Test inițial tehnologic — clasa a IX-a

Profilul tău de liceu: nu l-ai ales încăProfilul tău: mate-info (M1)Profilul tău: științe ale naturii (M2)Profilul tău: filiera tehnologică (M3); pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele de mate-info, clasa a IX-a →; pagina asta e pentru filiera tehnologică (M3) — testele M2, clasa a IX-a → ·

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Calcul și rutină (30 de puncte)

Fiecare exercițiu din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculează $(3, 2 - \frac{11}{15}) : \frac{37}{30} + \frac{4}{5} \cdot 0, 75$ și scrie rezultatul ca fracție ireductibilă.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Scrie numărul $275 - 176 + 344$ sub forma $a b$ , cu $a$ și $b$ numere naturale și $b$ fără factori pătrați.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvă în mulțimea numerelor reale ecuația $\frac{4 x - 3}{5} - \frac{x + 6}{2} = \frac{x}{10} - 4$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un utilaj de 2500 de lei se ieftinește cu 30 %, apoi noul preț se scumpește cu 20 %. Care este prețul final?

Variantele: a) „2100 de lei”; b) „2250 de lei”; c) „1750 de lei”; d) „2500 de lei”.

Exercițiul 5 (5 puncte)

Un teren dreptunghiular are diagonala de 111 m și una dintre laturi de 36 m. Calculează perimetrul terenului.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Rezolvă inecuația $\frac{x - 9}{4} - \frac{2 x + 1}{3} < 2$ , scrie mulțimea soluțiilor ca interval și precizează cel mai mic număr întreg care o verifică.

Partea a II-a – Situații din meserii (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (10 puncte)

Un dispozitiv de prindere dintr-un atelier folosește un arc. Funcția $f : [0; 15] \to R$ , $f (x) = a x + b$ , dă lungimea arcului, în centimetri, când de el se atârnă o masă de $x$ kilograme. În figură se vede o porțiune din graficul lui $f$ , între punctele $P$ și $Q$ .

a) (5 puncte) Citește coordonatele punctelor $P$ și $Q$ din figură, află $a$ și $b$ și scrie formula funcției $f$ .

b) (5 puncte) Calculează $f (9)$ și află ce masă face ca arcul să aibă 100 cm.

Exercițiul 8 (10 puncte)

O cofetărie vinde cutii cu prăjituri de două mărimi. Două cutii mari și trei cutii mici costă 143 de lei, iar trei cutii mari și patru cutii mici costă 205 lei. Notăm cu $x$ prețul unei cutii mari și cu $y$ prețul unei cutii mici, în lei.

a) (5 puncte) Scrie sistemul de ecuații, înmulțește ecuațiile cu numere potrivite ca să dispară $y$ și află $x$ .

b) (5 puncte) Află $y$ și calculează costul a cinci cutii mari și două cutii mici.

Exercițiul 9 (10 puncte)

Un tobogan metalic pentru colete, dintr-un depozit de curierat, are lungimea de 14,5 m și coboară 2,4 m între capătul de sus și cel de jos, iar proiecția lui orizontală este de 14,3 m. Unghiul dintre tobogan și orizontală este $α$ .

a) (5 puncte) Scrie $sin α$ , $cos α$ și $tg α$ ca fracții ireductibile.

b) (5 puncte) Un colet a alunecat 5,8 m de-a lungul toboganului. Cu câți metri a coborât pe verticală?

Partea a III-a – Probleme de sinteză (30 de puncte)

Fiecare subpunct din această parte valorează 5 puncte.

Exercițiul 10 (15 puncte)

(Sinteză.) Grădina de vară a unui restaurant are forma unui dreptunghi cu lățimea de $x$ metri și lungimea cu 6 metri mai mare decât lățimea. Aria grădinii este de 352 m².

a) (5 puncte) Arată că $x$ verifică ecuația $x^{2} + 6 x - 352 = 0$ și că $x^{2} + 6 x - 352 = (x + 3)^{2} - 361$ .

b) (5 puncte) Descompune $(x + 3)^{2} - 361$ în factori, folosind diferența de pătrate, și rezolvă ecuația de la a).

c) (5 puncte) Care sunt dimensiunile grădinii și ce perimetru are?

Exercițiul 11 (15 puncte)

(Sinteză.) Suprafața acoperită de alge a unui lac de agrement crește cu 25 % în fiecare zi. În ziua 0, algele acoperă 512 m².

a) (5 puncte) Calculează suprafața acoperită după o zi și după două zile.

b) (5 puncte) Arată că după $n$ zile suprafața este $512 \cdot (\frac{5}{4})^{n}$ și calculează-o pentru $n = 4$ .

c) (5 puncte) După câte zile, cel puțin, suprafața depășește 2000 m²?

Barem și răspunsuri

Baremul arată rezolvarea pe pași, cu punctele fiecărui pas între paranteze, iar o altă rezolvare corectă primește același număr de puncte. Rezultatele sunt îngroșate, iar „Verificarea” de la sfârșitul unui exercițiu nu ia puncte.

Exercițiul 1.

Zecimala devine fracție: $3, 2 = \frac{16}{5} = \frac{48}{15}$ , deci paranteza este $\frac{48}{15} - \frac{11}{15} = \frac{37}{15}$ (2 p). Împărțirea cu o fracție înseamnă înmulțire cu inversa ei: $\frac{37}{15} : \frac{37}{30} = \frac{37}{15} \cdot \frac{30}{37} = 2$ (1 p). Produsul este $0, 75 = \frac{3}{4}$ , iar $\frac{4}{5} \cdot \frac{3}{4} = \frac{3}{5}$ (1 p). Suma este $2 + \frac{3}{5} = \frac{13}{5}$ (1 p). Verificare: $\frac{13}{5} = 2, 6$ , iar $2 + 0, 6 = 2, 6$ .

Exercițiul 2.

Se scot factorii pătrați: $275 = 25 \cdot 11 = 511$ , $176 = 16 \cdot 11 = 411$ și $44 = 4 \cdot 11 = 211$ (3 p). Expresia este $511 - 411 + 3 \cdot 211 = (5 - 4 + 6) 11 = 711$ (2 p). Verificare: $275 = 25 \cdot 11$ , $176 = 16 \cdot 11$ și $44 = 4 \cdot 11$ , iar 25, 16 și 4 sunt pătrate perfecte; $5 - 4 + 6 = 7$ .

Exercițiul 3.

Numitorul comun este 10: $2 (4 x - 3) - 5 (x + 6) = x - 40$ (2 p). Desfăcând parantezele, $8 x - 6 - 5 x - 30 = x - 40$ , adică $3 x - 36 = x - 40$ (1 p). Rezultă $2 x = - 4$ , deci $x = - 2$ (2 p). Verificare: pentru $x = - 2$ , membrul stâng este $\frac{- 11}{5} - \frac{4}{2} = - \frac{21}{5}$ , iar membrul drept este $\frac{- 2}{10} - 4 = - \frac{21}{5}$ .

Exercițiul 4.

După ieftinire, prețul este $2500 \cdot (1 - \frac{30}{100}) = 2500 \cdot 0, 7 = 1750$ de lei (2 p). După scumpire, $1750 \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 1750 \cdot 1, 2 = 2100$ de lei, deci răspunsul este $a)$ (2 p). Celelalte variante sunt false: 2250 de lei ar însemna o scădere totală de 10 %, adică $30 % - 20 %$ , dar a doua modificare se aplică noului preț, nu celui inițial; 1750 de lei lasă scumpirea deoparte; 2500 de lei ar presupune că cele două modificări se anulează (1 p). Verificare: $2500 \cdot 0, 7 \cdot 1, 2 = 2500 \cdot 0, 84 = 2100$ ; factorul total 0,84 înseamnă o scădere de 16 %, nu de 10 %.

