Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2023 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2023 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=0$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+2$, și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x^2+2$. Determinați numerele naturale $n$ pentru care $f(n)\ge g(n)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2+{\log }_3(2x-1)={\log }_{3}27$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este de $150$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce se scumpește de două ori, succesiv, cu câte $20\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$ și $M(3,6)$. Determinați coordonatele punctului $B$, știind că punctul $M$ este mijlocul segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin 60^{\circ }-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \cos 30^{\circ }\cdot \cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y-4$.

1. (5 puncte) Arătați că $2\ast (-2)=-4$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

3. (5 puncte) Arătați că $1\ast 2\ast 3\ast 4\ast 5\ast 6>0$.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast x\ast x=(x+1)\ast x$.

5. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^x\ast 2^x=2$.

6. (5 puncte) Arătați că $x^2\ast \frac{1}{x^2}\ge -2$, pentru orice număr real nenul $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& -1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=-1$.

2. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A-B\cdot B=O_2$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $\det \left(A\cdot A-x{I}_2\right)=0$.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A-B-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 1& -2\end{array}\right)$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det \left(a(A+B)\right)=-6$.

6. (5 puncte) Rezolvați în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $A\cdot X=B$.

Barem și răspunsuri

Fiecare cerință valorează 5 puncte, împărțite între cele două etape ale rezolvării; mărimea etapei, 2 p sau 3 p, stă îngroșată în urma ei. Etapele urmează ordinea rândurilor din foaia oficială, iar rezultatele finale sunt scrise îngroșat.

Exercițiul 1. (5 p) — calculul unor radicali.

Fiecare radical se calculează separat: $\sqrt{25}=5$ fiindcă $5^2=25$, $\sqrt{64}=8$ fiindcă $8^2=64$ și $\sqrt{169}=13$ fiindcă $13^2=169$. Prin urmare $$\sqrt{25}+\sqrt{64}-\sqrt{169}=5+8-13\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni dau $5+8=13$, iar $13-13=0$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — inegalitate între două funcții, în numere naturale.

Valorile celor două funcții în $n$ sunt $f(n)=2n+2$ și $g(n)=n^2+2$, așa că cerința $f(n)\ge g(n)$ înseamnă $$2n+2\ge n^2+2\text{(2 p)}.$$ Scăzând $2$ din ambii membri se obține $2n\ge n^2$. Pentru $n=0$ inegalitatea este $0\ge 0$, adevărată. Pentru $n\ge 1$ se poate împărți la $n$, număr pozitiv, și rămâne $2\ge n$. Valorile naturale posibile sunt deci $0$, $1$ și $2$; pentru valoarea $3$ a lui $n$, de pildă, dublul lui $n$ este $6$, iar pătratul lui $n$ este $9$, deci inegalitatea nu se verifică. Răspunsul: $\mathbf{n}\in \{0,1,2\}$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Deoarece $27=3^3$, avem ${\log }_{3}27=3$, iar ecuația devine $2+{\log }_3(2x-1)=3$. Trecând pe $2$ în dreapta, ${\log }_3(2x-1)=3-2=1$, ceea ce, prin definiția logaritmului, înseamnă $$2x-1=3^1=3\text{(3 p)}.$$ De aici $2x=4$ și $x=2$. Logaritmul există numai când argumentul este pozitiv; la $x=2$ argumentul este $2\cdot 2-1=3>0$, iar $2+{\log }_{3}3=3={\log }_{3}27$. Deci $\mathbf{x}=2$ este soluție, care convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două scumpiri succesive.

Prima scumpire adaugă $20\%$ din $150$ de lei, adică $\frac{20}{100}\cdot 150=30$ de lei, deci obiectul ajunge, în lei, la $$150+\frac{20}{100}\cdot 150=180\text{(2 p)}.$$ A doua scumpire se calculează din prețul de acum, $180$ de lei: $\frac{20}{100}\cdot 180=36$, iar prețul final este $180+36=216$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment în reper.

Coordonatele mijlocului unui segment sunt semisumele coordonatelor capetelor. Pentru $B(x_B,y_B)$, capătul $A(0,4)$ și mijlocul $M(3,6)$: $$3=\frac{0+x_B}{2},6=\frac{4+y_B}{2}\text{(3 p)}.$$ Prima ecuație dă $0+x_B=6$, deci $x_B=6$; a doua dă $4+y_B=12$, deci $y_B=8$. Punctul căutat este $\mathbf{B}(6,8)$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — expresie cu valori de sinus și cosinus.

