Prisma, paralelipipedul dreptunghic și cubul — clasa a VIII-a

Prisma dreaptă are aria laterală egală cu perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea, iar volumul egal cu aria bazei înmulțită cu înălțimea. Paralelipipedul dreptunghic și cubul sunt cazuri particulare ale ei. În clasa a VIII-a capitolul are șase lecții și deschide seria corpurilor.

Actualizat: 5 septembrie 2026.

Este primul capitol de calcul în spațiu al anului și, în același timp, cel în care se învață metoda folosită apoi la piramidă și la corpurile rotunde: desenezi corpul, cauți triunghiul dreptunghic în care stă mărimea cerută, aplici teorema lui Pitagora și abia apoi înlocuiești în formulă. Pagina strânge lecțiile, formulele, exercițiile rezolvate și testele capitolului, gratuit și fără cont.

Ce se evaluează la Evaluarea Națională din prismă, paralelipiped și cub

Cerințele merg de la recunoașterea elementelor până la calcule cu radicali. La geometria în spațiu, punctajul se dă și pe justificare, nu doar pe rezultat.

Toate cerințele date la Evaluarea Națională din prismă, cub și paralelipiped, an cu an, sunt la prisma și cubul la EN, iar cele de distanțe în interiorul corpului, la distanțe în spațiu la EN.

Teorie: cele șase lecții ale capitolului

Ordinea merge de la descriere la calcul și apoi la interiorul corpului.

• Prisma dreaptă: descriere, elemente caracteristice și desfășurare — ce este o prismă, cum se numesc fețele, muchiile și vârfurile ei și cum arată desfășurarea. Desfășurarea este pasul care face formulele de arie ușor de reținut.
• Paralelipipedul dreptunghic și cubul: descriere, diagonală și desfășurare — cazurile particulare cu care se lucrează des la examen, plus demonstrația formulei diagonalei, prin două aplicări ale teoremei lui Pitagora.
• Aria laterală, aria totală și volumul prismei drepte — cele trei formule generale și felul în care se schimbă aria bazei de la o prismă la alta.
• Aria totală și volumul paralelipipedului dreptunghic și ale cubului — formulele scurte, obținute din cele generale, plus greșelile de unități de măsură.
• Secțiuni diagonale în prismă, paralelipiped și cub — planul care taie corpul prin două muchii opuse și dreptunghiul care rezultă. Cerințele de aici cer întotdeauna teorema lui Pitagora în plan.
• Distanțe și unghiuri în interiorul prismei, paralelipipedului și cubului — unghiul dintre o diagonală și planul bazei, distanțele de la un vârf la o dreaptă sau la un plan. Din partea asta vin cerințele cu justificare din Subiectul al III-lea.

Baza teoretică vine din capitolele de paralelism și perpendicularitate; dacă e nevoie de o reluare, sunt la recapitulare: geometrie în spațiu și la teorema celor trei perpendiculare.

Formule

Sunt cinci relații proprii, plus teorema pe care se sprijină toate calculele cu diagonale:

• Prisma dreaptă — se folosește de la a treia lecție încolo, când capitolul trece de la descriere la calcul. Este formula-mamă a capitolului: celelalte două corpuri se obțin din ea, particularizând baza.
• Paralelipipedul dreptunghic: aria și volumul — intră o lecție mai târziu și e varianta care apare des în cerințe, fiindcă cele trei dimensiuni se citesc direct din enunț, fără niciun calcul intermediar de arie a bazei.
• Paralelipipedul dreptunghic: diagonala — apare deja la a doua lecție, în demonstrație, și revine apoi la fiecare cerință de secțiune sau de distanță în interiorul corpului.
• Cubul: aria și volumul — cazul particular pe care îl recunoști singur după ce ai lucrat formula generală; se învață la aceeași lecție cu cea de mai sus.
• Cubul: diagonala — scurtătura care se obține din formula paralelipipedului când cele trei dimensiuni sunt egale; revine în ultimele două lecții ale capitolului, la secțiuni și la distanțe.
• Teorema lui Pitagora — nu se învață aici, ci în clasa a VII-a, dar revine în fiecare dintre ultimele trei lecții ale capitolului: fără ea nu iese nicio diagonală și nicio distanță.

Toate corpurile stau împreună la formule pentru corpuri geometrice, iar termenii sunt definiți scurt în glosar, la prismă, arie și volum.

Un exemplu complet, pe un paralelipiped cu dimensiunile 2, 6 și 9 centimetri. Volumul este 2 · 6 · 9 = 108 cm³. Aria totală este 2 · (2 · 6 + 6 · 9 + 9 · 2) = 2 · (12 + 54 + 18) = 168 cm². Diagonala este rădăcina pătrată din 2² + 6² + 9², adică din 4 + 36 + 81 = 121, deci 11 cm.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt 12 exerciții-grilă, câte două din fiecare lecție a unității, amestecate, nu în ordinea lecțiilor. Fiecare are variante de răspuns, iar sub „Vezi rezolvarea" stau răspunsul corect, explicația și legătura spre lecția din care face parte: se lucrează întâi singur, apoi se verifică. Acoperă ariile, volumele, diagonalele, secțiunile diagonale și distanțele din interiorul corpului.

Exerciții cu verificare

Când vrei să lucrezi tu, intră în testul ghidat despre prismă, paralelipiped și cub: rezolvi în pagină și primești pasul următor exact acolo unde te oprești. Ghidajul e util mai ales la pasul în care trebuie ales triunghiul dreptunghic potrivit din figură.

Teste cu barem

Capitolul are două teste, amândouă de 50 de minute și 100 de puncte, cu baremul și rezolvările pe aceeași pagină, sub exerciții:

• Test: Prisma, paralelipipedul și cubul – descriere, elemente și desfășurare — partea de recunoaștere și desfășurare. Se dă primul.
• Test: Arii, volume, secțiuni și distanțe în prismă, paralelipiped și cub — partea de calcul, inclusiv secțiunile diagonale.

Cerințele de geometrie în spațiu apar și în testul recapitulativ de geometrie, în model de Evaluare Națională.

Cum îți verifici singur rezultatul

Metoda capitolului — desenezi corpul, cauți triunghiul dreptunghic în care stă mărimea cerută, aplici teorema lui Pitagora și abia apoi înlocuiești în formulă — are și un revers: patru întrebări pe care ți le pui după ce ai scris rezultatul, înainte de a-l încercui. Sunt aceleași la toate cele trei corpuri ale capitolului și se aplică în ordinea de mai jos.

1. Exponentul se potrivește cu unitatea? Ariile ies în unități pătrate, volumele în unități cubice. Un volum care iese în centimetri pătrați înseamnă că undeva s-a înmulțit o dimensiune mai puțin. Când enunțul amestecă metri cu centimetri, transformarea se face înainte de calcul, nu la final.
2. Diagonala ta iese mai mare decât fiecare muchie și decât diagonala bazei? Dacă nu, sub radical au intrat doar două dimensiuni din trei, iar ce ai calculat e diagonala unei fețe.
3. Ai numărat bazele o dată sau de două ori? Recitești ce cere enunțul — laterală sau totală — și verifici dacă cifra ta conține sau nu cele două baze. Diferența dintre cele două rezultate este exact dublul ariei bazei.
4. Aria bazei a trecut prin formula figurii ei? La prisma triunghiulară baza nu este latura la pătrat: se folosește aria triunghiului echilateral sau formula triunghiului din enunț. E pasul care se sare atunci când baza nu e pătrat.

Recapitulare și pregătire pentru examen

Recapitularea de final de an este recapitulare: corpuri geometrice, arii și volume, care pune la un loc toate corpurile studiate. Pentru repetat rapid înainte de test sunt mini-lecțiile aria laterală, totală și volumul prismei drepte și aria totală și volumul paralelipipedului și cubului.

Ce intră la examen, pe capitole, este în ce intră la Evaluarea Națională, iar frecvența capitolelor în subiectele publicate, în analiza subiectelor de Evaluare Națională. Traseul pe luni este pe pagina Evaluării Naționale, iar antrenamentul, în cele 148 de teste de antrenament.

De aici încolo

Capitolul se continuă în piramidă și trunchiul de piramidă, unde volumul se împarte la 3, și în corpurile rotunde, unde bazele devin cercuri. Calculele cu radicali care apar la diagonale se sprijină pe formulele de calcul prescurtat. Toate capitolele anului sunt pe hub-ul clasei a VIII-a, iar fișele tipăribile, la fișele de lucru de clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

Care sunt formulele pentru prisma dreaptă?

Aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu înălțimea, aria totală este aria laterală plus de două ori aria bazei, iar volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea. Cele trei formule sunt valabile pentru orice prismă dreaptă; ce se schimbă de la un caz la altul este doar felul în care se calculează aria bazei.

Cum calculez diagonala unui paralelipiped dreptunghic?

Cu rădăcina pătrată din suma pătratelor celor trei dimensiuni. Pentru un paralelipiped cu dimensiunile 2, 6 și 9 centimetri se obține rădăcina din 4 + 36 + 81 = 121, adică 11 centimetri. Formula vine din două aplicări ale teoremei lui Pitagora: întâi în dreptunghiul bazei, apoi în triunghiul format de diagonala bazei, muchia laterală și diagonala corpului.

De unde încep capitolul dacă am rămas în urmă?

De la prima lecție, cea de descriere și desfășurare, chiar dacă pare că nu se calculează nimic în ea: desfășurarea este figura din care ies apoi toate formulele de arie, iar fără numele fețelor și al muchiilor enunțurile nu se pot citi. Abia apoi se trece la lecția a treia, unde încep calculele. Sărită prima lecție, formulele rămân șiruri de litere fără figură în spate.

În ce ordine se calculează mărimile într-o problemă cu prismă?

Întâi aria bazei, cu formula figurii care stă la bază, apoi perimetrul bazei, apoi aria laterală, apoi aria totală și abia la final volumul. Diagonalele și distanțele se calculează separat, cu teorema lui Pitagora, în triunghiul dreptunghic pe care îl identifici în desen. Ordinea contează pentru că fiecare mărime o folosește pe cea dinaintea ei, iar o eroare la aria bazei se propagă până la capăt.

Ce trebuie să știu din geometria plană înainte de acest capitol?

Teorema lui Pitagora, ariile poligoanelor care pot sta la bază — pătrat, dreptunghi, triunghi echilateral, hexagon regulat — și noțiunea de perimetru. Din geometria în spațiu de la începutul anului se folosesc paralelismul dreptelor și al planelor și perpendicularitatea, care justifică faptul că un unghi din figură este drept. Fără justificarea aceea, la barem se pierde punctajul chiar dacă rezultatul este bun.

Cum îmi dau seama dacă rezultatul la o diagonală este plauzibil?

Diagonala corpului depășește orice alt segment care unește două vârfuri, deci trebuie să iasă mai mare decât fiecare muchie și decât diagonala bazei. Dacă rezultatul tău este mai mic decât una dintre ele, sub radical au intrat doar două dimensiuni din trei. A doua verificare rapidă: pentru dimensiuni întregi, rezultatul iese rareori întreg, deci un radical rămas în răspuns nu este un semn de greșeală.

Ce cerințe de geometrie în spațiu apar la Evaluarea Națională?

Cerințele se împart în două: recunoașterea elementelor și calcule scurte, în Subiectul I și în Subiectul al II-lea, și problemele cu justificare scrisă, în Subiectul al III-lea. La cele din urmă punctajul se dă pe pași — figura, justificarea unghiului drept, calculul — nu doar pe rezultatul final. Numărătoarea pe capitole, făcută pe subiectele publicate, este în analiza subiectelor de Evaluare Națională, legată mai sus.