Subiect Bac matematică pedagogic, august 2013 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2013 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3 (1 + 3) - 27 = 3$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x + 3$ . Arătați că $f (- 3) + f (3) = 6$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $(x + 3)^{2} - x^{2} - 15 = 0$

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $10%$ prețul unui produs este $220$ de lei. Calculați prețul produsului înainte de scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $P (2, 3)$ și $R (4, 3)$ . Determinați coordonatele mijlocului segmentului $P R$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați lungimea laturii $A B$ a triunghiului $A B C$ dreptunghic în $A$ , știind că $B C = 20$ și $cos B = \frac{2}{5}$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = x y + 2 x + 2 y + 2$ .

1. (5 puncte) Calculați $3 \circ (- 2)$ .

2. (5 puncte) Verificați dacă legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.

3. (5 puncte) Arătați că $x \circ y = (x + 2) (y + 2) - 2$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = x$ .

5. (5 puncte) Verificați dacă $x \circ (- 2) = - 2$ , pentru orice număr real $x$ .

6. (5 puncte) Calculați $(- 2013) \circ (- 2012) \circ \dots \circ (- 2)$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $A (m) = 1 - 1 2 231 11 m$ .

1. (5 puncte) Calculați $det (A (0))$ .

2. (5 puncte) Arătați că $det (A (m)) = 5 m - 4$ , pentru orice număr real $m$ .

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $det (A (m)) = m^{2}$ .

4. (5 puncte) Arătați că $A (m) + A (- m) = 2 A (0)$ pentru orice număr real $m$ .

5. (5 puncte) Verificați dacă $A (0) \cdot - 1 2 - 7 1 - 2 3 - 1 - 2 5 = - 4 I_{3}$ , unde $I_{3} = 100010001$ .

6. (5 puncte) Pentru $m = 0$ , rezolvați sistemul $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + z = 2 - x + 3 y + z = 3 2 x + y + m z = 1$ .

Barem și răspunsuri

Rezolvările urmează rândurile baremului oficial, iar numărul din paranteza de la finalul unui rând spune câte puncte valorează rândul. Cea mai mare parte dintre cerințe au două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3); o singură cerință, itemul 5, are trei rânduri (1 + 2 + 2).

Exercițiul 1. (5 p) — o expresie cu radicali de ordinul doi.

Numărul $27$ se scrie $9 \cdot 3$ , iar $9$ este cel mai mare pătrat perfect care îl divide; de aceea $27 = 9 \cdot 3 = 33$ (2 p).

Înmulțind pe $3$ cu fiecare termen al parantezei, $3 (1 + 3) = 3 + 33$ , iar din suma obținută se scade $27 = 33$ : $3 + 33 - 33 = 3 (3 p) .$ Radicalii se anulează, iar expresia are valoarea $3$ .

Exercițiul 2. (5 p) — valorile lui $f$ în $- 3$ și în $3$ , adunate.

Pentru $x = - 3$ funcția dă $f (- 3) = - 3 + 3 = 0$ (2 p).

Pentru $x = 3$ avem $f (3) = 3 + 3 = 6$ , iar suma valorilor, cu $f (- 3) = 0$ din rândul precedent, este $0 + 6$ : $f (3) = 6 \Rightarrow f (- 3) + f (3) = 6 (3 p) .$ Suma cerută este deci $6$ .

Exercițiul 3. (5 p) — o ecuație care devine de gradul I.

Desfăcut, un pătrat de sumă are trei termeni: primul la pătrat, de două ori produsul lor și al doilea la pătrat. Aici termenii sunt $x^{2}$ , $2 \cdot x \cdot 3 = 6 x$ și $3^{2} = 9$ , deci $(x + 3)^{2} = x^{2} + 6 x + 9$ (2 p).

Ecuația devine $x^{2} + 6 x + 9 - x^{2} - 15 = 0$ . Termenii $x^{2}$ și $- x^{2}$ se reduc, iar constantele dau $9 - 15 = - 6$ , deci $6 x - 6 = 0$ , adică $6 x = 6$ și $x = 1$ (3 p). Verificare: $(1 + 3)^{2} - 1^{2} - 15 = 16 - 1 - 15 = 0$ .

