Test final clasa a 6-a matematică (a VI-a), cu barem, 2026–2027: evaluare finală pe toată materia

Disciplina: Matematică · Clasa a VI-a (clasa 6) · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

Fie $A$ mulțimea divizorilor naturali ai numărului $12$ și $B=\{x\in \mathbb{N}\mid 2\le x<7\}$.

a) Scrieți mulțimile $A$ și $B$ prin enumerarea elementelor. (2 p)

b) Determinați $A\cap B$ și $A\cup B$. (2 p)

c) Determinați $A\setminus B$ și cardinalul acestei mulțimi. (2 p)

Exercițiul 2 (8 puncte)

a) Descompuneți în produs de puteri de numere prime numerele $84$ și $120$. (2 p)

b) Determinați c.m.m.d.c. și c.m.m.m.c. al numerelor $84$ și $120$. (3 p)

c) Un magazin are $84$ de mere și $120$ de pere și vrea să le pună pe toate în pachete identice (fiecare pachet cu același număr de mere și același număr de pere). Care este cel mai mare număr de pachete care se pot face și ce conține fiecare pachet? (3 p)

Exercițiul 3 (8 puncte)

a) Determinați numărul $x$ din proporția $\frac{x}{6}=\frac{15}{9}$. (2 p)

b) Scrieți ca fracție ireductibilă raportul lungimilor a două segmente de $40\text{cm}$ și $2\text{m}$. (2 p)

c) Împărțiți numărul $210$ în părți direct proporționale cu numerele $2$, $5$ și $7$. (4 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

a) $5$ kilograme de cireșe costă $32$ de lei. Cât costă $8$ kilograme de cireșe la același preț? (3 p)

b) $6$ muncitori termină o lucrare în $10$ zile. În câte zile ar termina aceeași lucrare $4$ muncitori, lucrând în același ritm? (3 p)

c) O bicicletă costă $800$ de lei. Prețul ei scade cu $15\%$. Cât costă bicicleta după reducere? (2 p)

Exercițiul 5 (5 puncte)

O urnă conține $4$ bile roșii, $6$ bile albastre și $10$ bile verzi, identice ca formă. Se extrage la întâmplare o bilă.

a) Calculați probabilitatea ca bila extrasă să fie albastră. (2 p)

b) Calculați probabilitatea ca bila extrasă să nu fie verde. (3 p)

Exercițiul 6 (8 puncte)

a) Ordonați crescător numerele $-7$; $3$; $-2$; $0$; $|-5|$. (2 p)

b) Calculați $(-3)\cdot (+4)-(-18):(+6)+(-2{)}^3$. (3 p)

c) Rezolvați în $\mathbb{Z}$ ecuația $3x-7=-19$. (3 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Determinați numerele întregi $x$ pentru care $-3\le 2x+1<7$. (3 p)

b) Într-o zi de iarnă, dimineața, termometrul arăta $-6^{\circ }\text{C}$. Până la prânz temperatura a crescut cu $9^{\circ }\text{C}$, iar până seara a scăzut cu $5^{\circ }\text{C}$ față de prânz. Ce temperatură arăta termometrul seara? (3 p)

Exercițiul 8 (9 puncte)

a) Calculați $-\frac{2}{3}+\frac{5}{6}-\left(-\frac{1}{2}\right)$. (3 p)

b) Calculați $(-1,5)\cdot \frac{4}{9}:\left(-\frac{2}{3}\right)$. (3 p)

c) Rezolvați în $\mathbb{Q}$ ecuația $\frac{2}{5}x-1=\frac{3}{5}$. (3 p)

Exercițiul 9 (8 puncte)

a) Calculați complementul și suplementul unui unghi cu măsura de $38^{\circ }$. (2 p)

b) Două unghiuri adiacente sunt suplementare, iar măsura unuia este de $3$ ori mai mare decât măsura celuilalt. Aflați măsurile celor două unghiuri. (3 p)

c) Dreptele $AB$ și $CD$ se intersectează în punctul $O$, iar $\sphericalangle AOC=70^{\circ }$. Calculați măsurile unghiurilor $BOD$ și $AOD$. (3 p)

Exercițiul 10 (6 puncte)

a) Dreptele paralele $a$ și $b$ sunt tăiate de secanta $c$. Unul dintre cele opt unghiuri formate are $65^{\circ }$. Aflați măsurile tuturor celor opt unghiuri. (3 p)

b) Un cerc are centrul $O$ și raza de $5\text{cm}$. Ce lungime are un diametru al cercului? (1 p)

c) Punctele $A$ și $B$ sunt pe cercul de la punctul b), iar unghiul la centru $AOB$ are $80^{\circ }$. Aflați măsura arcului mic $AB$ și măsura arcului mare $AB$. (2 p)

Exercițiul 11 (9 puncte)

a) În triunghiul $ABC$, $\sphericalangle A=50^{\circ }$ și $\sphericalangle B=65^{\circ }$. Calculați $\sphericalangle C$ și precizați ce fel de triunghi este $ABC$, după laturi. (3 p)

b) Calculați măsura unghiului exterior triunghiului $ABC$ de la punctul a), cu vârful în $C$. (2 p)

c) Triunghiul $MNP$ este isoscel, cu $MN=MP$, iar $Q$ este mijlocul laturii $NP$. Demonstrați că $△MNQ\equiv △MPQ$ și deduceți că $MQ\perp NP$. (4 p)

Exercițiul 12 (9 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, cu catetele $AB=9\text{cm}$ și $AC=12\text{cm}$. Punctul $M$ este mijlocul ipotenuzei $BC$.

a) Calculați lungimea ipotenuzei $BC$. (3 p)

b) Calculați lungimea medianei $AM$. (3 p)

c) O rampă pentru biciclete are lungimea de $6\text{m}$ și face cu solul orizontal un unghi de $30^{\circ }$. La ce înălțime față de sol ajunge capătul de sus al rampei? (3 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din exerciții + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctajul total : 10.

Exercițiul 1. (6 p)

a) (2 p) $A=\{1,2,3,4,6,12\}$ și $B=\{2,3,4,5,6\}$.

b) (2 p) $A\cap B=\{2,3,4,6\}$; $A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,12\}$.

c) (2 p) $A\setminus B=\{1,12\}$, iar $\mathrm{card}(A\setminus B)=2$.

Exercițiul 2. (8 p)

a) (2 p) $84=2^2\cdot 3\cdot 7$ și $120=2^3\cdot 3\cdot 5$.

b) (3 p) c.m.m.d.c.: factorii comuni, la puterea cea mai mică: $2^2\cdot 3=12$. c.m.m.m.c.: factorii comuni și necomuni, la puterea cea mai mare: $2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7=840$.

c) (3 p) Numărul de pachete trebuie să dividă și pe $84$, și pe $120$; cel mai mare astfel de număr este c.m.m.d.c. $=12$ pachete. Fiecare pachet are $84:12=7$ mere și $120:12=10$ pere.

Exercițiul 3. (8 p)

a) (2 p) Proprietatea fundamentală a proporțiilor: $9x=6\cdot 15=90$, deci $x=10$.

b) (2 p) Lungimile se exprimă în aceeași unitate: $2\text{m}=200\text{cm}$. Raportul este $\frac{40}{200}=\frac{1}{5}$.

c) (4 p) Notăm părțile cu $a$, $b$, $c$: $\frac{a}{2}=\frac{b}{5}=\frac{c}{7}=k$. Atunci $a+b+c=14k=210$, deci $k=15$. Părțile sunt $a=30$, $b=75$, $c=105$ (verificare: $30+75+105=210$).

Exercițiul 4. (8 p)

a) (3 p) Mărimi direct proporționale (regula de trei simplă): $5$ kg … $32$ lei, $8$ kg … $x$ lei, deci $x=\frac{32\cdot 8}{5}=\frac{256}{5}=51,2$ lei, adică $51,20$ lei.

b) (3 p) Mărimi invers proporționale: numărul de muncitori înmulțit cu numărul de zile rămâne constant, $6\cdot 10=60$. Pentru $4$ muncitori: $60:4=15$ zile.

c) (2 p) Reducerea este $15\%$ din $800$, adică $\frac{15}{100}\cdot 800=120$ de lei. Prețul nou: $800-120=680$ de lei.

Exercițiul 5. (5 p)

a) (2 p) Cazuri posibile: $4+6+10=20$; cazuri favorabile: $6$. Probabilitatea este $\frac{6}{20}=\frac{3}{10}$.

b) (3 p) Bilele care nu sunt verzi: $4+6=10$. Probabilitatea este $\frac{10}{20}=\frac{1}{2}$.

Exercițiul 6. (8 p)

a) (2 p) $|-5|=5$, deci $-7<-2<0<3<|-5|$.

b) (3 p) $(-3)\cdot (+4)=-12$; $(-18):(+6)=-3$; $(-2{)}^3=-8$. Rezultatul: $-12-(-3)+(-8)=-12+3-8=-17$.

c) (3 p) $3x=-19+7=-12$, deci $x=-4$; $-4\in \mathbb{Z}$, soluția convine.

Exercițiul 7. (6 p)

a) (3 p) Scădem $1$ în toate părțile: $-4\le 2x<6$; împărțim la $2$: $-2\le x<3$. Numerele întregi sunt $x\in \{-2,-1,0,1,2\}$.

b) (3 p) La prânz: $-6+9=+3^{\circ }\text{C}$. Seara: $3-5=-2^{\circ }\text{C}$.

