Subiect Bac matematică pedagogic, august 2026 (varianta 4) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2026 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, în care $a_1=2$ și $a_2=16$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-2$. Determinați numărul real $m$ pentru care $f(3)+f(5)=f(m)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{3x}=\sqrt{12-x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{20,21,22,\dots ,35\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie multiplu de $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(1,3)$ și $N(7,1)$. Arătați că triunghiul $OMN$ este dreptunghic.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, cu $BC=8$ și măsura unghiului $B$ egală cu $45^{\circ }$. Arătați că perimetrul triunghiului $ABC$ este egal cu $8\left(1+\sqrt{2}\right)$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2$.

1. (5 puncte) Arătați că $4\circ 8=6$.

2. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(-1)\circ x=x$.

3. (5 puncte) Arătați că $e=5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care numărul $N=n\circ (-n)$ este natural.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$, știind că $1$ este simetricul lui $x$ în raport cu legea de compoziție „$\circ$”.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale $m$ și $p$ pentru care $2^m\circ 3^p=4$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(x)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ x& x-3\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A(5)\right)=4$.

2. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $3A(5)-A(1)=2A(x)$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $A(4)\cdot A(4)+2I_2=mA(4)$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det \left(A(x)+A\left(x^2\right)\right)=0$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care suma elementelor matricei $A(x)\cdot A(a)$ este egală cu $b$, pentru orice număr real $x$.

6. (5 puncte) Se consideră matricea $B=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)$. Determinați matricea $C\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ pentru care $A(5)\cdot C=B$.

Barem și răspunsuri

Fiecare cerință are 5 puncte, împărțite pe rândurile foii de evaluare ca 3 + 2 sau 2 + 3; rezolvările de mai jos încheie fiecare rând cu numărul lui de puncte, îngroșat. Cele 18 cerințe dau 90 de puncte, iar împreună cu cele 10 din oficiu lucrarea are 100.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică: termenul al treilea.

Termenii unei progresii aritmetice cresc cu aceeași rație $r$ de la un termen la următorul. Primii doi termeni o dau: $$r=a_2-a_1=16-2=14\text{(3 p)}.$$ Termenul următor rezultă din adunarea rației la termenul al doilea: $a_3=a_2+r=16+14=30$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcție de gradul întâi: o ecuație în $m$.

Formula funcției dă $f(3)=3-2=1$ și $f(5)=5-2=3$, iar pentru un număr oarecare $m$ avem $f(m)=m-2$ (3 p). Egalitatea $f(3)+f(5)=f(m)$ devine $1+3=m-2$. Prin urmare $m-2=4$ și $\mathbf{m}=6$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radicali.

Radicalii au sens când $3x\ge 0$ și $12-x\ge 0$, adică pentru $x\in [0,12]$. Pe acest interval, două rădăcini pătrate sunt egale exact când radicanzii lor sunt egali: $$3x=12-x\text{(3 p)}.$$ Rezultă $4x=12$, deci $x=3$. Numărul $3$ aparține intervalului $[0,12]$, iar în ecuația dată ambii membri devin $\sqrt{9}=3$. Așadar $\mathbf{x}=3$ este soluție (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate pe o mulțime de numere consecutive.

Mulțimea $A$ conține toate numerele întregi de la $20$ la $35$, cu tot cu capete: $35-20+1=16$ numere, deci $16$ cazuri posibile (2 p). Un multiplu de $5$ are forma $5k$. Din $20\le 5k\le 35$ rezultă $4\le k\le 7$, așa că multiplii sunt $20$, $25$, $30$ și $35$: $4$ cazuri favorabile. Probabilitatea este raportul lor: $$P=\frac{4}{16}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi în reper: reciproca teoremei lui Pitagora.

Cu originea $O(0,0)$, distanțele de la origine sunt $OM=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$ și $ON=\sqrt{7^2+1^2}=\sqrt{50}$ (2 p). A treia latură are $MN=\sqrt{(7-1{)}^2+(1-3{)}^2}=\sqrt{40}$. Dintre laturi, $ON$ este cea mai mare. Pătratele lungimilor verifică $$O{M}^2+M{N}^2=10+40=50=O{N}^2,$$ reciproca teoremei lui Pitagora dă un unghi drept în $M$, deci $OMN$ este un triunghi dreptunghic: $\mathbf{O}{\mathbf{N}}^2=\mathbf{O}{\mathbf{M}}^2+\mathbf{M}{\mathbf{N}}^2$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic cu un unghi de $45^{\circ }$.

Unghiul $A$ este drept și $B=45^{\circ }$, deci $C=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$. Triunghiul este isoscel, iar catetele au aceeași lungime $c$. Ipotenuza este $BC=8$, așa că $c^2+c^2=8^2$, adică $2c^2=64$ și $c^2=32$: $$AB=AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Perimetrul este suma laturilor: $BC+AB+AC=8+4\sqrt{2}+4\sqrt{2}=8+8\sqrt{2}=8\left(1+\sqrt{2}\right)$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: calculul unei valori.

Se pun $x=4$ și $y=8$ în formula legii: $$4\circ 8=\frac{1}{3}(4-2)(8-2)+2\text{(3 p)}.$$ Produsul $(4-2)(8-2)$ este $2\cdot 6=12$, iar $\frac{12}{3}=4$; în total $4+2=6$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: ecuația cu un operand cunoscut.

Pentru un $x$ oarecare, $-1-2=-3$, deci $$(-1)\circ x=\frac{1}{3}(-3)(x-2)+2=-(x-2)+2=-x+4\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț este $-x+4=x$, adică $2x=4$ și $\mathbf{x}=2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Numărul $e$ este element neutru dacă $x\circ e=x$ și $e\circ x=x$ pentru orice $x$ real. Pentru $e=5$, primul membru dă $$x\circ 5=\frac{1}{3}(x-2)(5-2)+2=(x-2)+2=x\text{(2 p)}.$$ Cu operanzii în ordine inversă, $5\circ x=\frac{1}{3}(5-2)(x-2)+2=(x-2)+2=x$. Ambele egalități au loc oricare ar fi $x$; prin urmare legea admite pe $5$ ca element neutru (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: numere naturale cu o proprietate.

Produsul $(n-2)(-n-2)$ este $-(n-2)(n+2)=-(n^2-4)=4-n^2$, de unde $$N=\frac{1}{3}\left(4-n^2\right)+2=\frac{10-n^2}{3}\text{(2 p)}.$$ Un număr natural nu e negativ, deci $10-n^2\ge 0$, adică $n^2\le 10$. Cum $n$ este natural, rămâne $n\in \{0,1,2,3\}$, fiindcă $4^2=16>10$. Se calculează pe rând: pentru $n=0$, $N=\frac{10}{3}$; pentru $n=1$, $N=3$; pentru $n=2$, $N=2$; pentru $n=3$, $N=\frac{1}{3}$. Numărul $N$ este natural doar pentru $n=1$ și $n=2$, deci $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: simetricul unui element.

Elementul neutru al legii este $5$ (verificat la cerința II.3: $x\circ 5=5\circ x=x$). Numărul $1$ este simetricul lui $x$ când $x\circ 1=1\circ x=5$. Expresia $\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2$ nu se schimbă dacă schimbăm $x$ cu $y$, deci cele două egalități coincid și rămâne $$1\circ x=\frac{1}{3}(1-2)(x-2)+2=-\frac{1}{3}(x-2)+2=5\text{(3 p)}.$$ Din $-\frac{1}{3}(x-2)=3$ urmează $x-2=-9$, iar $\mathbf{x}=-7$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: puteri cu exponenți naturali.

Definiția legii, aplicată puterilor $2^m$ și $3^p$, dă $$2^m\circ 3^p=\frac{1}{3}\left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)+2=4\text{(2 p)}.$$ Scăzând $2$ și înmulțind cu $3$ obținem $\left(2^m-2\right)\left(3^p-2\right)=6$. Cei doi factori sunt numere întregi, iar produsul lor nu este $0$, deci fiecare are valoarea absolută cel puțin $1$. Dacă $p\ge 2$, atunci $3^p-2\ge 7$ și produsul ar ajunge la valoarea absolută cel puțin $7$, nu $6$; așadar $p\in \{0,1\}$. Pentru $p=0$, factorul $3^0-2$ este $-1$, iar $2^m-2=-6$ ar cere $2^m=-4$, imposibil. Pentru $p=1$, factorul este $3-2=1$, deci $2^m-2=6$, adică $2^m=8$. Se obține $\mathbf{m}=3$ și $\mathbf{p}=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $x=5$ avem $x-3=2$, deci $A(5)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 5& 2\end{array}\right)$. Determinantul este diferența dintre produsul elementelor de pe diagonala principală și produsul celor de pe diagonala secundară: $$\det \left(A(5)\right)=2\cdot 2-0\cdot 5\text{(3 p)}.$$ Rezultatul este $4-0=4$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o egalitate cu multipli de matrice.

Avem $A(5)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 5& 2\end{array}\right)$, iar pentru $x=1$ colțul din dreapta jos este $1-3=-2$, deci $A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 1& -2\end{array}\right)$. Atunci $3A(5)=\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 15& 6\end{array}\right)$ și $$3A(5)-A(1)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 14& 8\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 7& 4\end{array}\right)=2A(7)\text{(3 p)},$$ fiindcă pentru $x=7$ colțul din dreapta jos al lui $A(7)$ este $7-3=4$. Ecuația devine $2A(x)=2A(7)$, cu $2A(x)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 2x& 2x-6\end{array}\right)$. Egalitatea matricelor cere $2x=14$ și $2x-6=8$, iar ambele ecuații dau $\mathbf{x}=7$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: produsul unei matrice cu ea însăși.

Pentru $A(4)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 4& 1\end{array}\right)$, produsul se completează luând pe rând fiecare linie a primului factor și fiecare coloană a celui de-al doilea: $$A(4)\cdot A(4)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+0\cdot 4& 2\cdot 0+0\cdot 1\\ 4\cdot 2+1\cdot 4& 4\cdot 0+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 12& 1\end{array}\right).$$ Adăugând $2I_2$ se obține $\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 12& 3\end{array}\right)$, care este chiar $3A(4)$ (3 p). Membrul drept al ecuației este $mA(4)=\left(\begin{array}{cc}2m& 0\\ 4m& m\end{array}\right)$. Comparând cu $\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ 12& 3\end{array}\right)$ avem $2m=6$, $4m=12$ și $m=3$, deci $\mathbf{m}=3$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: determinant egal cu zero.

Suma are elementele $x-3+x^2-3$ în colțul din dreapta jos și $x+x^2$ în stânga jos: $$A(x)+A\left(x^2\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ x^2+x& x^2+x-6\end{array}\right).$$ Colțul din dreapta sus fiind $0$, determinantul este $4\left(x^2+x-6\right)$ (2 p). Ecuația $4\left(x^2+x-6\right)=0$ se reduce la $x^2+x-6=0$, cu $\Delta =1+24=25$, deci $x=\frac{-1\pm 5}{2}$. Soluțiile sunt $\mathbf{x}=-3$ și $\mathbf{x}=2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: suma elementelor unui produs, independentă de $x$.

Produsul este $$A(x)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ x& x-3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ a& a-3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 2x+(x-3)a& (x-3)(a-3)\end{array}\right).$$ Adunând cele patru elemente, $4+0+2x+ax-3a+ax-3x-3a+9$, obținem suma $2ax-x-6a+13=x(2a-1)-6a+13$ (2 p). Această sumă trebuie să fie egală cu $b$ pentru orice $x$. Cu $x=0$ rezultă $b=-6a+13$, iar cu $x=1$ rezultă $b=(2a-1)-6a+13=-4a+12$. Scăzând cele două egalități, $-2a+1=0$, deci $a=\frac{1}{2}$ și $b=-6\cdot \frac{1}{2}+13=10$. Cu aceste valori, coeficientul lui $x$ este $0$, deci suma este $10$ pentru orice $x$. Soluția este $\mathbf{a}=\frac{1}{2}$ și $\mathbf{b}=10$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: ecuație matriceală cu o necunoscută coloană.

Matricea $B$ are două linii și o coloană, deci și $C$ le are: $C=\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$. Cu $A(5)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 5& 2\end{array}\right)$ obținem $$A(5)\cdot C=\left(\begin{array}{c}2u\\ 5u+2v\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $B$ înseamnă $2u=4$ și $5u+2v=0$. Din prima, $u=2$; apoi $10+2v=0$ și $v=-5$. Matricea căutată este $C=\left(\begin{array}{c}2\\ -5\end{array}\right)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Lucrarea de aici este proba E. c) de matematică M_pedagogic din sesiunea august 2026, varianta 4, pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Timpul efectiv de lucru este de trei ore. Subiectele însumează 18 cerințe de câte 5 puncte, în total 90 de puncte, la care se adaugă oficiul. Se acordă 10 puncte din oficiu. Foaia oficială dă enunțurile; rezolvările și comentariile sunt scrise de Matepolis, iar fiecare rând punctat dintr-o rezolvare corespunde unui rând din foaia de evaluare.

Cum se împarte lucrarea. Subiectul I are șase cerințe de sine stătătoare: o progresie aritmetică, o funcție de gradul întâi, o ecuație cu radicali, o probabilitate, un triunghi în reperul cartezian și un triunghi dreptunghic cu un unghi de $45^{\circ }$. În subiectul al II-lea, toate cele șase cerințe se sprijină pe aceeași lege, $x\circ y=\frac{1}{3}(x-2)(y-2)+2$, pe care enunțul o declară asociativă. În subiectul al III-lea, cerințele pornesc de la matricele $A(x)$, care au un zero în colțul din dreapta sus.

Legătura cu programa. Din programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), clasa a IX-a pune la dispoziție progresiile aritmetice, funcția de gradul întâi și triunghiul dreptunghic. Clasa a X-a adaugă ecuațiile cu radicali, probabilitatea și reperul cartezian. Legile de compoziție aparțin clasei a XI-a, iar calculul matriceal și determinanții clasei a XII-a. Cine vrea să reia teoria poate parcurge lecțiile Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru, pentru problema cu legea, și Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic, pentru ultima cerință cu matrice.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 4: mulțimea $A$ are $35-20+1=16$ elemente, fiindcă se numără și $20$, și $35$. Cine face doar $35-20=15$ ajunge la $\frac{4}{15}$, care nu este probabilitatea cerută.
• Exercițiul 5: unghiul drept nu poate fi în $O$, pentru că $O{M}^2+O{N}^2=10+50=60$, în timp ce $M{N}^2=40$. Verificarea trebuie făcută cu $ON$, latura cea mai mare, în rol de ipotenuză: $10+40=50$.
• Exercițiul 6: catetele nu sunt egale cu $4$, deoarece $4^2+4^2=32$, iar pătratul ipotenuzei este $64$. Catetele sunt $4\sqrt{2}$, căci $2\cdot 32=64$.
• Cerința II.4: valorile $n=0$ și $n=3$ respectă condiția $N\ge 0$, dar dau $N=\frac{10}{3}$ și $N=\frac{1}{3}$, care nu sunt numere naturale; rămân doar $n=1$ și $n=2$.
• Cerința II.5: ecuația $x\circ 1=1$ dă $x=5$, adică tocmai elementul neutru, nu simetricul lui $1$. Simetricul se caută față de elementul neutru: $x\circ 1=5$ conduce la $x=-7$.
• Cerința III.4: determinantul sumei diferă, în general, de suma determinanților. Pentru $x=1$ avem $A(1)+A(1)=2A(1)$, deci $\det \left(A(1)+A(1)\right)=-16$, iar $\det A(1)+\det A(1)=-8$.

Despre litere. În cerința III.3, $m$ este coeficientul din $mA(4)$. În cerința III.5, $a$ și $b$ sunt necunoscutele, iar $x$ rămâne arbitrar. Rezolvarea cerinței III.6 notează elementele matricei $C$ cu $u$ și $v$, pentru a evita confuzia cu $a$ și $b$ de mai sus. Elementul neutru $5$ al legii, verificat la cerința II.3, este reluat în rezolvarea cerinței II.5.