Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2013 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2013 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3\left(1+\sqrt{2}\right)-\sqrt{18}=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x-3$. Arătați că $f(3)+f(-3)=-6$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3\left(x^2+1\right)={\log }_{3}5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o scumpire cu $10\%$ prețul unui produs crește cu $70$ de lei. Calculați prețul produsului după scumpire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $P(2,7)$ și $R(2,9)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $PR$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $AC=40$ și $\sin B=\frac{2}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă dată de $x\ast y=xy+x+y$.

1. (5 puncte) Calculați $(-1)\ast 3$.

2. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x+1)(y+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=0$ este elementul neutru al legii „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=x$.

5. (5 puncte) Arătați că $(-1)\ast x=-1$, pentru orice număr real $x$.

6. (5 puncte) Calculați $(-1)\ast 0\ast 1\ast \dots \ast 2012\ast 2013$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pentru fiecare număr real $m$ se consideră matricea $A(m)=\left(\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $\det (A(1))=0$.

2. (5 puncte) Calculați $A(1)\cdot A(0)$.

3. (5 puncte) Arătați că $\det (A(m))=m^2-2m+1$, pentru orice număr real $m$.

4. (5 puncte) Verificați dacă matricea $B=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)$ este inversa matricei $A(0)$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care suma elementelor matricei $A(m)$ este egală cu $2013$.

6. (5 puncte) Pentru $m=0$, rezolvați sistemul $\{\begin{array}{l}mx+y+z=1\\ x+my+z=1\\ x+y+z=3\end{array}$.

Barem și răspunsuri

Fiecare rezolvare urmează rândurile baremului oficial, iar numărul din paranteza de la capătul unui rând arată câte puncte valorează acel rând. Cele mai multe cerințe au două rânduri (3 + 2 sau 2 + 3); trei cerințe au câte trei rânduri: itemul 4 și cerința II.3 (2 + 2 + 1), respectiv itemul 5 (1 + 2 + 2).

Exercițiul 1. (5 p) — o expresie cu radicali, cu un factor scos de sub radical.

Sub radical, $18=9\cdot 2$, iar $9=3^2$; de aceea $\sqrt{18}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{2}=3\sqrt{2}$ (2 p).

Paranteza se desface înmulțind pe $3$ cu fiecare termen al ei: $3\left(1+\sqrt{2}\right)=3+3\sqrt{2}$. Din această sumă se scade $\sqrt{18}=3\sqrt{2}$, iar cei doi radicali asemenea se reduc: $$3+3\sqrt{2}-3\sqrt{2}=3\text{(3 p)}.$$ Egalitatea din enunț este adevărată: expresia are valoarea $3$.

Exercițiul 2. (5 p) — suma valorilor funcției $f(x)=x-3$.

Funcția scade $3$ din argument, deci $f(3)=3-3=0$ (2 p).

Pentru argumentul $-3$ avem $f(-3)=(-3)-3=-6$; adunând la această valoare pe $f(3)=0$ se obține suma, scrisă în ordinea $f(-3)+f(3)$: $$f(-3)=-6\Rightarrow f(-3)+f(3)=-6\text{(3 p)}.$$ Adunarea nu depinde de ordinea termenilor, așa că și suma din enunț, $f(3)+f(-3)$, are valoarea $-6$.

Exercițiul 3. (5 p) — o ecuație cu doi logaritmi în aceeași bază.

Argumentul $x^2+1$ este cel puțin $1$ pentru orice $x$ real, deci ecuația are sens pe toată mulțimea numerelor reale. Logaritmii au aceeași bază, $3$, așa că sunt egali numai dacă argumentele lor sunt egale: $$x^2+1=5\text{(3 p)}.$$ Rămâne $x^2=4$, deci $\mathbf{x}=-2$ sau $\mathbf{x}=2$. Ambele valori verifică ecuația dată, fiindcă $(-2{)}^2+1=5$ și $2^2+1=5$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — prețul după o scumpire cu $10\%$, aflat din creșterea cunoscută.

Prețul inițial, în lei, primește numele $x$. Scumpirea cu $10\%$ adaugă $10\%\cdot x$, iar creșterea este de $70$ de lei, deci $10\%\cdot x=70$ (2 p).

Din $\frac{10}{100}\cdot x=70$ rezultă $x=70\cdot 10=700$, adică prețul inițial este de $700$ de lei (2 p).

Prețul după scumpire este prețul inițial plus creșterea: $700+70=770$ de lei (1 p).

Exercițiul 5. (5 p) — coordonatele mijlocului unui segment.

Mijlocul $M$ al segmentului $(PR)$ are drept coordonate mediile coordonatelor capetelor: $x_M=\frac{x_P+x_R}{2}$ și $y_M=\frac{y_P+y_R}{2}$ (1 p).

Pentru $P(2,7)$ și $R(2,9)$, abscisa este $x_M=\frac{2+2}{2}=2$ (2 p).

Ordonata este $y_M=\frac{7+9}{2}=8$, deci mijlocul segmentului $PR$ este $\mathbf{M}(2,8)$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — latura unui triunghi dreptunghic din sinusul unui unghi.

În triunghiul $ABC$, dreptunghic în $A$, ipotenuza este $BC$, iar cateta $AC$ se află în fața unghiului $B$. Sinusul unui unghi ascuțit este raportul dintre cateta opusă și ipotenuză: $\sin B=\frac{AC}{BC}$ (2 p).

Se înlocuiesc $AC=40$ și $\sin B=\frac{2}{5}$, deci $\frac{2}{5}=\frac{40}{BC}$, iar $BC=40\cdot \frac{5}{2}=100$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

În $x\ast y=xy+x+y$ se pun $x=-1$ și $y=3$, cu paranteză la numărul negativ: $$(-1)\ast 3=(-1)\cdot 3+(-1)+3\text{(3 p)}.$$ Produsul este $-3$, iar suma este $-3+(-1)+3=-1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — forma cu paranteze a legii.

Se pornește de la definiție și se adaugă, apoi se scade, numărul $1$, ca primii patru termeni să poată forma un produs de două paranteze: $$x\ast y=xy+x+y=xy+x+y+1-1\text{(3 p)}.$$ Produsul $(x+1)(y+1)$ se desface înmulțind fiecare termen al primei paranteze cu fiecare termen al celei de-a doua: $(x+1)(y+1)=xy+x+y+1$. Prin urmare $\mathbf{x}\ast \mathbf{y}=(\mathbf{x}+1)(\mathbf{y}+1)-1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — verificarea elementului neutru $e=0$.

Un număr este element neutru dacă lasă neschimbat orice $x$ real, indiferent de partea pe care stă. Mai întâi $0$ în dreapta: $$x\ast 0=x\cdot 0+x+0=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Apoi $0$ în stânga: $$0\ast x=0\cdot x+0+x=x,\text{ pentru orice numa˘r real }x\text{(2 p)}.$$ Finalizare: cum $x\ast 0=x=0\ast x$ pentru orice $x$ real, numărul $e=0$ este elementul neutru al legii „$\ast$” (1 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — ecuația $x\ast x=x$.

Compunerea lui $x$ cu el însuși este $x\ast x=x\cdot x+x+x=x^2+2x$, deci ecuația devine $$x\ast x=x⟺x^2+2x=x\text{(3 p)}.$$ Termenul $x$ trece în stânga cu semn schimbat: $x^2+x=0$, adică $x(x+1)=0$. Produsul se anulează numai când unul dintre cei doi factori ai lui este $0$, deci $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=0$. Verificare: $(-1)\ast (-1)=1-1-1=-1$ și $0\ast 0=0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — egalitatea $(-1)\ast x=-1$.

Se folosește forma $x\ast y=(x+1)(y+1)-1$, valabilă pentru orice numere reale, cu $-1$ în locul primului operand: $$(-1)\ast x=(-1+1)(x+1)-1\text{(2 p)}.$$ Prima paranteză este $-1+1=0$, iar un produs cu factorul $0$ este $0$ pentru orice $x$; rămâne $0-1=-1$, pentru orice număr real $x$ (3 p). Același rezultat iese și direct din definiție: $(-1)\cdot x+(-1)+x=-x-1+x=-1$.

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — un lanț lung de compuneri.

Legea este asociativă, după cum spune enunțul-cadru, deci parantezele se pot așeza oriunde fără ca ordinea operanzilor să se schimbe. Se grupează toți operanzii de după $-1$: $$(-1)\ast 0\ast 1\ast \dots \ast 2012\ast 2013=(-1)\ast (0\ast 1\ast \dots \ast 2012\ast 2013)\text{(3 p)}.$$ Paranteza este un număr real, notat $t$. Pentru orice număr real $t$ se aplică același calcul ca la cerința II.5: $(-1)\ast t=(-1+1)(t+1)-1=-1$. Prin urmare lanțul are valoarea $-1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A(1)$.

Pentru $m=1$ toate elementele matricei sunt egale cu $1$: $$A(1)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Determinantul de ordin $3$ se calculează cu regula lui Sarrus: se adună produsele elementelor de pe diagonala principală și de pe cele două paralele cu ea, apoi se scad produsele de pe diagonala secundară și de pe paralelele ei. Fiecare dintre cele șase produse este $1$, deci suma este $1+1+1-1-1-1$: $$\det (A(1))=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=0\text{(3 p)}.$$ Așadar $\det (A(1))=0$.

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — produsul $A(1)\cdot A(0)$.

Matricea $A(0)$ se obține punând $m=0$ în $A(m)$: are $0$ pe primele două poziții ale diagonalei și $1$ în rest. Produsul cerut se așază astfel: $$A(1)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Elementul de pe linia $i$ și coloana $j$ al produsului se obține înmulțind pe rând elementele liniei $i$ din prima matrice cu cele ale coloanei $j$ din a doua și adunând cele trei produse. Toate cele trei linii ale lui $A(1)$ sunt $(1,1,1)$, deci și toate cele trei linii ale produsului sunt la fel. Coloanele lui $A(0)$ sunt $(0,1,1)$, $(1,0,1)$ și $(1,1,1)$; linia $(1,1,1)$ cu prima coloană dă $1\cdot 0+1\cdot 1+1\cdot 1=2$, cu a doua dă $1\cdot 1+1\cdot 0+1\cdot 1=2$, iar cu a treia dă $1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot 1=3$: $$A(1)\cdot A(0)=\left(\begin{array}{ccc}2& 2& 3\\ 2& 2& 3\\ 2& 2& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — determinantul lui $A(m)$.

Regula lui Sarrus, cu elementele lui $A(m)$: produsele care se adună sunt $m\cdot m\cdot 1=m^2$, $1\cdot 1\cdot 1=1$ și $1\cdot 1\cdot 1=1$, iar cele care se scad sunt $1\cdot m\cdot 1=m$, $m\cdot 1\cdot 1=m$ și $1\cdot 1\cdot 1=1$. Cele două constante pozitive dau $1+1=2$, iar termenii cu minus se strâng în $-m-m-1=-2m-1$: $$\det (A(m))=\left|\begin{array}{ccc}m& 1& 1\\ 1& m& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right|=m^2+2-2m-1\text{(3 p)}.$$ Constantele se reduc, $2-1=1$, deci $\det (A(m))={\mathbf{m}}^2-2m+1$, pentru orice număr real $m$ (2 p). Pentru $m=1$ se regăsește $1-2+1=0$, valoarea de la cerința III.1.

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — verificarea inversei lui $A(0)$.

Matricea $B$ este inversa lui $A(0)$ dacă ambele produse, $A(0)\cdot B$ și $B\cdot A(0)$, dau matricea unitate $I_3$. Primul produs, element cu element: linia $(0,1,1)$ cu coloanele $(-1,0,1)$, $(0,-1,1)$, $(1,1,-1)$ dă $0\cdot (-1)+1\cdot 0+1\cdot 1=1$, $0\cdot 0+1\cdot (-1)+1\cdot 1=0$ și $0\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot (-1)=0$; linia $(1,0,1)$ dă $1\cdot (-1)+0\cdot 0+1\cdot 1=0$, $1\cdot 0+0\cdot (-1)+1\cdot 1=1$ și $1\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot (-1)=0$; linia $(1,1,1)$ dă $1\cdot (-1)+1\cdot 0+1\cdot 1=0$, $1\cdot 0+1\cdot (-1)+1\cdot 1=0$ și $1\cdot 1+1\cdot 1+1\cdot (-1)=1$: $$A(0)\cdot B=\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3\text{(2 p)}.$$ Produsul în ordine inversă: liniile $(-1,0,1)$, $(0,-1,1)$, $(1,1,-1)$ ale lui $B$ cu coloanele $(0,1,1)$, $(1,0,1)$, $(1,1,1)$ ale lui $A(0)$ dau, pe rând, $(-1)\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 1=1$, $(-1)\cdot 1+0\cdot 0+1\cdot 1=0$, $(-1)\cdot 1+0\cdot 1+1\cdot 1=0$; apoi $0\cdot 0+(-1)\cdot 1+1\cdot 1=0$, $0\cdot 1+(-1)\cdot 0+1\cdot 1=1$, $0\cdot 1+(-1)\cdot 1+1\cdot 1=0$; apoi $1\cdot 0+1\cdot 1+(-1)\cdot 1=0$, $1\cdot 1+1\cdot 0+(-1)\cdot 1=0$, $1\cdot 1+1\cdot 1+(-1)\cdot 1=1$: $$B\cdot A(0)=\left(\begin{array}{ccc}-1& 0& 1\\ 0& -1& 1\\ 1& 1& -1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc}0& 1& 1\\ 1& 0& 1\\ 1& 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)=I_3\Rightarrow \text{matricea }B\text{ este inversa matricei }A(0)\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — suma elementelor lui $A(m)$.

Matricea $A(m)$ are nouă elemente: $m$ apare de două ori, pe diagonala principală, în primele două linii, iar celelalte șapte elemente sunt egale cu $1$. Suma elementelor este $m+1+1+1+m+1+1+1+1=2m+7$ (2 p).

Condiția din enunț este $2m+7=2013$, de unde $2m=2013-7=2006$: $$2m+7=2013⟺m=1003\text{(3 p)}.$$ Verificare: pentru $m=1003$ suma elementelor este $2\cdot 1003+7=2013$. Așadar $\mathbf{m}=1003$.

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — sistemul pentru $m=0$.

Pentru $m=0$ dispar termenul $mx$ din prima ecuație și termenul $my$ din a doua: $$\{\begin{array}{l}y+z=1\\ x+z=1\\ x+y+z=3\end{array}\text{(2 p)}.$$ Necunoscutele se elimină prin scădere. Scăzând prima ecuație din a treia, $(x+y+z)-(y+z)=3-1$, adică $x=2$. Scăzând a doua ecuație din a treia, $(x+y+z)-(x+z)=3-1$, adică $y=2$. Din prima ecuație, $z=1-y=1-2=-1$. Verificare în toate cele trei ecuații: $y+z=2+(-1)=1$, $x+z=2+(-1)=1$ și $x+y+z=2+2+(-1)=3$. Soluția este $\mathbf{x}=2$, $\mathbf{y}=2$, $\mathbf{z}=-1$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 2 a probei E. c) din iunie 2013, la matematică M_pedagogic, a fost dată în filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Toate cele trei subiecte sunt obligatorii, iar timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Fiecare subiect are șase cerințe de câte 5 puncte, deci cerințele valorează împreună 90 de puncte, la care se adaugă oficiul. Se acordă 10 puncte din oficiu. Textul cerințelor a fost copiat cuvânt cu cuvânt din foaie; rezolvările și ghidajul interactiv aparțin Matepolis și își împart punctele pe rândurile baremului.

Ce cuprinde foaia. Primul subiect are șase probleme fără legătură între ele: o expresie cu radicali, suma valorilor unei funcții de gradul I în $3$ și în $-3$, o ecuație cu logaritmi în baza $3$, o scumpire cu $10\%$ care mărește prețul cu $70$ de lei, mijlocul unui segment dat prin capete și latura unui triunghi dreptunghic aflată din sinusul unui unghi. Al doilea subiect pornește de la legea asociativă $x\ast y=xy+x+y$ și cere, în ordine, o valoare, o formă cu paranteze, verificarea unui element neutru, o ecuație, o egalitate cu $-1$ și un lanț lung de compuneri. Al treilea subiect lucrează cu matricea pătratică de ordin $3$, $A(m)$, și cere un determinant, un produs de matrice, un determinant cu parametru, verificarea unei inverse, suma elementelor și un sistem liniar cu trei ecuații.

Locul foii în programă. Programa M_pedagogic din OMEN 4430/2014 intră în vigoare la Bacalaureatul din 2015, așa că foaia din iunie 2013 a precedat-o și nu a avut-o drept programă. Temele foii se găsesc totuși în programa din 2014, la aceleași clase: radicalii, logaritmii, procentele și coordonatele punctelor din reper la clasa a X-a; funcția de gradul I și triunghiul dreptunghic la clasa a IX-a; legea de compoziție la clasa a XI-a; matricele, determinantul de ordin cel mult 3 și sistemele cu cel mult 3 necunoscute la clasa a XII-a. Pentru recapitulare: legea de compoziție, în lecția Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru; determinantul de ordin 3, în lecția Sarrus la tehnologic: determinant 3×3 pe tablou.

Unde se greșește, cu dovada.

• Exercițiul 1: $\sqrt{18}=\sqrt{9\cdot 2}=3\sqrt{2}$; dacă $9$ iese de sub radical fără rădăcină, adică $9\sqrt{2}$, expresia ar fi $3+3\sqrt{2}-9\sqrt{2}=3-6\sqrt{2}$, nu $3$.
• Exercițiul 2: pentru $x=-3$ funcția dă $f(-3)=-3-3=-6$; dacă $x$ se ia $3$ și nu $-3$, se obține din nou $f(3)=0$, iar suma ar fi $0+0=0$, nu $-6$.
• Exercițiul 3: din $x^2+1=5$ rezultă $x^2=4$, deci două soluții, $-2$ și $2$; răspunsul $x=2$ pierde soluția $-2$, deși $(-2{)}^2+1=5$.
• Exercițiul 4: numărul $70$ este creșterea, nu prețul inițial; dacă $70$ de lei ar fi prețul inițial, creșterea de $10\%$ ar fi $7$ lei, nu $70$. Prețul inițial este $700$ de lei, iar prețul după scumpire este $700+70=770$ de lei.
• Exercițiul 5: mijlocul $M(2,8)$ se obține adunând coordonatele capetelor și împărțind la $2$; diferențele $2-2=0$ și $9-7=2$ dau coordonatele vectorului $\overrightarrow{PR}$, adică $(0,2)$, care nu este mijlocul.
• Exercițiul 6: din $\sin B=\frac{AC}{BC}$ rezultă $BC=40:\frac{2}{5}=100$; înmulțirea $40\cdot \frac{2}{5}=16$ ar da o ipotenuză mai scurtă decât cateta $AC=40$, ceea ce nu se poate.
• Cerința II.1: produsul $(-1)\cdot 3$ este $-3$; dacă s-ar scrie $3$, expresia ar da $3+(-1)+3=5$, nu $-1$.
• Cerința II.2: forma $(x+1)(y+1)-1$ cere desfacerea parantezelor; fără termenul $-1$, pentru $x=y=1$ s-ar obține $4$, iar $1\ast 1=3$.
• Cerința II.3: legea $x\diamond y=x(y+1)$ are $x\diamond 0=x$ pentru orice $x$, dar $0\diamond 5=0$ și nu $5$, așa că $0$ nu este element neutru al ei; pentru legea din foaie se verifică ambele părți, $x\ast 0=x$ și $0\ast x=x$.
• Cerința II.4: ecuația $x^2+2x=x$ nu se împarte la $x$: împărțirea ar lăsa numai $x=-1$ și ar pierde soluția $x=0$, deși $0\ast 0=0$.
• Cerința II.5: egalitatea $(-1)\ast x=-1$ spune că rezultatul este $-1$ oricare ar fi $x$, deci $-1$ nu este element neutru: $(-1)\ast 2=-1$, nu $2$.
• Cerința II.6: semnul $\ast$ nu înseamnă adunare: $(-1)\ast 0\ast 1=-1$, pe când $(-1)+0+1=0$.
• Cerința III.1: regula lui Sarrus adună trei produse și scade alte trei; dacă se păstrează doar cele trei produse care se adună, uitând să le scadă pe celelalte trei, se obține $1+1+1=3$, nu $0$.
• Cerința III.2: produsul matricelor se face linie cu coloană; în stânga sus, $1\cdot 0+1\cdot 1+1\cdot 1=2$, nu $1\cdot 0=0$.
• Cerința III.3: dacă la Sarrus se adună toate cele șase produse, pentru $m=1$ se obține $1+1+1+1+1+1=6$, nu $0$ ca la cerința III.1.
• Cerința III.4: inversa nu se obține schimbând semnele elementelor: pentru $-A(0)$, produsul $A(0)\cdot \left(-A(0)\right)$ are în stânga sus $-2$, nu $1$.
• Cerința III.5: suma elementelor cuprinde, pe lângă diagonală, și cele șase elemente din afara ei, toate egale cu $1$; din suma diagonalei, $2m+1=2013$, ar ieși $m=1006$, iar pentru $m=1006$ suma elementelor este $2019$.
• Cerința III.6: soluția se verifică în toate cele trei ecuații: triplul $(0,0,1)$ verifică primele două, dar $0+0+1=1$, nu $3$.

Rolul literelor. Subiectul I: la itemul 2, $x$ este variabila funcției $f$, iar $3$ și $-3$ sunt valorile ei; la itemul 3, $x$ este necunoscuta ecuației; la itemul 4, enunțul nu dă o literă prețului, iar rezolvarea îl notează cu $x$; la itemul 5, $P$ și $R$ sunt capetele date ale segmentului, iar $M$, mijlocul lui, apare numai în rezolvare; la itemul 6, $A$, $B$ și $C$ sunt vârfurile triunghiului. Subiectul II: cerința II.2 lucrează cu două numere reale oarecare, $x$ și $y$, iar cerința II.3 cu numărul $e=0$ din enunț, care se verifică, nu se caută; cerința II.4 are necunoscuta $x$, cerința II.5 un $x$ oarecare, iar cerința II.6 nicio literă, rezolvarea notând cu $t$ valoarea parantezei. Subiectul III: $m$ este parametrul matricei $A(m)$ și este oarecare la cerința III.3, necunoscută la cerința III.5, iar la celelalte patru cerințe ale subiectului are o valoare dată; la cerința III.6 necunoscutele sunt $x$, $y$ și $z$, iar matricea unitate $I_3$ apare numai în rezolvarea cerinței III.4.