitivă, oricare ar fi exponentul real: $$3^x>0\text{ și }{3}^y>0,\text{pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

Atunci $3^x+3^y+1>1$; funcția ${\log }_3$ crește și ${\log }_{3}1=0$, deci logaritmul argumentului este pozitiv: $$3^x+3^y+1>1\Rightarrow {\log }_3\left(3^x+3^y+1\right)>0\Rightarrow x\circ y>0,\text{pentru orice }x,y\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — elementul neutru nu există.

Presupunem că există un număr real $u$ astfel încât $x\circ u=x$ pentru orice $x$ real. Din definiție, $$x\circ u=x\Rightarrow {\log }_3\left(3^x+3^u+1\right)=x\text{(2 p)}.$$

Egalitatea cere ca argumentul să fie chiar $3^x$, adică $3^x+3^u+1=3^x$, de unde $$3^u=-1\text{(1 p)}.$$

Puterile lui $3$ sunt strict pozitive, adică $3^u>0$ pentru orice $u$ real, deci $3^u=-1$ nu are nicio soluție reală. Presupunerea duce la contradicție, deci pentru legea $\circ$ nu există niciun element neutru (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — identitatea cu $(x\circ x)\circ x$.

Pentru $x\circ x$, ambii operanzi sunt $x$: $$x\circ x={\log }_3\left(3^x+3^x+1\right)={\log }_3\left(2\cdot 3^x+1\right)\text{(2 p)}.$$

La a doua compunere, primul operand este $x\circ x$, iar puterea lui $3$ cu acest exponent este chiar argumentul primului logaritm; al doilea operand este $x$: $$(x\circ x)\circ x={\log }_3\left(2\cdot 3^x+1+3^x+1\right)\text{(2 p)}.$$

Argumentul are în total trei puteri $3^x$, adică o putere cu exponentul $x+1$, și constantele $1+1=2$, deci $$(x\circ x)\circ x={\log }_3\left(2+3^{x+1}\right),\text{pentru orice }x\in \mathbb{R}\text{(1 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A$ pentru $m=1$.

Înlocuim $m=1$ în elementele care conțin pe $m$: $$m=1\Rightarrow A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 2& -1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Regula lui Sarrus dă șase produse. Cele trei care se adună sunt $1\cdot (-1)\cdot 1=-1$, $1\cdot 1\cdot 1=1$ și $2\cdot 2\cdot 1=4$, cu suma $4$; cele trei care se scad sunt $2\cdot (-1)\cdot 1=-2$, $1\cdot 1\cdot 1=1$ și $1\cdot 2\cdot 1=2$, cu suma $1$. Rezultă $\det A=4-1=3$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — determinantul lui $A$ în funcție de $m$.

Regula lui Sarrus dă șase produse. Cele trei care se adună sunt $m\cdot (-1)\cdot 1=-m$, $1\cdot m\cdot 1=m$ și $2\cdot 2\cdot 1=4$; cele trei care se scad sunt $2\cdot (-1)\cdot 1=-2$, $m\cdot m\cdot 1=m^2$ și $1\cdot 2\cdot 1=2$. Rezultă: $$\det A=-m+4+m+2-m^2-2\text{(3 p)}.$$

Termenii $-m$ și $m$ se reduc, la fel $+2$ și $-2$, iar rămâne $$\det A=-{\mathbf{m}}^2+4\text{(2 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — o ecuație cu $\det (2A)$.

Fiecare dintre cele trei linii ale lui $2A$ este dublul liniei corespunzătoare din $A$, iar dublarea unei linii dublează determinantul; de trei ori la rând, $\det (2A)$ este de $2^3=8$ ori $\det A$. Pentru $\det A=4-m^2=(2-m)(2+m)$, ecuația cerută devine: $$\det (2A)=-16\Rightarrow 2^3\cdot (2-m)(2+m)=-16\text{(2 p)}.$$

Împărțind la $8$ obținem $4-m^2=-2$, adică $$m^2=6\text{(1 p)}.$$

Rezultă $m=\pm \sqrt{6}$; cerința cere $m$ pozitiv, așa că $-\sqrt{6}$ se respinge și $\mathbf{m}=\sqrt{6}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — verificarea unui triplet pentru $m=3$.

Pentru $m=3$ sistemul (S) este $$m=3\Rightarrow \{\begin{array}{l}3x+y+2z=1\\ 2x-y+3z=2\\ x+y+z=-1\end{array}\text{(2 p)}.$$

Înlocuim $x=\frac{7}{5}$, $y=-\frac{8}{5}$ și $z=-\frac{4}{5}$ în fiecare ecuație. Prima dă $\frac{21}{5}-\frac{8}{5}-\frac{8}{5}=\frac{5}{5}=1$; a doua dă $\frac{14}{5}+\frac{8}{5}-\frac{12}{5}=\frac{10}{5}=2$; a treia dă $\frac{7}{5}-\frac{8}{5}-\frac{4}{5}=-\frac{5}{5}=-1$. Cele trei egalități sunt adevărate, așadar tripletul este soluție a sistemului (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — rezolvarea sistemului pentru $m=1$.

Pentru $m=1$ sistemul (S) este $$m=1\Rightarrow \{\begin{array}{l}x+y+2z=1\\ 2x-y+z=2\\ x+y+z=-1\end{array}\text{(2 p)}.$$

Diferența dintre prima și a treia ecuație este $z=2$. Atunci a treia ecuație dă $x+y=-3$, iar a doua dă $2x-y=2-z=0$. Adunând $x+y=-3$ cu $2x-y=0$ rezultă $3x=-3$, deci $x=-1$ și $y=-2$. Soluția este $\mathbf{x}=-1,\mathbf{y}=-2,\mathbf{z}=2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — sistemul nu are soluții pentru $m=2$.

Pentru $m=2$ sistemul (S) este $$m=2\Rightarrow \{\begin{array}{l}2x+y+2z=1\\ 2x-y+2z=2\\ x+y+z=-1\end{array}\text{(2 p)}.$$

Prima ecuație minus a doua dă $2y=-1$, deci $y=-\frac{1}{2}$ (1 p).

Înlocuim pe $y$ în prima și în a treia ecuație: $2x+2z=1-y=\frac{3}{2}$ și $x+z=-1-y=-\frac{1}{2}$. A doua, înmulțită cu $2$, dă $2x+2z=-1$, care contrazice $2x+2z=\frac{3}{2}$: $$\{\begin{array}{l}2x+2z=\frac{3}{2}\\ x+z=-\frac{1}{2}\end{array}\text{ este imposibil}$$ și sistemul (S) nu are soluții (2 p).

Pentru părinți și profesori

Modelul din 2013 al probei E. c) la matematică M_pedagogic se adresează filierei vocaționale, profilului pedagogic, specializării învățător-educatoare. Lucrarea are trei subiecte obligatorii, iar fiecare subiect adună șase cerințe de câte 5 puncte. Cerințele valorează împreună 90 de puncte, iar timpul alocat este de 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Cerințele vin de pe foaia oficială; soluțiile și ghidajul interactiv sunt scrise de Matepolis și respectă rândurile punctate din barem.

Ce cuprinde. Subiectul I are șase cerințe fără legătură între ele: valoarea de adevăr a unei egalități cu fracții, un sistem de două ecuații cu două necunoscute, o inecuație de gradul al doilea, domeniul unei funcții cu logaritm, o egalitate de vectori într-un pătrat și un triunghi dreptunghic isoscel. În Subiectul al II-lea se lucrează cu legea $x\circ y={\log }_3\left(3^x+3^y+1\right)$, pe care enunțul o numește asociativă: o valoare, comutativitatea, o ecuație, semnul rezultatului, existența elementului neutru, cu răspuns negativ, și o egalitate cu $(x\circ x)\circ x$. Subiectul al III-lea se sprijină pe matricea $A$ de ordin $3$ și pe sistemul (S): doi determinanți, o ecuație cu $\det (2A)$, verificarea unui triplet, rezolvarea sistemului pentru $m=1$ și lipsa soluțiilor pentru $m=2$.

Locul în programă. Lucrarea din 2013 este anterioară ordinului OMEN 4430/2014, aplicat din Bacalaureatul 2015, iar Matepolis îl folosește doar ca reper al capitolelor. Propozițiile și valoarea lor de adevăr, sistemele cu două ecuații, inecuațiile de gradul doi, vectorii și triunghiul dreptunghic țin de clasa a IX-a; logaritmii, funcția logaritmică și ecuațiile exponențiale, de clasa a X-a; legile de compoziție, de clasa a XI-a; determinanții de ordin $3$ și sistemele liniare cu cel mult trei necunoscute (metoda lui Cramer inclusă), de clasa a XII-a. Pentru sistemul de la Subiectul III se poate relua lecția Cramer pas cu pas: sisteme 3×3 la tehnologic, iar pentru logaritmi lecția Logaritmul produsului: reguli de calcul, tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: la aducerea la numitorul $36$ numărătorul se înmulțește odată cu numitorul, deci $\frac{1}{12}=\frac{3}{36}$. Cu numărătorii rămași $1$, suma ar rezulta $\frac{1}{36}-\frac{1}{36}+\frac{1}{36}=\frac{1}{36}$, nu $\frac{13}{36}$.
• Exercițiul 2: membrul drept se înmulțește și el, odată cu ecuația: dublul lui $1$ este $2$, iar triplul lui $-1$ este $-3$, deci diferența dă $5x=-5$. Dacă ar rămâne neînmulțit, ar ieși $5x=-2$ și $x=-\frac{2}{5}$, iar perechea $\left(-\frac{2}{5},\frac{3}{5}\right)$ nu verifică a doua ecuație: $3\cdot \left(-\frac{2}{5}\right)+2\cdot \frac{3}{5}=0$, nu $-1$.
• Exercițiul 3: inegalitatea este strictă, deci capetele nu aparțin mulțimii. Pentru $x=1$ avem $1^2+2\cdot 1-3=0$, care nu este mai mic decât $0$.
• Exercițiul 4: argumentul logaritmului trebuie să fie strict pozitiv. Pentru $x=3$ avem $3-x=0$, iar ${\log }_{2}0$ nu există, deci $3\notin D$.
• Exercițiul 5: în pătratul $ABCD$ vectorii $\overrightarrow{AB}$ și $\overrightarrow{CD}$ au sensuri opuse, deci $\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{CD}$. Pentru $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$ și $D(0,1)$ avem $\overrightarrow{AB}=(1,0)$, iar $\overrightarrow{CD}=(-1,0)$.
• Exercițiul 6: două laturi egale arată doar că triunghiul este isoscel. Pentru unghiul drept mai trebuie ${\left(5\sqrt{2}\right)}^2=5^2+5^2$, adică $50=25+25$.
• Cerința II.1: puterea $3^0$ este $1$, nu $0$. Argumentul este $1+1+1=3$; dacă puterea s-ar socoti $0$, argumentul ar fi $0+0+1=1$ și ar ieși ${\log }_{3}1=0$, nu $1$.
• Cerința II.2: cele două compuneri au aceiași termeni în alte ordini. Pentru valorile $x=1$ și $y=0$ se obține $1\circ 0={\log }_{3}5=0\circ 1$.
• Cerința II.3: puterea cu exponentul $x+1$ este de trei ori $3^x$, nu cu $1$ mai mare decât $3^x$. Dacă ar fi cu $1$ mai mare, după reducerea lui $3^x$ ar rămâne numerele $2$ și $1$, care nu sunt egale, deci ecuația n-ar avea soluții.
• Cerința II.4: un argument pozitiv nu dă neapărat un logaritm pozitiv: ${\log }_3\frac{1}{3}=-1$. Aici argumentul $3^x+3^y+1$ depășește $1$, deci logaritmul este pozitiv.
• Cerința II.5: $0$ nu este element neutru, deși egalitatea $x\circ 0=x+1$ de la cerința II.3 pare apropiată: $0\circ 0=1$, nu $0$.
• Cerința II.6: puterea lui $3$ cu exponentul $x\circ x$ este argumentul primului logaritm, deci a doua compunere adună acest argument, nu pe $x\circ x$. Pentru $x=0$ avem $(0\circ 0)\circ 0=1\circ 0={\log }_{3}5$.
• Cerința III.1: elementul $-1$ din centrul lui $A$ nu conține pe $m$ și rămâne $-1$ și pentru $m=1$. Cu $1$ în centru, determinantul ar ieși $1$, nu $3$.
• Cerința III.2: în regula lui Sarrus ultimele trei produse se scad. Din $m\cdot m\cdot 1=m^2$ rezultă $-m^2$; cu $+m^2$ ar ieși $m^2+4$, care pentru $m=1$ dă $5$, iar $\det A=3$.
• Cerința III.3: matricea este de ordin $3$, deci dublarea tuturor elementelor înmulțește determinantul cu $2^3=8$, nu cu $2$. Pentru matricea unitate de ordin $3$, dublată, determinantul este $8$.
• Cerința III.4: tripletul trebuie pus în fiecare dintre cele trei ecuații, iar numitorul $5$ rămâne. A treia ecuație dă $\frac{7-8-4}{5}=-1$, nu $-5$.
• Cerința III.5: o soluție trebuie să verifice fiecare ecuație. Tripletul $(1,2,-2)$ nu convine, fiindcă a treia ecuație dă $1+2-2=1$, nu $-1$.
• Cerința III.6: după aflarea lui $y$ rămân $2x+2z=\frac{3}{2}$ și $x+z=-\frac{1}{2}$, ecuații care se contrazic, fiindcă a doua, înmulțită cu $2$, dă $-1$, nu $\frac{3}{2}$.

Despre litere. În Subiectul I, $x$ și $y$ sunt necunoscutele sistemului, $x$ este necunoscuta inecuației și variabila funcției $f$, iar $D$ este domeniul căutat al lui $f$; $A$, $B$, $C$ și $D$ numesc vârfurile pătratului, $O$ este centrul lui, iar $5\sqrt{2}$, $5$ și $5$ sunt laturile triunghiului. În Subiectul II, $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare, cu o singură excepție: în ecuația cu $x\circ 0$, litera $x$ este necunoscuta; pentru elementul neutru presupus folosim litera $u$ (baremul oficial îl notează cu $e$). În Subiectul III, $m$ este parametrul real din $A$ și din (S): primește valori date în patru cerințe, rămâne variabilă la calculul determinantului și devine necunoscută în ecuația cu $\det (2A)$; $x$, $y$ și $z$ sunt necunoscutele sistemului.