Piramida, tetraedrul și trunchiul de piramidă — clasa a VIII-a

La piramida regulată, aria laterală este perimetrul bazei înmulțit cu apotema piramidei și împărțit la 2, iar volumul este aria bazei înmulțită cu înălțimea și împărțită la 3. Trunchiul de piramidă este ce rămâne dintr-o piramidă căreia i se taie vârful cu un plan paralel cu baza. În clasa a VIII-a capitolul are șase lecții.

Actualizat: 5 septembrie 2026.

Este capitolul în care apare împărțirea la 3 din formula volumului și în care se lucrează cu două mărimi ușor de confundat: apotema bazei și apotema piramidei. Legătura dintre ele, prin teorema lui Pitagora, este pasul intermediar pe care îl cere aproape orice problemă din capitol. Pagina strânge lecțiile, formulele, exercițiile rezolvate și testele capitolului, gratuit și fără cont.

Ce se evaluează la Evaluarea Națională din piramidă

Cerințele din capitolul acesta au aproape mereu doi timpi: întâi o mărime intermediară — apotema, înălțimea sau muchia laterală — și abia apoi formula finală. Punctajul se dă pe pași, deci calculele intermediare se scriu. Iată cum sună asta în șase cerințe formulate ca la clasă:

Toate cerințele date la Evaluarea Națională din piramidă și tetraedru, an cu an, sunt la piramida și tetraedrul la EN.

Teorie: cele șase lecții ale capitolului

Ordinea merge de la descriere la volum și apoi la trunchi.

• Piramida și piramida regulată: descriere, elemente și desfășurare — vârful, baza, muchiile laterale, înălțimea și cele două apoteme. Lecția care fixează vocabularul fără de care enunțurile de examen nu se pot citi.
• Tetraedrul regulat: descriere, elemente și desfășurare — cazul în care toate cele patru fețe sunt triunghiuri echilaterale. Aici formulele se simplifică mult, fiindcă totul depinde de o singură muchie.
• Aria laterală și aria totală a piramidei regulate — de unde vine formula: fețele laterale sunt triunghiuri isoscele congruente, iar apotema piramidei este chiar înălțimea unuia dintre ele.
• Volumul piramidei regulate — formula cu împărțirea la 3 și comparația cu prisma de aceeași bază și aceeași înălțime, care are volumul de trei ori mai mare.
• Trunchiul de piramidă regulată: descriere, reprezentare și elemente — cele două baze, apotema trunchiului și felul în care se desenează corect.
• Aria laterală, aria totală și volumul trunchiului de piramidă regulată — formulele lui, inclusiv cea de volum, cu radicalul din produsul ariilor bazelor.

Baza de geometrie în spațiu pe care se sprijină capitolul este la teorema celor trei perpendiculare și la distanțe în spațiu. Înălțimi în corpuri.

Formule

Sunt două relații proprii și trei pe care se sprijină calculele intermediare:

• Piramida regulată — cele trei formule ale capitolului pe un singur ecran, cu figura lângă ele; o deschizi la lecțiile a treia și a patra, când ai deja vocabularul, sau înainte de test, ca fișă de recapitulare.
• Trunchiul de piramidă — o deschizi abia la ultimele două lecții; e singura pagină de formule din capitol pe care merită s-o ai deschisă în timp ce lucrezi, fiindcă formula volumului are un termen care se uită.
• Teorema lui Pitagora — relația dintre înălțime, apotema bazei și apotema piramidei, adică pasul intermediar din aproape orice cerință.
• Triunghiul echilateral: aria — pentru bazele triunghiulare și pentru fețele tetraedrului regulat.
• Triunghiul echilateral: înălțimea — de aici se obține apotema bazei la piramida triunghiulară regulată.

Toate corpurile stau împreună la formule pentru corpuri geometrice, iar termenii sunt definiți scurt în glosar, la piramidă, arie și volum.

Ordinea în care se folosesc este mereu aceeași și este singurul lucru care trebuie ținut minte din capitol: afli aria bazei, afli apotema bazei din latură, urci de acolo la apotema piramidei cu teorema lui Pitagora și abia apoi intri în formula ariei. Volumul se calculează pe o ramură separată, direct din aria bazei și înălțime — nu are nevoie de nicio apotemă. Exemplele lucrate până la capăt, cu cifre, sunt la exercițiile rezolvate ale capitolului și în testul ghidat.

Exerciții rezolvate

Exercițiile rezolvate ale capitolului sunt 12 exerciții în format grilă, fiecare cu răspunsul corect, justificarea pasului decisiv și legătura spre lecția din care vine. Jumătate cer recunoașterea unui element sau a unei formule — câte fețe are trunchiul, ce formă au fețele lui laterale, care relație leagă cele două apoteme — iar cealaltă jumătate cere un calcul cu cifre pe piramida patrulateră regulată și pe trunchi. Sunt utile ca prim contact, înainte de test, fiindcă fiecare variantă greșită este explicată, nu doar tăiată.

Exerciții cu verificare

Când vrei să lucrezi tu, intră în testul ghidat despre piramidă și tetraedru: rezolvi în pagină și primești pasul următor exact acolo unde te oprești. Ghidajul prinde de obicei confuzia dintre cele două apoteme, greșeala care schimbă toate rezultatele care urmează.

Teste cu barem

Capitolul are două teste, amândouă cu baremul și rezolvările pe aceeași pagină, sub exerciții:

• Test: Piramida regulată și tetraedrul regulat — elementele, ariile și volumul, la piramidă și la tetraedru. Se dă primul.
• Test: Trunchiul de piramidă regulată — elementele trunchiului, aria laterală, aria totală și volumul, plus câteva cerințe de recapitulare pe piramidă.

Amândouă au 100 de puncte, din care 10 din oficiu, și un timp recomandat de 50 de minute.

Cerințele de geometrie în spațiu apar și în testul recapitulativ de geometrie, în model de Evaluare Națională.

Greșelile care se repetă și unde le repari

Patru greșeli acoperă aproape tot ce se pierde la corectare în capitolul acesta, iar fiecare are locul ei precis, nu o explicație generală.

1. Confuzia dintre cele două apoteme se repară în lecția de elemente, care desenează triunghiul dreptunghic în care stau amândouă, și e prinsă pas cu pas de testul ghidat.
2. Împărțirea la 3 uitată la volum se lămurește în lecția volumului, care compară direct cu prisma de aceeași bază și aceeași înălțime.
3. Muchia laterală folosită în locul apotemei se corectează în lecția ariilor.
4. Termenul cu radical uitat la volumul trunchiului stă în lecția trunchiului.

Dacă nu știi la care dintre ele stai prost, ți-o spune testul capitolului, în cele 50 de minute ale lui.

Recapitulare și pregătire pentru examen

Recapitularea de final de an este recapitulare: corpuri geometrice, arii și volume. Pentru repetat rapid înainte de test sunt mini-lecțiile aria piramidei regulate, pe scurt și volumul piramidei: formula cheie.

Ce intră la examen, pe capitole, este în ce intră la Evaluarea Națională, iar cât cântărește geometria piramidei în subiectele publicate se vede în analiza subiectelor de Evaluare Națională. Traseul pe luni este pe pagina Evaluării Naționale, iar antrenamentul, în cele 148 de teste de antrenament.

De aici încolo

Înaintea capitolului stau prisma, paralelipipedul și cubul, unde se învață metoda de lucru cu triunghiul dreptunghic din corp. După el vin corpurile rotunde, unde conul are aceeași structură de formule ca piramida. Calculele cu radicali se sprijină pe formulele de calcul prescurtat. Toate capitolele anului sunt pe hub-ul clasei a VIII-a, iar fișele tipăribile, la fișele de lucru de clasa a VIII-a.

Întrebări frecvente

În ce ordine se învață cele șase lecții ale capitolului?

Întâi vocabularul — elementele piramidei regulate și tetraedrul —, apoi ariile, apoi volumul, iar la final trunchiul, cu descrierea lui și cu formulele lui. Ordinea nu se poate schimba: formula ariei laterale are nevoie de apotema piramidei, care se definește la prima lecție, iar trunchiul se înțelege doar după ce piramida întreagă e lucrată. Lista completă, cu ce deblochează fiecare lecție, este mai sus.

Cât din capitol este piramidă și cât trunchi de piramidă?

Patru lecții din șase merg pe piramida regulată și pe tetraedrul regulat; ultimele două sunt despre trunchi. La fel se împart și cele două teste ale capitolului. Trunchiul are însă formula de volum cu trei termeni, deci cere singur mai mult exercițiu decât ar sugera proporția de lecții — de aceea are test propriu.

Ce trebuie să știu din capitolele dinainte ca să pot începe?

Teorema lui Pitagora și aria triunghiului echilateral, din geometria plană, plus două lucruri din geometria în spațiu de la începutul anului: teorema celor trei perpendiculare și distanțele de la un punct la o dreaptă sau la un plan. Amândouă sunt legate mai sus, la finalul listei de lecții. Fără ele, apotema piramidei nu se poate justifica, doar calcula.

Se dă întâi testul de piramidă sau cel de trunchi?

Cel de piramidă și tetraedru, fiindcă acoperă primele patru lecții și cere doar formulele piramidei. Testul de trunchi se dă după ce ultimele două lecții sunt parcurse, iar el reia și câteva cerințe de piramidă, ca recapitulare. Amândouă au 100 de puncte, din care 10 din oficiu, și 50 de minute recomandate.

Ce se dă de obicei în enunț și ce trebuie aflat?

Enunțul dă aproape întotdeauna două mărimi din trei — latura bazei și înălțimea, latura bazei și apotema piramidei, sau înălțimea și apotema bazei — iar a treia se află cu teorema lui Pitagora. Abia după ea intri în formula ariei sau a volumului. Când în enunț apare muchia laterală în loc de apotemă, triunghiul dreptunghic pe care îl cauți este altul.

Ce se schimbă când capitolul trece de la piramidă la trunchi?

Apar două baze în loc de una, deci apar și două perimetre și două arii. Apotema trunchiului înlocuiește apotema piramidei, aria laterală folosește suma celor două perimetre, iar volumul capătă un al treilea termen, cu radical, care nu are corespondent la piramidă. Restul metodei de lucru rămâne neschimbat: desen, triunghi dreptunghic, Pitagora, apoi formulă.

Ce mărimi se calculează întâi într-o problemă cu piramidă?

Ordinea care nu dă greș este: aria bazei, apoi apotema bazei, apoi apotema piramidei cu teorema lui Pitagora, apoi aria laterală și aria totală, iar volumul separat, din aria bazei și înălțime. Scrise în ordinea asta, calculele intermediare aduc puncte chiar dacă rezultatul final iese greșit.