Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2022 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2022 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{18}+\sqrt{8}=5\sqrt{2}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)-f(2)=12$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

După o reducere cu $20\%$ prețul unui obiect scade cu $28$ de lei. Determinați prețul inițial al obiectului.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $4^{2x-1}=64$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctul $A(2,3)$ și dreapta $d$ de ecuație $y=2x+1$. Determinați ecuația dreptei ce trece prin punctul $A$ și este perpendiculară pe dreapta $d$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$ cu măsura unghiului $B$ de $30^{\circ }$ și $BC=10$. Calculați aria triunghiului $ABC$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3$.

1. (5 puncte) Arătați că $1\ast 0=3$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\ast x=\sqrt{3}$.

4. (5 puncte) Arătați că $e=\sqrt{3}+1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

5. (5 puncte) Arătați că $\sqrt{3}\ast x=\sqrt{3}$, pentru orice număr real $x$.

6. (5 puncte) Determinați numărul natural $n$ pentru care $\sqrt{3}\ast \sqrt{4}\ast \sqrt{5}\ast \dots \ast \sqrt{2022}=\sqrt{n}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $\det (A)=1$.

2. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A-2A=-I_2$.

3. (5 puncte) Arătați că $A\cdot B=B\cdot A=I_2$.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\det (A-a{I}_2)=0$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det (m(A+B))=m\cdot \det (A+B)$.

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$, știind că $xA+yB=2I_2$.

Barem și răspunsuri

Fiecare soluție de mai jos urmează rândurile foii de evaluare, iar punctele rândului stau îngroșate la sfârșitul lui. Rândurile sunt de 2 sau 3 puncte și se asociază câte două într-o cerință de 5 puncte; adunate, cele 18 cerințe dau 90 de puncte, iar oficiul adaugă cele 10 puncte rămase până la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — doi radicali aduși la același radicand.

Sub fiecare radical se caută cel mai mare pătrat perfect care îl divide. Pentru $18$ este $9$: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$ (2 p). Pentru $8$ este $4$: $\sqrt{8}=\sqrt{4\cdot 2}=2\sqrt{2}$. Ambii radicali au acum radicandul $2$, așa că se adună coeficienții: $3\sqrt{2}+2\sqrt{2}=(3+2)\sqrt{2}=5\sqrt{2}$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — valorile unei funcții de gradul întâi.

În punctul $a$ funcția are valoarea $f(a)=3a-2$, iar în $2$ are $f(2)=3\cdot 2-2=4$ (2 p). Diferența $f(a)-f(2)$ este $(3a-2)-4=3a-6$, iar condiția din enunț dă $3a-6=12$. De aici $3a=18$, deci $\mathbf{a}=6$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — reducere de preț.

Fie $x$ prețul inițial, în lei. O reducere de $20\%$ înseamnă $\frac{20}{100}$ din $x$, iar enunțul precizează că reducerea este de $28$ de lei: $$\frac{20}{100}\cdot x=28\text{(3 p)}.$$ Fracția $\frac{20}{100}$ este $\frac{1}{5}$, deci $\frac{x}{5}=28$ și $x=5\cdot 28=140$ de lei (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — ecuație exponențială cu baza $4$.

Numărul $64$ este $4\cdot 4\cdot 4=4^3$, așa că ambii membri sunt puteri ale lui $4$: $$4^{2x-1}=4^3\text{(2 p)}.$$ Funcția $t\mapsto 4^t$ nu atinge aceeași valoare în două puncte diferite, deci exponenții coincid: $2x-1=3$. Rezultă $2x=4$ și $\mathbf{x}=2$ (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — perpendiculara dusă dintr-un punct pe o dreaptă.

Dreapta $d$ are ecuația $y=2x+1$, deci panta ei este $m_d=2$. Pantele a două drepte perpendiculare (niciuna verticală) au produsul $-1$, așa că perpendiculara căutată are panta $-\frac{1}{2}$ (2 p). Dreapta de pantă $-\frac{1}{2}$ prin $A(2,3)$ are ecuația $y-3=-\frac{1}{2}(x-2)$, adică $y=-\frac{1}{2}x+1+3$: $$y=-\frac{1}{2}\mathbf{x}+4\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 6. (5 p) — aria unui triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$.

