Subiect Bac matematică pedagogic, august 2022 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2022 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $lo g_{2} 16 - lo g_{2} 8 + lo g_{2} 1 = 1$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x + 7$ . Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $A (m, 2022)$ aparține graficului funcției $f$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5 x - 2 = 3$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

După două scumpiri succesive cu $20%$ prețul unui obiect este de $180$ lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (6, 7)$ și $B (2, 5)$ . Determinați ecuația dreptei $A B$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $(sin 4 5^{\circ} - sin 3 0^{\circ}) (sin 4 5^{\circ} + sin 3 0^{\circ}) = \frac{1}{4}$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = x y + 5 (x + y) + 7$ .

1. (5 puncte) Arătați că $(- 2) \circ 2 = 3$ .

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.

3. (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = (x + 5) (y + 5) - 18$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = 7$ .

5. (5 puncte) Demonstrați că $((- x) \circ (- y)) + ((- x) \circ y) + (x \circ (- y)) + (x \circ y) = 28$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

6. (5 puncte) Determinați perechile $(a, b)$ de numere întregi pentru care $a \circ b = - 19$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ , $A = (5 - 4 5 - 4)$ și $X (a) = I_{2} + a A$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det A = 0$ .

2. (5 puncte) Arătați că $A \cdot A = A$ .

3. (5 puncte) Arătați că $X (- 1) + X (1) = 2 I_{2}$ .

4. (5 puncte) Demonstrați că $X (a) \cdot X (- 1) = X (- 1)$ , pentru orice număr real $a$ .

5. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care matricea $X (a)$ nu este inversabilă.

6. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $a$ pentru care $det (X (a^{2})) \leq 10$ .

Barem și răspunsuri

Soluțiile urmează împărțirea foii de evaluare: la capătul fiecărui rând stă, îngroșat, numărul lui de puncte. Rândurile sunt de 2 sau de 3 puncte, două dintre ele formează o cerință de 5 puncte, cele 18 cerințe adună 90 de puncte, iar oficiul completează până la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — logaritmi în baza $2$ calculați direct.

Prin $lo g_{2} t$ se înțelege puterea lui $2$ care dă numărul $t$ . Cum $2^{4} = 16$ , $2^{3} = 8$ și $2^{0} = 1$ , avem $lo g_{2} 16 = 4, lo g_{2} 8 = 3, lo g_{2} 1 = 0 (3 p) .$ Expresia din enunț devine $4 - 3 + 0 = 1$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — un punct de pe graficul unei funcții.

Coordonatele lui $A$ sunt $x_{A} = m$ și $y_{A} = 2022$ . Apartenența la grafic înseamnă că $y_{A}$ se obține aplicând funcția lui $x_{A}$ : $f (m) = 2022 (3 p) .$ Cum $f (m) = 5 m + 7$ , rezultă $5 m + 7 = 2022$ , deci $5 m = 2015$ și $m = 403$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu doi radicali egali.

Radicalii sunt egali, iar ridicarea ambilor membri la pătrat dă ecuația fără radicali $5 x - 2 = 3 (3 p) .$ De aici $5 x = 5$ , deci $x = 1$ . Valoarea convine: sub radical stă $5 \cdot 1 - 2 = 3 \geq 0$ , iar $3 = 3$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două scumpiri una după alta.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. După prima scumpire el devine $x + \frac{20}{100} x = \frac{6 x}{5}$ (2 p). A doua scumpire se aplică prețului nou, nu celui inițial: $\frac{6 x}{5} + \frac{20}{100} \cdot \frac{6 x}{5} = \frac{6 x}{5} + \frac{6 x}{25} = \frac{36 x}{25} .$ Acesta este prețul final, de $180$ de lei: $\frac{36 x}{25} = 180$ , deci $x = \frac{180 \cdot 25}{36} = 125$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — ecuația dreptei $A B$ .

Ecuația dreptei determinate de $A (6, 7)$ și $B (2, 5)$ este $\frac{x - x _{A}}{x _{B} - x _{A}} = \frac{y - y _{A}}{y _{B} - y _{A}}$ , adică $\frac{x - 6}{2 - 6} = \frac{y - 7}{5 - 7} (3 p) .$ Numitorii sunt $- 4$ și $- 2$ , deci $- 2 (x - 6) = - 4 (y - 7)$ , adică $x - 6 = 2 y - 14$ . Ecuația dreptei este $x - 2y + 8 = 0$ . Verificare: $6 - 14 + 8 = 0$ și $2 - 10 + 8 = 0$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — produsul a două expresii conjugate cu sinusuri.

Valorile cunoscute sunt $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ și $sin 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ (3 p). Se recunoaște identitatea $(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}$ , cu $a = \frac{2}{2}$ și $b = \frac{1}{2}$ : $(\frac{2}{2} - \frac{1}{2}) (\frac{2}{2} + \frac{1}{2}) = \frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} (2 p) .$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea pentru o pereche.

În definiția legii se pun $x = - 2$ și $y = 2$ : $(- 2) \circ 2 = - 2 \cdot 2 + 5 (- 2 + 2) + 7 (3 p) .$ Produsul este $- 4$ , iar paranteza este $0$ : $(- 2) \circ 2 = - 4 + 0 + 7 = 3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: comutativitatea.

Comutativitatea cere $x \circ y = y \circ x$ pentru toți $x$ și $y$ reali. Atât înmulțirea, cât și adunarea sunt operații comutative pe $R$ , deci $x \circ y = x y + 5 (x + y) + 7 = y x + 5 (y + x) + 7 (3 p) .$ Ultima expresie este definiția lui $y \circ x$ , cu $x$ și $y$ schimbate între ele. Așadar $x \circ y = y \circ x$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ , adică legea „ $\circ$ ” este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Se desfac parantezele, iar termenul $7$ se scrie $25 - 18$ , ca să apară $5^{2}$ : $x \circ y = x y + 5 x + 5 y + 25 - 18 (3 p) .$ Primii doi termeni dau $x (y + 5)$ , iar următorii doi dau $5 (y + 5)$ , deci $x \circ y = x (y + 5) + 5 (y + 5) - 18 = (x + 5) (y + 5) - 18$ , oricare ar fi $x$ și $y$ reali (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuația $x \circ x = 7$ .

Pentru $y = x$ se obține $x \circ x = x^{2} + 5 \cdot 2 x + 7 = x^{2} + 10 x + 7$ , deci ecuația este $x^{2} + 10 x + 7 = 7 (2 p) .$ Ea se reduce la $x^{2} + 10 x = 0$ , adică $x (x + 10) = 0$ . Dacă produsul a două numere reale este $0$ , cel puțin unul dintre ele este $0$ , deci $x = 0$ sau $x = - 10$ (3 p). Verificare: $0 \circ 0 = 7$ și $(- 10) \circ (- 10) = 100 - 100 + 7 = 7$ .

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: suma a patru expresii.

Prima expresie se calculează în general; suma $(- x) + (- y)$ este $- (x + y)$ , iar produsul $(- x) (- y)$ este $x y$ : $(- x) \circ (- y) = x y - 5 x - 5 y + 7 (2 p) .$ La fel, $(- x) \circ y = - x y - 5 x + 5 y + 7$ și $x \circ (- y) = - x y + 5 x - 5 y + 7$ , iar $x \circ y = x y + 5 x + 5 y + 7$ . Suma celor patru: $(x y - 5 x - 5 y + 7) + (- x y - 5 x + 5 y + 7) + (- x y + 5 x - 5 y + 7) + (x y + 5 x + 5 y + 7) .$ Termenii cu $x y$ dau $x y - x y - x y + x y = 0$ , cei cu $x$ dau $- 5 x - 5 x + 5 x + 5 x = 0$ , iar cei cu $y$ dau $- 5 y + 5 y - 5 y + 5 y = 0$ ; rămân constantele, $4 \cdot 7 = 28$ . Suma este $28$ , oricare ar fi $x$ și $y$ reali (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: perechi de numere întregi.

Cu forma din cerința II.3, ecuația $a \circ b = - 19$ devine $(a + 5) (b + 5) - 18 = - 19$ , adică $(a + 5) (b + 5) = - 1 (3 p) .$ Numerele $a + 5$ și $b + 5$ sunt întregi, iar singurele moduri de a scrie $- 1$ ca produs de două numere întregi sunt $1 \cdot (- 1)$ și $(- 1) \cdot 1$ . Cazul $a + 5 = 1$ , $b + 5 = - 1$ dă $(a, b) = (- 4, - 6)$ , iar cazul $a + 5 = - 1$ , $b + 5 = 1$ dă $(a, b) = (- 6, - 4)$ . Perechile sunt $(- 6, - 4)$ și $(- 4, - 6)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Din produsul $5 \cdot (- 4)$ al diagonalei principale se scade produsul $5 \cdot (- 4)$ al celeilalte diagonale: $det A = 5 \cdot (- 4) - 5 \cdot (- 4) (3 p) .$ Rezultă $det A = - 20 + 20 = 0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: $A \cdot A = A$ .

Elementul de pe poziția $(i, j)$ din produs folosește linia $i$ a primului factor și coloana $j$ a celui de-al doilea: $A \cdot A = (5 \cdot 5 + 5 \cdot (- 4) (- 4) \cdot 5 + (- 4) \cdot (- 4) 5 \cdot 5 + 5 \cdot (- 4) (- 4) \cdot 5 + (- 4) \cdot (- 4))$ $= (25 - 20 - 20 + 16 25 - 20 - 20 + 16) (3 p) .$ Efectuând calculele, $A \cdot A = (5 - 4 5 - 4) = A$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: suma a două elemente ale familiei.

Din $X (a) = I_{2} + a A$ , pentru $a = - 1$ , rezultă $X (- 1) = I_{2} + (- 1) A = I_{2} - A$ (2 p). Pentru $a = 1$ se obține $X (1) = I_{2} + A$ . La adunare, matricele $- A$ și $A$ se reduc: $X (- 1) + X (1) = I_{2} - A + I_{2} + A = 2 I_{2}$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: un produs cu $X (- 1)$ .

Produsul $X (a) \cdot X (- 1) = (I_{2} + a A) (I_{2} - A)$ se desface prin distributivitate: $I_{2} \cdot I_{2} - I_{2} \cdot A + a A \cdot I_{2} - a A \cdot A = I_{2} - A + a A - a A^{2} (3 p) .$ Cum $A \cdot A = A$ (calculat la cerința III.2), avem $a A^{2} = a A$ , deci ultimele două matrice se anulează reciproc: $X (a) \cdot X (- 1) = I_{2} - A = X (- 1)$ , oricare ar fi $a$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: când $X (a)$ nu este inversabilă.

Forma explicită a matricei este $X (a) = I_{2} + a A = (1 + 5 a - 4 a 5 a 1 - 4 a)$ , iar determinantul ei este $det X (a) = (1 + 5 a) (1 - 4 a) - 5 a \cdot (- 4 a) = 1 + a - 20 a^{2} + 20 a^{2} = 1 + a (3 p) .$ Inversabilitatea unei matrice pătratice este echivalentă cu determinantul diferit de zero; prin urmare $X (a)$ nu este inversabilă exact atunci când $1 + a = 0$ , adică pentru $a = - 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: un determinant cu $a^{2}$ .

În formula $det X (a) = 1 + a$ se înlocuiește $a$ cu $a^{2}$ : $det (X (a^{2})) = a^{2} + 1$ , oricare ar fi $a$ real (3 p). Inegalitatea $a^{2} + 1 \leq 10$ înseamnă $a^{2} \leq 9$ , adică $- 3 \leq a \leq 3$ . Mulțimea valorilor este $a \in [- 3, 3]$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 7 a probei E. c) din sesiunea august 2022, la matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare), este rezolvată în pagina de față. Lucrarea numără 18 cerințe, câte șase la fiecare subiect, fiecare de 5 puncte; ele fac împreună 90 de puncte, iar candidații dispun de trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Cerințele sunt reproduse după foaia oficială; rezolvările, capcanele și întrebările de ghidaj sunt scrise de Matepolis, iar punctele stau pe rândurile foii de evaluare.

Temele variantei. Subiectul I cere, pe rând, o expresie cu logaritmi în baza $2$ , apartenența punctului $A (m, 2022)$ la graficul funcției $f (x) = 5 x + 7$ , o ecuație cu radicali, două scumpiri succesive de $20%$ , ecuația dreptei prin $A (6, 7)$ și $B (2, 5)$ și o diferență de pătrate cu sinusuri. În partea a doua, legea $x \circ y = x y + 5 (x + y) + 7$ capătă la cerința II.3 forma $(x + 5) (y + 5) - 18$ , pe care o folosește cerința II.6; cerința II.5 se rezolvă desfăcând cele patru expresii. Partea a treia pleacă de la matricea $A = (5 - 4 5 - 4)$ și de la familia $X (a) = I_{2} + a A$ ; cheia lui este egalitatea $A \cdot A = A$ .

Programa, pe clase. Potrivit programei de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), funcția de gradul întâi cu graficul ei și trigonometria în triunghiul dreptunghic aparțin clasei a IX-a. Logaritmii, ecuațiile cu radicali, procentele și ecuația dreptei prin două puncte țin de clasa a X-a. Legile de compoziție sunt de clasa a XI-a, iar matricele, determinanții și inversabilitatea sunt de clasa a XII-a. Pentru itemul 1 se poate relua lecția Logaritmul produsului: reguli de calcul, tehnologic, iar pentru cerința III.5, lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Capcane cu numere la vedere.

Exercițiul 2: punctul $A (m, 2022)$ are abscisa $m$ și ordonata $2022$ , deci se cere $f (m) = 2022$ , nu $f (2022) = m$ ; avem $f (2022) = 5 \cdot 2022 + 7 = 10117$ .
Exercițiul 4: două scumpiri de câte $20%$ nu echivalează cu una de $40%$ ; la $x = 125$ , factorul $\frac{7}{5}$ ar da $175$ , pe când prețul final adevărat este $\frac{36}{25} \cdot 125 = 180$ .
Exercițiul 5: diferențele de coordonate se iau în aceeași ordine, $2 - 6 = - 4$ și $5 - 7 = - 2$ ; cu $7 - 5 = 2$ în locul lui $- 2$ s-ar obține panta $- \frac{1}{2}$ în locul pantei corecte $\frac{1}{2}$ , iar dreapta de pantă $- \frac{1}{2}$ prin $A$ trece prin $(2, 9)$ , nu prin $B (2, 5)$ .
Exercițiul 6: valoarea $sin 3 0^{\circ}$ este $\frac{1}{2}$ , iar $\frac{3}{2}$ este $sin 6 0^{\circ}$ ; cu $\frac{3}{2}$ în locul lui $\frac{1}{2}$ s-ar obține $\frac{2}{4} - \frac{3}{4} = - \frac{1}{4}$ .
Cerința II.2: o singură pereche nu demonstrează nimic; egalitatea $1 \circ 2 = 2 \circ 1 = 24$ este adevărată, dar comutativitatea cere toți $x$ și $y$ .
Cerința II.4: ecuația $x^{2} + 10 x = 0$ nu se împarte la $x$ , pentru că s-ar pierde soluția $x = 0$ , iar $0 \circ 0 = 7$ .
Cerința II.6: perechile sunt ordonate, deci $(- 6, - 4)$ și $(- 4, - 6)$ sunt diferite și ambele verifică $a \circ b = - 19$ .
Cerința III.2: produsul $A \cdot A$ nu se obține ridicând elementele la pătrat; ele ar da $(25162516)$ , iar produsul adevărat este $A$ .
Cerința III.5: matricea $X (a)$ este inversabilă pentru orice $a \neq = - 1$ ; de pildă, $X (0) = I_{2}$ are determinantul $1$ .
Cerința III.6: inegalitatea fiind nestrictă, capetele intervalului intră în soluție; la $a = 3$ determinantul este $3^{2} + 1 = 10$ .

Despre litere. La itemul 2, $m$ este abscisa necunoscută a lui $A$ , iar $x$ este argumentul funcției $f$ . Exercițiul 3: $x$ este necunoscuta ecuației. Exercițiul 4: $x$ este prețul inițial, notat de rezolvare. Exercițiul 5: $A$ și $B$ sunt puncte, iar $x$ și $y$ sunt coordonatele unui punct oarecare al dreptei $A B$ . În problema cu legea, $x$ și $y$ iau valori reale arbitrare la cerințele II.2, II.3 și II.5, iar $x$ este necunoscuta la cerința II.4; la cerința II.6, $a$ și $b$ sunt numerele întregi căutate. În problema cu matrice, $A$ este o matrice fixă, iar $X (a)$ este familia ei; $a$ este oarecare la cerința III.4 și necunoscut la cerințele III.5 și III.6.