Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2026 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2026 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\frac{14}{5} \cdot (1 - \frac{1}{6}) + \frac{2}{3} = 3$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 4 x - 1$ și numărul $a = f (1)$ . Calculați $f (a)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $1 0^{3} \cdot 1 0^{x} = 100$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

După două ieftiniri succesive, cu câte $50%$ , un obiect costă $200$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de cele două ieftiniri.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (4, 0)$ , $B (6, 2)$ și $C$ , mijlocul segmentului $O B$ . Arătați că $A C = 2$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2 sin 4 5^{\circ} \cdot sin 3 0^{\circ} - 2 cos 6 0^{\circ} = 0$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x * y = x y - x - 2 y + 4$ .

1. (5 puncte) Arătați că $3 * 3 = 4$ .

2. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x * (- 2) = x$ .

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(- x) * x = 2 x$ .

4. (5 puncte) Arătați că $x * y = (x - 2) (y - 1) + 2$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale nenule $a$ pentru care $4 * (4 * a) = \frac{1}{a}$ .

6. (5 puncte) Determinați perechile $(n, p)$ de numere naturale pentru care $n * p = p$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (x) = (4 - x - x x 1 - x)$ , unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det (A (2)) = 2$ .

2. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $3 A (2) - A (4) = 2 A (a)$ .

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $det (A (x)) = x$ .

4. (5 puncte) Arătați că matricea $B = \frac{1}{2} (I_{2} - A (2))$ este inversa matricei $A (2)$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $A (x) \cdot A (x) = y I_{2}$ .

6. (5 puncte) Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $X - A (2) \cdot X = A (3)$ .

Barem și răspunsuri

Cele 18 cerințe adună 90 de puncte; oficiul de 10 puncte duce totalul la 100. Fiecare cifră îngroșată dintr-o paranteză arată câte puncte din cele 5 încheie etapa de lângă ea, iar etapele se succed ca în foaia oficială.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu fracții.

Paranteza este $1 - \frac{1}{6} = \frac{6}{6} - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ , deci $\frac{14}{5} \cdot (1 - \frac{1}{6}) + \frac{2}{3} = \frac{14}{5} \cdot \frac{5}{6} + \frac{2}{3} (3 p) .$ Numărătorul $5$ se simplifică cu numitorul $5$ : $\frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ , iar $\frac{7}{3} + \frac{2}{3} = \frac{9}{3} = 3$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — o funcție aplicată de două ori.

Mai întâi $a$ : $f (1) = 4 \cdot 1 - 1 = 3$ , deci $a = 3$ (2 p). Apoi se cere $f (a) = f (3) = 4 \cdot 3 - 1 = 11$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Produsul $1 0^{3} \cdot 1 0^{x}$ are baza $10$ și exponentul $3 + x$ , iar $100 = 1 0^{2}$ . Ecuația devine $1 0^{3 + x} = 1 0^{2}$ , iar exponenții sunt egali: $3 + x = 2$ (3 p). De aici $x = - 1$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două ieftiniri succesive.

Fie $p$ prețul din lei înainte de ieftiniri. Prima ieftinire scade $50%$ din $p$ , deci prețul devine $p - \frac{50}{100} \cdot p = \frac{p}{2} (2 p) .$ A doua ieftinire scade jumătate din $\frac{p}{2}$ , iar prețul ajunge la $\frac{p}{2} - \frac{50}{100} \cdot \frac{p}{2} = \frac{p}{4}$ . Cum acest preț este $200$ , avem $\frac{p}{4} = 200$ , adică $p = 800$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijloc de segment și distanță.

Cu $O (0, 0)$ și $B (6, 2)$ , mijlocul lui $O B$ are coordonatele $\frac{0 + 6}{2} = 3$ și $\frac{0 + 2}{2} = 1$ , adică $C (3, 1)$ (2 p). Distanța de la $A (4, 0)$ la $C$ este $A C = (4 - 3)^{2} + (0 - 1)^{2} = 1 + 1 = 2$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valori de sinus și cosinus.

Se folosesc $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ și $cos 6 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ (3 p). Expresia este $2 \cdot \frac{2}{2} \cdot \frac{1}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{2}{2} = 0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: valoarea pe o pereche.

Se pune $x = 3$ și $y = 3$ în $x y - x - 2 y + 4$ : $3 * 3 = 3 \cdot 3 - 3 - 2 \cdot 3 + 4 (3 p) .$ Rămâne $9 - 3 - 6 + 4 = 4$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: ecuație de gradul întâi.

Pentru $y = - 2$ : $x * (- 2) = x \cdot (- 2) - x - 2 \cdot (- 2) + 4 = - 2 x - x + 4 + 4$ , adică $x * (- 2) = - 3 x + 8 (3 p) .$ Ecuația $- 3 x + 8 = x$ dă $8 = 4 x$ , deci $x = 2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: ecuație de gradul al doilea.

Operanzii sunt $- x$ și $x$ : $(- x) * x = (- x) \cdot x - (- x) - 2 x + 4 = - x^{2} + x - 2 x + 4$ , deci $(- x) * x = - x^{2} - x + 4 (2 p) .$ Ecuația cerută este $- x^{2} - x + 4 = 2 x$ . Se trec toți termenii în dreapta, astfel încât membrul stâng să fie $0$ ; trinomul obținut este $x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1)$ , deci soluțiile sunt $x = - 4$ și $x = 1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: forma factorizată.

Constanta $4$ se scrie $2 + 2$ , iar termenii se așază astfel încât primii patru să se încheie cu $2$ : $x * y = x y - x - 2 y + 2 + 2 (2 p) .$ Primii patru termeni se grupează: $x y - x - 2 y + 2 = x (y - 1) - 2 (y - 1) = (x - 2) (y - 1)$ . Așadar $x * y = (x - 2) (y - 1) + 2$ , pentru orice $x$ și $y$ reale (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu necunoscuta la numitor.

Cu forma din cerința II.4, $4 * a = (4 - 2) (a - 1) + 2 = 2 a - 2 + 2 = 2 a$ , iar $4 * (4 * a) = 4 * (2 a) = 2 (2 a - 1) + 2 = 4 a (2 p),$ pentru orice $a$ real. Ecuația $4 a = \frac{1}{a}$ , cu $a \neq = 0$ , devine $4 a^{2} = 1$ , deci $a^{2} = \frac{1}{4}$ . Ambele soluții, $a = - \frac{1}{2}$ și $a = \frac{1}{2}$ , sunt nenule și convin (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: perechi de numere naturale.

Din forma factorizată, $n * p = (n - 2) (p - 1) + 2$ , iar condiția $n * p = p$ înseamnă $(n - 2) (p - 1) + 2 = p (2 p) .$ Se scrie $p - 2 = (p - 1) - 1$ și se mută $(p - 1)$ în stânga: $(n - 2) (p - 1) - (p - 1) = - 1$ , adică $(n - 3) (p - 1) = - 1$ . Produsul a două numere întregi este $- 1$ doar pentru $(1, - 1)$ sau $(- 1, 1)$ . Din $n - 3 = 1$ și $p - 1 = - 1$ rezultă $(n, p) = (4, 0)$ ; din $n - 3 = - 1$ și $p - 1 = 1$ rezultă $(n, p) = (2, 2)$ . Ambele perechi sunt formate din numere naturale (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordinul doi.

Matricea $A (2)$ are elementele $4 - 2 = 2$ , $2$ , $- 2$ și $1 - 2 = - 1$ . Atunci $det (A (2)) = 2 \cdot (- 1) - 2 \cdot (- 2) (3 p) .$ Rezultă $- 2 + 4 = 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — ecuație matriceală cu o necunoscută scalară.

Cu $A (2) = (2 - 2 2 - 1)$ și $A (4) = (0 - 4 4 - 3)$ : $3 A (2) - A (4) = (6 - 6 6 - 3) - (0 - 4 4 - 3) = (6 - 2 20) = 2 (3 - 1 10) = 2 A (1) (3 p) .$ Egalitatea $2 A (a) = 2 A (1)$ dă $a = 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — ecuație cu determinant.

Diagonala principală dă $(4 - x) (1 - x) = 4 - 5 x + x^{2}$ , iar cealaltă diagonală dă $x \cdot (- x) = - x^{2}$ , care se scade. Rezultă $det (A (x)) = 2 x^{2} - 5 x + 4 (2 p) .$ Ecuația $2 x^{2} - 5 x + 4 = x$ se aduce, trecând $x$ în stânga și împărțind apoi cu $2$ , la $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ . Descompunerea $x^{2} - 3 x + 2 = (x - 1) (x - 2)$ dă soluțiile $x = 1$ și $x = 2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — o matrice și inversa ei.

Matricea $I_{2} - A (2) = (- 1 2 - 2 2)$ , iar $B = \frac{1}{2} (I_{2} - A (2)) = (- \frac{1}{2} 1 - 1 1) (2 p) .$ Produsele se fac linie cu coloană: $A (2) \cdot B = (- 1 + 2 1 - 1 - 2 + 2 2 - 1) = I_{2}$ și $B \cdot A (2) = (- 1 + 2 2 - 2 - 1 + 1 2 - 1) = I_{2}$ . Un produs egal cu $I_{2}$ în ambele ordini arată că $B$ este inversa lui $A (2)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — pătratul unei matrice egal cu $y I_{2}$ .

Elementele lui $A (x) \cdot A (x)$ sunt $(4 - x)^{2} - x^{2} = 16 - 8 x$ , $(4 - x) x + x (1 - x) = 5 x - 2 x^{2}$ , $- x (4 - x) + (1 - x) (- x) = 2 x^{2} - 5 x$ și $- x^{2} + (1 - x)^{2} = 1 - 2 x$ : $A (x) \cdot A (x) = (16 - 8 x 2 x^{2} - 5 x 5 x - 2 x^{2} 1 - 2 x) (3 p) .$ Pentru ca ea să fie $y I_{2}$ , elementele de pe diagonala principală sunt egale cu $y$ , iar celelalte sunt $0$ . Din $16 - 8 x = 1 - 2 x$ rezultă $15 = 6 x$ , deci $x = \frac{5}{2}$ și $y = 1 - 2 \cdot \frac{5}{2} = - 4$ . Pentru $x = \frac{5}{2}$ avem și $5 x - 2 x^{2} = \frac{25}{2} - \frac{25}{2} = 0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — ecuație matriceală cu necunoscuta o matrice.

Termenul $A (2) \cdot X$ trece în stânga: $X - A (2) \cdot X = (I_{2} - A (2)) X$ , deci ecuația este $(I_{2} - A (2)) X = A (3)$ . Matricea $I_{2} - A (2) = (- 1 2 - 2 2)$ are determinantul $2$ , iar inversa ei este $\frac{1}{2} (2 - 2 2 - 1) = \frac{1}{2} A (2)$ . Prin înmulțire la stânga cu inversa: $X = \frac{1}{2} A (2) \cdot A (3) (3 p) .$ Cu $A (3) = (1 - 3 3 - 2)$ avem $A (2) \cdot A (3) = (- 4 1 2 - 4)$ , deci $X = (- 2 \frac{1}{2} 1 - 2)$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 3 a probei E. c) la matematică M_pedagogic, din sesiunea iunie 2026, este rezolvată integral pe această pagină. Foaia are trei subiecte a câte șase cerințe, fiecare cerință valorând 5 puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Candidații au trei ore, iar enunțurile de aici sunt cele oficiale, fără modificări; rezolvările sunt scrise de noi și urmează, rând cu rând, etapele punctate ale foii de evaluare.

Varianta într-o privire.

Subiectul I: o expresie cu fracții, valoarea unei funcții într-o valoare tot din funcție, o ecuație exponențială, două ieftiniri de $50%$ , un mijloc de segment și o expresie cu sinus și cosinus.
Subiectul al II-lea: legea $x * y = x y - x - 2 y + 4$ , de la o valoare numerică la o ecuație în numere naturale, trecând printr-o formă factorizată și o ecuație cu necunoscută la numitor.
Subiectul al III-lea: familia $A (x)$ , cu un determinant, o egalitate de matrice cu necunoscută scalară, o ecuație cu determinant, o matrice inversă, un pătrat egal cu $y I_{2}$ și o ecuație matriceală.

Din ce parte a programei vin. În programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), procentele, ecuațiile exponențiale și reperul cartezian sunt la clasa a X-a, valorile sinusului și ale cosinusului la clasa a IX-a, legile de compoziție la clasa a XI-a, iar matricele cu inversele lor la clasa a XII-a. Pentru ieftiniri se poate relua Procente și TVA la tehnologic: factura, iar pentru cerințele III.4 și III.6 Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Unde se strică calculul, cu dovada.

Exercițiul 2: răspunsul nu este $f (1) = 3$ ; numărul $a = f (1)$ este argumentul, iar cerința este $f (a) = f (3) = 11$ .
Exercițiul 4: două ieftiniri de $50%$ nu fac una de $100%$ . De la $800$ de lei, prima ieftinire duce la $400$ , a doua la $200$ , deci prețul scade în total la un sfert, nu la $0$ .
Cerința II.2: în $- 2 y$ cu $y = - 2$ rezultă $+ 4$ . Dacă termenul ar fi tratat ca $- 4$ , ecuația ar deveni $- 3 x = x$ , cu soluția $0$ , dar $0 * (- 2) = 8$ , nu $0$ .
Cerința II.5: parantezele nu se pot muta. Pentru $a = 1$ , $4 * (4 * 1) = 4$ , în timp ce $(4 * 4) * 1 = 2$ .
Cerința II.6: perechea $(4, 0)$ se păstrează, pentru că $0$ este număr natural și $4 * 0 = 0$ .
Cerința III.3: determinantul nu e constant. Pentru $x = 2$ este $2$ , dar pentru $x = 0$ este $4$ .
Cerința III.5: din $5 x - 2 x^{2} = 0$ ar rezulta și $x = 0$ , însă atunci diagonala are elementele $16$ și $1$ , deci nu există un singur $y$ .

Despre litere. În itemul 2, $a$ este un număr calculat; în cerința II.5 este necunoscuta nenulă, iar în cerința III.2 este parametrul din $A (a)$ . Perechea $(n, p)$ din cerința II.6 este formată din numere naturale, iar $x$ și $y$ din cerința III.5 sunt necunoscute reale.