Perpendicularitate, proiecții și distanțe în spațiu: ce s-a dat la Evaluarea Națională, 2010–2026

Pagina strânge fiecare cerință dată la Evaluarea Națională pe tema Perpendicularitate, proiecții și distanțe în spațiu, în 2010–2026: 74 de cerințe din 52 de documente oficiale ale ministerului, grupate pe ani, fiecare cu subiectul, baremul și rezolvarea. Nu e o lecție și nu e o listă de formule — e ce s-a cerut efectiv, cerință cu cerință. Aproape toate cad la Subiectul al III-lea, problemele lungi, unde se cere rezolvarea scrisă. Materia e de clasa a VIII-a (clasa a 8-a, clasa 8), iar aici o vezi în forma cerută la examen.

De unde vin cerințele astea. 74 de cerințe sunt din documente oficiale ale Ministerului Educației — modele CNPEE/CNEE, examenele din iunie, sesiunile de rezervă și cele speciale, simulările naționale și testele oficiale de pregătire, 2010–2026 —, transcrise pe Matepolis cu enunțul reprodus întocmai. Celelalte 7 sunt exerciții scrise de noi, după aceeași structură (6 + 6 + 6 cerințe, 90 de puncte plus 10 din oficiu), și sunt scoase într-o secțiune separată, mai jos. Rezolvările, explicațiile și împărțirea pe teme sunt, la toate, ale noastre. Numărătoarea publicată pe analiza subiectelor de Evaluare Națională folosește o fereastră mai îngustă — cele șapte variante de sesiune principală 2021–2026 — și e clasificată de mână; pagina asta numără altceva, pe alt corpus, iar diferența e spusă acolo unde apare.

Cât de des cade tema «Perpendicularitate, proiecții și distanțe în spațiu» la Evaluarea Națională

74 de cerințe din cele 2.412 ale corpusului (3,1 %), în 52 de probe din 134.
A apărut în 15 ani din cei 17, între 2010 și 2026.
Cade mai ales la Subiectul al III-lea (1 cerință la Subiectul I, 0 la al II-lea, 73 la al III-lea).
Aduce 370 de puncte în total, câte 5 la fiecare cerință.
Dificultatea medie: 2,97 din 3 — stă spre subpunctele finale, cele care despart notele mari de restul.

Din cele 74 de cerințe, 19 sunt din sesiuni de examen (iunie, rezervă, sesiune specială), iar restul din modele oficiale, din simulări naționale și din testele oficiale de pregătire.

Cum se numără: fiecare cerință intră la o singură temă, cea cerută în enunț. O problemă care folosește perpendicularitate, proiecții și distanțe în spațiu ca pas, dar cere altceva, e numărată la tema aia — deci cifra de mai sus arată de câte ori tema a fost ce se cere, nu de câte ori a fost de folos. Temele apropiate sunt legate mai jos.

De reținut: dificultatea de mai sus e o convenție declarată, nu o măsurătoare — o luăm din subiectul în care cade cerința (Subiectul I = 1, al II-lea = 2, al III-lea = 3). Nu e rata de reușită a elevilor: aceea ar veni din aplicație și azi nu ne e disponibilă.

Cerințele oficiale pe tema «Perpendicularitate, proiecții și distanțe în spațiu», an cu an

2026 — 2 cerințe

sesiunea iunie, varianta 1 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă… → Calculează aria laterală a prismei $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat cubul… → Arată că aria triunghiului $M N P$ este egală cu…

2025 — 1 cerință

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D E F G H$ cu… → Arată că volumul cubului $A B C D E F G H$ este egal cu…

2024 — 2 cerințe

sesiunea de rezervă — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ … → Calculează volumul cubului $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . sesiunea iunie, varianta 7 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Prisma dreaptă $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ are baza triunghiul… → Arată că aria laterală a prismei este egală cu…

2023 — 1 cerință

sesiunea iunie, varianta 1 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ … → Arată că măsura unghiului dreptelor $A B^{'}$ și $B C^{'}$ este…

2022 — 4 cerințe

sesiunea iunie, varianta 2 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată prisma dreaptă… → Arată că volumul prismei $A B C D E F$ este egal cu… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată o piramidă… → Arată că aria laterală a piramidei $V A B C D$ este egală… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ … → Arată că volumul cubului este mai mare decât $0, 2$ … test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ … → Determină măsura unghiului $∠ A B^{'} C$ .