Exercițiul 4. (5 p) — prețul dinainte de o scumpire cu $10%$ .

Fie $x$ prețul dinainte de scumpire, în lei. O scumpire cu $10%$ adaugă $\frac{10}{100} x$ la preț, iar prețul de după scumpire este $220$ : $x + \frac{10}{100} x = 220, unde x reprezint \overset{a}{˘} pre ț ul \overset{ı}{ˆ} nainte de scumpire (2 p) .$ Membrul stâng este $x (1 + \frac{10}{100}) = \frac{11}{10} x$ , deci $\frac{11}{10} x = 220$ și $x = 220 \cdot \frac{10}{11} = 200$ . Prețul dinainte de scumpire este de $200$ de lei; verificare: $200 + \frac{10}{100} \cdot 200 = 220$ (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — coordonatele mijlocului unui segment.

Fiecare coordonată a mijlocului $M$ al segmentului $(P R)$ este media coordonatelor corespunzătoare ale capetelor: $x_{M} = \frac{x _{P} + x _{R}}{2}$ și $y_{M} = \frac{y _{P} + y _{R}}{2}$ (1 p).

Pentru $P (2, 3)$ și $R (4, 3)$ , abscisa este $x_{M} = \frac{2 + 4}{2} = 3$ (2 p).

Ordonata este $y_{M} = \frac{3 + 3}{2} = 3$ , așadar mijlocul segmentului $P R$ este $M (3, 3)$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — o catetă aflată din cosinusul unui unghi.

În triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cateta alăturată unghiului $B$ este $A B$ , iar ipotenuza este $B C$ . Pentru un unghi ascuțit al unui triunghi dreptunghic, cosinusul se obține împărțind cateta alăturată la ipotenuză: $cos B = \frac{A B}{B C}$ (2 p).

Din $\frac{2}{5} = \frac{A B}{20}$ rezultă $A B = 20 \cdot \frac{2}{5} = 8$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

În $x \circ y = x y + 2 x + 2 y + 2$ , primul operand este $3$ , iar al doilea $- 2$ : termenul $x y$ devine $3 \cdot (- 2) = - 6$ , termenul $2 x$ devine $2 \cdot 3 = 6$ , termenul $2 y$ devine $2 \cdot (- 2) = - 4$ , iar numărul $2$ rămâne: $3 \circ (- 2) = - 6 + 6 + (- 4) + 2 (3 p) .$ Suma este $- 6 + 6 + (- 4) + 2 = - 2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — comutativitatea legii.

Se calculează $x \circ y$ și $y \circ x$ pentru două numere reale oarecare; la al doilea se schimbă locurile operanzilor în formula legii: $x \circ y = x y + 2 x + 2 y + 2 ș i y \circ x = y x + 2 y + 2 x + 2, pentru orice numere reale x ș i y (3 p) .$ Produsul $x y$ coincide cu $y x$ , iar suma celorlalți termeni nu depinde de ordinea lor, deci $x \circ y = y \circ x$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ ; legea „ $\circ$ ” este comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — forma cu paranteze a legii.

Constanta $2$ se scrie $4 - 2$ , astfel încât primii patru termeni să fie un produs de două binoame, desfăcut: $x \circ y = x y + 2 x + 2 y + 4 - 2 (2 p) .$ Produsul $(x + 2) (y + 2)$ are patru termeni, $x \cdot y$ , $x \cdot 2$ , $2 \cdot y$ și $2 \cdot 2$ , adică $(x + 2) (y + 2) = x y + 2 x + 2 y + 4$ . Prin urmare $x \circ y = (x + 2) (y + 2) - 2$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — ecuația $x \circ x = x$ .

Forma de la itemul precedent, cu $y = x$ , dă $x \circ x = (x + 2)^{2} - 2$ (2 p).

Desfăcând pătratul și mutând pe $x$ în membrul stâng se obține o ecuație de gradul al doilea cu coeficienții $1$ , $3$ și $2$ . Din relațiile lui Viète, rădăcinile ei au suma $- 3$ și produsul $2$ ; singurele două numere cu aceste proprietăți sunt $- 2$ și $- 1$ : $(x + 2)^{2} - 2 = x ⟺ x = - 2 sau x = - 1 (3 p) .$ Soluțiile sunt $x = - 2$ și $x = - 1$ . Verificare: $(- 2) \circ (- 2) = 4 - 4 - 4 + 2 = - 2$ și $(- 1) \circ (- 1) = 1 - 2 - 2 + 2 = - 1$ .

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — egalitatea $x \circ (- 2) = - 2$ .

Se folosește forma $x \circ y = (x + 2) (y + 2) - 2$ , valabilă pentru orice numere reale, cu $y = - 2$ : $x \circ (- 2) = (x + 2) (- 2 + 2) - 2 (3 p) .$ Factorul $- 2 + 2$ are valoarea $0$ , deci produsul se anulează oricare ar fi $x$ și rămâne $0 - 2 = - 2$ , indiferent de numărul real $x$ (2 p). Egalitatea cerută este adevărată.

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — un lanț de compuneri.

Enunțul-cadru spune că legea este asociativă: într-un lanț se pot pune paranteze oriunde, cu condiția ca ordinea operanzilor să rămână aceeași. Se leagă laolaltă toți operanzii dinaintea lui $- 2$ : $(- 2013) \circ (- 2012) \circ \dots \circ (- 2) = ((- 2013) \circ (- 2012) \circ \dots \circ (- 3)) \circ (- 2) (3 p) .$ Valoarea parantezei, fie ea $t$ , este un număr real oarecare, iar pentru orice $t$ calculul de la cerința II.5 dă $t \circ (- 2) = (t + 2) (- 2 + 2) - 2 = - 2$ . Lanțul are așadar valoarea $- 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A (0)$ .

Pentru $m = 0$ elementul din colțul din dreapta jos devine $0$ , iar celelalte opt elemente rămân neschimbate: $A (0) = 1 - 1 2 231110 (2 p) .$ Regula lui Sarrus: produsele care se adună sunt $1 \cdot 3 \cdot 0 = 0$ , $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ și $1 \cdot (- 1) \cdot 1 = - 1$ , cu suma $3$ ; produsele care se scad sunt $1 \cdot 3 \cdot 2 = 6$ , $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ și $2 \cdot (- 1) \cdot 0 = 0$ , cu suma $7$ : $det (A (0)) = 1 - 1 2 231110 = - 4 (3 p) .$ Așadar $det (A (0)) = 3 - 7 = - 4$ .

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — determinantul lui $A (m)$ .

Produsele care se adună sunt $1 \cdot 3 \cdot m = 3 m$ , $2 \cdot 1 \cdot 2 = 4$ și $1 \cdot (- 1) \cdot 1 = - 1$ ; cele care se scad sunt $1 \cdot 3 \cdot 2 = 6$ , $1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$ și $2 \cdot (- 1) \cdot m = - 2 m$ . Scăderea lui $- 2 m$ dă $+ 2 m$ , iar scăderea lui $6$ și a lui $1$ dă $- 6 - 1$ , deci: $det (A (m)) = 1 - 1 2 231 11 m = 3 m - 1 + 4 - 6 + 2 m - 1 (3 p) .$ Termenii cu $m$ dau $3 m + 2 m = 5 m$ , iar constantele $- 1 + 4 - 6 - 1 = - 4$ , deci $det (A (m)) = 5m - 4$ , rezultat valabil oricare ar fi $m$ real (2 p). La $m = 0$ el coincide cu $- 4$ , numărul găsit la cerința III.1.

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — ecuația $det (A (m)) = m^{2}$ .

Din itemul precedent, ecuația cere ca valoarea $5 m - 4$ să fie egală cu $m^{2}$ ; termenii $5 m$ și $- 4$ trec în membrul drept cu semn schimbat: $det (A (m)) = m^{2} ⟺ m^{2} - 5 m + 4 = 0 (3 p) .$ Discriminantul este $Δ = 25 - 16 = 9$ , iar rădăcinile sunt $\frac{5 \pm 3}{2}$ , adică $m = 1$ sau $m = 4$ (2 p). Verificare: $5 \cdot 1 - 4 = 1 = 1^{2}$ și $5 \cdot 4 - 4 = 16 = 4^{2}$ .

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — suma $A (m) + A (- m)$ .

Matricea $A (- m)$ se obține punând $- m$ în locul lui $m$ , iar celelalte elemente rămân: $A (m) + A (- m) = 1 - 1 2 231 11 m + 1 - 1 2 231 11 - m (2 p) .$ Matricele se adună pe poziții: elementele egale se dublează, iar în colțul din dreapta jos $m + (- m) = 0$ : $= 2 - 2 4 462220 = 2 A (0) (3 p) .$ Matricea $2 A (0)$ are elementele lui $A (0)$ înmulțite cu $2$ : $2 \cdot 1 = 2$ , $2 \cdot 2 = 4$ , $2 \cdot (- 1) = - 2$ , $2 \cdot 3 = 6$ și $2 \cdot 0 = 0$ , adică toate valorile distincte din $A (0)$ , deci egalitatea $A (m) + A (- m) = 2 A (0)$ are loc pentru orice $m$ real.

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — verificarea produsului cu $- 4 I_{3}$ .

Cu $A (0)$ de la cerința III.1, produsul din enunț se scrie: $A (0) \cdot - 1 2 - 7 1 - 2 3 - 1 - 2 5 = 1 - 1 2 231110 \cdot - 1 2 - 7 1 - 2 3 - 1 - 2 5 (2 p) .$ Poziția $(i, j)$ a produsului se completează cu suma produselor perechilor de elemente luate, în ordine, din linia $i$ a lui $A (0)$ și din coloana $j$ a celeilalte matrice. Linia $(1, 2, 1)$ cu cele trei coloane dă $1 \cdot (- 1) + 2 \cdot 2 + 1 \cdot (- 7) = - 4$ , $1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 2) + 1 \cdot 3 = 0$ și $1 \cdot (- 1) + 2 \cdot (- 2) + 1 \cdot 5 = 0$ ; linia $(- 1, 3, 1)$ dă $(- 1) \cdot (- 1) + 3 \cdot 2 + 1 \cdot (- 7) = 0$ , $(- 1) \cdot 1 + 3 \cdot (- 2) + 1 \cdot 3 = - 4$ și $(- 1) \cdot (- 1) + 3 \cdot (- 2) + 1 \cdot 5 = 0$ ; linia $(2, 1, 0)$ dă $2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 + 0 \cdot (- 7) = 0$ , $2 \cdot 1 + 1 \cdot (- 2) + 0 \cdot 3 = 0$ și $2 \cdot (- 1) + 1 \cdot (- 2) + 0 \cdot 5 = - 4$ : $= - 4 00 0 - 4 0 00 - 4 = - 4 I_{3} (3 p) .$ Egalitatea din enunț este adevărată: matricea obținută are $- 4$ pe diagonală și $0$ în rest, adică este $- 4 I_{3}$ .

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — sistemul pentru $m = 0$ .

Pentru $m = 0$ termenul $m z$ din a treia ecuație dispare: $⎩ ⎨ ⎧ x + 2 y + z = 2 - x + 3 y + z = 3 2 x + y = 1 (2 p) .$ Scăzând prima ecuație din a doua, $z$ se reduce: $(- x + 3 y + z) - (x + 2 y + z) = 3 - 2$ , adică $- 2 x + y = 1$ . Împreună cu a treia ecuație, $2 x + y = 1$ , se obține un sistem în $x$ și $y$ ; adunându-le, $2 y = 2$ , deci $y = 1$ , iar din $2 x + y = 1$ rezultă $2 x = 0$ , adică $x = 0$ . Prima ecuație dă apoi $z = 2 - x - 2 y = 2 - 0 - 2 = 0$ . Cele trei ecuații se verifică pe rând: $0 + 2 \cdot 1 + 0 = 2$ , $- 0 + 3 \cdot 1 + 0 = 3$ și $2 \cdot 0 + 1 = 1$ . Triplul căutat este $x = 0$ , $y = 1$ , $z = 0$ (3 p). Matricea sistemului este chiar $A (0)$ , cu determinantul $- 4 \neq = 0$ (cerința III.1), deci soluția este unică.