Exercițiul 5.

Diagonala și două laturi vecine formează un triunghi dreptunghic, deci cealaltă latură este $11 1^{2} - 3 6^{2} = 12321 - 1296 = 11025 = 105$ m (3 p). Perimetrul este $2 \cdot (36 + 105) = 282$ m (2 p). Verificare: $3 6^{2} + 10 5^{2} = 1296 + 11025 = 12321 = 11 1^{2}$ .

Exercițiul 6.

Numitorul comun este 12: $3 (x - 9) - 4 (2 x + 1) < 24$ (2 p). Desfăcând parantezele, $3 x - 27 - 8 x - 4 < 24$ , adică $- 5 x < 55$ (1 p). Se împarte la $- 5$ și sensul inegalității se schimbă: $x > - 11$ (1 p). Mulțimea soluțiilor este $(- 11; + \infty)$ , iar cel mai mic număr întreg din ea este $- 10$ (1 p). Verificare: pentru $x = - 10$ , $\frac{- 19}{4} - \frac{- 19}{3} = \frac{19}{12} < 2$ , iar pentru $x = - 11$ se obține exact $2$ , nu mai puțin.

Exercițiul 7.

a) (5 p) Din figură, $P (4; 60)$ și $Q (8; 80)$ (1 p). Panta este $a = \frac{80 - 60}{8 - 4} = 5$ (2 p). Din $f (4) = 60$ rezultă $5 \cdot 4 + b = 60$ , deci $b = 60 - 20 = 40$ , iar formula este $f (x) = 5 x + 40$ (2 p).

b) (5 p) $f (9) = 5 \cdot 9 + 40 = 85$ cm (2 p). Lungimea de 100 cm cere $5 x + 40 = 100$ (1 p), adică $5 x = 60$ și $x = 12$ kg (2 p). Verificare: $f (12) = 60 + 40 = 100$ ; arcul se alungește cu 5 cm la fiecare kilogram în plus, iar fără nicio masă are 40 cm.

Exercițiul 8.

a) (5 p) Sistemul este $2 x + 3 y = 143$ și $3 x + 4 y = 205$ (1 p). Prima ecuație se înmulțește cu 4, a doua cu 3: $8 x + 12 y = 572$ și $9 x + 12 y = 615$ (2 p). Scăzând, $x = 615 - 572 = 43$ lei (2 p).

b) (5 p) Din prima ecuație, $3 y = 143 - 2 \cdot 43 = 57$ , deci $y = 19$ lei (2 p). Cinci cutii mari și două cutii mici costă $5 \cdot 43 + 2 \cdot 19 = 215 + 38 = 253$ lei (3 p). Verificare: $3 \cdot 43 + 4 \cdot 19 = 129 + 76 = 205$ .

Exercițiul 9.

a) (5 p) Sinusul este latura opusă împărțită la ipotenuză: $sin α = \frac{2 , 4}{14 , 5} = \frac{24}{145}$ (2 p). Cosinusul este latura alăturată împărțită la ipotenuză: $cos α = \frac{14 , 3}{14 , 5} = \frac{143}{145}$ (2 p). Tangenta este latura opusă împărțită la cea alăturată: $tg α = \frac{2 , 4}{14 , 3} = \frac{24}{143}$ (1 p).

b) (5 p) Coborârea pe verticală este latura opusă unghiului $α$ într-un triunghi dreptunghic cu ipotenuza de 5,8 m (2 p). Deci coborârea este $5, 8 \cdot sin α = 5, 8 \cdot \frac{24}{145} = 0, 96$ m (3 p). Verificare: triunghiul mic este asemenea cu cel al toboganului, cu raportul $5, 8 : 14, 5 = 0, 4$ , iar $2, 4 \cdot 0, 4 = 0, 96$ ; în plus, $2 4^{2} + 14 3^{2} = 576 + 20449 = 21025 = 14 5^{2}$ .

Exercițiul 10.

a) (5 p) Lungimea este $x + 6$ metri, deci aria este $x (x + 6) = 352$ , adică $x^{2} + 6 x - 352 = 0$ (2 p). Cum $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ , avem $x^{2} + 6 x - 352 = (x + 3)^{2} - 9 - 352 = (x + 3)^{2} - 361$ (3 p).

b) (5 p) Cum $361 = 1 9^{2}$ , diferența de pătrate dă $(x + 3)^{2} - 1 9^{2} = (x + 3 - 19) (x + 3 + 19) = (x - 16) (x + 22)$ (3 p). Ecuația $(x - 16) (x + 22) = 0$ are soluțiile $x = 16$ și $x = - 22$ (2 p).

c) (5 p) Lățimea este un număr pozitiv, deci $x = 16$ m (1 p), iar lungimea este $16 + 6 = 22$ m (2 p). Perimetrul este $2 \cdot (16 + 22) = 76$ m (2 p). Verificare: $16 \cdot 22 = 352$ .

Exercițiul 11.

a) (5 p) O creștere cu 25 % înseamnă înmulțire cu $1 + \frac{25}{100} = \frac{5}{4}$ (1 p). După o zi, $512 \cdot \frac{5}{4} = 640$ m² (2 p), iar după două zile, $640 \cdot \frac{5}{4} = 800$ m² (2 p).

b) (5 p) În fiecare zi suprafața se înmulțește cu $\frac{5}{4}$ , deci după $n$ zile se înmulțește de $n$ ori, iar suprafața este $512 \cdot (\frac{5}{4})^{n}$ (2 p). Pentru $n = 4$ , $(\frac{5}{4})^{4} = \frac{625}{256}$ (1 p), iar suprafața este $512 \cdot \frac{625}{256} = 1250$ m² (2 p).

c) (5 p) Pentru $n = 6$ , suprafața este $512 \cdot \frac{15625}{4096} = 1953, 125$ m², sub 2000 m² (2 p). Pentru $n = 7$ , este $512 \cdot \frac{78125}{16384} = 2441, 40625$ m², peste 2000 m² (2 p). Deci sunt necesare cel puțin $7$ zile (1 p). Verificare: de la o zi la alta suprafața crește cu un sfert, iar $1953, 125 \cdot \frac{5}{4} = 2441, 40625$ .

Pentru părinți și profesori

Testul este un diagnostic de început de an: verifică noțiunile din gimnaziu (clasele a V-a – a VIII-a) de care au nevoie lecțiile clasei a IX-a, filiera tehnologică. Nu se notează la catalog. Fiecare exercițiu arată ce se mai știe dintr-o noțiune veche și ce lecție a clasei a IX-a o folosește, ca să știi ce să repeți înainte sau în paralel cu acea lecție.

Punctaj: la cele 90 de puncte ale exercițiilor se adaugă 10 puncte din oficiu, iar lucrarea ajunge la 100 de puncte.
Timp: 50 de minute.
Cum se aplică: elevul rezolvă testul fără ajutor, pe foaie, cu calculatorul închis. Răspunsurile sunt exacte, cu unitatea de măsură scrisă oriunde enunțul o are. La Partea a III-a se scriu toți pașii, nu doar rezultatul final. Ghidajul desparte fiecare exercițiu în pași mici, cu întrebări cu patru variante și numere de calculat, iar fiecare variantă greșită spune ce s-a greșit. Se deschide doar la exercițiile care nu ies.
La 90–100 de puncte: pornești direct cu lecțiile clasei a IX-a.
La 75–89 de puncte: repeți doar exercițiile pierdute, cu ghidajul deschis, înainte de lecția lor.
La 60–74 de puncte: la exercițiile unde ai luat sub jumătate din puncte citești lecția din tabel, iar exercițiul îl refaci peste o săptămână.
Sub 60 de puncte: reiei noțiunile de gimnaziu din tabel, în ordinea exercițiilor, și lucrezi cu ghidajul deschis de la primul exercițiu; abia după aceea treci la lecțiile clasei a IX-a.
Formule de reținut: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d} ⟺ a d < b c$ , pentru $b > 0$ și $d > 0$ ; $A B^{2} + B C^{2} = A C^{2}$ când unghiul din $B$ este drept; $f (x) = a x + b$ , cu $a$ egal cu variația lui $f (x)$ împărțită la variația lui $x$ ; la o scădere cu $p %$ se înmulțește cu $1 - \frac{p}{100}$ , iar la o creștere cu $p %$ cu $1 + \frac{p}{100}$ ; $(\frac{a}{b})^{n} = \frac{a ^{n}}{b ^{n}}$ , pentru $b \neq = 0$ ; $a x + b \leq c ⟺ x \leq \frac{c - b}{a}$ pentru $a > 0$ , iar pentru $a < 0$ sensul inegalității se schimbă; $A^{2} - B^{2} = (A - B) (A + B)$ ; sinusul unui unghi ascuțit dintr-un triunghi dreptunghic este latura opusă împărțită la ipotenuză, iar cosinusul este latura alăturată împărțită la ipotenuză.

Exercițiile	Noțiunea din gimnaziu verificată	Lecția clasei a IX-a care o folosește
1	operații cu fracții ordinare și zecimale, ordinea operațiilor	Compari numere și intervale: liceu tehnologic
2	scoaterea factorilor de sub radical, adunarea radicalilor	Reper cartezian și plan de șantier, tehnologic
3	ecuația de gradul I cu fracții și paranteze	Consum și debit: funcția de gradul I, tehnologic
4	procente: ieftinire urmată de scumpire	Funcția exponențială și deprecierea, tehnologic
5	teorema lui Pitagora, perimetrul dreptunghiului	Reper cartezian și plan de șantier, tehnologic
6	inecuația de gradul I, intervalul soluțiilor	Inecuații pe condiții de lucru, la tehnologic
7	funcția liniară citită pe grafic, formula $a x + b$	Citești graficul: agenda salonului, tehnologic
8	sistem de două ecuații cu două necunoscute	Sisteme 2×2 la tehnologic: două oferte
9	sinusul, cosinusul și tangenta în triunghiul dreptunghic	Formulele de adunare: sin și cos, tehnologic
10	formule de calcul prescurtat, descompunere în factori, ecuația produs nul	Profit maxim: funcția de gradul II la tehnologic
11	procente repetate, puteri, compararea cu o valoare	Progresia geometrică în epurarea apei, tehnologic

Programa și examenul. Testul nu face parte din programa de examen: verifică noțiuni din programa de gimnaziu, pe care le folosesc lecțiile din tabel. Aceste lecții sunt fie lecții ale programei noi de matematică pentru trunchiul comun, filiera tehnologică (OMEC 6930/2025, Anexa 3), aplicată la clasa a IX-a din 2026–2027, fie lecții ale suplimentului pentru Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) din 2027–2029. Elevii intrați în clasa a IX-a din 2026–2027 încoace dau Bacalaureatul din 2030 încolo, unde matematica este una dintre disciplinele la alegere (OMEC 4138/2026), pe programa de examen MAT_P3, MAT_P4, MAT_P5 sau MAT_P6, după profil și domeniu (OMEC 5077/2026). Elevii intrați în clasa a IX-a în 2023–2024, 2024–2025 și 2025–2026 sunt pe programele vechi și dau Bacalaureatul M3 (M_tehnologic) în 2027, 2028 și 2029 (programa de examen OMEN 4430/2014).

Notă: în barem, cuvântul „itemul” este folosit ca termen de evaluare; la clasă spunem „exercițiul”.