Simulare Bac matematică tehnologic nr. 5

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $\frac{(2+4i{)}^2}{-1+3i}=a+bi$, unde $i^2=-1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2-4x-15$. Calculați aria triunghiului determinat de punctele în care graficul funcției $f$ intersectează axele de coordonate.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x^2-141)-{\log }_2(x-6)=2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați în câte moduri poate fi alcătuită o echipă formată din 2 strungari și 3 frezori, dintre cei 8 strungari și 9 frezori ai unui atelier.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$, $B(5,-2)$ și $C(11,m)$, unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$ pentru care lungimea medianei din vârful $A$ a triunghiului $ABC$ este egală cu $10$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\left({\cos }^{2}15^{\circ }-{\sin }^{2}15^{\circ }\right)\cdot \mathrm{tg}60^{\circ }=\frac{3}{2}$.

Partea a II-a – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}73& 9\\ 36& 73\end{array}\right)$ și $M(a)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 4a& 1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=5005$.

b) (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $M(a)$ este inversabilă.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $M(x)\cdot M(y)=A$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-21X^2+mX-168$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(2)-2f(1)=132$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la $X^2-6X-1$, știind că restul împărțirii lui $f$ la $X+2$ este egal cu $-504$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ are trei rădăcini reale în progresie aritmetică.

Partea a III-a – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{x+3}{x^2+x+10}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(1-x)(x+7)}{(x^2+x+10{)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați imaginea funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\sqrt{2e^x+7}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1{f}^2(x)dx=2e+5$.

b) (5 puncte) Calculați ${\int }_0^{\ln 21}\frac{e^x}{f(x)}dx$.

c) (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice $a\in (0,+\infty )$, suprafața plană delimitată de graficul funcției $f$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=a$ are aria mai mare sau egală cu $3a$.

Barem și răspunsuri

La Subiectul al III-lea, o valoare scrisă fără calculul care o justifică aduce doar o parte din punctele subpunctului.

Exercițiul 1.

Pătratul este $(2+4i{)}^2=4+16i+16i^2=-12+16i$, iar conjugatul numitorului $-1+3i$ este $-1-3i$. Amplificăm fracția cu $-1-3i$: $\frac{-12+16i}{-1+3i}=\frac{(-12+16i)(-1-3i)}{(-1+3i)(-1-3i)}=\frac{60+20i}{10}$ (3 p).

Rezultă $\frac{(2+4i{)}^2}{-1+3i}=6+2i$, deci $\mathbf{a}=6$ și $\mathbf{b}=2$ (2 p).

(Probă: $(6+2i)(-1+3i)=-6+18i-2i+6i^2=-12+16i$, adică numărătorul. Capcană: pătratul se scrie $2^2+(4i{)}^2=-12$, fără dublul produs $16i$; atunci câtul ar fi $\frac{-12}{-1+3i}=\frac{-12(-1-3i)}{10}$, adică $a=\frac{6}{5}$ și $b=\frac{18}{5}$, nu numere întregi.)

Exercițiul 2.

Punctele de pe axa $Ox$ au ordonata $0$, deci rezolvăm $3x^2-4x-15=0$, cu $\Delta =16+180=196$ și $x=\frac{4\pm 14}{6}$, adică $x=3$ sau $x=-\frac{5}{3}$; pe axa $Oy$ punctul este $(0;f(0))=(0;-15)$ (3 p).

Baza de pe $Ox$ este $3-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{14}{3}$, înălțimea este $|-15|=15$, iar aria este $\frac{1}{2}\cdot \frac{14}{3}\cdot 15=35$ (2 p).

(Probă: $f(3)=27-12-15=0$ și $f\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{25}{3}+\frac{20}{3}-15=0$. Capcană: în formula rădăcinilor se împarte la $a=3$ în loc de $2a=6$; atunci soluțiile ar fi $6$ și $-\frac{10}{3}$, aria ar ieși $70$, dublul celei corecte, iar $f(6)=108-24-15=69\ne 0$.)

Exercițiul 3.

Argumentele trebuie să fie pozitive. Diferența de logaritmi este logaritmul câtului, iar $2={\log }_{2}4$, deci $\frac{x^2-141}{x-6}=4$, adică $x^2-141=4(x-6)$ (3 p).

Ecuația se scrie $x^2-4x-117=0$, cu soluțiile $x=13$ și $x=-9$; pentru $x=-9$ avem $x-6=-15<0$, iar pentru $x=13$ avem $13^2-141=28>0$ și $13-6=7>0$, deci rămâne numai $\mathbf{x}=13$ (2 p).

(Probă: ${\log }_2(169-141)-{\log }_2(13-6)={\log }_{2}28-{\log }_{2}7={\log }_{2}4=2$. Capcană: numărul $2$ se lasă ca atare, $\frac{x^2-141}{x-6}=2$, în loc de $2={\log }_{2}4$; atunci ecuația ar fi $x^2-2x-129=0$, cu $x=1+\sqrt{130}\approx 12,40$, dar pentru această valoare câtul argumentelor este $2$, deci diferența logaritmilor ar fi ${\log }_{2}2=1$, nu $2$.)

Exercițiul 4.

Strungarii se aleg în $C_8^2=\frac{8\cdot 7}{2}=28$ de moduri, iar frezorii în $C_9^3=\frac{9\cdot 8\cdot 7}{6}=84$ de moduri (3 p).

Alegerile sunt independente: fiecare grup de strungari se așază cu fiecare grup de frezori, deci echipele sunt în număr de $28\cdot 84=2352$ (2 p).

(Probă: $2352=28\cdot 84$, iar un grup de 5 oameni din 17 s-ar putea alege în $C_{17}^5=6188$ de moduri, număr mai mare, care nu ține seama de meserii. Capcană: se adună alegerile, $28+84=112$, în loc să se înmulțească; dar fiecare dintre cele $28$ de grupuri de strungari se combină cu fiecare dintre cele $84$ de grupuri de frezori.)

Exercițiul 5.

Mijlocul laturii $BC$ este $M\left(\frac{5+11}{2},\frac{-2+m}{2}\right)=\left(8,\frac{m-2}{2}\right)$ (2 p).

Lungimea medianei este $AM=\sqrt{(8-0{)}^2+{\left(\frac{m-2}{2}-4\right)}^2}$, iar $AM=10$ înseamnă $64+{\left(\frac{m-10}{2}\right)}^2=100$, adică $(m-10{)}^2=144$, deci $m-10=\pm 12$ și $\mathbf{m}=22$ sau $\mathbf{m}=-2$ (3 p).

(Probă: pentru $m=22$, $M(8,10)$ și $AM=\sqrt{64+36}=10$; pentru $m=-2$, $M(8,-2)$ și $AM=\sqrt{64+36}=10$. Capcană: din $(m-10{)}^2=144$ se reține numai $m-10=12$, deci $m=22$; dar și $m=-2$ verifică, fiindcă $(-2-10{)}^2=144$.)

Exercițiul 6.

Paranteza este formula cosinusului unghiului dublu: ${\cos }^{2}15^{\circ }-{\sin }^{2}15^{\circ }=\cos \left(2\cdot 15^{\circ }\right)=\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3 p).

Cum $\mathrm{tg}60^{\circ }=\sqrt{3}$, produsul este $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{3}=\frac{3}{2}$ (2 p).

(Probă: cu $\cos 15^{\circ }\approx 0,9659$ și $\sin 15^{\circ }\approx 0,2588$, paranteza este $0,9330-0,0670=0,8660\approx \frac{\sqrt{3}}{2}$. Capcană: paranteza se confundă cu ${\cos }^{2}15^{\circ }+{\sin }^{2}15^{\circ }=1$; atunci produsul ar fi $1\cdot \sqrt{3}=\sqrt{3}$, nu $\frac{3}{2}$.)

Exercițiul 7.

a) (5 p) Avem $\det A=73\cdot 73-9\cdot 36$ (3 p). Rezultă $5329-324=5005$ (2 p).

(Capcană: produsele se scad în ordine inversă, $9\cdot 36-73\cdot 73=-5005$.)

b) (5 p) Matricea $M(a)$ este inversabilă exact când $\det M(a)\ne 0$, iar $\det M(a)=1\cdot 1-a\cdot 4a=1-4a^2$ (2 p). Din $1-4a^2=0$ rezultă $a=-\frac{1}{2}$ sau $a=\frac{1}{2}$, deci $M(a)$ este inversabilă pentru $a\in \mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$ (3 p).

(Probă: $M\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& \frac{1}{2}\\ 2& 1\end{array}\right)$ are determinantul $1-1=0$, iar $M(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$ are determinantul $-3\ne 0$. Capcană: se pune condiția $\det M(a)=0$ pentru inversabilitate și se răspunde $a\in \left\{-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right\}$, adică exact valorile pentru care $M(a)$ nu are inversă.)

c) (5 p) Produsul, făcut rând pe coloană, este $M(x)\cdot M(y)=\left(\begin{array}{cc}1+4xy& x+y\\ 4(x+y)& 1+4xy\end{array}\right)$, iar egalitatea cu $A$ dă $x+y=9$ și $1+4xy=73$, adică $xy=18$ (3 p). Valorile se află din ecuația $t^2-St+P=0$, cu $S=9$ și $P=18$: soluțiile ei sunt $3$ și $6$, iar perechile sunt $(\mathbf{x},\mathbf{y})=(3,6)$ și $(\mathbf{x},\mathbf{y})=(6,3)$ (2 p).

(Probă: $M(3)\cdot M(6)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 12& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 24& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}73& 9\\ 36& 73\end{array}\right)$. Capcană: matricele se înmulțesc element cu element; atunci elementul $(1,1)$ ar fi $1\cdot 1=1$, nu $73$, iar egalitatea ar părea imposibilă.)

Exercițiul 8.

a) (5 p) Avem $f(2)=8-84+2m-168=2m-244$ și $f(1)=1-21+m-168=m-188$ (2 p). Atunci $f(2)-2f(1)=(2m-244)-(2m-376)=132$, fără $m$ (3 p).

(Capcană: se uită factorul $2$ din fața lui $f(1)$; atunci $f(2)-f(1)=2m-244-m+188=m-56$ depinde de $m$.)

b) (5 p) Restul împărțirii la $X+2=X-(-2)$ este $f(-2)=-8-84-2m-168=-260-2m$, iar din $-260-2m=-504$ rezultă $m=122$ și $f=X^3-21X^2+122X-168$ (2 p). Împărțim în coloană: $X^3-21X^2+122X-168=\left(X^2-6X-1\right)(X-15)+33X-183$, deci câtul este $\mathbf{X}-15$, iar restul este $33X-183$ (3 p).

(Probă: pentru $X=1$, $f(1)=1-21+122-168=-66$, iar $(1-6-1)(1-15)+(33-183)=84-150=-66$. Capcană: pentru împărțitorul $X+2$ se scrie $f(2)=-504$; atunci $2m-244=-504$ ar da $m=-130$, dar restul împărțirii la $X+2$ este valoarea în $-2$, nu în $2$.)

c) (5 p) Fie $x_1$, $x_2$, $x_3$ rădăcinile, în această ordine. Sunt în progresie aritmetică, deci $2x_2=x_1+x_3$, iar din relațiile lui Viète $x_1+x_2+x_3=21$; rezultă $3x_2=21$ și $x_2=7$ (2 p). Atunci $x_1+x_3=14$, iar din $x_1{x}_2{x}_3=168$ rezultă $x_1{x}_3=24$; numerele cu suma $14$ și produsul $24$ sunt $2$ și $12$. Rădăcinile sunt $2$, $7$ și $12$, iar $m=2\cdot 7+2\cdot 12+7\cdot 12=122$ (3 p).

(Probă: $f(7)=343-1029+854-168=0$. Capcană: produsul rădăcinilor se ia egal cu termenul liber, $-168$, în loc de opusul lui, $168$; atunci $x_1{x}_3=-24$ și $m=-24+7\cdot 14=74$, dar cu $m=74$ avem $f(7)=343-1029+518-168=-336\ne 0$.)

Exercițiul 9.

a) (5 p) Notăm $u=x+3$ și $v=x^2+x+10$, deci $u^{\prime }=1$ și $v^{\prime }=2x+1$, iar derivata câtului este $f^{\prime }(x)=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$ (3 p). Numărătorul este $x^2+x+10-(x+3)(2x+1)=-x^2-6x+7=(1-x)(x+7)$, deci $f^{\prime }(x)=\frac{(1-x)(x+7)}{{\left(x^2+x+10\right)}^2}$ (2 p).

(Capcană: se împarte derivata numărătorului la derivata numitorului, $\frac{1}{2x+1}$, care nu este definită în $x=-\frac{1}{2}$, deși $f$ este derivabilă pe $\mathbb{R}$.)

b) (5 p) Împărțim numărătorul și numitorul la $x^2$: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{1}{x}+\frac{3}{x^2}}{1+\frac{1}{x}+\frac{10}{x^2}}$ (3 p). Fracțiile $\frac{1}{x}$, $\frac{3}{x^2}$ și $\frac{10}{x^2}$ tind la $0$, deci limita este $\frac{0}{1}=0$, iar asimptota orizontală spre $+\infty$ este $\mathbf{y}=0$ (2 p).

(Probă: $f(1000)=\frac{1003}{1001010}\approx 0,001$. Capcană: se compară coeficienții lui $x$ și ai lui $x^2$ ca și cum ar avea același grad și se scrie limita $1$; dar numărătorul are gradul $1$, numitorul gradul $2$, iar $f(1000)$ este aproape de $0$, nu de $1$.)

c) (5 p) Semnul lui $f^{\prime }$ este al lui $(1-x)(x+7)$: $f^{\prime }<0$ pe $(-\infty ;-7)$, $f^{\prime }>0$ pe $(-7;1)$ și $f^{\prime }<0$ pe $(1;+\infty )$, deci $f$ scade pe $(-\infty ;-7]$, crește pe $[-7;1]$ și scade pe $[1;+\infty )$ (3 p). Avem $f(-7)=-\frac{1}{13}$ și $f(1)=\frac{1}{3}$, iar limitele la $+\infty$ și la $-\infty$ sunt $0$, fiindcă gradul numărătorului este mai mic decât al numitorului. Funcția este continuă pe $\mathbb{R}$, fiind un cât de polinoame cu numitor strict pozitiv, deci ia toate valorile dintre $-\frac{1}{13}$ și $\frac{1}{3}$; imaginea este $\left[-\frac{1}{13},\frac{1}{3}\right]$ (2 p).

(Probă: $f(-3)=0$, $f(0)=\frac{3}{10}$ și $f(-10)=-\frac{7}{100}$, valori cuprinse între $-\frac{1}{13}$ și $\frac{1}{3}$. Capcană: se ia $0$, limita de la capete, drept margine de jos, iar imaginea ar fi $\left[0,\frac{1}{3}\right]$; dar $f(-7)=-\frac{1}{13}<0$.)

Exercițiul 10.

a) (5 p) Cum $f^2(x)=2e^x+7$, avem ${\int }_0^1{f}^2(x)dx={\int }_0^1\left(2e^x+7\right)dx=[2e^x+7x{]}_0^1$ (3 p). Valoarea este $(2e+7)-(2+0)=2e+5$ (2 p).

(Capcană: se uită primitiva termenului constant $7$, adică $7x$; atunci s-ar obține $2e-2$, nu $2e+5$.)

b) (5 p) Notăm $t=2e^x+7$, deci $dt=2e^{x}dx$, adică $e^{x}dx=\frac{dt}{2}$, iar $f(x)=\sqrt{t}$. Pentru $x=0$ avem $t=9$, iar pentru $x=\ln 21$ avem $t=2\cdot 21+7=49$ (3 p). Integrala devine $\frac{1}{2}{\int }_9^{49}\frac{dt}{\sqrt{t}}=\frac{1}{2}[2\sqrt{t}{]}_9^{49}=\sqrt{49}-\sqrt{9}=4$ (2 p).

(Probă: derivata lui $\sqrt{2e^x+7}$ este $\frac{e^x}{\sqrt{2e^x+7}}$, deci integrala este $f(\ln 21)-f(0)=7-3=4$. Capcană: după trecerea la $t$ se păstrează limitele $0$ și $\ln 21$; atunci rezultatul ar fi $\sqrt{\ln 21}\approx 1,74$, nu $4$.)

c) (5 p) Pentru $x\ge 0$ avem $e^x\ge 1$, deci $2e^x+7\ge 9$ și $f(x)\ge 3$; așadar $f>0$ pe $[0,a]$, iar aria este ${\int }_0^{a}f(x)dx$ (2 p). Din $f(x)\ge 3$ pe $[0,a]$, monotonia integralei dă ${\int }_0^{a}f(x)dx\ge {\int }_0^{a}3dx$, iar ${\int }_0^{a}3dx=3a$ (3 p).

(Probă: pentru $a=\ln 21$, aria este cuprinsă între $3\ln 21\approx 9,13$ și $7\ln 21\approx 21,31$, iar $f$ crește de la $3$ la $7$. Capcană: minorantul se ia $f(a)$, valoarea din capătul drept, în loc de $f(0)$; dar $f$ crește, deci $f(x)\ge f(a)$ este fals pe $[0,a]$: de exemplu $f(0)=3<7=f(\ln 21)$.)

Pentru părinți și profesori

Simularea aceasta are forma probei scrise de matematică de la Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027, 2028 și 2029, pe care o susțin absolvenții filierei tehnologice intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026. Este a cincea foaie din serie. Cele patru dinaintea ei au pornit de la tipurile frecvente; aceasta se ocupă de ce a rămas la margine: un cât de numere complexe cu un pătrat la numărător, aria triunghiului format de o parabolă cu axele, o diferență de logaritmi, două grupe de persoane alese separat, mediana unui triunghi cu ordonata unui vârf necunoscută și cosinusul unghiului dublu, la primul subiect; un produs de matrice egal cu o matrice dată și un polinom cu rădăcini în progresie aritmetică, la al doilea; imaginea unei funcții și o schimbare de variabilă într-o integrală, la al treilea. Verbele cerințelor și împărțirea punctelor urmează probele oficiale, iar datele numerice sunt scrise anume pentru această foaie.

Notare. Foaia are 100 de puncte: 90 de puncte din cerințe (șase cerințe de 5 puncte în Subiectul I și, în celelalte două subiecte, patru probleme de 15 puncte, fiecare cu trei subpuncte egale) și 10 puncte din oficiu.

Durată. Timpul este de 3 ore, fără pauză. Un plan sugerat, nu o regulă oficială: 40 de minute pentru primul subiect, câte o oră pentru următoarele două și 20 de minute la sfârșit, pentru recitire.

Cum o folosești. Lucrezi singur, cu foaia, un creion și ceasul, fără barem și fără caiet de teorie. Un subpunct care nu iese se lasă pe mai târziu: în fiecare problemă ai subpuncte independente. După cele 3 ore verifici cu baremul, pas cu pas, și treci lângă fiecare cerință punctele luate. Ghidajul îl folosești abia apoi, numai la cerințele nerezolvate.

După notare. Adaugi cele 10 puncte din oficiu la punctele luate la barem și vezi în ce treaptă te afli:

• 90–100 de puncte. Seria e parcursă bine; din când în când reiei câte o cerință la alegere.
• 75–89 de puncte. Mai ai de întărit una sau două cerințe; lecțiile lor sunt în tabelul „Harta pe cerințe”. Le recitești și refaci cerințele cu ghidajul alături.
• 60–74 de puncte. Reiei lecțiile cerințelor pierdute, începând cu primul subiect, și faci apoi testele de unitate ale temelor respective. Foaia o lucrezi din nou abia după aceea.
• Sub 60 de puncte. Începi cu cerințele scurte de la primul subiect și cu subpunctele a) și b) ale problemelor, având ghidajul deschis. Subpunctele c) vin la urmă.

Formule de reținut, pe subiecte, din fișele de buzunar ale lecțiilor:

• Subiectul I. La numerele complexe, $i^2=-1$ și $(a+bi{)}^2=a^2+2abi+b^2{i}^2$; un cât se amplifică cu conjugatul numitorului, iar $(c+di)(c-di)=c^2+d^2$. Graficul lui $f$ taie axa $Oy$ în punctul de ordonată $f(0)$, iar axa $Ox$ în punctele cu ordonata $0$, adică soluțiile ecuației $f(x)=0$; ecuația $a{x}^2+bx+c=0$ are, cu $\Delta =b^2-4ac$, soluțiile $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$, iar aria unui triunghi este jumătate din produsul dintre bază și înălțime. La logaritmi, diferența ${\log }_{a}x-{\log }_{a}y$ este logaritmul câtului $\frac{x}{y}$, fiecare argument trebuie să fie pozitiv, iar un număr $c$ se scrie $c={\log }_a{a}^c$. Combinările de $n$ luate câte $k$ sunt $C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, iar două alegeri independente se înmulțesc. Mijlocul unui segment are drept coordonate media aritmetică a coordonatelor capetelor, iar distanța dintre două puncte este rădăcina sumei pătratelor diferențelor coordonatelor; mediana unește un vârf cu mijlocul laturii opuse. Pentru unghiul dublu, $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$; în tabelul valorilor, $\cos 30^{\circ }$ are valoarea $\frac{\sqrt{3}}{2}$, iar $\mathrm{tg}60^{\circ }$ are valoarea $\sqrt{3}$.
• Subiectul al II-lea. Determinantul de ordin 2 este $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$, iar o matrice este inversabilă exact când determinantul ei este nenul. Produsul de matrice se face rând pe coloană. Două numere cu suma $S$ și produsul $P$ sunt rădăcinile ecuației $t^2-St+P=0$. Restul împărțirii unui polinom $f$ la $X-a$ este $f(a)$ (la $X+2=X-(-2)$ este $f(-2)$), deci împărțirea este exactă dacă $f(a)=0$. La un polinom de gradul 3 cu coeficientul dominant $1$, suma rădăcinilor este opusul coeficientului lui $X^2$, suma produselor lor luate două câte două este coeficientul lui $X$, iar produsul tuturor este opusul termenului liber. Trei numere $x_1$, $x_2$, $x_3$ sunt în progresie aritmetică dacă $2x_2=x_1+x_3$.
• Subiectul al III-lea. Derivata unui cât este ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$. La limita unui cât de polinoame spre $+\infty$, împarți numărătorul și numitorul la cea mai mare putere a lui $x$. Dacă $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=L$, dreapta $y=L$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$. Imaginea unei funcții continue se citește din tabelul de variație și din limitele de la capete. O primitivă a lui $e^x$ este $e^x$, a constantei $k$ este $kx$, iar a lui $\frac{1}{\sqrt{t}}$ este $2\sqrt{t}$. La schimbarea de variabilă $t=u(x)$, limitele devin $u(a)$ și $u(b)$, iar sub integrală nu mai rămâne niciun $x$. Dacă $f(x)\ge k$ pe $[0,a]$, atunci ${\int }_0^{a}f(x)dx\ge ka$; dacă $f\ge 0$ pe un interval, aria de sub grafic este integrala lui $f$ pe acel interval.

Harta materiei pe subiecte.

• Subiectul I (cerințele 1–6, câte 5 puncte): cât de numere complexe, aria unui triunghi format cu axele, ecuație logaritmică cu diferență de logaritmi, două grupe de persoane alese dintr-un atelier, mediană cu parametru, cosinusul unghiului dublu. Materia claselor a IX-a și a X-a.
• Subiectul al II-lea (cerințele 7 și 8, câte 15 puncte): determinant, inversabilitate și un produs de matrice egal cu o matrice dată, apoi un polinom cu parametru, împărțire cu rest și rădăcini în progresie aritmetică. Matricele aparțin clasei a XI-a, polinomul clasei a XII-a.
• Subiectul al III-lea (cerințele 9 și 10, câte 15 puncte): derivata, asimptota și imaginea unei funcții raționale, apoi integrale cu schimbare de variabilă și o inegalitate pentru arie. Funcția rațională aparține clasei a XI-a, integralele clasei a XII-a.
• Oficiul: 10 puncte, acordate oricărui candidat, care se adună la cele 90 din cerințe.

Harta pe cerințe. Tabelul leagă fiecare cerință de lecțiile din care vine. Coloana „În câte probe” arată în câte dintre cele 83 de probe oficiale (2013–2026) a fost cerută tema primei lecții din rând, iar „În câți ani” în câți dintre cei 14 ani; ultima coloană adună cuvintele lecțiilor din rând, ca să-ți faci o idee despre cât ai de citit.

Programa și examenul. Simularea urmează programa de examen pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029 (OMEN 4430/2014, Anexa 2), aceeași pentru profilurile tehnic, resurse naturale și protecția mediului și servicii. Foaia nu adaugă nimic peste programă: primul subiect cere cunoștințe din clasele a IX-a și a X-a; în următoarele două, matricele și funcția rațională țin de clasa a XI-a, iar polinomul și integralele de clasa a XII-a, așa cum arată hărțile de mai sus. Elevii care dau Bacalaureatul în 2030 au programe noi la clasele a XI-a și a XII-a (OMEC 3716/2026, Anexele 35–38, aplicate din 2028–2029), cu alt conținut; simularea de față nu este scrisă pentru ei. Din 2030, la filiera tehnologică, matematica este una dintre probele la alegere ale Bacalaureatului (OMEC 4138/2026).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.