Test final clasa a 7-a matematică (a VII-a), cu barem, 2026–2027: evaluare finală pe toată materia

Disciplina: Matematică · Clasa a VII-a (clasa 7) · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Exercițiul 1 (6 puncte)

a) Din mulțimea $M=\left\{-3;0,5;\sqrt{9};\sqrt{7};-\frac{2}{3};\pi \right\}$ scrieți numerele iraționale. (2 p)

b) Calculați $\sqrt{144}$ și scrieți între ce două numere naturale consecutive se află $\sqrt{50}$. (2 p)

c) Ordonați crescător numerele $2\sqrt{3}$, $3\sqrt{2}$ și $4$. (2 p)

Exercițiul 2 (9 puncte)

a) Scoateți factorii de sub radical: $\sqrt{72}$. (2 p)

b) Calculați $\sqrt{50}-2\sqrt{18}+\sqrt{8}$. (3 p)

c) Raționalizați numitorul fracției $\frac{6}{\sqrt{3}}$. (2 p)

d) Calculați $\left|\sqrt{5}-3\right|$. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Calculați media geometrică a numerelor $4$ și $9$. (2 p)

b) La un concurs, proba scrisă are ponderea $3$, proba orală ponderea $2$, iar proiectul ponderea $1$. Un elev a obținut $9$ la proba scrisă, $7$ la proba orală și $10$ la proiect. Calculați media ponderată a elevului. (4 p)

Exercițiul 4 (8 puncte)

a) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $x^2=49$. (2 p)

b) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $3(x-2)-5=x+1$. (3 p)

c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\frac{x+1}{3}-\frac{x-2}{4}=1$. (3 p)

Exercițiul 5 (9 puncte)

a) Rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=7\\ 2x-y=5\end{array}$. (4 p)

b) La un muzeu, biletul pentru un copil costă cu $15$ lei mai puțin decât biletul pentru un adult. Doi adulți și trei copii au plătit împreună $130$ de lei. Cât costă un bilet de adult și cât costă un bilet de copil? (5 p)

Exercițiul 6 (6 puncte)

a) Într-un sistem de axe ortogonale se dau punctele $A(-2,3)$ și $B(4,-5)$. Calculați distanța $AB$. (3 p)

b) Tabelul următor arată câte cărți au citit în vacanță elevii unei clase. Câți elevi are clasa și ce procent dintre ei au citit cel puțin două cărți? (3 p)

Exercițiul 7 (9 puncte)

a) Trei unghiuri ale unui patrulater convex au măsurile de $80^{\circ }$, $95^{\circ }$ și $110^{\circ }$. Calculați măsura celui de-al patrulea unghi. (2 p)

b) În paralelogramul $ABCD$, $\sphericalangle A=70^{\circ }$. Calculați măsurile celorlalte trei unghiuri. (2 p)

c) Un romb are diagonalele de $12\text{cm}$ și $16\text{cm}$. Calculați latura, perimetrul și aria rombului. (5 p)

Exercițiul 8 (8 puncte)

a) Un trapez are bazele de $14\text{cm}$ și $8\text{cm}$. Calculați lungimea liniei mijlocii a trapezului. (2 p)

b) Înălțimea trapezului de la punctul a) este de $6\text{cm}$. Calculați aria trapezului. (3 p)

c) În triunghiul $ABC$, punctele $M$ și $N$ sunt mijloacele laturilor $AB$, respectiv $AC$, iar $BC=18\text{cm}$. Calculați lungimea segmentului $MN$ și precizați poziția dreptelor $MN$ și $BC$. (3 p)

Exercițiul 9 (8 puncte)

a) Un unghi înscris într-un cerc cuprinde între laturile sale un arc de $100^{\circ }$. Calculați măsura unghiului înscris. (2 p)

b) Calculați lungimea cercului și aria discului de rază $6\text{cm}$. (3 p)

c) Un hexagon regulat este înscris în cercul de rază $6\text{cm}$. Calculați latura și perimetrul hexagonului și măsura unui unghi al său. (3 p)

Exercițiul 10 (8 puncte)

În triunghiul $ABC$, punctele $D\in (AB)$ și $E\in (AC)$ sunt astfel încât $DE\parallel BC$. Se știe că $AD=4\text{cm}$, $DB=6\text{cm}$, $AE=6\text{cm}$ și $BC=15\text{cm}$.

a) Calculați lungimea segmentului $EC$. (3 p)

b) Calculați lungimea segmentului $DE$. (3 p)

c) Calculați raportul dintre aria triunghiului $ADE$ și aria triunghiului $ABC$. (2 p)

Exercițiul 11 (9 puncte)

Triunghiul $ABC$ este dreptunghic în $A$, iar $AD\perp BC$, $D\in (BC)$. Se știe că $BD=9\text{cm}$ și $DC=16\text{cm}$.

a) Calculați lungimea înălțimii $AD$. (3 p)

b) Calculați lungimile catetelor $AB$ și $AC$. (3 p)

c) Calculați $\sin C$ și $\mathrm{tg}B$. (3 p)

Exercițiul 12 (4 puncte)

O scară cu lungimea de $5\text{m}$ este sprijinită de un perete vertical și face cu solul orizontal un unghi de $60^{\circ }$. La ce înălțime atinge scara peretele și la ce distanță de perete se află piciorul scării? (4 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din exerciții + 10 p din oficiu = 100 p. Nota = punctajul total : 10.

Exercițiul 1. (6 p)

a) (2 p) $\sqrt{7}$ și $\pi$. ($\sqrt{9}=3$ este natural; $0,5$ și $-\frac{2}{3}$ sunt raționale.)

b) (2 p) $\sqrt{144}=12$. Cum $49<50<64$, avem $7<\sqrt{50}<8$.

c) (2 p) Introducem factorii sub radical: $2\sqrt{3}=\sqrt{12}$, $3\sqrt{2}=\sqrt{18}$, $4=\sqrt{16}$. Cum $12<16<18$: $2\sqrt{3}<4<3\sqrt{2}$.

Exercițiul 2. (9 p)

a) (2 p) $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot 2}=6\sqrt{2}$.

b) (3 p) $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, $2\sqrt{18}=2\cdot 3\sqrt{2}=6\sqrt{2}$, $\sqrt{8}=2\sqrt{2}$. Rezultatul: $5\sqrt{2}-6\sqrt{2}+2\sqrt{2}=\sqrt{2}$.

c) (2 p) $\frac{6}{\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{3}}{3}=2\sqrt{3}$.

d) (2 p) $\sqrt{5}<\sqrt{9}=3$, deci $\sqrt{5}-3<0$ și $\left|\sqrt{5}-3\right|=3-\sqrt{5}$.

Exercițiul 3. (6 p)

a) (2 p) $m_g=\sqrt{4\cdot 9}=\sqrt{36}=6$.

b) (4 p) $m_p=\frac{9\cdot 3+7\cdot 2+10\cdot 1}{3+2+1}=\frac{27+14+10}{6}=\frac{51}{6}=8,5$.

Exercițiul 4. (8 p)

a) (2 p) $x^2=49$ are soluțiile $x=7$ și $x=-7$: $S=\{-7,7\}$.

b) (3 p) $3x-6-5=x+1$, deci $3x-11=x+1$, $2x=12$, $x=6$. Verificare: $3\cdot 4-5=7=6+1$.

c) (3 p) Înmulțim cu $12$: $4(x+1)-3(x-2)=12$, adică $4x+4-3x+6=12$, $x+10=12$, $x=2$. Verificare: $\frac{3}{3}-\frac{0}{4}=1$.

Exercițiul 5. (9 p)

a) (4 p) Metoda reducerii: adunând ecuațiile, $3x=12$, deci $x=4$; din prima ecuație, $y=7-4=3$. Soluția: $(x,y)=(4,3)$. Verificare: $2\cdot 4-3=5$.

b) (5 p) Fie $a$ prețul biletului de adult și $c$ prețul biletului de copil (în lei): $a=c+15$ și $2a+3c=130$. Substituind, $2(c+15)+3c=130$, adică $5c+30=130$, $c=20$, iar $a=35$. Biletul de adult costă $35$ de lei, iar cel de copil $20$ de lei. Verificare: $2\cdot 35+3\cdot 20=70+60=130$.

Exercițiul 6. (6 p)

a) (3 p) $AB=\sqrt{(4-(-2){)}^2+(-5-3{)}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ (unități de lungime).

b) (3 p) Clasa are $3+7+10+5=25$ de elevi. Cel puțin două cărți au citit $10+5=15$ elevi, adică $\frac{15}{25}=\frac{60}{100}=60\%$.