Pentru părinți și profesori

Varianta 9 a probei E. c) din august 2013, la matematică M_pedagogic, se adresează absolvenților filierei vocaționale, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Cele trei subiecte sunt obligatorii, iar lucrarea durează 3 ore de lucru efectiv. Fiecare subiect are șase cerințe, fiecare cerință valorează 5 puncte, așa că foaia are 90 de puncte pe cerințe, plus oficiul. Se acordă 10 puncte din oficiu. Cerințele sunt reproduse întocmai; rezolvările și ghidajul aparțin Matepolis, iar cele 5 puncte ale fiecărei cerințe se împart pe rândurile baremului oficial.

Ce se cere în foaie. Subiectul I: o expresie cu radicali de ordinul doi, suma $f (- 3) + f (3)$ pentru funcția $f (x) = x + 3$ , o ecuație care, după desfacerea unui pătrat, devine de gradul I, prețul dinainte de o scumpire cu $10%$ , mijlocul unui segment și lungimea unei catete aflată din cosinusul unui unghi. Subiectul al II-lea: legea asociativă $x \circ y = x y + 2 x + 2 y + 2$ , cu o valoare, verificarea comutativității, o formă cu paranteze, o ecuație, verificarea egalității $x \circ (- 2) = - 2$ și un lanț de compuneri. Subiectul al III-lea: matricea $A (m)$ de ordin $3$ , cu un determinant numeric, determinantul în funcție de $m$ , o ecuație cu determinantul, o sumă de matrice, un produs de matrice care se compară cu $- 4 I_{3}$ și un sistem pentru $m = 0$ .

Încadrarea în programă. OMEN 4430/2014 a pus programa M_pedagogic în aplicare la Bacalaureatul din 2015, iar subiectele din august 2013 au fost date înaintea ei. Pe programa din 2014, clasa a IX-a cuprinde funcția de gradul I, ecuațiile de gradul al doilea și triunghiul dreptunghic, clasa a X-a radicalii și procentele, clasa a XI-a legea de compoziție, iar clasa a XII-a matricele, determinanții de ordin cel mult 3 și sistemele liniare cu cel mult 3 necunoscute. Din lecțiile de recapitulare se potrivesc Procente și TVA la tehnologic: factura pentru itemul 4 și Cramer pas cu pas: sisteme 3×3 la tehnologic pentru cerința III.6.

Pe unde se alunecă, cu dovada.

Exercițiul 1: $27 = 9 \cdot 3 = 33$ ; scris $39$ , ar da $3 \cdot 3 = 9$ , un număr al cărui pătrat este $81$ , nu $27$ .
Exercițiul 2: pentru $x = - 3$ funcția dă $f (- 3) = - 3 + 3 = 0$ ; dacă s-ar scrie $f (- 3) = - (3 + 3) = - 6$ , suma ar fi $- 6 + 6 = 0$ , nu $6$ .
Exercițiul 3: pătratul $(x + 3)^{2}$ are și dublul produs $6 x$ ; scris $x^{2} + 9$ , ecuația ar rămâne cu $9 - 15 = - 6$ , un număr diferit de $0$ , deci fără nicio soluție, deși $x = 1$ o verifică: $(1 + 3)^{2} - 1^{2} - 15 = 0$ .
Exercițiul 4: procentul se calculează din prețul dinainte de scumpire, nu din cel de după: din $220$ de lei s-ar scădea $22$ și ar rezulta $198$ , dar $198 \cdot \frac{11}{10} = \frac{1089}{5}$ , nu $220$ .
Exercițiul 5: mijlocul este punctul $M (3, 3)$ ; jumătatea lungimii segmentului, $\frac{4 - 2}{2} = 1$ , este un număr, nu un punct.
Exercițiul 6: din $cos B = \frac{A B}{B C}$ rezultă $A B = 20 \cdot \frac{2}{5} = 8$ ; împărțirea $20 : \frac{2}{5} = 50$ ar da o catetă mai lungă decât ipotenuza $B C = 20$ .
Cerința II.1: termenul $2 y$ cu $y = - 2$ este $- 4$ ; dacă s-ar scrie $+ 4$ , suma ar fi $- 6 + 6 + 4 + 2 = 6$ , nu $- 2$ .
Cerința II.2: legea $x ⋄ y = 2 x + y$ are $3 ⋄ 3 = 9$ la fel în ambele ordini, dar $1 ⋄ 2 = 4$ , iar $2 ⋄ 1 = 5$ , deci nu este comutativă; la legea din foaie, $1 \circ 2 = 10 = 2 \circ 1$ , iar egalitatea se arată pentru $x$ și $y$ oarecare.
Cerința II.3: fără termenul $- 2$ , pentru $x = y = 0$ s-ar obține $2 \cdot 2 = 4$ , iar $0 \circ 0 = 2$ .
Cerința II.4: $(x + 2)^{2}$ nu este $x^{2} + 4$ , fiindcă lipsește dublul produs $4 x$ ; cu $x^{2} + 4 - 2 = x$ s-ar ajunge la o ecuație de gradul al doilea cu discriminantul $- 7$ , fără soluții reale, deși $x = - 1$ verifică ecuația: $(- 1 + 2)^{2} - 2 = - 1$ .
Cerința II.5: factorul $- 2 + 2$ este $0$ ; dacă s-ar calcula $- 2 - 2 = - 4$ , pentru $x = 0$ s-ar obține $2 \cdot (- 4) - 2 = - 10$ , dar $0 \circ (- 2) = - 2$ .
Cerința II.6: semnul $\circ$ nu înseamnă înmulțire: $(- 6) \circ (- 5) \circ (- 2) = - 2$ , pe când $(- 6) \cdot (- 5) \cdot (- 2) = - 60$ .
Cerința III.1: la regula lui Sarrus produsele care se adună au suma $3$ , iar cele care se scad au suma $7$ ; adunate toate, $3 + 7 = 10$ , nu $- 4$ .
Cerința III.2: produsul $2 \cdot (- 1) \cdot m = - 2 m$ se scade, deci devine $+ 2 m$ ; scris cu minus, rezultatul ar fi $m - 4$ , care pentru $m = 1$ dă $- 3$ , pe când $det (A (1)) = 1$ .
Cerința III.3: egalarea lui $5 m - 4$ cu $m^{2}$ cere ca termenii $5 m$ și $- 4$ să treacă în membrul drept cu semn schimbat; cu semnele păstrate s-ar scrie $m^{2} + 5 m - 4 = 0$ , dar $m = 1$ verifică ecuația din enunț, $5 - 4 = 1^{2}$ , iar $1 + 5 - 4 = 2$ , nu $0$ .
Cerința III.4: în colțul din dreapta jos, $m + (- m) = 0$ , nu $2 m$ : pentru $m = 5$ avem $5 + (- 5) = 0$ , iar $2 \cdot 5 = 10$ .
Cerința III.5: matricea $- 4 I_{3}$ are $- 4$ numai pe diagonală; produsul are pe linia $1$ și coloana $2$ elementul $1 \cdot 1 + 2 \cdot (- 2) + 1 \cdot 3 = 0$ , nu $- 4$ .
Cerința III.6: soluția trebuie să verifice toate cele trei ecuații: triplul $(1, - 1, 3)$ verifică prima și a treia ecuație, dar în a doua $- 1 + 3 \cdot (- 1) + 3 = - 1$ , nu $3$ .

Legătura dintre litere și enunțuri. În Subiectul I, litera $x$ din $f (x) = x + 3$ ia la itemul 2 valorile $- 3$ și $3$ ; necunoscuta ecuației de la itemul 3 este $x$ ; prețul de la itemul 4 nu primește literă în enunț, iar rezolvarea îl numește $x$ ; $P$ și $R$ sunt capetele date ale segmentului, iar $M$ , mijlocul lui, figurează doar în rezolvare; vârfurile triunghiului sunt $A$ , $B$ și $C$ . În Subiectul II, enunțul de la cerința II.2 nu conține litere, iar rezolvarea lui lucrează cu numere reale oarecare $x$ și $y$ , pe care le are chiar enunțul de la cerința II.3; $x$ este necunoscută la cerința II.4 și oarecare la cerința II.5, iar enunțul lanțului de la cerința II.6 nu conține nicio literă, rezolvarea numind $t$ valoarea parantezei. În Subiectul III, $m$ este parametrul matricei $A (m)$ : egal cu $0$ la trei cerințe, oarecare la două și necunoscut la una; sistemul final are necunoscutele $x$ , $y$ și $z$ , iar $I_{3}$ este matricea unitate dată în enunțul cerinței III.5.