Cateta $AC$ stă în fața unghiului $B$, deci $AC=BC\cdot \sin 30^{\circ }=10\cdot \frac{1}{2}=5$. Pentru $AB$ se aplică teorema lui Pitagora: $A{B}^2=B{C}^2-A{C}^2=100-25=75$, deci $AB=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$ (3 p). Aria este semiprodusul catetelor: $${\mathcal{A}}_{ABC}=\frac{AC\cdot AB}{2}=\frac{5\cdot 5\sqrt{3}}{2}=\frac{25\sqrt{3}}{2}\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea pentru o pereche.

În definiția legii se pun $x=1$ și $y=0$: $$1\ast 0=1\cdot 0-\sqrt{3}(1+0)+\sqrt{3}+3\text{(2 p)}.$$ Primul termen este $0$, iar $-\sqrt{3}(1+0)=-\sqrt{3}$ se reduce cu $+\sqrt{3}$: $1\ast 0=0-\sqrt{3}+\sqrt{3}+3=3$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Se desface paranteza din definiție: $x\ast y=xy-\sqrt{3}x-\sqrt{3}y+3+\sqrt{3}$ (2 p). Se scoate $x$ din primii doi termeni, iar din $-\sqrt{3}y+3$ se scoate $-\sqrt{3}$, pentru că $3=\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}$: $$x\ast y=x\left(y-\sqrt{3}\right)-\sqrt{3}\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3}=\left(x-\sqrt{3}\right)\left(y-\sqrt{3}\right)+\sqrt{3},$$ oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: ecuația $x\ast x=\sqrt{3}$.

Forma $x\ast y=(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$ cu $y=x$ dă $x\ast x=(x-\sqrt{3}{)}^2+\sqrt{3}$ (2 p). Ecuația $x\ast x=\sqrt{3}$ devine $(x-\sqrt{3}{)}^2+\sqrt{3}=\sqrt{3}$, deci primul termen, un pătrat, este nul. Un pătrat este nul numai când baza lui este nulă: $x-\sqrt{3}=0$, deci $\mathbf{x}=\sqrt{3}$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Pentru $e=\sqrt{3}+1$ trebuie verificate două egalități, $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$, pentru toți $x$ reali. Cu forma cu doi factori a legii: $$x\ast (\sqrt{3}+1)=(x-\sqrt{3})(\sqrt{3}+1-\sqrt{3})+\sqrt{3}=(x-\sqrt{3})\cdot 1+\sqrt{3}=x\text{(2 p)}.$$ Operanzii în ordine inversă dau $$(\sqrt{3}+1)\ast x=(\sqrt{3}+1-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})+\sqrt{3}=x.$$ Ambele egalități se verifică pentru orice $x$ real, deci $e=\sqrt{3}+1$ satisface definiția elementului neutru (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: un element care absoarbe.

Primul operand este $\sqrt{3}$, deci primul factor al formei cu doi factori este $\sqrt{3}-\sqrt{3}$: $$\sqrt{3}\ast x=(\sqrt{3}-\sqrt{3})(x-\sqrt{3})+\sqrt{3}\text{(2 p)}.$$ Factorul $\sqrt{3}-\sqrt{3}$ este $0$, iar un produs cu un factor nul este $0$: $\sqrt{3}\ast x=0\cdot (x-\sqrt{3})+\sqrt{3}=\sqrt{3}$, oricare ar fi $x$ real (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o compunere cu 2020 de operanzi.

Legea este asociativă, după cum arată cadrul, deci operanzii se pot grupa fără a schimba rezultatul: $$\sqrt{3}\ast \sqrt{4}\ast \sqrt{5}\ast \dots \ast \sqrt{2022}=\sqrt{3}\ast \left(\sqrt{4}\ast \sqrt{5}\ast \dots \ast \sqrt{2022}\right).$$ Compunerea din paranteză este un număr real $t$, iar pentru orice $t$ real are loc $\sqrt{3}\ast t=(\sqrt{3}-\sqrt{3})(t-\sqrt{3})+\sqrt{3}=\sqrt{3}$. Membrul stâng al ecuației este deci $\sqrt{3}$ (3 p). Ecuația devine $\sqrt{3}=\sqrt{n}$, iar două rădăcini pătrate egale au radicanzii egali: $\mathbf{n}=3$, număr natural (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Diagonala principală, cu $1$ și $1$, dă produsul $1\cdot 1$, iar cealaltă, cu $3$ și $0$, dă produsul $3\cdot 0$; determinantul este diferența lor: $$\det (A)=1\cdot 1-3\cdot 0\text{(3 p)}.$$ Cum $3\cdot 0=0$, rezultă $\det (A)=1-0=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o combinație de produse și multipli.