Exercițiul 7. (9 p)

a) (2 p) Suma unghiurilor unui patrulater convex este $360^{\circ }$: $360^{\circ }-(80^{\circ }+95^{\circ }+110^{\circ })=75^{\circ }$.

b) (2 p) Unghiurile opuse sunt congruente, iar cele alăturate sunt suplementare: $\sphericalangle C=70^{\circ }$, $\sphericalangle B=\sphericalangle D=180^{\circ }-70^{\circ }=110^{\circ }$.

c) (5 p) Diagonalele rombului sunt perpendiculare și se înjumătățesc, deci formează patru triunghiuri dreptunghice cu catetele $6$ cm și $8$ cm. Din teorema lui Pitagora, latura este $\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10$ cm. Perimetrul: $4\cdot 10=40$ cm. Aria: $\frac{12\cdot 16}{2}=96{\text{cm}}^2$.

Exercițiul 8. (8 p)

a) (2 p) Linia mijlocie a trapezului este semisuma bazelor: $\frac{14+8}{2}=11$ cm.

b) (3 p) $\mathcal{A}=\frac{(14+8)\cdot 6}{2}=66{\text{cm}}^2$ (sau: linia mijlocie înmulțită cu înălțimea, $11\cdot 6=66$).

c) (3 p) $MN$ este linie mijlocie în triunghiul $ABC$, deci $MN\parallel BC$ și $MN=\frac{BC}{2}=9$ cm.

Exercițiul 9. (8 p)

a) (2 p) Unghiul înscris are jumătate din măsura arcului cuprins între laturi: $100^{\circ }:2=50^{\circ }$.

b) (3 p) $L=2\pi r=12\pi$ cm; $\mathcal{A}=\pi r^2=36\pi {\text{cm}}^2$.

c) (3 p) Latura hexagonului regulat înscris este egală cu raza: ${\ell }_6=6$ cm. Perimetrul: $6\cdot 6=36$ cm. Suma unghiurilor hexagonului este $(6-2)\cdot 180^{\circ }=720^{\circ }$, deci fiecare unghi are $720^{\circ }:6=120^{\circ }$.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (3 p) Teorema lui Thales ($DE\parallel BC$): $\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}$, adică $\frac{4}{6}=\frac{6}{EC}$, deci $EC=\frac{36}{4}=9$ cm.

b) (3 p) Din teorema fundamentală a asemănării, $△ADE\sim △ABC$, cu $\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$. Atunci $DE=\frac{2}{5}\cdot 15=6$ cm.

c) (2 p) Raportul ariilor a două triunghiuri asemenea este pătratul raportului de asemănare: ${\left(\frac{2}{5}\right)}^2=\frac{4}{25}$.

Exercițiul 11. (9 p)

a) (3 p) Teorema înălțimii: $A{D}^2=BD\cdot DC=9\cdot 16=144$, deci $AD=12$ cm.

b) (3 p) $BC=9+16=25$ cm. Teorema catetei: $A{B}^2=BD\cdot BC=9\cdot 25=225$, deci $AB=15$ cm; $A{C}^2=DC\cdot BC=16\cdot 25=400$, deci $AC=20$ cm. (Verificare cu Pitagora: $15^2+20^2=625=25^2$.)

c) (3 p) $\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{15}{25}=\frac{3}{5}$; $\mathrm{tg}B=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{15}=\frac{4}{3}$.

Exercițiul 12. (4 p)

(4 p) Scara, peretele și solul formează un triunghi dreptunghic cu ipotenuza de $5$ m (scara) și unghiul de $60^{\circ }$ între scară și sol. Înălțimea este cateta opusă unghiului de $60^{\circ }$: $h=5\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{5\sqrt{3}}{2}$ m. Distanța până la perete este cateta alăturată: $d=5\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{5}{2}=2,5$ m.

Pentru părinți și profesori

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu). Nota = punctajul total împărțit la 10, rotunjită la întreg pentru catalog (de exemplu, 87 de puncte → 8,7 → 9).
• Timp recomandat: două ore de curs (2 × 50 de minute): exercițiile 1–6 în prima oră, exercițiile 7–12 în a doua; oficiul se acordă o singură dată. Într-o singură oră se poate da doar prima parte, notată din 44 de puncte.
• Materiale: riglă, echer, compas, creion, foaie de matematică. Fără calculator: radicalii nu se aproximează, iar valorile trigonometrice cerute sunt cele ale unghiurilor de $30^{\circ }$, $45^{\circ }$ și $60^{\circ }$.
• Redactare: la exercițiile 5b, 7c, 10 și 12 se cere rezolvarea completă, cu teorema folosită numită explicit.

Interpretarea rezultatului: