Subiect Bac matematică pedagogic, august 2018 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2018 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$. Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $f(x)<4$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_2\left(x^3+3\right)={\log }_{2}30$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale de trei cifre distincte se pot forma cu cifrele $1$, $2$, $3$, $4$ și $5$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $M(2,3)$ și $N(-1,4)$. Determinați coordonatele punctului $P$, simetricul punctului $N$ față de punctul $M$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$, știind că $AB=8$ și $m\left(\sphericalangle C\right)=30^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy-2(x+y)+6$.

1. (5 puncte) Arătați că $1\ast 2=2$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Arătați că $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $n\ast n\le n$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $\left(2^x\ast 2^x\right)\ast 2^x=10$.

6. (5 puncte) Determinați numerele raționale $p$ și $q$, știind că $\frac{2}{\sqrt{3}-1}\ast \frac{2}{\sqrt{3}-1}=p+q\sqrt{3}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-2& 4\\ -1& 2\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $M(a)=I_2+aA$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=0$.

2. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A=O_2$, unde $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$.

3. (5 puncte) Demonstrați că $M(a)\cdot M(b)=M(a+b)$, pentru orice numere reale $a$ și $b$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $t$, știind că $M(t)\cdot M\left(t^2\right)=M(90)$.

5. (5 puncte) Arătați că inversa matricei $I_2+A$ este matricea $I_2-A$.

6. (5 puncte) Rezolvați în ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ ecuația $(I_2+A)\cdot X=A-I_2$.

Barem și răspunsuri

Cele două rânduri ale foii oficiale la fiecare cerință sunt păstrate în aceeași ordine, iar numărul îngroșat din paranteză arată câte puncte din cele 5 revin rândului. În total, cele 18 cerințe valorează 90 de puncte, iar oficiul adaugă 10.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Fiecare produs de forma $(u+1)(u-1)$ este o diferență de pătrate, $u^2-1$. Pentru $u=\sqrt{3}$ se obține $3-1$, iar pentru $u=\sqrt{2}$ se obține $2-1$: $$\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)-\left(\sqrt{2}+1\right)\left(\sqrt{2}-1\right)=(3-1)-(2-1)\text{(3 p)}.$$ Produsele valorează $2$ și $1$, iar diferența lor este $2-1=1$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — o inecuație de gradul întâi.

Inecuația este $3x-2<4$. Adunăm $2$ în ambii membri, ceea ce păstrează sensul inegalității: $$3x-2<4⟺3x<6\text{(3 p)}.$$ Împărțim la $3>0$, iar inegalitatea își păstrează sensul: $x<2$. Mulțimea soluțiilor este intervalul $(-\infty ,2)$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmul în baza $2$ este injectiv: două argumente cu același logaritm coincid, iar argumentul din dreapta, $30$, este pozitiv; condiția de existență pentru $x^3+3$ se verifică la sfârșit. Egalitatea argumentelor dă $x^3+3=30$, adică $$x^3-27=0\text{(3 p)}.$$ Descompunem diferența de cuburi: $x^3-27=(x-3)\left(x^2+3x+9\right)$. Al doilea factor are discriminantul $9-36=-27<0$, așa că nu are rădăcini reale, iar singura rădăcină a lui $x^3-27$ este $x=3$. Pentru $x=3$ avem $x^3+3=30>0$, așa că $\mathbf{x}=3$ convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — numărarea numerelor cu cifre distincte.

Cifrele se aleg în ordine, de la unități spre sute. Pentru unități sunt disponibile oricare dintre $1,2,3,4,5$, deci $5$ alegeri (2 p). Fiindcă nicio cifră nu se repetă, pentru zeci rămân $4$ cifre, iar pentru sute rămân $3$. Regula produsului dă $5\cdot 4\cdot 3=60$ de numere (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — simetricul unui punct.

