Corpuri rotunde — clasa a VIII-a

Corpurile rotunde studiate în clasa a VIII-a sunt cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con și sfera. La toate, bazele sunt cercuri sau discuri, iar în formule apare numărul π. Capitolul are șapte lecții și încheie geometria în spațiu a gimnaziului.

Actualizat: 5 septembrie 2026.

Trei dintre ele se calculează după tiparul cunoscut: cilindrul ca o prismă cu baza rotundă, conul ca o piramidă cu baza rotundă, inclusiv cu împărțirea la 3 de la volum, iar trunchiul de con după trunchiul de piramidă. Sfera face excepție — nu are bază și are formulele ei. Singura mărime nouă din capitol este generatoarea. Pagina strânge lecțiile, formulele, exercițiile rezolvate și testele capitolului, gratuit și fără cont.

Ce se evaluează la Evaluarea Națională din corpuri rotunde

Aproape orice cerință din capitol are doi pași: întâi o mărime intermediară — generatoarea, raza sau înălțimea — și abia apoi aria sau volumul. Rezultatele se lasă de obicei cu π, nu se aproximează. Iată cum sună asta în șase cerințe formulate ca la clasă:

Toate cerințele date la Evaluarea Națională din corpuri rotunde, an cu an, sunt la corpurile rotunde la EN.

Teorie: cele șapte lecții ale capitolului

Ordinea merge de la cilindru la sferă, iar fiecare corp are întâi descrierea, apoi calculele.

• Cilindrul circular drept: descriere și desfășurare — cele două baze, suprafața laterală și dreptunghiul care rezultă la desfășurare. Desfășurarea explică de ce aria laterală este circumferința bazei ori înălțimea.
• Cilindrul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul — cele trei formule și felul în care se scriu rezultatele cu π.
• Conul circular drept: descriere, desfășurare și generatoare — vârful, baza, generatoarea și sectorul de cerc din desfășurare. Aici se introduce relația dintre rază, înălțime și generatoare.
• Conul circular drept: aria laterală, aria totală și volumul — formulele conului, cu împărțirea la 3 la volum, ca la piramidă.
• Trunchiul de con circular drept: descriere, arie și volum — corpul obținut tăind conul cu un plan paralel cu baza, cu cele două raze și generatoarea lui.
• Sfera: aria și volumul — singurul corp fără baze și fără desfășurare plană, cu două formule care depind doar de rază.
• Probleme aplicative cu arii și volume ale corpurilor rotunde — vase, rezervoare, capacități în litri și transformări de unități. Contextele din care se scriu cerințele din Subiectul al III-lea.

Formule

Fiecare corp are pagina lui de formulă, cu enunțul, figura și capcanele lui. De aici pleci spre ea când vrei formula singură, fără lecția întreagă:

• Cilindrul circular drept — îți trebuie de la a doua lecție, când capitolul trece de la descriere la calcul.
• Conul circular drept — de la a patra lecție; e pagina la care te întorci des, fiindcă are trei mărimi de ținut minte deodată.
• Trunchiul de con — a cincea lecție. Merită deschisă alături de cea a trunchiului de piramidă: cele două se învață una prin cealaltă.
• Sfera — a șasea lecție, singura la care nu ai de calculat nimic intermediar înainte.
• Aria discului și lungimea cercului — nu sunt din programa clasei a VIII-a, ci din a VII-a; se recitesc aici fiindcă fără ele nu pornește niciun calcul.
• Teorema lui Pitagora — o ai tot din clasa a VII-a, dar aici o folosești în spațiu, la generatoare: e pasul dinaintea oricărei arii de con.

Toate corpurile stau la formule pentru corpuri geometrice, iar dacă vrei doar definiția unui cuvânt, fără formule, glosarul o dă în două rânduri: cilindru, con, sferă, volum.

Un exemplu complet, pe un con cu raza de 7 cm și înălțimea de 24 cm. Generatoarea se află cu teorema lui Pitagora: rădăcina din 7² + 24², adică din 49 + 576 = 625, deci 25 cm. Aria laterală este π · 7 · 25 = 175π cm². Aria totală este π · 7 · (25 + 7) = 224π cm². Volumul este π · 7² · 24 : 3 = 392π cm³.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt 12 exerciții-grilă cu variante de răspuns, iar sub „Vezi rezolvarea" stau răspunsul corect, explicația și legătura spre lecția din care face parte: se lucrează întâi singur, apoi se verifică. Acoperă cele patru corpuri: arii și volume, aflarea generatoarei și drumul invers — o dimensiune scoasă dintr-o arie sau dintr-un volum dat. Enunțurile sunt puse în context: coif, pâlnie, ghiveci, conservă. Explicațiile spun și de ce cade fiecare variantă greșită, ceea ce ajută acolo unde se confundă aria laterală cu aria totală. Problemele cu litri stau în lecția de probleme aplicative și în al doilea test al capitolului, nu aici.

Exerciții cu verificare

Când vrei să lucrezi tu, intră în testul ghidat despre cilindru și con: rezolvi în pagină și primești pasul următor acolo unde te oprești. Ghidajul lucrează pe cerințele de cilindru și con, adică exact pe locul în care se confundă înălțimea cu generatoarea.

Teste cu barem

Capitolul are două teste, amândouă cu baremul și rezolvările pe aceeași pagină, sub exerciții:

• Test: Cilindrul și conul circular drept — descriere, desfășurare, arii și volume pentru primele două corpuri; 100 de puncte și 50 de minute scrise pe test. Se dă primul, fiindcă acoperă primele patru lecții.
• Test: Trunchiul de con, sfera și probleme aplicative — ultimele două corpuri și problemele cu context practic; tot 100 de puncte, dar 60 de minute, fiindcă are mai mult de calculat.

Cerințele de geometrie în spațiu apar și în testul recapitulativ de geometrie, în model de Evaluare Națională.

Greșelile care se repetă și unde le repari

Patru greșeli acoperă aproape tot ce se pierde la corectare în capitolul acesta, iar fiecare are pagina care o lămurește.

1. Înălțimea folosită în locul generatoarei la aria laterală a conului se repară la conul circular drept: arii și volum, lecția care insistă exact pe ea.
2. Diametrul citit ca rază se prinde recitind aria discului: la sferă greșeala umflă volumul de opt ori, la cilindru și la con de patru, fiindcă acolo înălțimea rămâne cea din enunț.
3. Împărțirea la 3 uitată la volumul conului se lămurește la conul circular drept, unde formula stă lângă figură.
4. Unitățile amestecate la problemele cu capacitate se corectează în problemele aplicative cu arii și volume.

Dacă nu știi la care dintre ele stai prost, ți-o spune testul de cilindru și con, în cele 50 de minute ale lui.

Recapitulare și pregătire pentru examen

Recapitularea de final de an este recapitulare: corpuri geometrice, arii și volume, care pune la un loc corpurile cu vârfuri și pe cele rotunde. Pentru repetat rapid înainte de test sunt mini-lecțiile cilindrul: arii și volum, pe scurt și aria și volumul sferei, pe scurt.

Ce intră la examen, pe capitole, este în ce intră la Evaluarea Națională, iar cât cântăresc corpurile rotunde în subiectele publicate se vede în analiza subiectelor de Evaluare Națională. Traseul pe luni este pe pagina Evaluării Naționale, iar antrenamentul, în cele 148 de teste de antrenament.

De aici încolo

Înaintea capitolului stau prisma, paralelipipedul și cubul — cilindrul se calculează după același tipar — și piramida și trunchiul de piramidă, de la care conul preia împărțirea la 3. Ridicările la pătrat și radicalii care apar la generatoare se fac cu deprinderile din formulele de calcul prescurtat. Toate capitolele anului sunt pe hub-ul clasei a VIII-a, iar fișele tipăribile, la fișele de lucru de clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

Care sunt corpurile rotunde studiate în clasa a 8-a?

Sunt patru: cilindrul circular drept, conul circular drept, trunchiul de con circular drept și sfera. Primele trei au baze în formă de disc și o suprafață laterală care se poate desfășura în plan; sfera nu are baze și nu se poate desfășura. Toate formulele lor conțin numărul π, fiindcă pornesc de la aria discului sau de la lungimea cercului.

În ce ordine se învață cele patru corpuri rotunde?

Cilindrul, conul, trunchiul de con, sfera — și, la final, o lecție întreagă de probleme aplicative. Fiecare corp are întâi o lecție de descriere și desfășurare, apoi una de arii și volum, în afară de trunchiul de con și sferă, care le au pe amândouă într-una singură. Ordinea contează: conul preia tiparul cilindrului, iar trunchiul de con nu se poate învăța înaintea conului întreg.

Cu ce diferă corpurile rotunde de prismă și piramidă?

Prin bază și prin mărimea nouă. Bazele nu mai sunt poligoane, ci discuri, deci în orice formulă intră π. Iar la con apare generatoarea, care nu are corespondent la piramidă și care se află cu teorema lui Pitagora înainte de orice arie. În rest, structura formulelor rămâne aceeași: cilindrul urmează prisma, conul urmează piramida, inclusiv cu împărțirea la 3 de la volum.

De unde reiau dacă am pierdut capitolul?

De la lecția de descriere a cilindrului, fiindcă desfășurarea lui explică de unde vin toate formulele de arie ale capitolului. Dacă timpul este scurt, sari peste trunchiul de con, care are puține cerințe, și lucrează cilindrul și conul până le știi fără să te uiți. Sfera se recuperează în douăzeci de minute: are doar două formule și niciun pas intermediar.

Ce mărime se calculează întâi într-o problemă cu corpuri rotunde?

Aproape întotdeauna cea care lipsește din triunghiul rază–înălțime–generatoare. Dacă enunțul dă raza și înălțimea, prima ta linie de calcul este generatoarea; dacă dă generatoarea și raza, este înălțimea. Abia după aceea intri în formula de arie sau de volum. La sferă pasul acesta nu există, fiindcă totul se calculează direct din rază.

Care test de corpuri rotunde se dă primul?

Cel de cilindru și con, fiindcă acoperă primele patru lecții și are 50 de minute. Testul de trunchi de con, sferă și probleme aplicative se dă după ce ultimele trei lecții sunt parcurse și are 60 de minute, fiindcă are mai mult de calculat. Amândouă au 100 de puncte, din care 10 din oficiu, și baremul pe aceeași pagină.

Ce îmi trebuie din clasa a VII-a ca să pot începe?

Aria discului, lungimea cercului și teorema lui Pitagora. Primele două intră în fiecare formulă a capitolului, iar a treia dă generatoarea. Toate trei sunt legate mai sus, în secțiunea de formule. Dacă acestea trei sunt sigure, capitolul se reduce la învățat patru grupe de formule și la ordinea în care se aplică.