Subiect Bac matematică pedagogic, model 2019 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2019 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\sqrt{3}-\sqrt{20}+\sqrt{45}-\sqrt{5}+\sqrt{4}-\sqrt{12}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+7$. Calculați $f(a)$, unde $a=f(3)-f(1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x^2+4x+1}=x+1$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După două ieftiniri succesive cu câte $50\%$, un obiect costă $100$ de lei. Calculați prețul inițial al obiectului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(-2,-2)$, $N(-2,0)$ și $P(0,-4)$. Determinați lungimea medianei din vârful $M$ al triunghiului $MNP$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $BC=10$ și $m(\sphericalangle B)=30^{\circ }$. Calculați lungimea laturii $AB$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=2xy-2x-2y+3$.

1. (5 puncte) Arătați că $2\ast 2=3$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=2(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Arătați că $e=\frac{3}{2}$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Verificați dacă $\frac{5}{4}$ este simetricul lui $2$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$”.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(x+1)\ast (x-1)=1$.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale nenule $n$ pentru care $n\ast (n+1)\le 5$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -3& -2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ -2& 1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=10$.

2. (5 puncte) Arătați că $B\cdot B=6B-3I_2$.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $xA+yB=\left(\begin{array}{cc}7& 7\\ -8& -3\end{array}\right)$.

4. (5 puncte) Determinați inversa matricei $B$.

5. (5 puncte) Arătați că matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, care verifică egalitatea $A+X=B$, este inversabilă.

6. (5 puncte) Demonstrați că $\det (A+a{I}_2)>0$, pentru orice număr real $a$.

Barem și răspunsuri

Fiecare soluție este tăiată în rândurile baremului oficial: numărul îngroșat de la sfârșitul unui rând, de 2 sau 3 puncte, arată punctele lui, iar cele două rânduri ale unei cerințe fac 5 puncte. Suma celor 18 cerințe este 90 de puncte; oficiul aduce încă 10, deci în total 100.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali aduși la aceeași formă.

Fiecare radical se aduce la forma $k\sqrt{m}$, cu $m$ fără factori pătrați: $\sqrt{20}=\sqrt{4\cdot 5}=2\sqrt{5}$, $\sqrt{45}=\sqrt{9\cdot 5}=3\sqrt{5}$, $\sqrt{4}=2$ și $\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot 3}=2\sqrt{3}$. Expresia se rescrie astfel: $$2\sqrt{3}-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-\sqrt{5}+2-2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Cei doi termeni cu $\sqrt{3}$ se anulează, iar cei trei cu $\sqrt{5}$ dau $0$, așa că rămâne doar $2$: $\left(2\sqrt{3}-2\sqrt{3}\right)+\left(-2\sqrt{5}+3\sqrt{5}-\sqrt{5}\right)+2=0+0+2=2$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — o valoare de funcție dată printr-o diferență.

Din $f(x)=x+7$ rezultă $f(3)=3+7=10$ și $f(1)=1+7=8$, așa că $a=f(3)-f(1)=10-8=2$ (3 p). Acum $f(a)=f(2)=2+7=9$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Se ridică la pătrat fiecare membru al ecuației: $2x^2+4x+1=(x+1{)}^2=x^2+2x+1$, de unde $x^2+2x=0$ (2 p). Descompunerea $x(x+2)=0$ dă $x=0$ sau $x=-2$. Ridicarea la pătrat poate aduce soluții străine, care nu verifică ecuația dată, de aceea cele două valori se probează în ea. Pentru $x=-2$, radicalul este $\sqrt{8-8+1}=1$, dar $x+1=-1$; un radical de ordin $2$ nu are valori negative, deci $x=-2$ este respinsă. Pentru $x=0$ avem $\sqrt{1}=1$ și $0+1=1$, deci $\mathbf{x}=0$ convine (3 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două ieftiniri succesive.

Fie $x$ prețul de la început, în lei. La prima ieftinire se scade jumătate din preț, deci noul preț este $$x-\frac{50}{100}\cdot x=\frac{x}{2}\text{(2 p)}.$$ A doua ieftinire se face pe prețul nou, nu pe $x$: $\frac{x}{2}-\frac{50}{100}\cdot \frac{x}{2}=\frac{x}{4}$. Prețul final fiind $100$ de lei, $\frac{x}{4}=100$, deci $x=4\cdot 100=400$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unei mediane în coordonate.

Mediana cerută are un capăt în $M$ și celălalt în mijlocul $Q$ al segmentului $NP$. Coordonatele lui $Q$ sunt $$Q\left(\frac{-2+0}{2},\frac{0+(-4)}{2}\right)=Q(-1,-2)\text{(3 p)}.$$ Lungimea ei este $MQ=\sqrt{(-1-(-2){)}^2+(-2-(-2){)}^2}=\sqrt{1^2+0^2}=1$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — o catetă dintr-un unghi și ipotenuză.

Triunghiul are unghiul drept în $A$; ipotenuza este $BC=10$, iar $AB$ este cateta care pornește din vârful $B$ de $30^{\circ }$. Raportul $\frac{AB}{BC}$ este cosinusul unghiului $B$, iar $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, de unde $$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{AB}{10}\text{(3 p)}.$$ Rezultă $AB=\frac{10\sqrt{3}}{2}=5\sqrt{3}$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o valoare calculată cu definiția legii.

În definiția legii se înlocuiesc $x=2$ și $y=2$: $$2\ast 2=2\cdot 2\cdot 2-2\cdot 2-2\cdot 2+3\text{(3 p)}.$$ Se calculează $8-4-4+3=3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — forma factorizată a legii.

Desfăcând parantezele, $2(x-1)(y-1)=2xy-2x-2y+2$; termenul liber $3$ din definiție este $2+1$, așa că $$x\ast y=2xy-2x-2y+2+1\text{(2 p)}.$$ Primii doi termeni se grupează ca $2x(y-1)$, următorii doi ca $-2(y-1)$: $x\ast y=2x(y-1)-2(y-1)+1$. Se scoate $y-1$ ca factor comun, iar rezultatul este $x\ast y=(2x-2)(y-1)+1=2(x-1)(y-1)+1$, oricare ar fi $x$ și $y$ reali (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — verificarea elementului neutru.

Un element neutru $e$ verifică $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$ pentru orice $x$ real. Cu forma factorizată și $e=\frac{3}{2}$: $$x\ast \frac{3}{2}=2(x-1)\left(\frac{3}{2}-1\right)+1=x-1+1=x\text{(2 p)}.$$ În ordine inversă, $\frac{3}{2}\ast x=2\left(\frac{3}{2}-1\right)(x-1)+1=x-1+1=x$, pentru orice $x$ real. Ambele egalități sunt adevărate, așadar $e=\frac{3}{2}$ este neutrul legii $\ast$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — verificarea unui simetric.

Neutrul legii este $\frac{3}{2}$, iar $x^{\prime }$ este simetricul lui $x$ dacă $x\ast x^{\prime }=x^{\prime }\ast x=\frac{3}{2}$, deci se probează ambele ordini. Prima este $$2\ast \frac{5}{4}=2(2-1)\left(\frac{5}{4}-1\right)+1=2\cdot 1\cdot \frac{1}{4}+1=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ A doua este $\frac{5}{4}\ast 2=2\left(\frac{5}{4}-1\right)(2-1)+1=2\cdot \frac{1}{4}\cdot 1+1=\frac{3}{2}$. Ambele rezultate sunt egale cu neutrul, așadar $\frac{5}{4}$ formează cu $2$ o pereche de simetrice față de $\ast$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o ecuație cu legea $\ast$.

Pentru $(x+1)\ast (x-1)$, factorii formei factorizate sunt $(x+1)-1=x$ și $(x-1)-1=x-2$, deci $(x+1)\ast (x-1)=2x(x-2)+1$, iar ecuația $2x(x-2)+1=1$ ajunge la $$x(x-2)=0\text{(3 p)}.$$ Produsul $x(x-2)$ este zero numai pentru $x=0$ sau $x-2=0$, adică $\mathbf{x}=0$ sau $\mathbf{x}=2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o inecuație cu legea $\ast$, în numere naturale nenule.

Argumentele sunt $n$ și $n+1$, deci $n\ast (n+1)=2(n-1)((n+1)-1)+1=2(n-1)n+1$, iar inecuația $2(n-1)n+1\le 5$ este echivalentă cu $$(n-1)n\le 2\text{(2 p)}.$$ La $n=1$ avem $0\le 2$, iar la $n=2$ avem $2\le 2$, deci ambele valori convin. Dacă $n\ge 3$, atunci $n-1\ge 2$ și $n\ge 3$, deci $(n-1)n\ge 6>2$ și nicio valoare mai mare nu convine. Cum $n$ este natural nenul, rămân $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordin $2$.

La o matrice de ordin $2$, determinantul se calculează scăzând din produsul elementelor diagonalei principale produsul elementelor diagonalei secundare: $$\det A=\left|\begin{array}{cc}1& 4\\ -3& -2\end{array}\right|=1\cdot (-2)-(-3)\cdot 4\text{(3 p)}.$$ Atunci $\det A=-2+12=10$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — o identitate cu produsul $B\cdot B$.

Fiecare element al produsului $B\cdot B$ se calculează dintr-o linie și o coloană a lui $B$: $$B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}5\cdot 5+(-1)\cdot (-2)& 5\cdot (-1)+(-1)\cdot 1\\ (-2)\cdot 5+1\cdot (-2)& (-2)\cdot (-1)+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}27& -6\\ -12& 3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ În membrul drept, $6B$ are elementele lui $B$ înmulțite cu $6$, iar $3I_2$ are $3$ pe diagonala principală și zerouri în afara ei: $$6B-3I_2=\left(\begin{array}{cc}30& -6\\ -12& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}27& -6\\ -12& 3\end{array}\right)=B\cdot B\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — o combinație liniară de matrice.

Fiecare matrice se înmulțește cu scalarul ei, apoi se adună poziție cu poziție: $$xA+yB=x\left(\begin{array}{cc}1& 4\\ -3& -2\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cc}5& -1\\ -2& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x+5y& 4x-y\\ -3x-2y& -2x+y\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $\left(\begin{array}{cc}7& 7\\ -8& -3\end{array}\right)$ înseamnă patru egalități între elemente; primele două sunt $x+5y=7$ și $4x-y=7$. Din a doua, $y=4x-7$; înlocuit în prima, $x+5(4x-7)=7$ dă $21x=42$, deci $x=2$ și $y=1$. Celelalte două se verifică: elementul de pe poziția $(2,1)$ este $-3\cdot 2-2\cdot 1=-8$, iar cel de pe poziția $(2,2)$ este $-2\cdot 2+1=-3$. Așadar $\mathbf{x}=2$ și $\mathbf{y}=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — inversa unei matrice de ordin $2$.

Determinantul este $\det B=5\cdot 1-(-1)\cdot (-2)=5-2=3$ (2 p). Deoarece $\det B\ne 0$, matricea $B$ este inversabilă; pentru $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu determinantul $d\ne 0$, inversa este $\frac{1}{d}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$. Aici $p=5$, $q=-1$, $r=-2$, $s=1$ și $d=3$, deci elementele $s$, $-q$, $-r$, $p$ sunt $1$, $1$, $2$, $5$, toate împărțite la $3$: $$B^{-1}=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{3}& \frac{1}{3}\\ \frac{2}{3}& \frac{5}{3}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Proba, în afara rândurilor punctate: $B\cdot B^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}5\cdot 1+(-1)\cdot 2& 5\cdot 1+(-1)\cdot 5\\ -2\cdot 1+1\cdot 2& -2\cdot 1+1\cdot 5\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=I_2$, iar în ordine inversă $B^{-1}\cdot B=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}1\cdot 5+1\cdot (-2)& 1\cdot (-1)+1\cdot 1\\ 2\cdot 5+5\cdot (-2)& 2\cdot (-1)+5\cdot 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)=I_2$.

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — o matrice inversabilă.

Din $A+X=B$ rezultă $X=B-A$ (se adaugă $-A$ în fiecare parte), iar scăderea se face pe poziții: $$X=\left(\begin{array}{cc}5-1& -1-4\\ -2-(-3)& 1-(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -5\\ 1& 3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Determinantul este $\det X=4\cdot 3-(-5)\cdot 1=12+5=17\ne 0$. O matrice pătratică al cărei determinant nu este zero are inversă, așadar $X$ este inversabilă (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — un determinant strict pozitiv.

Matricea $a{I}_2$ are numărul $a$ pe diagonala principală și zerouri în afara ei, deci $A+a{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1+a& 4\\ -3& -2+a\end{array}\right)$, iar $$\det (A+a{I}_2)=(1+a)(a-2)-4\cdot (-3)=a^2-a-2+12=a^2-a+10\text{(2 p)}.$$ Se completează un pătrat perfect: $a^2-a+10={\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{1}{4}+10={\left(a-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{39}{4}$. Un pătrat de număr real este mereu $\ge 0$, deci $\det (A+a{I}_2)\ge \frac{39}{4}>0$, oricare ar fi $a$ real (3 p).

Pentru părinți și profesori

Foaia „Model” de la matematică M_pedagogic, Bacalaureat 2019 (proba E. c), filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare), nu are număr de variantă. Fiecare dintre cele trei subiecte poartă îndemnul „Scrieți, pe foaia de examen, rezolvările complete” și are șase cerințe de câte 5 puncte; cele 18 cerințe adună 90 de puncte, iar lucrarea durează 3 ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Textul fiecărei cerințe este cel oficial; Matepolis a scris rezolvările, avertismentele și ghidajul, iar punctele sunt împărțite pe rândurile baremului oficial.

Ce conține. Primul subiect adună șase teme scurte: o sumă de radicali, valoarea $f(a)$ pentru $a=f(3)-f(1)$, ecuația $\sqrt{2x^2+4x+1}=x+1$, două ieftiniri succesive de câte $50\%$, lungimea unei mediane date prin coordonate și latura $AB$ a unui triunghi dreptunghic în care $BC=10$ și $m(\sphericalangle B)=30^{\circ }$. Al doilea subiect pornește de la legea asociativă $x\ast y=2xy-2x-2y+3$; cerința II.2 o rescrie ca $2(x-1)(y-1)+1$, iar cerințele II.3–II.6 pornesc de la această formă pentru elementul neutru, un simetric, o ecuație și o inecuație. Al treilea subiect are în centru matricele $A$, $B$ și $I_2$: determinantul lui $A$, produsul $B\cdot B$, combinația $xA+yB$, inversa lui $B$, matricea $X$ din $A+X=B$ și semnul lui $\det (A+a{I}_2)$.

Locul în programă. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014, valabilă pentru Bacalaureatul din 2015 încoace, așază în clasa a IX-a funcția de gradul I, funcția pătratică (cu ecuațiile și inecuațiile ei) și rezolvarea triunghiului dreptunghic. Din clasa a X-a vin radicalii, inclusiv ecuațiile care îi conțin, calculul financiar cu procente și calculul distanței în plan cu ajutorul coordonatelor; legile de compoziție se învață în a XI-a, iar matricele, determinanții și matricele inversabile în a XII-a. Pentru itemul 4 merită reluată lecția Procente și TVA la tehnologic: factura, iar pentru cerința III.4, lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Greșeli frecvente, cu valorile lor.

• La itemul 1, $\sqrt{45}$ nu este $9\sqrt{5}$: pătratul lui $9\sqrt{5}$ este $405$, iar al lui $\sqrt{45}$ este $45$; din radical iese $3$, rădăcina lui $9$.
• La itemul 2, $f(3)-f(1)=10-8=2$ nu se confundă cu $f(3-1)=f(2)=9$: diferența valorilor nu este valoarea în diferența argumentelor.
• La itemul 3, valoarea $x=-2$ verifică $x^2+2x=0$, dar introdusă în ecuația cu radical dă $\sqrt{1}=1$ la stânga și $-1$ la dreapta.
• La itemul 4, a doua ieftinire se calculează din prețul nou $\frac{x}{2}$; scăzând de două ori $\frac{x}{2}$ din $x$ rezultatul ar fi $0$, nu $100$.
• La itemul 5, punctul $(-1,-2)$ este mijlocul lui $NP$, iar $(-1,-3)$, obținut cu $M$ și $P$, aparține altei laturi.
• La itemul 6, $AB$ este cateta alăturată unghiului $B$, deci intră cosinusul, $10\cdot \cos 30^{\circ }=5\sqrt{3}$, iar sinusul ar da $10\cdot \sin 30^{\circ }=5$.
• La cerința II.1, pentru $x=y=2$ termenul $2xy$ este $2\cdot 2\cdot 2=8$, nu $2\cdot 2=4$.
• La cerința II.3, egalitatea $\frac{3}{2}\ast \frac{3}{2}=\frac{3}{2}$ nu arată că $\frac{3}{2}$ este neutru; și $1\ast 1=1$, dar $1\ast 0=1\ne 0$.
• La cerința II.4, simetricul se raportează la neutrul $\frac{3}{2}$, nu la $0$, iar ambele produse, $2\ast \frac{5}{4}$ și $\frac{5}{4}\ast 2$, trebuie să dea $\frac{3}{2}$.
• La cerința II.6, pentru $n\ge 3$ avem $(n-1)n\ge 6>2$; valoarea $n=0$ satisface inegalitatea, dar nu este număr natural nenul.
• La cerința III.2, $B\cdot B$ nu este matricea pătratelor elementelor, $\left(\begin{array}{cc}25& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$, ci $\left(\begin{array}{cc}27& -6\\ -12& 3\end{array}\right)$.
• La cerința III.3, cele patru egalități între elemente trebuie verificate toate: perechea $x=1$, $y=2$ nu o satisface pe prima, fiindcă $1+5\cdot 2=11\ne 7$.
• La cerința III.4, inversa poartă factorul $\frac{1}{\det B}=\frac{1}{3}$; matricea cu elementele $1$, $1$, $2$, $5$, fără factor, are cu $B$ produsul $3I_2$, nu $I_2$.
• La cerința III.5, $X=B-A$, nu $A-B=\left(\begin{array}{cc}-4& 5\\ -1& -3\end{array}\right)$, care are același determinant, $17$, dar nu verifică $A+X=B$.

Despre litere. La itemul 1 enunțul nu are litere. La itemul 2, $x$ este variabila lui $f$, iar $a$ este numărul $f(3)-f(1)$ din enunț. La itemul 3, $x$ este necunoscuta ecuației. La itemul 4 enunțul nu are litere; în rezolvare, $x$ notează prețul de la început. La itemul 5, $M$, $N$ și $P$ sunt punctele date, iar $Q$ notează în rezolvare mijlocul lui $NP$. La itemul 6, $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului. În cel de-al doilea subiect, $x$ și $y$ sunt variabilele legii; la cerința II.3, $e$ este elementul neutru de arătat, la cerința II.5, $x$ este necunoscuta, iar la cerința II.6, $n$ este numărul natural nenul căutat. În cel de-al treilea subiect, $A$, $B$ și $I_2$ sunt matrice date; la cerința III.3, $x$ și $y$ sunt scalarii căutați, la cerința III.5, $X$ este matricea căutată, iar la cerința III.6, $a$ poate fi orice număr real.