Exercițiul 8. (9 p)

a) (3 p) Numitorul comun este $6$: $-\frac{4}{6}+\frac{5}{6}+\frac{3}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

b) (3 p) $-1,5=-\frac{3}{2}$; $-\frac{3}{2}\cdot \frac{4}{9}=-\frac{12}{18}=-\frac{2}{3}$, iar $-\frac{2}{3}:\left(-\frac{2}{3}\right)=1$.

c) (3 p) $\frac{2}{5}x=\frac{3}{5}+1=\frac{8}{5}$, deci $x=\frac{8}{5}:\frac{2}{5}=\frac{8}{5}\cdot \frac{5}{2}=4$.

Exercițiul 9. (8 p)

a) (2 p) Complementul: $90^{\circ }-38^{\circ }=52^{\circ }$. Suplementul: $180^{\circ }-38^{\circ }=142^{\circ }$.

b) (3 p) Fie $x$ măsura unghiului mai mic: $x+3x=180^{\circ }$, deci $4x=180^{\circ }$, $x=45^{\circ }$. Unghiurile au $45^{\circ }$ și $135^{\circ }$.

c) (3 p) $\sphericalangle BOD=\sphericalangle AOC=70^{\circ }$ (unghiuri opuse la vârf). Unghiurile $AOC$ și $AOD$ sunt adiacente suplementare (laturile $OC$ și $OD$ sunt semidrepte opuse), deci $\sphericalangle AOD=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.

Exercițiul 10. (6 p)

a) (3 p) Unghiurile opuse la vârf sunt congruente, iar unghiurile alăturate pe o dreaptă sunt suplementare; paralelismul face ca unghiurile din jurul celor două puncte de intersecție să fie aceleași (alterne interne, corespondente). Rezultă patru unghiuri de $65^{\circ }$ și patru unghiuri de $180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$.

b) (1 p) Diametrul are lungimea $2\cdot 5=10$ cm.

c) (2 p) Arcul mic $AB$ are măsura unghiului la centru, $80^{\circ }$; arcul mare $AB$ are $360^{\circ }-80^{\circ }=280^{\circ }$.

Exercițiul 11. (9 p)

a) (3 p) $\sphericalangle C=180^{\circ }-50^{\circ }-65^{\circ }=65^{\circ }$. Cum $\sphericalangle B=\sphericalangle C$, triunghiul este isoscel, cu $AB=AC$ (laturile opuse unghiurilor congruente).

b) (2 p) Unghiul exterior din $C$ este suplementul lui $\sphericalangle C$: $180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }$ (egal cu $\sphericalangle A+\sphericalangle B=50^{\circ }+65^{\circ }$).

c) (4 p) Ipoteza: $MN=MP$, $NQ=QP$. În triunghiurile $MNQ$ și $MPQ$: $MN=MP$ (ipoteză), $NQ=PQ$ ($Q$ mijlocul lui $NP$), $MQ$ latură comună; după criteriul LLL, $△MNQ\equiv △MPQ$. De aici $\sphericalangle MQN=\sphericalangle MQP$; cele două unghiuri sunt adiacente suplementare, deci fiecare are $90^{\circ }$, adică $MQ\perp NP$.

Exercițiul 12. (9 p)

a) (3 p) Teorema lui Pitagora: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2=81+144=225=15^2$, deci $BC=15$ cm.

b) (3 p) În triunghiul dreptunghic, mediana corespunzătoare ipotenuzei are jumătate din lungimea ipotenuzei: $AM=15:2=7,5$ cm.

c) (3 p) Rampa, solul și verticala din capătul de sus formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza de $6$ m și un unghi de $30^{\circ }$. Înălțimea este cateta opusă unghiului de $30^{\circ }$, deci are jumătate din ipotenuză: $6:2=3$ m.

Pentru părinți și profesori

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu). Nota = punctajul total împărțit la 10, rotunjită la întreg pentru catalog (de exemplu, 87 de puncte → 8,7 → 9).
• Timp recomandat: două ore de curs (2 × 50 de minute): exercițiile 1–8 în prima oră, exercițiile 9–12 în a doua; oficiul se acordă o singură dată. Într-o singură oră se poate da doar prima parte, notată din 58 de puncte.
• Materiale: riglă, echer, creion, foaie de matematică. Fără calculator.
• Redactare: la exercițiile 2c, 4, 7b, 11c și 12c se cere rezolvarea completă; la 11c, demonstrația se scrie cu ipoteza, concluzia și criteriul de congruență folosit.

Interpretarea rezultatului: