Subiect Bac matematică pedagogic, model 2018 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2018 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\left(3-\sqrt{5}\right)+\sqrt{20}=6$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+a-2$. Determinați numărul real $a$, pentru care $f(0)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt[3]{7-x}=1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După două ieftiniri succesive cu câte $50\%$, un tricou costă $10$ lei. Calculați prețul inițial al tricoului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(2,3)$ și $N(0,3)$. Calculați lungimea segmentului $MN$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $AB$ a triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $BC=15$ și $\sin C=\frac{3}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-3$.

1. (5 puncte) Arătați că $3\ast (-4)=-4$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Demonstrați că $(a+1010)\ast (1010-a)=1010\ast 1010$, pentru orice număr real $a$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $9^x=3^x\ast 9$.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\ast (n+1)\le 2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $M=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(a)=a{I}_2+M$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det M=-2$.

2. (5 puncte) Calculați suma elementelor matricei $A(2017)$.

3. (5 puncte) Arătați că $M\cdot M=5M+2I_2$.

4. (5 puncte) Arătați că inversa matricei $A(1)$ este matricea $\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& -\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $A(a)\cdot A(a)=A\left(a^2\right)+M\cdot M$.

6. (5 puncte) Determinați numărul natural $m$ pentru care $\det (A(m))<4$.

Barem și răspunsuri

Cele 18 cerințe au 90 de puncte, iar oficiul aduce lucrarea la 100. În rezolvări, cifrele îngroșate din paranteze sunt punctele din 5 ale fiecărui rând al foii de evaluare; toate cele 18 cerințe au câte două rânduri.

Exercițiul 1. (5 p) — expresie cu radical.

Descompunem $20=4\cdot 5$, deci $\sqrt{20}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{5}$ (2 p).

Primul termen este $2\left(3-\sqrt{5}\right)=6-2\sqrt{5}$, iar suma devine $6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}=6$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcție de gradul al doilea cu parametru.

Pentru $x=0$, termenul $2x^2$ dispare: $f(0)=2\cdot 0^2+a-2=a-2$ (2 p).

Condiția $f(0)=0$ dă $a-2=0$, deci $\mathbf{a}=2$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — radicalul de index $3$ dintr-o ecuație.

Cubul radicalului de ordinul $3$ este expresia de sub el, așa că ridicăm ambii membri la cub: $7-x=1^3$ (3 p).

Rezultă $7-x=1$, deci $x=6$. Verificare: $\sqrt[3]{7-6}=\sqrt[3]{1}=1$, așadar $\mathbf{x}=6$ convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două ieftiniri procentuale.

Fie $p$ prețul inițial. Ieftinirea cu $50\%$ scade prețul cu jumătate din el: $p-\frac{50}{100}\cdot p=\frac{p}{2}$ (2 p).

A doua ieftinire se aplică prețului deja redus, $\frac{p}{2}$: $\frac{p}{2}-\frac{50}{100}\cdot \frac{p}{2}=\frac{p}{4}$. Prețul final este de $10$ lei: $\frac{p}{4}=10$, de unde $p=40$ lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unui segment în reper.

Aplicăm formula distanței pentru punctele $M$ și $N$: $$MN=\sqrt{(0-2{)}^2+(3-3{)}^2}\text{(3 p)}.$$ Rămâne $\sqrt{4+0}=2$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — latura $AB$ aflată din valoarea lui $\sin C$.

Unghiul drept al triunghiului $ABC$ este în $A$, deci ipotenuza este $BC$, iar cateta din fața lui $C$ este $AB$. Sinusul unui unghi ascuțit se obține împărțind cateta din fața lui la ipotenuză, deci $\sin C=\frac{AB}{BC}$, adică $$\frac{3}{5}=\frac{AB}{15}\text{(3 p)}.$$ De aici $AB=15\cdot \frac{3}{5}=9$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem $x=3$ și $y=-4$ în $x\ast y=x+y-3$: $$3\ast (-4)=3+(-4)-3\text{(3 p)}.$$ Rămâne $-1-3=-4$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — asociativitatea legii.

Începem cu gruparea din stânga: $(x\ast y)\ast z=(x+y-3)\ast z=(x+y-3)+z-3=x+y+z-6$ (2 p).

Apoi gruparea din dreapta: $x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-3)=x+(y+z-3)-3=x+y+z-6$. Rezultatul este identic în cele două grupări, oricare ar fi $x$, $y$, $z$ reale; legea „$\ast$” este așadar asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — elementul neutru.

Pentru orice $x$ real, $x\ast 3=x+3-3=x$ (2 p).

În cealaltă ordine, $3\ast x=3+x-3=x$, tot pentru orice $x$. Fiindcă $x\ast 3=3\ast x=x$, numărul $e=3$ este elementul neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o egalitate care nu depinde de $a$.

Compunem numerele din stânga: $(a+1010)\ast (1010-a)=(a+1010)+(1010-a)-3$. Dispar termenii cu $a$ și rămâne $1010+1010-3$ (3 p).

Același calcul pentru $1010\ast 1010$ dă $1010+1010-3$, exact expresia din stânga; egalitatea cerută este valabilă oricare ar fi $a$ real (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — ecuație exponențială cu legea.

Notăm $t=3^x$, cu $t>0$. Cum $9=3^2$, puterea $9^x$ este pătratul lui $3^x$, adică $t^2$, iar $3^x\ast 9=t+9-3=t+6$. Mutăm totul în stânga, $t^2-t-6=0$, iar trinomul se descompune: $$9^x=3^x+9-3⟺\left(3^x+2\right)\left(3^x-3\right)=0\text{(3 p)}.$$ Primul factor depășește $2$, deci nu poate fi $0$. Rămâne $3^x=3$, adică $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — inegalitate în numere naturale.

Cu legea dată, $n\ast (n+1)=n+(n+1)-3=2n-2$. Inegalitatea cerută se reduce la $2n-2\le 2$, adică $$n+(n+1)-3\le 2⟺n\le 2\text{(2 p)}.$$ Numerele naturale care respectă $n\le 2$ sunt $\mathbf{n}=0$, $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Determinantul unei matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ este $ps-qr$. Pentru $M$ avem $$\det M=1\cdot 4-3\cdot 2\text{(3 p)}.$$ Rezultă $4-6=-2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — suma elementelor unei matrice.

În $2017I_2$ doar cele două locuri de pe diagonala principală sunt nenule, ambele egale cu $2017$; adunată cu $M$, ea dă $A(2017)=2017I_2+M=\left(\begin{array}{cc}2018& 3\\ 2& 2021\end{array}\right)$ (3 p).

Suma elementelor este $2018+3+2+2021=4044$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — produsul $M\cdot M$.

Produsul se calculează linie cu coloană: elementele sunt $1\cdot 1+3\cdot 2=7$, $1\cdot 3+3\cdot 4=15$, $2\cdot 1+4\cdot 2=10$ și $2\cdot 3+4\cdot 4=22$. Așadar $$M\cdot M=\left(\begin{array}{cc}7& 15\\ 10& 22\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Să calculăm și $5M+2I_2=\left(\begin{array}{cc}5& 15\\ 10& 20\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 15\\ 10& 22\end{array}\right)$, deci $M\cdot M=5M+2I_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — inversa unei matrice de ordin 2.

Adăugând $1$ pe diagonala lui $M$ se obține matricea $\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 2& 5\end{array}\right)$, adică $A(1)$. Cu $B=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}& -\frac{3}{4}\\ -\frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)$, produsul în prima ordine este $$A(1)\cdot B=\left(\begin{array}{cc}2\cdot \frac{5}{4}+3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)& 2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)+3\cdot \frac{1}{2}\\ 2\cdot \frac{5}{4}+5\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)& 2\cdot \left(-\frac{3}{4}\right)+5\cdot \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ În ordinea inversă, $B\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}\frac{5}{4}\cdot 2+\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot 2& \frac{5}{4}\cdot 3+\left(-\frac{3}{4}\right)\cdot 5\\ -\frac{1}{2}\cdot 2+\frac{1}{2}\cdot 2& -\frac{1}{2}\cdot 3+\frac{1}{2}\cdot 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$. Ambele produse sunt $I_2$, deci $B$ este inversa matricei $A(1)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație matriceală cu parametru.

Cu $A(a)=a{I}_2+M$ și $I_2\cdot M=M\cdot I_2=M$, produsul se desface prin distributivitate: $$A(a)\cdot A(a)=\left(a{I}_2+M\right)\left(a{I}_2+M\right)=a^2{I}_2+aM+aM+M\cdot M=a^2{I}_2+2aM+M\cdot M\text{(2 p)}.$$ Membrul drept este $A\left(a^2\right)+M\cdot M=a^2{I}_2+M+M\cdot M$. După reducerea lui $a^2{I}_2$ și a lui $M\cdot M$, egalitatea dă $2aM=M$, adică $(2a-1)M$ este matricea cu toate elementele egale cu zero. Cum $M$ are elemente nenule, $2a-1=0$ și $\mathbf{a}=\frac{1}{2}$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — inecuație cu determinant.

Matricea $A(m)=m{I}_2+M$ are elementele $m+1$, $3$, $2$ și $m+4$, deci $\det (A(m))=(m+1)(m+4)-3\cdot 2=m^2+5m+4-6=m^2+5m-2$ (2 p).

Inegalitatea $m^2+5m-2<4$ înseamnă $m^2+5m-6<0$, adică $(m+6)(m-1)<0$, deci $-6<m<1$. Singurul număr natural din acest interval este $\mathbf{m}=0$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă modelul de subiect din 2018 pentru proba E. c) de matematică M_pedagogic, filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare. Se lucrează trei ore la trei subiecte obligatorii, câte șase cerințe fiecare; cele 18 cerințe, fiecare de câte 5 puncte, totalizează 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Textul enunțurilor este cel al foii oficiale; rezolvările și ghidajul interactiv sunt scrise de Matepolis, iar rândurile punctate ale foii de evaluare apar, în ordine, ca etape ale fiecărei rezolvări.

Cuprinsul. În Subiectul I sunt șase probleme independente: o expresie cu un radical, o funcție de gradul al doilea calculată în $0$, o ecuație cu radical de ordinul $3$, două ieftiniri succesive, lungimea unui segment în reper și o latură într-un triunghi dreptunghic. Subiectul II este o singură problemă despre o lege în care fiecare compunere adună cele două numere și scade o constantă. Subiectul III pornește de la matricea $M$ și de la familia $A(a)$ care se obține adăugând $a{I}_2$ la $M$.

Locul în programă. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014, aplicată începând cu Bacalaureatul din 2015 și deci și modelului din 2018, are în clasa a IX-a funcția de gradul II, inecuațiile de gradul I și rezolvarea triunghiurilor dreptunghice. În clasa a X-a se află radicalii de ordinul $2$ și $3$, ecuațiile cu radicali și cele exponențiale, procentele și lungimile din reper. Legile de compoziție aparțin clasei a XI-a, iar matricele, determinanții și inversele lor clasei a XII-a. Pentru ecuația exponențială se poate relua lecția Ecuații cu t = ceva: substituția la tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: factorul $4$ din $20=4\cdot 5$ iese ca $2$, nu ca $4$, deci $\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Cu $4\sqrt{5}$ suma ar fi $6-2\sqrt{5}+4\sqrt{5}=6+2\sqrt{5}$, nu $6$.
• Exercițiul 3: din $\sqrt[3]{7-x}=1$ rezultă $7-x=1$, adică $x=6$, nu $x=-6$: pentru $x=-6$ avem $\sqrt[3]{7+6}=\sqrt[3]{13}\ne 1$.
• Exercițiul 4: cele două ieftiniri de $50\%$ nu scad împreună $100\%$. Dacă ambele s-ar scădea din prețul inițial, tricoul ar costa $0$ lei; dacă ne-am opri la prima, din $\frac{p}{2}=10$ ar ieși $p=20$, nu $40$.
• Cerința II.5: primul factor al descompunerii rămâne mereu peste $2$, fiindcă $3^x>0$. Ecuația $3^x=-2$ nu are soluții, așa că rămâne doar $3^x=3$.
• Cerința III.2: dacă $2017$ s-ar adăuga fiecărui element al lui $M$, suma ar fi $4\cdot 2017+10=8078$. Matricea $2017I_2$ este nenulă numai pe diagonală, deci suma elementelor lui $A(2017)$ este $2\cdot 2017+10=4044$.
• Cerința III.6: inegalitatea este strictă. La $m=1$ obținem $1+5-2=4$, iar $4$ nu este mai mic decât $4$; deci $m=1$ nu convine.

Despre litere. Exercițiul 2 folosește litera $a$ în două roluri, parametru al lui $f(x)=2x^2+a-2$ și necunoscută, în timp ce $x$ rămâne variabila funcției. Litera $M$ numește un punct în itemul 5 și o matrice în Subiectul III; la fel, $A$ este vârf de triunghi în itemul 6 și numele familiei de matrice $A(a)$ în Subiectul III. La cerința II.3, numărul $e=3$ este dat în enunț și doar se verifică. În cerința II.4, $a$ poate fi orice număr real; în Subiectul III, $a$ apare ca parametru real al matricei $A(a)$ și devine necunoscută la cerința III.5. În cerința II.5, $x$ este necunoscuta; $n$ din cerința II.6 și $m$ din cerința III.6 numesc numere naturale.