Produsul $A\cdot A$ se calculează poziție cu poziție: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot 3& 1\cdot 0+0\cdot 1\\ 3\cdot 1+1\cdot 3& 3\cdot 0+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right).$$ Numărul $2$ înmulțește fiecare element al lui $A$, deci $2A=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 6& 2\end{array}\right)$, iar diferența cerută este $$A\cdot A-2A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 6& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scăderea pe poziții dă $\left(\begin{array}{cc}1-2& 0-0\\ 6-6& 1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)=-I_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: două produse egale cu $I_2$.

Primul produs, element cu element: $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot (-3)& 1\cdot 0+0\cdot 1\\ 3\cdot 1+1\cdot (-3)& 3\cdot 0+1\cdot 1\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(3 p)}.$$ Același calcul cu factorii inversați: $$B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+0\cdot 3& 1\cdot 0+0\cdot 1\\ (-3)\cdot 1+1\cdot 3& (-3)\cdot 0+1\cdot 1\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(2 p)}.$$ Prin urmare $A\cdot B=B\cdot A=I_2$, adică $A$ și $B$ sunt inverse una alteia.

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: determinantul unei diferențe cu $a{I}_2$.

Matricea $a{I}_2$ are $a$ pe diagonală și $0$ în rest, deci $A-a{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1-a& 0\\ 3& 1-a\end{array}\right)$, iar $$\det (A-a{I}_2)=(1-a)(1-a)-3\cdot 0=(1-a{)}^2\text{(3 p)}.$$ Ecuația $(1-a{)}^2=0$ are o singură soluție: $1-a=0$, adică $\mathbf{a}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: un parametru scos în fața determinantului.

Suma matricelor este $A+B=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ (în stânga jos, $3+(-3)=0$), deci $m(A+B)=\left(\begin{array}{cc}2m& 0\\ 0& 2m\end{array}\right)$ și $$\det (m(A+B))=2m\cdot 2m-0\cdot 0=4m^2\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte, $\det (A+B)=2\cdot 2-0\cdot 0=4$, deci $m\cdot \det (A+B)=4m$. Egalitatea cerută este $4m^2=4m$, adică $4m(m-1)=0$, de unde $\mathbf{m}=0$ sau $\mathbf{m}=1$. Ambele valori verifică ecuația: $4\cdot 0^2=0=4\cdot 0$ și $4\cdot 1^2=4=4\cdot 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o combinație liniară egală cu $2I_2$.

Fiecare matrice se înmulțește cu scalarul ei, apoi se adună pe poziții: $$xA+yB=x\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 3& 1\end{array}\right)+y\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -3& 1\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}x+y& 0\\ 3x-3y& x+y\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ cere $x+y=2$ și $3x-3y=0$; celelalte două elemente sunt $0$ de ambele părți. Din a doua ecuație, $x=y$, iar din prima, $2x=2$, deci $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{y}=1$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Pe această pagină este rezolvată varianta 1 a probei E. c) de matematică M_pedagogic din sesiunea iunie 2022, cea a filierei vocaționale, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Cele trei subiecte au câte șase cerințe de 5 puncte, așadar cele 18 cerințe totalizează 90 de puncte, iar timpul de lucru efectiv este de trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Textul fiecărei cerințe este cel al foii oficiale. Rezolvările, capcanele și întrebările de ghidaj aparțin Matepolis, iar punctele sunt așezate pe aceleași rânduri ca în foaia de evaluare.

Cuprinsul variantei. Subiectul I începe cu o sumă de radicali, apoi trece la funcția $f(x)=3x-2$, la o reducere de preț de $20\%$, la ecuația $4^{2x-1}=64$, la o perpendiculară prin punctul $A(2,3)$ și la aria unui triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$. Subiectul al II-lea definește legea asociativă $x\ast y=xy-\sqrt{3}(x+y)+\sqrt{3}+3$; cerința II.2 o aduce la forma $(x-\sqrt{3})(y-\sqrt{3})+\sqrt{3}$, pe care o folosesc apoi cerințele II.3–II.6. Subiectul al III-lea pornește de la matricele $A$ și $B$, care se dovedesc a fi una inversa celeilalte (cerința III.3).

Locul în programă. Programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014) așază funcția de gradul întâi și triunghiul dreptunghic în clasa a IX-a; radicalii, ecuațiile exponențiale, calculul procentual și dreptele perpendiculare în clasa a X-a; legile de compoziție în clasa a XI-a; matricele, determinanții și inversabilitatea în clasa a XII-a. Pentru itemul 3 se pot relua Procente și TVA la tehnologic: factura, iar pentru itemul 5, lecția Paralele și perpendiculare prin pante, tehnologic.

Unde se greșește, cu dovezi.

• Exercițiul 3: cei $28$ de lei sunt reducerea, nu prețul de după reducere. Dacă $28$ ar fi $80\%$ din preț, ecuația $\frac{80}{100}x=28$ ar da $x=35$, iar $20\%$ din $35$ este $7$, nu $28$.
• Exercițiul 4: din $4^3=64$ rezultă că exponentul este $3$; împărțirea $64:4=16$ nu ajută, fiindcă $4^{16}\ne 64$.
• Exercițiul 5: dreapta paralelă cu $d$ prin $A$ este $y=2x-1$; o dreaptă de pantă $-2$ prin $A$ nu este perpendiculară pe $d$, pentru că $2\cdot (-2)=-4$, nu $-1$, iar perpendiculara căutată are panta $-\frac{1}{2}$ și ecuația $y=-\frac{1}{2}x+4$.
• Exercițiul 6: aria nu este $\frac{BC\cdot AC}{2}=25$, pentru că factorii acestui produs sunt ipotenuza și o catetă; semiprodusul catetelor este $\frac{25\sqrt{3}}{2}$, iar $\frac{25\sqrt{3}}{2}\ne 25$.
• Cerința II.3: un pătrat nul are baza nulă, deci $x-\sqrt{3}=0$ dă o singură valoare, $x=\sqrt{3}$, nu două.
• Cerința II.5: elementul $\sqrt{3}$ nu este neutru. Neutrul este $\sqrt{3}+1$, iar $\sqrt{3}\ast 2=\sqrt{3}$, nu $2$.
• Cerința II.6: compunerea nu este înmulțire: $\sqrt{3}\ast \sqrt{4}=\sqrt{3}$, în timp ce $\sqrt{3}\cdot \sqrt{4}=2\sqrt{3}$.
• Cerința III.2: ridicând elementele lui $A$ la pătrat s-ar obține $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 9& 1\end{array}\right)$, iar produsul $A\cdot A$ este $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 6& 1\end{array}\right)$.
• Cerința III.5: soluția $m=0$ se pierde dacă ecuația $4m^2=4m$ se împarte la $m$; pentru $m=2$ avem $\det (2(A+B))=16$, iar dublul lui $\det (A+B)$ este $8$.

Despre litere. Exercițiul 2: $a$ este numărul căutat, iar $x$ este argumentul funcției $f$. Exercițiul 3: $x$ este prețul inițial, notat de rezolvare. Exercițiul 4: $x$ este necunoscuta ecuației. Itemii 5 și 6: $A$ este un punct în reper, respectiv vârful unghiului drept; $d$ este dreapta dată, iar $B$ și $C$ sunt celelalte două vârfuri ale triunghiului. Subiectul al II-lea: $e=\sqrt{3}+1$ este neutrul propus la cerința II.4; $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare la cerința II.2, iar $x$ este oarecare la cerințele II.4 și II.5 și necunoscută la cerința II.3; la cerința II.6, $n$ este numărul natural căutat, iar $t$ notează, în rezolvare, compunerea din paranteză. Subiectul al III-lea: $A$ și $B$ sunt matrice; $a$ este necunoscută la cerința III.4, $m$ la cerința III.5, iar $x$ și $y$ la cerința III.6.