2021 — 12 cerințe

sesiunea de rezervă — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră paralelipipedul dreptunghic $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ … → Arată că $D D^{'} = 6$ cm. sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu $A B = 6$ cm… → Arată că $A O = 36$ cm. sesiunea iunie, varianta 3 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ , cu $A B = 62$ cm. → Arată că volumul cubului $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ este egal cu… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Distanța de la… → Câți litri de vopsea sunt necesari pentru a vopsi… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată o piramidă… → Arată că unghiul dintre dreapta $V B$ și planul $(A B C)$ … test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat un cub… → Arată că valoarea cosinusului unghiului dintre dreapta… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată o piramidă… → Arată că lungimea segmentului $A C$ este egală cu… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată o piramidă… → Arată că dreapta $O M$ este paralelă cu planul $(V B C)$ . test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat tetraedrul regulat… → Demonstrează că unghiul dintre dreptele $M N$ și $A C$ … test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată paralelipipedul dreptunghic… → Arată că în acvariu sunt $120$ de litri de apă. test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată o piramidă… → Arată că măsura unghiului dintre dreapta $V M$ și… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — O cutie de bomboane de forma unui tetraedru regulat… → Arată că $M N$ are lungimea mai mică decât $53$ cm.

2020 — 30 de cerințe

sesiunea iunie, varianta 1 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $A B C D$ … → Arătați că aria dreptunghiului $A B C D$ este egală cu…
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 24$ cm și… → Demonstrați că planele $(M N P)$ și $(B D E)$ sunt paralele.
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 24$ cm și… → Arătați că distanța dintre planele $(M N P)$ și $(B D E)$ … sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată o piramidă… → Arătați că perimetrul pătratului $A B C D$ este egal cu…
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou piramida patrulateră $V A B C D$ cu… → Demonstrați că dreapta $M N$ este paralelă cu planul…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou piramida patrulateră $V A B C D$ cu… → Demonstrați că distanța de la punctul $M$ la planul… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou piramida patrulateră regulată… → Demonstrați că dreapta $V A$ este paralelă cu planul…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou piramida patrulateră regulată… → Demonstrați că distanța de la punctul $A$ la planul… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic… → Demonstrați că unghiul dintre planele $(A M Q)$ și… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou prisma dreaptă $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ cu baza… → Demonstrați că distanța de la punctul $M$ la planul… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou paralelipipedul dreptunghic… → Demonstrați că distanța de la punctul $A$ la planul… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou pătratul $A B C D$ cu latura de $8$ cm… → Demonstrați că $N$ este ortocentrul triunghiului $M B C$ . test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $A B C$ cu… → Determinați măsura unghiului dintre dreapta $P D$ și…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $A B C$ cu… → Demonstrați că numărul care reprezintă distanța… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou triunghiul echilateral $A B C$ cu… → Demonstrați că dreapta $B C$ este paralelă cu planul…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou triunghiul echilateral $A B C$ cu… → Determinați distanța de la punctul $A$ la planul… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou triunghiul echilateral $A B C$ cu… → Demonstrați că triunghiul $D M N$ este echilateral.
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou triunghiul echilateral $A B C$ cu… → Determinați sinusul unghiului dintre dreapta $C M$ și… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $A B C$ cu… → Demonstrați că $A M = 10$ cm.
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou triunghiul dreptunghic $A B C$ cu… → Calculați distanța de la punctul $N$ , mijlocul… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat din nou un triunghi… → Determinați măsura unghiului dintre dreapta $M A$ și…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat din nou un triunghi… → Demonstrați că distanța de la punctul $A$ la planul… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat un romb $A B C D$ cu… → Arătați că lungimea segmentului $C O$ este egală cu…
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat din nou un romb… → Demonstrați că planele $(M N P)$ și…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat din nou un romb… → Determinați distanța dintre planele paralele… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou un pătrat $A B C D$ cu $A B = 12$ cm și… → Demonstrați că dreapta $E O$ este perpendiculară pe… test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră un dreptunghi $A B C D$ cu $A B = 8$ cm, $B C = 12$ … → Arătați că aria dreptunghiului $A B C D$ este egală cu…
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou un dreptunghi $A B C D$ cu $A B = 8$ cm… → Demonstrați că dreapta $M O$ este paralelă cu planul…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou un dreptunghi $A B C D$ cu $A B = 8$ cm, $B C = 12$ cm și $O$ este punctul de intersecție a dreptelor $A C$ … test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou un paralelipiped dreptunghic… → Demonstrați că dreapta $C^{'} E$ este perpendiculară pe…

2019 — 4 cerințe

sesiunea de rezervă — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu $A B = 12$ cm… → Determinați distanța de la punctul $D^{'}$ la planul… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou prisma dreaptă $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ cu baza… → Demonstrați că dreapta $P O$ este paralelă cu planul… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 16$ cm și $B C = 8$ … → Calculați perimetrul dreptunghiului $A B C D$ .
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 16$ cm și… → Demonstrați că dreapta $E F$ este paralelă cu planul…

2018 — 4 cerințe

sesiunea de rezervă — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul I, cerința 5 · 5 p · dificultate 1/3 — În figura alăturată este reprezentat un cub $A B C D E F G H$ cu $A B = 4$ cm. Distanța dintre planul $(A B C)$ și planul $(E F H)$ … simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat un dreptunghi $A B C D$ … → Arătați că aria dreptunghiului $A B C D$ este egală cu…
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 8$ cm și… → Demonstrați că dreapta $B M$ este paralelă cu planul…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou dreptunghiul $A B C D$ cu $A B = 8$ cm și $B C = 6$ cm, perpendiculara $D M$ pe planul dreptunghiului și…

2017 — 3 cerințe

modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou conul circular drept, cu secțiunea… → Demonstrați că distanța de la punctul $O$ la planul… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat un pătrat $A B C D$ cu… → Arătați că $A C = 42$ cm.
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou pătratul $A B C D$ cu $A B = 4$ cm, ca în… → Demonstrați că unghiul dintre planele $(E B D)$ și…

2016 — 6 cerințe

sesiunea de rezervă — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou prisma dreaptă $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ , cu baza… → Demonstrați că distanța de la punctul $C$ la planul… modelul oficial — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentat schematic un cornet… → Arătați că $V O = 12$ cm, unde $O$ este mijlocul…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou cornetul pentru înghețată în formă de con circular drept, a cărui secțiune axială este triunghiul… simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 4 · 5 p · dificultate 3/3 — Figura de mai jos reprezintă schematic o platformă în… → Calculați înălțimea antenei $S O$ .
Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Figura de mai jos reprezintă schematic o platformă în… → Determinați măsura unghiului dintre planele $(V O M)$ și…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Figura de mai jos reprezintă schematic o platformă în formă de pătrat $A B C D$ cu latura de $16$ m. Segmentul $S O$ , unde…

2015 — 2 cerințe

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou piramida patrulateră regulată… → Determinați măsura unghiului format de dreapta $V D$ cu…
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou piramida patrulateră regulată… → Demonstrați că muchia $V B$ este perpendiculară pe…

2014 — 1 cerință

simularea națională — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 5 · 5 p · dificultate 3/3 — Figura alăturată reprezintă schematic același acoperiș în… → Determinați măsura unghiului format de planele $(V A C)$ …

2011 — 1 cerință

sesiunea iunie, varianta 8 — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 3 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou suportul pentru umbrele — prisma… → Determinați distanța de la punctul $P$ la planul…

2010 — 1 cerință

sesiunea specială — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 1 · 5 p · dificultate 3/3 — Figura 1 reprezintă schița unui cort în formă de prismă… → Calculați distanța de la punctul $A$ la planul $(B C E)$ .

Puncte, drepte și plane în spațiu

1 cerință vine pe tema asta — prea puține pentru o pagină a ei, deci stau aici, la tema-umbrelă a capitolului.

2020 — 1 cerință

test oficial de pregătire — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră din nou un pătrat $A B C D$ cu $A B = 12$ cm și… → Demonstrați că punctele $M$ , $N$ , $P$ și $Q$ sunt…

Exerciții Matepolis pe aceeași temă

7 exerciții din simulările scrise de noi, după structura oficială (6 + 6 + 6 cerințe, 90 de puncte plus 10 din oficiu). Nu au fost date la examen — sunt de exersat după ce termini cerințele oficiale de mai sus.

Fără an (exerciții Matepolis) — 7 cerințe

simulare Matepolis — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas

Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — În figura alăturată este reprezentată piramida regulată… → Arată că volumul piramidei $V A B C D$ este egal cu… simulare Matepolis — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — O bijuterie decorativă are forma unui tetraedru regulat… → Calculează aria unei fețe a tetraedrului și aria totală… simulare Matepolis — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ cu muchia $A B = 12$ cm… → Calculează aria secțiunii diagonale $B D D^{'} B^{'}$ . simulare Matepolis — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Se consideră cubul $A B C D E F G H$ cu muchia $A B = 6$ cm ( $E$ … → Calculează lungimea diagonalei $A C$ a bazei cubului și… simulare Matepolis — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $A B = 12$ cm. Se… → Arată că triunghiul $A^{'} B D$ este echilateral și… simulare Matepolis — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — O piesă tehnică are forma unei prisme drepte $A B C A^{'} B^{'} C^{'}$ … → Calculează aria bazei și volumul prismei. simulare Matepolis — subiectul întreg și baremul · rezolvă pas cu pas
Subiectul al III-lea, cerința 6 · 5 p · dificultate 3/3 — Cubul $A B C D A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ are muchia $A B = 6$ cm. Se consideră… → Calculează lungimea diagonalei bazei $A C$ și aria…

