Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2017 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2017 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați rația progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1+a_2+a_3+a_4=14$ și $a_1=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-5x+4$. Determinați distanța dintre punctele de intersecție a graficului funcției $f$ cu axa $Ox$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{x+2}+2^{x+1}+2^x=7$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După două creșteri succesive cu câte $10\%$, un produs costă $242$ de lei. Calculați prețul produsului înainte de cele două scumpiri.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Determinați numărul real $m$ pentru care vectorii $\overrightarrow{v_1}=m\vec{i}+6\vec{j}$ și $\overrightarrow{v_2}=2\vec{i}+3\vec{j}$ sunt coliniari.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați aria dreptunghiului $ABCD$, știind că $AB=3$ și $AC=5$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=x+y-xy$.

1. (5 puncte) Calculați $(-1)\ast 1$.

2. (5 puncte) Verificați dacă legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

3. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=-(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, pentru care $x\ast x=0$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $a$, pentru care $a\ast a\ge 1$.

6. (5 puncte) Calculați $\frac{1}{2016}\ast \frac{2}{2016}\ast \frac{3}{2016}\ast \dots \ast \frac{2017}{2016}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A(n)=\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)$, unde $n$ este număr întreg.

1. (5 puncte) Calculați $\det (A(2017))$.

2. (5 puncte) Arătați că $A(-2017)+A(2017)=2I_2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

3. (5 puncte) Arătați că $A(m)\cdot A(n)=A(m+n)$, pentru orice numere întregi $m$ și $n$.

4. (5 puncte) Se consideră matricea $B=A(0)+A(1)+A(2)+A(3)+A(4)+A(5)+A(6)$. Arătați că suma elementelor matricei $B$ este divizibilă cu $7$.

5. (5 puncte) Arătați că matricea $A(n)$ este inversabilă pentru orice număr întreg $n$.

6. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{Z})$ pentru care $A(2017)\cdot X=A(2018)$.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare urmează rândurile foii oficiale: numărul îngroșat din paranteză arată câte puncte din 5 valorează rândul. Toate cele 18 cerințe au câte două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3 puncte), iar adăugând oficiul, totalul lucrării este 100.

Exercițiul 1. (5 p) — rația unei progresii aritmetice din suma primilor patru termeni.

Cu rația $r$, termenii sunt $a_2=a_1+r$, $a_3=a_1+2r$ și $a_4=a_1+3r$. Suma primilor patru termeni este $$a_1+(a_1+r)+(a_1+2r)+(a_1+3r)=14⟺4a_1+6r=14\text{(3 p)}.$$ Cu $a_1=2$ obținem $4\cdot 2+6r=14$, adică $6r=6$ și $\mathbf{r}=1$. Verificare: termenii $2,3,4,5$ au suma $14$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — distanța dintre intersecțiile unei parabole cu axa $Ox$.

Pe axa $Ox$ ordonata este $0$, deci abscisele căutate verifică $f(x)=0$, adică $x^2-5x+4=0$ (2 p).

Cu $\Delta =25-16=9$, rădăcinile sunt $\frac{5\pm 3}{2}$, adică $x=1$ sau $x=4$. Intersecțiile sunt $(1,0)$ și $(4,0)$; ele au aceeași ordonată, deci lungimea segmentului dintre ele este $4-1=3$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu trei puteri.

Puterile cu aceeași bază se înmulțesc adunând exponenții, deci $2^{x+2}$ este produsul dintre $2^2$ și $2^x$, iar $2^{x+1}$ este produsul dintre $2^1$ și $2^x$. Scoatem factorul comun $2^x$; paranteza rămasă este $4+2+1=7$: $$2^x\left(2^2+2^1+1\right)=7⟺2^x=1\text{(3 p)}.$$ Puterea $2^x$ crește odată cu $x$, deci este egală cu $1$ numai la $x=0$. Așadar $\mathbf{x}=0$; verificare: $2^2+2^1+2^0=7$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — prețul dinaintea a două scumpiri succesive.

Fie $p$ prețul produsului înainte de cele două scumpiri. După prima, prețul este $p+\frac{10}{100}\cdot p$; a doua se calculează din acest preț nou, nu din $p$. După amândouă, produsul costă $242$ de lei: $$\left(p+\frac{10}{100}\cdot p\right)+\frac{10}{100}\cdot \left(p+\frac{10}{100}\cdot p\right)=242\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $\frac{11}{10}p+\frac{11}{100}p=\frac{121}{100}p$, deci $p=242\cdot \frac{100}{121}=200$ de lei; verificare: $200\to 220\to 242$ (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — coliniaritatea a doi vectori prin coordonate.

Coordonatele vectorilor sunt $(m,6)$ pentru $\overrightarrow{v_1}$ și $(2,3)$ pentru $\overrightarrow{v_2}$. Doi vectori sunt coliniari când coordonatele lor sunt proporționale: $$\frac{m}{2}=\frac{6}{3}\text{(3 p)}.$$ Raportul din dreapta este $2$, deci $m=2\cdot 2=4$. Într-adevăr, $\overrightarrow{v_1}=4\vec{i}+6\vec{j}=2\left(2\vec{i}+3\vec{j}\right)=2\overrightarrow{v_2}$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui dreptunghi din latură și diagonală.

În dreptunghiul $ABCD$ toate unghiurile sunt drepte; în triunghiul $ABC$ unghiul drept este $B$, ipotenuza este $AC=5$, iar $AB=3$ este o catetă. Teorema lui Pitagora dă $$BC=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4\text{(3 p)}.$$ Aria dreptunghiului este produsul a două laturi vecine: $AB\cdot BC=3\cdot 4=12$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem $x=-1$ și $y=1$ în $x\ast y=x+y-xy$: $$(-1)\ast 1=-1+1-(-1)\cdot 1\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni dau $0$, iar $-(-1)\cdot 1=1$, deci rezultatul este $1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — comutativitatea legii.

Din definiție, $x\ast y=x+y-xy$. La numere reale, ordinea termenilor dintr-o sumă și a factorilor dintr-un produs nu contează, deci termenii pot fi scriși în ordine inversă: $$x\ast y=x+y-xy=y+x-yx\text{(3 p)}.$$ Expresia $y+x-yx$ este chiar $y\ast x$, scrisă după definiție. Deci $x\ast y=y\ast x$ pentru orice numere reale $x$ și $y$, iar legea „$\ast$” este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — forma cu factori a legii.

Începem cu $x\ast y$, apoi adunăm și scădem $1$, fără să schimbăm valoarea: $$x\ast y=x+y-xy=-xy+x+y-1+1\text{(2 p)}.$$ Grupăm $-xy+x$ în $-x(y-1)$ și păstrăm $y-1$. Factorul comun $y-1$ dă $$-x(y-1)+(y-1)+1=-(x-1)(y-1)+1.$$ Egalitatea este valabilă pentru orice numere reale $x$ și $y$. Verificare prin desfacere: $-(x-1)(y-1)+1=-(xy-x-y+1)+1=x+y-xy$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație cu $x\ast x$.

Din forma de la cerința II.3, cu $y=x$, obținem $x\ast x=-(x-1)(x-1)+1$: $$-(x-1)(x-1)+1=0⟺(x-1{)}^2=1\text{(3 p)}.$$ Pătratul lui $x-1$ este $1$ când $x-1=-1$ sau $x-1=1$, adică $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=2$. Verificare: $0\ast 0=0$ și $2\ast 2=2+2-4=0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o inecuație cu $a\ast a$.

Cu forma de la cerința II.3 și $y=a$, obținem $a\ast a=-(a-1)(a-1)+1$. Scădem $1$ din ambii membri ai inegalității $a\ast a\ge 1$ și rămâne $-(a-1{)}^2\ge 0$; la înmulțirea cu $-1$ sensul se schimbă: $$-(a-1)(a-1)+1\ge 1⟺(a-1{)}^2\le 0\text{(3 p)}.$$ Orice pătrat de număr real este mai mare sau egal cu $0$, deci $(a-1{)}^2\le 0$ se întâmplă numai când $(a-1{)}^2=0$, adică $\mathbf{a}=1$. Verificare: $1\ast 1=1+1-1=1\ge 1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — compunerea a 2017 numere.

Oricare ar fi $x$ real, $x\ast 1=x+1-x\cdot 1=1$, iar oricare ar fi $y$ real, $1\ast y=1+y-1\cdot y=1$ (2 p).

Enunțul declară legea asociativă, deci grupările nu contează și compunem pornind din stânga. Al $2016$-lea operand este $\frac{2016}{2016}=1$, iar înaintea lui stă numărul real $s$, rezultatul compunerii primilor $2015$ operanzi. Avem $s\ast 1=1$, apoi $1\ast \frac{2017}{2016}=1$: $$\left(\left(\frac{1}{2016}\ast \frac{2}{2016}\ast \dots \ast \frac{2015}{2016}\right)\ast \frac{2016}{2016}\right)\ast \frac{2017}{2016}=1\ast \frac{2017}{2016}=1\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A(2017)$.

Cu $n=2017$ în definiția lui $A(n)$ obținem $A(2017)=\left(\begin{array}{cc}1& 2017\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $\det (A(2017))=\left|\begin{array}{cc}1& 2017\\ 0& 1\end{array}\right|$ (2 p).

Se scade produsul diagonalei secundare din produsul diagonalei principale: $1\cdot 1-2017\cdot 0=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — suma $A(-2017)+A(2017)$.

Matricele se adună pe poziții: $1+1=2$, $-2017+2017=0$, $0+0=0$ și $1+1=2$. Așadar $$A(-2017)+A(2017)=\left(\begin{array}{cc}1& -2017\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 2017\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Fiecare element al matricei este dublul elementului corespunzător din $I_2$: $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=2{\mathbf{I}}_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — produsul $A(m)\cdot A(n)$.

Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al produsului se obține înmulțind linia $i$ a primei matrice cu coloana $j$ a celei de-a doua; astfel $1\cdot 1+m\cdot 0=1$, $1\cdot n+m\cdot 1=n+m$, $0\cdot 1+1\cdot 0=0$ și $0\cdot n+1\cdot 1=1$: $$A(m)\cdot A(n)=\left(\begin{array}{cc}1& m\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& n+m\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cum $n+m=m+n$, matricea este $\left(\begin{array}{cc}1& m+n\\ 0& 1\end{array}\right)$, adică $A(m+n)$. Suma $m+n$ este întreagă dacă $m$ și $n$ sunt întregi, deci $A(m+n)$ există, iar egalitatea se păstrează oricare ar fi numerele întregi $m$ și $n$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — suma elementelor unei sume de șapte matrice.

Cele șapte matrice $A(0),A(1),\dots ,A(6)$ au fiecare $1$ pe diagonala principală și $0$ sub ea, deci în $B$ stau $7\cdot 1=7$ pe diagonală și $0$ sub ea. Elementul din dreapta sus este suma indicilor: perechile $0+6$, $1+5$, $2+4$ dau câte $6$, iar $3$ rămâne, deci $3\cdot 6+3=21$. $$B=\left(\begin{array}{cc}7& 0+1+2+\dots +6\\ 0& 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 21\\ 0& 7\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Suma elementelor lui $B$ este $7+21+0+7=35=7\cdot 5$, număr divizibil cu $7$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — inversabilitatea matricei $A(n)$.

Determinantul se calculează ca diferență a produselor diagonalelor: $\det (A(n))=\left|\begin{array}{cc}1& n\\ 0& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-n\cdot 0=1$ (2 p).

Rezultatul $1$ este același pentru orice $n$ și diferă de $0$. Când determinantul unei matrice pătratice este nenul, matricea are inversă; așadar $A(n)$ este inversabilă pentru orice număr întreg $n$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație matriceală cu $A(2017)$.

Din cerința III.3, $A(2017)\cdot A(-2017)=A(2017+(-2017))=A(0)=I_2$, iar în ordine inversă $A(-2017)\cdot A(2017)=A(0)=I_2$. Așadar inversa lui $A(2017)$ este $A(-2017)$ (2 p).

Egalitatea $A(2017)\cdot X=A(2018)$ se înmulțește, în ambii membri și pe partea stângă, cu inversa lui $A(2017)$; se obține $$X={\left(A(2017)\right)}^{-1}\cdot A(2018)=A(-2017)\cdot A(2018)=A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right).$$ Pasul $A(-2017)\cdot A(2018)=A(1)$ vine din $-2017+2018=1$, tot prin cerința III.3. Elementele lui $X$ sunt întregi, deci $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{Z})$: $\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde simularea din 2017 pentru proba E. c) de matematică M_pedagogic, filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare. Timpul de lucru este de trei ore, iar foaia are trei subiecte obligatorii, câte șase cerințe de 5 puncte; cerințele valorează în total 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt cele ale foii oficiale, iar rezolvările și ghidajul interactiv aparțin Matepolis; rândurile punctate ale foii de evaluare rămân etapele fiecărei rezolvări.

Ce cuprinde. Subiectul I are șase probleme fără legătură între ele: rația unei progresii aritmetice, distanța dintre cele două intersecții ale parabolei $y=x^2-5x+4$ cu axa $Ox$, o ecuație exponențială, prețul de dinaintea a două scumpiri succesive, valoarea lui $m$ pentru care doi vectori sunt coliniari și aria unui dreptunghi dat prin latură și diagonală. Subiectul II pornește de la legea $x\ast y=x+y-xy$, pe care enunțul o numește asociativă, și cere o compunere, comutativitatea, o formă cu factori, o ecuație, o inecuație și, la sfârșit, compunerea a 2017 numere. Subiectul III folosește familia de matrice $A(n)$, cu numărul întreg $n$ în dreapta sus.

Locul în programă. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014, aplicată începând cu Bacalaureatul din 2015, era cea în vigoare și la simularea din 2017. Progresia aritmetică, funcția de gradul II și vectorii coliniari sunt în clasa a IX-a; ecuațiile exponențiale, procentele și coordonatele unui vector sunt în clasa a X-a. Legile de compoziție sunt în clasa a XI-a, iar matricele, determinantul și inversa lor în clasa a XII-a. Aria dreptunghiului și teorema lui Pitagora din itemul 6 sunt cunoștințe de gimnaziu. Pentru produsul de matrice se poate relua lecția Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: rația se adaugă de $n-1$ ori pentru a ajunge la $a_n$. Cu $a_n=a_1+nr$ primul termen ar deveni $a_1+r$, suma ar fi $4a_1+10r$, iar din $8+10r=14$ ar ieși $r=\frac{3}{5}$, nu $1$.
• Exercițiul 2: distanța se măsoară între $(1,0)$ și $(4,0)$, punctele de pe axa $Ox$. Punctul $(0,4)$ aparține axei $Oy$, fiindcă $f(0)=4$, și nu intră în calcul; de la el la $(1,0)$ distanța ar fi $\sqrt{17}$, nu $3$.
• Exercițiul 3: factorul comun $2^x$ se scoate din toți cei trei termeni, iar paranteza $4+2+1$ nu se uită. Fără ea ar ieși $2^x=7$, iar atunci suma celor trei termeni ar fi $7\cdot 7=49$, nu $7$.
• Exercițiul 4: două scumpiri de $10\%$ nu înseamnă una de $20\%$, fiindcă a doua se aplică prețului deja majorat. Cu $\frac{6}{5}p=242$ ar ieși $p=\frac{605}{3}$, nu $200$.
• Exercițiul 5: rapoartele se formează între coordonatele de pe aceeași axă, $m$ cu $2$ și $6$ cu $3$. Cu $\frac{3}{6}$ în dreapta ar ieși $m=1$, dar $\frac{1}{2}\ne \frac{6}{3}$, deci vectorul $\vec{i}+6\vec{j}$ nu ar fi coliniar cu $\overrightarrow{v_2}$.
• Exercițiul 6: diagonala $AC=5$ este ipotenuza triunghiului $ABC$, deci $B{C}^2=5^2-3^2=16$. Cu $5^2+3^2=34$ ar rezulta $BC=\sqrt{34}$, care depășește diagonala $5$, ceea ce nu se poate, fiindcă latura unui dreptunghi este mai scurtă decât diagonala lui.
• Cerința II.2: egalitatea verificată pe o singură pereche nu dovedește comutativitatea. Legea $x\diamond y=x^2+y$ dă pe perechea $(2,-1)$ egalitatea $2\diamond (-1)=3=(-1)\diamond 2$, dar pe perechea $(1,2)$ dă $1\diamond 2=3$, iar $2\diamond 1=5$.
• Cerința II.5: la înmulțirea cu $-1$ sensul inegalității se schimbă. Dacă sensul s-ar păstra, inegalitatea rezultată ar fi adevărată pentru orice $a$, deci și pentru $a=0$, dar $0\ast 0=0<1$.
• Cerința II.6: numărul $1$ nu este elementul neutru: $2\ast 1=1$, nu $2$. Elementul neutru al legii este $0$, fiindcă $x\ast 0=0\ast x=x$.
• Cerința III.3: matricele nu se înmulțesc pe poziții. Din $A(2)\cdot A(3)$ ar ieși $\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& 1\end{array}\right)$, dar produsul adevărat este $\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)$.
• Cerința III.4: matricele $A(0),A(1),\dots ,A(6)$ sunt șapte, nu șase, deci pe diagonala lui $B$ stă $7$. Suma $0+1+\dots +6$ este $\frac{6\cdot 7}{2}=21$; fără împărțirea la $2$ ar ieși $42$.
• Cerința III.5: o matrice nu este inversabilă când determinantul ei este $0$; de exemplu, matricea cu liniile $(1,2)$ și $(2,4)$ are determinantul $0$, fiindcă a doua linie este dublul primei. Determinantul lui $A(n)$ este $1$, pentru orice $n$.

Despre litere. În itemul 1, $r$ este rația și necunoscuta, iar $a_1=2$ este dat; indicele $n$ din ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$ numește poziția unui termen, nu o valoare. Litera $f$ din itemul 2 este numele funcției, iar $x$ este variabila ei. În itemul 3, $x$ este necunoscuta, aflată în exponent. Litera $p$ din itemul 4 este prețul de dinaintea scumpirilor: enunțul nu îl numește, iar rezolvarea îl notează cu $p$, ca baremul. În itemul 5, $m$ este necunoscuta, iar $\vec{i}$ și $\vec{j}$ sunt versorii axelor. Literele $A$, $B$, $C$, $D$ din itemul 6 numesc vârfuri. În Subiectul II, $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare, $x$ devine necunoscută la cerința II.4, iar $a$ este necunoscuta de la cerința II.5; litera $s$ din rezolvarea cerinței II.6 ne aparține și nu apare în enunț. În Subiectul III, $n$ este parametrul întreg al matricei $A(n)$; $m$ și $n$ numesc numere întregi oarecare la cerința III.3, iar $n$ rămâne oarecare la cerința III.5. Litera $B$ numește un vârf al dreptunghiului la itemul 6 și suma de matrice de la cerința III.4, iar $X$ este matricea necunoscută din cerința III.6.