Simetricul lui $N$ față de $M$ este punctul $P$ pentru care $M$ cade la jumătatea segmentului $NP$. Abscisa mijlocului este media abscisei lui $N$ și a abscisei lui $P$: $$2=\frac{-1+x_P}{2}\Rightarrow x_P=5\text{(3 p)}.$$ La fel pentru ordonate: $3=\frac{4+y_P}{2}$, adică $4+y_P=6$, de unde $y_P=2$. Deci $\mathbf{P}(5,2)$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — un triunghi dreptunghic cu unghi de $30^{\circ }$.

Triunghiul are unghiul drept în $A$, deci ipotenuza este $BC$, iar cateta din fața unghiului $C$ este $AB$. Sinusul lui $C$ este raportul dintre aceste două laturi, iar $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$: $$\sin C=\frac{AB}{BC}⟺\frac{1}{2}=\frac{8}{BC}\text{(3 p)}.$$ Produsul pe diagonală dă $BC=2\cdot 8$, adică $\mathbf{BC}=16$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: o valoare.

Punem $x=1$ și $y=2$ în definiție: $$1\ast 2=1\cdot 2-2(1+2)+6\text{(3 p)}.$$ Produsul este $2$, suma din paranteză este $3$, iar $2-6+6=2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: forma factorizată.

Desfacem paranteza din definiție și despărțim constanta $6$ în $4+2$, pentru a completa produsul $(-2)(-2)=4$: $$x\ast y=xy-2x-2y+4+2\text{(2 p)}.$$ Termenul $xy-2x$ este $x(y-2)$, iar $-2y+4$ este $-2(y-2)$; ambii au factorul comun $y-2$, care se scoate în față. Prin urmare $$x\ast y=x(y-2)-2(y-2)+2=(x-2)(y-2)+2,$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru dat.

Numărul $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$ real. Cu forma factorizată din cerința II.2 și $e=3$, factorul $3-2$ este $1$: $$x\ast 3=(x-2)(3-2)+2=x-2+2=x\text{(2 p)}.$$ Și în ordinea inversă: $$3\ast x=(3-2)(x-2)+2=x-2+2=x=x\ast 3,$$ pentru orice număr real $x$. Cele două egalități arată că $e=3$ este elementul neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: o inecuație în numere naturale.

Din forma factorizată, valoarea $n\ast n$ este $(n-2)(n-2)+2$. Inecuația $n\ast n\le n$ se scrie $(n-2)(n-2)+2\le n$. Mutăm $n$ în stânga: $n^2-4n+4+2-n=n^2-5n+6$, iar acest trinom se scrie ca produs: $$(n-2)(n-2)+2\le n⟺(n-2)(n-3)\le 0\text{(3 p)}.$$ Produsul din membrul stâng ia valori negative sau nule numai pentru $n\in [2,3]$. Numerele naturale din acest interval sunt $\mathbf{n}=2$ și $\mathbf{n}=3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: ecuație exponențială.

Din forma factorizată, $2^x\ast 2^x=(2^x-2)(2^x-2)+2=(2^x-2{)}^2+2$. Compunem acest rezultat cu $2^x$: din primul operand se scade $2$, ceea ce lasă doar pătratul binomului $2^x-2$; el se înmulțește cu al doilea factor, $2^x-2$, iar la sfârșit se adaugă $2$: $$2^x\ast 2^x=(2^x-2{)}^2+2,\left(2^x\ast 2^x\right)\ast 2^x=(2^x-2{)}^3+2\text{(3 p)}.$$ Ecuația devine $(2^x-2{)}^3+2=10$, deci cubul lui $2^x-2$ este $8$, adică cubul lui $2$. Funcția cub este injectivă, așa că $2^x-2=2$, adică $2^x$ este $4$ și $$(2^x-2{)}^3+2=10⟺2^x-2=2⟺\mathbf{x}=2\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: un rezultat cu radicali.

Raționalizăm fracția $\frac{2}{\sqrt{3}-1}$, amplificând cu $\sqrt{3}+1$: numitorul devine ${\left(\sqrt{3}\right)}^2-1=2$, deci fracția este egală cu $\sqrt{3}+1$. Din forma factorizată, valoarea $x\ast x$ este $(x-2{)}^2+2$ pentru orice $x$ real; cu $x=\sqrt{3}+1$ obținem $x-2=\sqrt{3}-1$: $$\frac{2}{\sqrt{3}-1}\ast \frac{2}{\sqrt{3}-1}={\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}-2\right)}^2+2={\left(\sqrt{3}-1\right)}^2+2=6-2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ Ultima egalitate vine din ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}$. Rămâne egalitatea $6-2\sqrt{3}=p+q\sqrt{3}$ cu $p$ și $q$ raționali, adică $(q+2)\sqrt{3}=6-p$. Dacă $q+2\ne 0$, ar rezulta că $\sqrt{3}=\frac{6-p}{q+2}$ este rațional, deși $\sqrt{3}$ este irațional; deci $q+2=0$, iar apoi $6-p=0$. Astfel $\mathbf{p}=6$ și $\mathbf{q}=-2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Diagonala principală dă un produs, cea secundară alt produs, iar determinantul este diferența lor, în această ordine: $$\det A=(-2)\cdot 2-(-1)\cdot 4\text{(3 p)}.$$ Ambele produse valorează $-4$, iar a scădea $-4$ înseamnă a aduna $4$, deci $\det A=-4+4=0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: pătratul lui $A$.

Fiecare dintre cele patru elemente ale lui $A\cdot A$ vine dintr-o pereche linie–coloană a matricei $A$: se înmulțesc elementele corespunzătoare și se adună cele două produse: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}(-2)(-2)+4\cdot (-1)& (-2)\cdot 4+4\cdot 2\\ (-1)(-2)+2\cdot (-1)& (-1)\cdot 4+2\cdot 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Calculele dau $4-4=0$, $-8+8=0$, $2-2=0$ și $-4+4=0$, deci $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)={\mathbf{O}}_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: produsul a două matrice $M(a)$ și $M(b)$.

Desfacem produsul, ținând cont că $I_2$ lasă neschimbată orice matrice cu care se înmulțește și că înmulțirea cu scalarul $a$ se poate scoate în fața produsului: $$M(a)\cdot M(b)=\left(I_2+aA\right)\left(I_2+bA\right)=I_2+aA+bA+abA\cdot A\text{(3 p)}.$$ Din cerința III.2, $A\cdot A=O_2$, deci ultimul termen dispare, iar $aA+bA=(a+b)A$: $$M(a)\cdot M(b)=I_2+(a+b)A+ab{O}_2=I_2+(a+b)A=M(a+b),$$ pentru orice numere reale $a$ și $b$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: o ecuație cu parametrul $t$.

Regula din cerința III.3, cu $a=t$ și $b=t^2$, dă $$M(t)\cdot M\left(t^2\right)=M\left(t+t^2\right)\text{(2 p)}.$$ Ecuația devine $M\left(t+t^2\right)=M(90)$. Două matrice $M(u)$ și $M(v)$ sunt egale doar dacă $u=v$: din $I_2+uA=I_2+vA$ rezultă $(u-v)A=O_2$, iar $A$ are elementul $-2\ne 0$, deci $u-v=0$. Așadar $t+t^2=90$, adică $t^2+t-90=0$, cu discriminantul $1+360=361=19^2$ și soluțiile $t=\frac{-1\pm 19}{2}$: $$M\left(t+t^2\right)=M(90)\Rightarrow t^2+t-90=0,\text{ de unde }\mathbf{t}=-10\text{ sau }\mathbf{t}=9\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: o inversă verificată în ambele ordini.

Matricea $B$ este inversa lui $C$ dacă $C\cdot B=B\cdot C=I_2$. Verificăm cu $C=I_2+A$ și $B=I_2-A$; produsul din prima ordine, cu $A\cdot A=O_2$ din cerința III.2, este $$(I_2+A)(I_2-A)=I_2-A+A-A\cdot A=I_2\text{(2 p)}.$$ Și în ordinea cealaltă: $$(I_2-A)(I_2+A)=I_2+A-A-A\cdot A=I_2,$$ așadar $I_2-A$ îndeplinește, în ambele ordini, definiția inversei lui $I_2+A$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o ecuație matriceală.