De unde începi, dacă tema asta nu-ți iese

Lecțiile care o predau, cu teorie și exemple rezolvate:

Unghiul dintre o dreaptă și un plan — clasa a VIII-a
Unghiul diedru. Unghiul a două plane — clasa a VIII-a
Puncte, drepte și plane în spațiu. Convenții de notare și reprezentare — clasa a VIII-a
Teorema celor trei perpendiculare — clasa a VIII-a
Relații între puncte, drepte și plane — clasa a VIII-a
Unghiul a două drepte în spațiu — clasa a VIII-a

Testele pe care le dai după, ca să vezi dacă a intrat:

Unde stă pagina asta față de celelalte

Pagina asta răspunde la o singură întrebare: ce s-a cerut efectiv din tema «Perpendicularitate, proiecții și distanțe în spațiu», cerință cu cerință. Nu predă teoria. Pentru restul:

ce intră la Evaluarea Națională spune ce ai de învățat, pe capitole, fără să listeze cerințe;
analiza subiectelor de Evaluare Națională arată cum au arătat subiectele oficiale 2021–2026, pe capitole, nu pe temă;
Evaluarea Națională la matematică e hub-ul examenului, cu toate probele și calendarul;

Materia întreagă a clasei e pe matematică clasa a VIII-a.

Capitole vecine: Prisma, paralelipipedul și cubul — clasa a 8-a.

Alte teme din același capitol

Capitolul Corpuri geometrice: arii și volume mai are 3 teme cu pagină proprie:

Prisma, cubul și paralelipipedul dreptunghic — 354 de cerințe
Piramida și tetraedrul — 180 de cerințe
Corpuri rotunde: cilindrul, conul, sfera — 51 de cerințe

Întrebări frecvente

Câte cerințe cu perpendicularitate, proiecții și distanțe în spațiu s-au dat la Evaluarea Națională?

74 de cerințe în documentele oficiale ale ministerului pe care le avem transcrise, în 2010–2026, plus 7 exerciții scrise de noi, numărate separat.

Cade la problemele lungi de la Subiectul al III-lea?

Da: la Subiectul al III-lea cad 73 din cele 74 de cerințe pe care le are tema aici. Sunt problemele lungi, unde nu ajunge răspunsul: se cere rezolvarea scrisă.

Câte puncte aduce, dacă le prind pe toate?

Fiecare cerință valorează 5 puncte, deci tema a adus în total 370 de puncte în 2010–2026. Pe o probă în care apare înseamnă, în medie, 7,1 puncte din cele 90.

De ce se pierd puncte tocmai aici?

Fiindcă tema stă în subpunctele de final, cele care despart notele mari de restul. Dificultatea medie iese 2,97 din 3 — și e o convenție, nu o măsurătoare: o luăm din poziția cerinței în probă, fiindcă rata reală de reușită a elevilor nu ne e disponibilă.

De unde încep, dacă nu știu deloc tema?

De la Unghiul dintre o dreaptă și un plan, lecția care o predă de la zero, apoi Test: Teorema celor trei perpendiculare și distanțe, ca să vezi dacă a intrat. Abia după aia are rost lista de cerințe de mai sus: fără teorie, e doar o listă.

Toate exercițiile de aici au fost date la examen?

Cerințele din lista de sus, da: vin din 134 de documente oficiale ale ministerului. Cele 7 de la „Exerciții Matepolis” sunt scrise de noi și marcate ca atare — nu se amestecă niciodată în aceeași cifră.

Ce alte teme cad împreună cu perpendicularitate, proiecții și distanțe în spațiu?

Mai ales paralelogram, dreptunghi, romb, pătrat (21 de cerințe), triunghiul: proprietăți, perimetru și arie (10 cerințe), cercul: unghiuri, arce, coarde (2 cerințe). Le marcăm ca temă secundară doar când cerința are semnal propriu pentru ele și sunt din alt capitol — altfel ar deveni o a doua etichetă aruncată pe orice.

De ce apare aici și puncte, drepte și plane în spațiu?

Fiindcă tema aia are sub 5 cerințe în tot corpusul — prea puține pentru o pagină proprie, destule cât să nu se piardă. Stă aici, la tema-umbrelă a capitolului, cu secțiune separată, ca numărătoarea să rămână curată.