Subiect Bac matematică tehnologic, sesiunea specială 2023 (varianta 6) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2023 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Calculați termenul $a_3$ al progresiei aritmetice $(a_n{)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=10$ și $a_2=20$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+4$. Arătați că $f(0)+f(1)=10$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2(x-4)={\log }_{2}4$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Un produs costă $80$ de lei. Determinați prețul produsului după o ieftinire cu $20\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(0,2)$ și $N(3,6)$. Arătați că distanța dintre punctele $M$ și $N$ este egală cu $5$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și măsura unghiului $C$ egală cu $45^{\circ }$. Arătați că aria triunghiului $ABC$ este egală cu $8$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(a)=\left(\begin{array}{cc}a& a+3\\ -1& 2\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det (A(2))=9$.

b) (5 puncte) Arătați că $A(a)+A(-a)=2A(0)$, pentru orice număr real $a$.

c) (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det (A(a)\cdot A(-1)-a{I}_2)=0$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3+3X^2+mX-4$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $f(0)=-4$, pentru orice număr real $m$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$, știind că $-1$ este rădăcină a polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numerele naturale $m$ pentru care $x_1^2+x_2^2+x_3^2>5$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:(0,+\infty )\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+4+\ln x$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x}$, $x\in (0,+\infty )$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $f(x)\le \frac{11}{4}-\ln 2$, pentru orice $x\in (0,1]$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\left(-\frac{3}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $f(x)=e^x+\frac{6}{2x+3}$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{6}{2x+3}\right)dx=e\left(e^2-1\right)$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_{-1}^0\left(f(x)-e^x\right)dx=3\ln 3$.

c) (5 puncte) Arătați că suprafața plană delimitată de graficul funcției $g:\left(-\frac{3}{2},+\infty \right)\to \mathbb{R}$, $g(x)=\left(2x^2+3x\right)f(x)$, axa $Ox$ și dreptele de ecuații $x=0$ și $x=1$ are aria egală cu $2(e+1)$.

Barem și răspunsuri

Cele 90 p ale cerințelor și cele 10 p din oficiu fac 100 p. Primul subiect strânge șase cerințe de câte 5 p; la cerințele 7–10, fiecare subpunct de 5 p are două rânduri de punctaj. Un „(2 p)" sau „(3 p)" de mai jos corespunde unui rând din documentul oficial al sesiunii speciale 2023, varianta 6; textul soluțiilor este scris de noi.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică.

Rația este diferența a doi termeni vecini: $$r=a_2-a_1=20-10=10\text{(2 p)}.$$ Termenul al treilea se obține adăugând rația la al doilea: $$a_3=a_2+r=20+10=30\text{(3 p)}.$$

(Verificare: șirul $10,20,30$ crește din $10$ în $10$. Greșeală posibilă: se folosește formula $a_3=a_1+3r$ în loc de $a_1+2r$, adică $10+30=40$; sau progresia se tratează ca geometrică, cu rația $20:10=2$, și iese $a_3=20\cdot 2=40$.)

Exercițiul 2. (5 p) — valori ale unei funcții afine.

În $0$ termenul cu $x$ dispare, iar termenul liber rămâne: $$f(0)=0+4=4\text{(2 p)}.$$ Apoi $f(1)=2\cdot 1+4=6$, deci $$f(0)+f(1)=4+6=10\text{(3 p)}.$$

(Greșeală posibilă: $f(0)$ se omite din sumă, de parcă ar fi $0$, și rămâne doar $f(1)=6$; dar $f(0)=4$. Altă greșeală: se calculează $f(0+1)=f(1)=6$ în loc de suma celor două valori.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul există dacă $x-4>0$, adică $x>4$. Funcția ${\log }_2$ ia fiecare valoare o singură dată, deci argumentele sunt egale: $$x-4=4\text{(3 p)}.$$ De aici $x=8$, iar $8>4$, deci valoarea convine: $\mathbf{x}=8$ (2 p).

(Verificare: ${\log }_2(8-4)={\log }_{2}4$. Greșeală posibilă: se citește ecuația ca ${\log }_2(x-4)=4$ și iese $x-4=2^4=16$, adică $x=20$; sau $-4$ trece în membrul drept fără schimbarea semnului, $x=4-4=0$, valoare pentru care $x-4=-4<0$.)

Exercițiul 4. (5 p) — ieftinire procentuală.

Reducerea de preț reprezintă $20\%$ din cele $80$ de lei: $$\frac{20}{100}\cdot 80=16\text{lei}\text{(2 p)}.$$ Produsul costă după reducere $80-16=64$ de lei (3 p).

(Altă cale: rămân $80\%$ din preț, iar $\frac{80}{100}\cdot 80=64$. Greșeală posibilă: se scad $20$ de lei în loc de $20\%$, adică $80-20=60$; sau se adaugă ieftinirea la preț, $80+16=96$.)

Exercițiul 5. (5 p) — distanța dintre două puncte.

Pentru $M(0,2)$ și $N(3,6)$, diferențele coordonatelor sunt $3-0=3$ și $6-2=4$: $$MN=\sqrt{(3-0{)}^2+(6-2{)}^2}=\sqrt{9+16}\text{(3 p)}.$$ Rezultă $MN=\sqrt{25}=5$ (2 p).

(Verificare: $3^2+4^2=5^2$, deci $MN$ este ipotenuza unui triunghi dreptunghic cu catetele $3$ și $4$. Greșeală posibilă: se adună coordonatele în loc de diferențe, $\sqrt{(0+3{)}^2+(2+6{)}^2}=\sqrt{73}$; sau se uită rădăcina și se scrie $9+16=25$.)

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic.

Unghiurile ascuțite ale unui triunghi dreptunghic însumează $90^{\circ }$, deci $\angle B=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$. Triunghiul are două unghiuri egale, deci catetele sunt egale: $$AC=AB=4\text{(3 p)}.$$ Aria este jumătate din produsul catetelor: $$\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{4\cdot 4}{2}=8\text{(2 p)}.$$

(Verificare: tangenta unghiului $C$ este $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{4}=1=\mathrm{tg}45^{\circ }$. Greșeală posibilă: se uită împărțirea la $2$ și iese $4\cdot 4=16$, dublul ariei; sau se ia $AC=4\sqrt{2}$, lungimea ipotenuzei $BC$, și iese $\frac{4\cdot 4\sqrt{2}}{2}=8\sqrt{2}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice $2\times 2$ cu parametru.

a) (5 p) Pentru $a=2$ se obține $a+3=5$, deci $$A(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 5\\ -1& 2\end{array}\right),\det (A(2))=2\cdot 2-5\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ $$\det (A(2))=4+5=9\text{(2 p)}.$$

(Greșeală posibilă: se scrie $2\cdot 2-5\cdot 1$, fără semnul lui $-1$, și iese $4-5=-1$ în loc de $4+5=9$.)

b) (5 p) În $A(-a)$ se înlocuiește $a$ cu $-a$, iar $a+3$ devine $-a+3$: $$A(a)+A(-a)=\left(\begin{array}{cc}a& a+3\\ -1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}-a& -a+3\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 6\\ -2& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte $A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 2\end{array}\right)$, deci $$A(a)+A(-a)=2\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 2\end{array}\right)=2A(0)\text{(2 p)}.$$

(Greșeală posibilă: în $A(-a)$ se schimbă semnul și la elementele constante, $-1$ și $2$, iar suma ar avea $0$ pe a doua linie; dar $-1$ și $2$ nu depind de $a$.)

c) (5 p) Se calculează $A(-1)=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ -1& 2\end{array}\right)$ și produsul $$A(a)\cdot A(-1)=\left(\begin{array}{cc}-2a-3& 4a+6\\ -1& 2\end{array}\right).$$ Scăzând $a{I}_2$, diagonala principală pierde $a$ din fiecare element: $$A(a)\cdot A(-1)-a{I}_2=\left(\begin{array}{cc}-3a-3& 4a+6\\ -1& 2-a\end{array}\right),\det =(-3a-3)(2-a)+(4a+6)=3a^2+a\text{(3 p)}.$$ Ecuația $3a^2+a=0$ se scrie $a(3a+1)=0$, deci $\mathbf{a}=0$ sau $\mathbf{a}=-\frac{1}{3}$ (2 p).

(Verificare pentru $a=0$: matricea este $\left(\begin{array}{cc}-3& 6\\ -1& 2\end{array}\right)$, cu liniile proporționale, deci determinantul este $-6+6=0$. Greșeală posibilă: $a{I}_2$ se scade din toate elementele matricei, nu doar din cele de pe diagonala principală; atunci elementul din colțul dreapta sus ar deveni $4a+6-a$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X$ cu $0$ în $f=X^3+3X^2+mX-4$: $$f(0)=0^3+3\cdot 0^2+m\cdot 0-4\text{(3 p)}.$$ Primii trei termeni sunt nuli, deci $f(0)=-4$ pentru orice $m$ (2 p).

(Valoarea în $0$ este termenul liber. Greșeală posibilă: se scrie $m\cdot 0=m$ și iese $f(0)=m-4$, o expresie care depinde de $m$.)

b) (5 p) Se calculează valoarea în $-1$: $$f(-1)=(-1{)}^3+3\cdot (-1{)}^2+m\cdot (-1)-4=-1+3-m-4=-m-2\text{(2 p)}.$$ Dacă $-1$ este rădăcină, $f(-1)=0$, adică $-m-2=0$, deci $\mathbf{m}=-2$ (3 p).

(Verificare: pentru $m=-2$, $f=X^3+3X^2-2X-4$ și $f(-1)=-1+3+2-4=0$. Greșeală posibilă: se verifică $f(1)=0$ în loc de $f(-1)=0$; atunci $1+3+m-4=0$ dă $m=0$, iar pentru acest $m$, $f(-1)=-2\ne 0$.)

c) (5 p) Polinomul are coeficientul dominant $1$: suma rădăcinilor este opusul coeficientului lui $X^2$, iar suma produselor câte două este coeficientul lui $X$: $$x_1+x_2+x_3=-3,x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=m.$$ Pătratul sumei rădăcinilor este suma pătratelor lor plus dublul sumei produselor câte două, deci $$x_1^2+x_2^2+x_3^2=(-3{)}^2-2m=9-2m\text{(3 p)}.$$ Inegalitatea $9-2m>5$ înseamnă $m<2$. Numerele naturale mai mici decât $2$ sunt $0$ și $1$, deci $\mathbf{m}\in \{0,1\}$ (2 p).

(Verificare pentru $m=1$: $9-2=7>5$. Pentru $m=2$ suma pătratelor este $9-4=5$, care nu este mai mare decât $5$, deci $m=2$ nu convine. Greșeală posibilă: suma pătratelor se confundă cu pătratul sumei, $(-3{)}^2=9$, fără termenul $-2m$; atunci inegalitatea $9>5$ ar fi adevărată pentru orice $m$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, tangentă, majorare.

a) (5 p) Se derivează termen cu termen, cu $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$: $$f^{\prime }(x)=2x-3+\frac{1}{x}\text{(3 p)}.$$ Aducând la numitorul $x$ obținem $\frac{2x^2-3x+1}{x}$, iar numărătorul se descompune, $2x^2-3x+1=(2x-1)(x-1)$: $$f^{\prime }(x)=\frac{(2x-1)(x-1)}{x},x\in (0,+\infty )\text{(2 p)}.$$

(Verificare: produsul $(2x-1)(x-1)=2x^2-2x-x+1=2x^2-3x+1$. Greșeală posibilă: derivata lui $\ln x$ se ia $\ln x$ sau $x$; sau $-3x$ se derivează în $-3x$, fără să dispară $x$.)

b) (5 p) Valorile în $x=1$ sunt $$f(1)=1-3+4+\ln 1=2,f^{\prime }(1)=\frac{(2-1)(1-1)}{1}=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei este $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, adică $y-2=0$: $$\mathbf{y}=2\text{(3 p)}.$$

(Tangenta este orizontală, fiindcă derivata e nulă. Greșeală posibilă: se scrie $y=f^{\prime }(1)(x-1)$, fără $f(1)$, și iese $y=0$; dar punctul de tangență este $(1,2)$, nu $(1,0)$.)

c) (5 p) Din a), $f^{\prime }(x)=0$ pentru $x=\frac{1}{2}$ și $x=1$; numitorul $x$ este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este semnul produsului $(2x-1)(x-1)$:

• pentru $x\in \left(0,\frac{1}{2}\right]$ ambii factori sunt $\le 0$, deci $f^{\prime }\ge 0$ și $f$ crește pe $\left(0,\frac{1}{2}\right]$;
• pentru $x\in \left[\frac{1}{2},1\right]$, factorul $2x-1\ge 0$ și $x-1\le 0$, deci $f^{\prime }\le 0$ și $f$ descrește pe $\left[\frac{1}{2},1\right]$ (3 p).

Maximul pe $(0,1]$ este atins în $\frac{1}{2}$, deci $f(x)\le f\left(\frac{1}{2}\right)$, iar $$f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{4}-\frac{3}{2}+4+\ln \frac{1}{2}=\frac{11}{4}-\ln 2.$$ Rezultă $\mathbf{f}(\mathbf{x})\le \frac{11}{4}-\ln 2$ pentru orice $x\in (0,1]$ (2 p).

(Verificare numerică: $f\left(\frac{1}{2}\right)\approx 2,06$, iar $f(1)=2$, care este mai mic. Greșeală posibilă: se compară valorile în capetele $0$ și $1$ ale intervalului; dar $0$ nu aparține domeniului, iar maximul e în interior, în $\frac{1}{2}$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și arie.

a) (5 p) Diferența de sub integrală este chiar exponențiala: $f(x)-\frac{6}{2x+3}=e^x$. Atunci $${\int }_1^3\left(f(x)-\frac{6}{2x+3}\right)dx={\int }_1^3{e}^{x}dx=e^x{|}_1^3\text{(3 p)}.$$ $$=e^3-e=\mathbf{e}\left({\mathbf{e}}^2-1\right)\text{(2 p)}.$$

(Greșeală posibilă: regula primitivei unei puteri a lui $x$ se aplică și lui $e^x$, ca și cum $x$ ar fi la bază; dar $x$ stă în exponent, iar o primitivă a lui $e^x$ este $e^x$ însuși.)

b) (5 p) Acum diferența este fracția: $f(x)-e^x=\frac{6}{2x+3}=3\cdot \frac{(2x+3{)}^{\prime }}{2x+3}$, deci o primitivă este $3\ln (2x+3)$, definită pe $[-1,0]$, unde $2x+3\ge 1>0$: $${\int }_{-1}^0\frac{6}{2x+3}dx=3\ln (2x+3){|}_{-1}^0\text{(3 p)}.$$ $$=3\left(\ln 3-\ln 1\right)=3\ln 3\text{(2 p)}.$$

(Verificare: derivata lui $3\ln (2x+3)$ este $3\cdot \frac{2}{2x+3}=\frac{6}{2x+3}$. Greșeală posibilă: factorul $2$ din $(2x+3{)}^{\prime }=2$ se uită și primitiva se ia $6\ln (2x+3)$, care dă $6\ln 3$, dublul rezultatului corect.)

c) (5 p) Se înlocuiește $f$ și se folosește $2x^2+3x=x(2x+3)$: $$g(x)=\left(2x^2+3x\right)e^x+\left(2x^2+3x\right)\frac{6}{2x+3}=\left(2x^2+3x\right)e^x+6x.$$ Pe $[0,1]$ ambii termeni sunt pozitivi sau nuli, deci $g\ge 0$ și aria este integrala lui $g$. Pentru primul termen, o primitivă este $\left(2x^2-x+1\right)e^x$ (două integrări prin părți, $P-P^{\prime }+P^{\prime \prime }$ cu $P=2x^2+3x$), iar pentru al doilea, $3x^2$: $$\mathcal{A}={\int }_0^{1}g(x)dx=[\left(2x^2-x+1\right)e^x+3x^2{]}_0^1\text{(3 p)}.$$ Valoarea în $1$ este $2e+3$, iar în $0$ este $1$, deci $$\mathcal{A}=(2e+3)-1=2e+2=2(\mathbf{e}+1)\text{(2 p)}.$$

(Verificare: derivata lui $\left(2x^2-x+1\right)e^x$ este $(4x-1)e^x+\left(2x^2-x+1\right)e^x=\left(2x^2+3x\right)e^x$. Documentul oficial scrie $\mathcal{A}={\int }_0^1|g(x)|dx={\int }_0^{1}g(x)dx$ fără să spună de ce modulul dispare; la noi motivul e pozitivitatea lui $g$ pe $[0,1]$. Greșeală posibilă: se integrează produsul ca produs de primitive, $\left(\frac{2x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}\right)e^x$; cum această primitivă greșită se anulează în $0$, integrala primului termen ar ieși $\frac{13}{6}e\approx 5,89$, nu $2e-1\approx 4,44$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina cuprinde lucrarea de matematică M_tehnologic din sesiunea specială 2023 a Bacalaureatului, varianta 6, cu cele zece cerințe rezolvate. Foaia a fost scrisă de absolvenți ai filierei tehnologice, din oricare dintre cele trei profiluri: servicii, resurse naturale și protecția mediului ori tehnic. În acte, disciplina se numește Matematică M_tehnologic, iar printre elevi circulă numele „M3". În antet apar, pe rând, Ministerul Educației și Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile reproduc foaia cuvânt cu cuvânt, cu punctuația ei. Rezolvările, verificările și observațiile sunt ale noastre; din documentul de evaluare am preluat doar cum se desparte punctajul pe rânduri.

Lucrarea se împarte în trei subiecte egale, de câte 30 de puncte, la care se adaugă 10 puncte din oficiu; durata efectivă este de 180 de minute, iar nota este totalul împărțit la zece. Primul subiect adună șase cerințe scurte, valorând 5 puncte fiecare. Fiecare dintre celelalte două cuprinde câte o problemă despre matrice sau polinoame și câte una despre funcții, iar cele patru probleme au trei subpuncte de 5 puncte. Un subpunct se desparte în două rânduri de punctaj, iar rândurile apar în rezolvări ca „(2 p)" sau „(3 p)".

Harta celor zece cerințe

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Programele școlare noi pentru clasele a XI-a și a XII-a tehnologic se aplică abia din 2028–2029 la clasa a XI-a și din 2029–2030 la clasa a XII-a, iar conținutul lor diferă de cel al programei de examen.

Ce deosebește varianta 6. Cerința 3 cere verificarea soluției pe domeniul logaritmului, $x-4>0$. La 7.c) din produsul de matrice se scade și $a{I}_2$, iar determinantul iese un trinom de gradul al doilea în $a$, fără termen liber, rezolvat prin factor comun. La 8.c) rădăcinile nu se calculează: suma pătratelor lor vine din relațiile lui Viète. La 9.c) maximul de pe $(0,1]$ se află din semnul derivatei. La cerința 10, fracția $\frac{6}{2x+3}$ dispare în subpunctul a) și rămâne singură în b); în c), factorul $2x^2+3x=x(2x+3)$ o simplifică.

Timp și notă. Cu 12 minute rezervate recitirii, rămân 168 de minute pentru 90 de puncte, aproape două minute pe punct. Primul subiect se rezolvă mai repede, iar surplusul merge spre subpunctele c). Dacă strângi 58 de puncte din cerințe, totalul cu cele 10 din oficiu este 68, deci nota 6,8.

Sugestie de lucru. Rezolvă pe hârtie, apoi compară rând cu rând: un rând de 2 sau 3 puncte pe care nu-l ai arată exact unde s-a oprit raționamentul. Dacă îți lipsesc rânduri din Subiectul I, reia materia claselor a IX-a și a X-a din hartă; dacă îți lipsesc subpunctele c), reia 7.c), 8.c) și 9.c).

Formulele variantei 6

• Subiectul I. într-o progresie aritmetică, un termen se obține din precedentul adăugând rația; doi logaritmi în aceeași bază, cu argumente pozitive, sunt egali exact când argumentele sunt egale; $p\%$ din $S$ este $\frac{p}{100}\cdot S$; distanța dintre două puncte este rădăcina pătrată a sumei pătratelor diferențelor coordonatelor lor; un triunghi dreptunghic cu un unghi de $45^{\circ }$ are catetele egale.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)=ps-qr$; matricele se adună și se înmulțesc cu un scalar element cu element; pentru $X^3+b{X}^2+cX+d$, suma rădăcinilor este $-b$, iar suma produselor lor câte două este $c$; pătratul sumei rădăcinilor este suma pătratelor lor plus dublul sumei produselor câte două.
• Subiectul al III-lea. $(\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$; tangenta în abscisa $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; $\int \frac{u^{\prime }}{u}dx=\ln |u|$; $\int P(x)e^{x}dx=(P-P^{\prime }+P^{\prime \prime })e^x$ pentru un polinom $P$ de gradul $2$; aria dintre o curbă pozitivă și axa $Ox$ este integrala funcției.

Notații. În rezolvări, „itemul" înseamnă cerința, cu numele pe care îl are în documentul oficial. Litera $f$ ține loc de patru obiecte diferite: funcția afină de la 2, polinomul de la 8, funcția cu logaritm de la 9 și cea cu exponențială de la 10. Litera $A$ înseamnă matricea de la 7 și un vârf al triunghiului de la 6.