Valorile din tabelul valorilor trigonometrice sunt $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos 30^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (3 p). Se înlocuiește în expresie. Primul produs este $\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}$, fiindcă $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$. În al doilea, $\sqrt{3}$ se simplifică: $\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}$, apoi $\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$. Deci $$\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea ei pe o pereche.

În definiția $x\ast y=x+y-4$ se pune $x=2$ și $y=-2$: $$2\ast (-2)=2+(-2)-4\text{(3 p)}.$$ Suma $2+(-2)$ este $0$, așa că rezultatul este $0-4=-4$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: asociativitatea.

Asociativitatea înseamnă că $(x\ast y)\ast z=x\ast (y\ast z)$ pentru orice $x,y,z\in \mathbb{R}$, deci se calculează separat cele două grupări. În prima, $x\ast y=x+y-4$ și $$(x\ast y)\ast z=(x+y-4)\ast z=(x+y-4)+z-4=x+y+z-8\text{(2 p)}.$$ În a doua, $y\ast z=y+z-4$ și $$x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z-4)=x+(y+z-4)-4=x+y+z-8.$$ Cele două rezultate sunt egale, pentru orice trei numere reale $x$, $y$, $z$; deci legea este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: un șir de șase compuneri.

Legea este asociativă (se arată la cerința precedentă), deci cele șase numere pot fi grupate oricum fără să se schimbe rezultatul; le grupăm câte trei. În primul grup, $1\ast 2=1+2-4=-1$ și $(-1)\ast 3=-1+3-4=-2$. În al doilea, $4\ast 5=4+5-4=5$ și $5\ast 6=5+6-4=7$. Rezultă $$(1\ast 2\ast 3)\ast (4\ast 5\ast 6)=(-2)\ast 7\text{(3 p)}.$$ Ultima compunere dă $(-2)\ast 7=-2+7-4=1$, iar $1>0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: o ecuație cu trei și doi operanzi.

Pentru orice $x$ real, $x\ast x=x+x-4=2x-4$. Legea fiind asociativă, gruparea nu contează: compunând încă o dată cu $x$ se adaugă $x$ și se scade $4$, deci $x\ast x\ast x=3x-8$. Pe de altă parte, $(x+1)\ast x=x+1+x-4=2x-3$. Așadar $x\ast x\ast x=3x-8$ și $(x+1)\ast x=2x-3$ (2 p). Egalitatea din enunț devine ecuația $3x-8=2x-3$. Se grupează termenii cu $x$ în stânga: $3x-2x=8-3$, deci $\mathbf{x}=5$ (3 p). Verificare: $3\cdot 5-8=7=2\cdot 5-3$.

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: ecuație exponențială.

Primul operand este $4^x$, al doilea $2^x$, deci, pentru orice $x$ real, $$4^x\ast 2^x=4^x+2^x-4\text{(2 p)}.$$ Ecuația dată, $4^x\ast 2^x=2$, devine prin înlocuire $4^x+2^x-6=0$. Cum $4=2^2$, puterea $4^x$ este pătratul lui $2^x$; cu notația $t=2^x$ ecuația devine $t^2+t-6=0$, adică $(t-2)(t+3)=0$; revenind la $x$: $$\left(2^x-2\right)\left(2^x+3\right)=0.$$ Factorul $2^x+3$ este mai mare decât $3$, pentru că $2^x>0$, deci nu se anulează. Rămâne $2^x-2=0$, adică $2^x=2^1$, iar $\mathbf{x}=1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o inegalitate pentru orice $x$ nenul.

Pentru $x\ne 0$, definiția legii dă $x^2\ast \frac{1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}-4$. Inegalitatea cerută, $x^2+\frac{1}{x^2}-4\ge -2$, este echivalentă, pentru orice real nenul $x$, cu inegalitatea obținută adunând $2$ la ambii membri: $$x^2+\frac{1}{x^2}-2\ge 0\text{(2 p)}.$$ Pătratul unei diferențe dă ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2=x^2-2\cdot x\cdot \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=x^2-2+\frac{1}{x^2}$. Membrul stâng al inegalității echivalente este deci ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2$, un pătrat, care nu este niciodată negativ. Așadar ${\left(x-\frac{1}{x}\right)}^2\ge 0$ și, prin echivalență, $x^2\ast \frac{1}{x^2}\ge -2$ pentru orice real nenul $x$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinantul de ordinul doi.

La o matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ determinantul este $ad-bc$, adică produsul elementelor de pe diagonala principală minus produsul celor de pe cealaltă. Pentru $A$: $$\det A=1\cdot (-1)-0\cdot 1\text{(3 p)}.$$ Rămâne $-1-0=-1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: două produse egale.

La produsul a două matrice, locul $(i,j)$ primește suma produselor dintre elementele liniei $i$ a primului factor și cele ale coloanei $j$ a celui de-al doilea: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot 1& 1\cdot 0+0\cdot (-1)\\ 1\cdot 1+(-1)\cdot 1& 1\cdot 0+(-1)\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Același procedeu pentru $B$: $$B\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+2\cdot 0& 1\cdot 2+2\cdot (-1)\\ 0\cdot 1+(-1)\cdot 0& 0\cdot 2+(-1)\cdot (-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right).$$ Ambele produse sunt $I_2$, deci $A\cdot A-B\cdot B=I_2-I_2=O_2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: determinantul unei diferențe.

Produsul $A\cdot A$ este $I_2$: elementele lui sunt $1\cdot 1+0\cdot 1=1$, $1\cdot 0+0\cdot (-1)=0$, $1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0$ și $1\cdot 0+(-1)\cdot (-1)=1$. Cum $x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right)$, diferența se face element cu element: $$A\cdot A-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1-x& 0\\ 0& 1-x\end{array}\right),\det \left(A\cdot A-x{I}_2\right)=(1-x)(1-x)-0\cdot 0=(1-x{)}^2\text{(3 p)},$$ pentru orice $x$ real. Ecuația $(1-x{)}^2=0$ cere $1-x=0$, deci $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: egalitate de matrice.

Diferența $A-B$ se face pe elemente: $\left(\begin{array}{cc}1-1& 0-2\\ 1-0& -1-(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -2\\ 1& 0\end{array}\right)$. Scăzând și $x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right)$, se obține $$A-B-x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}-x& -2\\ 1& -x\end{array}\right)\text{(3 p)},$$ pentru orice $x$ real. Două matrice sunt egale când elementele de pe aceleași locuri sunt egale. Aici $-2=-2$ și $1=1$ sunt adevărate, iar pe diagonală $-x=-2$; deci $\mathbf{x}=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: determinantul unui multiplu.

Suma se face pe elemente: $A+B=\left(\begin{array}{cc}1+1& 0+2\\ 1+0& -1+(-1)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& -2\end{array}\right)$. Înmulțirea cu $a$ se aplică fiecărui element, deci $a(A+B)=\left(\begin{array}{cc}2a& 2a\\ a& -2a\end{array}\right)$ și $$\det \left(a(A+B)\right)=2a\cdot (-2a)-2a\cdot a=-4a^2-2a^2=-6a^2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-6a^2=-6$ dă $a^2=1$, deci $\mathbf{a}=-1$ sau $\mathbf{a}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: ecuația $A\cdot X=B$.

Produsul $A\cdot A$ este $I_2$ (elementele: $1\cdot 1+0\cdot 1=1$, $1\cdot 0+0\cdot (-1)=0$, $1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0$, $1\cdot 0+(-1)\cdot (-1)=1$), deci $A$ este inversabilă și $A^{-1}=A$. Se înmulțește ecuația la stânga cu $A^{-1}=A$ (matricea $X$ stă în dreapta lui $A$, iar produsul de matrice nu este comutativ): $A^{-1}\cdot (A\cdot X)=A^{-1}\cdot B$, adică $I_2\cdot X=A\cdot B$, deci $$X=A\cdot B\text{(3 p)}.$$ Elementele produsului sunt $1\cdot 1+0\cdot 0=1$, $1\cdot 2+0\cdot (-1)=2$, $1\cdot 1+(-1)\cdot 0=1$ și $1\cdot 2+(-1)\cdot (-1)=3$, așadar $$X=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 1& 3\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

Pentru părinți și profesori

Aici este rezolvată varianta 1 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, sesiunea iunie 2023, dată la specializarea învățător-educatoare din filiera vocațională, profilul pedagogic. Lucrarea durează trei ore și are 18 cerințe de câte 5 puncte, adică 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt cele din foaia oficială, iar rezolvările sunt scrise de Matepolis și merg etapă cu etapă pe rândurile baremului.

Cum este alcătuită lucrarea. Subiectul I cuprinde șase cerințe fără legătură între ele: o expresie cu trei radicali, o inegalitate între valorile a două funcții în numere naturale, o ecuație cu logaritm, două scumpiri succesive, mijlocul unui segment în reper și o expresie cu valori de sinus și cosinus. Subiectul al II-lea este o singură problemă, construită pe legea de compoziție $x\ast y=x+y-4$ definită pe $\mathbb{R}$. Subiectul al III-lea este tot o problemă unică: pornește de la matricele $A$ și $B$ de ordinul doi și ajunge la ecuația $A\cdot X=B$ în mulțimea ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.

Unde se așază în programă. Programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014) așază în clasa a IX-a funcțiile de gradul întâi și al doilea, trigonometria triunghiului dreptunghic și reperul cartezian, iar în clasa a X-a radicalii, logaritmii, ecuațiile logaritmice, procentele și coordonatele punctelor. Legile de compoziție aparțin clasei a XI-a, iar matricele, determinanții și ecuațiile matriceale, clasei a XII-a. Pentru problema cu legea se poate reciti Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru, iar pentru ecuația cu matrice, Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Greșeli frecvente, cu dovada lor.

• Exercițiul 2: dacă $2n\ge n^2$ se împarte la $n$, se pierde $n=0$, pentru care inegalitatea este $0\ge 0$ și e adevărată; pe de altă parte, pentru $n=3$ numărul $2n$ este $6$, mai mic decât $n^2=9$, așa că mulțimea nu continuă după $2$.
• Exercițiul 3: dacă termenul $2$ ar fi ignorat și s-ar egala argumentele, s-ar obține $x=14$; dar pentru $x=14$ stânga ecuației este $2+{\log }_{3}27=5$, iar dreapta este $3$.
• Exercițiul 4: cele două scumpiri de câte $20\%$ nu se adună în $40\%$; ar ieși $150+\frac{40}{100}\cdot 150=210$, deși a doua scumpire se calculează din $180$ de lei și dă $216$.
• Cerința II.2: o verificare pe numerele $1$, $2$, $3$ nu dovedește asociativitatea, chiar dacă ambele grupări dau acolo $-2$; calculul trebuie făcut pentru $x$, $y$, $z$ oarecare.
• Cerința II.3: între șase numere sunt cinci compuneri, deci constanta $-4$ se scade de cinci ori: $1+2+3+4+5+6-4\cdot 5=1$; cu șase scăderi s-ar obține $21-24=-3$, valoare care ar contrazice cerința.
• Cerința II.5: factorul $2^x+3$ nu se anulează, deoarece $2^x>0$; valoarea $x=-3$ nu verifică ecuația inițială, pentru că $4^{-3}+2^{-3}-4$ este un număr negativ, diferit de $2$.
• Cerința III.2: ridicarea la pătrat a fiecărui element al lui $A$ dă $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 1\end{array}\right)$, dar produsul $A\cdot A$ are în stânga jos $1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0$, nu $1$.
• Cerința III.3: determinantul matricei $I_2-x{I}_2$ este $(1-x{)}^2$ și nu $1-x^2$; pentru $x=2$ prima expresie are valoarea $1$, a doua $-3$.
• Cerința III.6: ecuația $A\cdot X=B$ dă $X=A\cdot B$, matrice cu elementele $1$, $2$, $1$, $3$; produsul în ordine inversă, $B\cdot A$, are elementele $3$, $-2$, $-1$, $1$ și nu verifică ecuația.

Despre litere. În Subiectul I, $x$ din formulele lui $f$ și $g$ (a doua cerință) este doar variabila funcțiilor, $n$ din aceeași cerință este numărul natural căutat, iar $x$ din ecuația cu logaritm este necunoscuta ei; în rezolvarea problemei cu mijlocul segmentului, $x_B$ și $y_B$ sunt coordonatele lui $B$. În problema cu legea, $x$ și $y$ din definiția ei, literele $x$, $y$, $z$ din cerința despre asociativitate și $x$ din ultima cerință (cu $x\ne 0$) sunt numere reale oarecare, pe când $x$ din celelalte două ecuații este necunoscuta. În problema cu matrice, $x$ din cele două cerințe în care apare $x{I}_2$ este scalarul căutat; $a$ din penultima cerință este scalarul care înmulțește suma $A+B$ și este și el căutat; $X$ din ultima cerință este matricea necunoscută. În rezolvarea ecuației exponențiale, $t$ este doar notația ajutătoare pentru $2^x$.