Din cerința III.5, matricea $I_2+A$ are inversă, $I_2-A$. Înmulțim egalitatea $(I_2+A)\cdot X=A-I_2$ la stânga cu această inversă; în partea stângă rămâne $X$: $$X=(I_2+A{)}^{-1}\cdot (A-I_2)\text{(2 p)}.$$ Înlocuim inversa: $X=(I_2-A)(A-I_2)=A-I_2-A\cdot A+A$. Cu $A\cdot A=O_2$ rămâne $X=2A-I_2$, iar $2A=\left(\begin{array}{cc}-4& 8\\ -2& 4\end{array}\right)$, deci $$X=2A-I_2\Rightarrow X=\left(\begin{array}{cc}-5& 8\\ -2& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Pentru părinți și profesori

Lucrarea din august 2018, varianta 9, la proba E. c) de matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare), cuprinde 18 cerințe de câte 5 puncte, împărțite în trei subiecte, și se rezolvă în trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Pagina păstrează enunțurile foii oficiale; soluțiile, capcanele și întrebările ghidajului sunt scrise de Matepolis, iar fiecare etapă punctată urmează un rând al foii de evaluare.

Ce se cere. Subiectul I are șase cerințe independente: un calcul cu radicali, o inecuație cu o funcție de gradul întâi, o ecuație logaritmică, o numărare de numere cu trei cifre, simetricul unui punct în reper și o latură dintr-un triunghi dreptunghic cu un unghi de $30^{\circ }$. A doua grupă de șase cerințe ia ca bază legea $x\ast y=xy-2(x+y)+6$: o valoare, forma factorizată, un element neutru de verificat, o inecuație în numere naturale, o ecuație exponențială și o egalitate cu radicali. Ultima grupă de șase cerințe folosește matricele $A$ și $M(a)=I_2+aA$: un singur determinant (cerința III.1), produsul $A\cdot A$ (cerința III.2), regula $M(a)\cdot M(b)=M(a+b)$ (cerința III.3) și ecuația $M(t)\cdot M(t^2)=M(90)$ care o folosește (cerința III.4), o inversă (cerința III.5) și o ecuație matriceală (cerința III.6).

Programa. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, valabilă pentru Bacalaureatul din 2015 încoace, trece în clasa a IX-a funcția de gradul întâi cu inecuațiile ei și triunghiul dreptunghic. În clasa a X-a stau radicalii, ecuațiile exponențiale și logaritmice, problemele de numărare și coordonatele unui punct din plan; legile de compoziție sunt în clasa a XI-a, iar matricele inversabile și ecuațiile matriceale în clasa a XII-a. Pentru numărarea de la itemul 4 se poate reciti lecția Permutări și aranjamente la tehnologic, iar pentru produsele de matrice de la cerințele III.2–III.5, lecția Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple.

Capcane de calcul.

• Exercițiul 1: scăderea celui de-al doilea produs se face cu valoarea lui întreagă, $1$; dacă s-ar scădea $2$, rezultatul ar fi $2-2=0$, nu $1$.
• Exercițiul 2: inecuația $3x<6$ dă $x<2$, nu $x\le 2$; pentru $x=2$ avem $f(2)=4$, nu mai mic decât $4$.
• Exercițiul 3: ecuația $x^3=27$ are în $\mathbb{R}$ o singură soluție, $x=3$; numărul $-3$ nu merge, fiindcă $(-3{)}^3=-27$, iar $-27+3=-24$ nu poate sta sub logaritm.
• Exercițiul 4: cifrele fiind distincte, numărul căutat este $5\cdot 4\cdot 3=60$, nu $5^3=125$, care ar permite repetările.
• Exercițiul 5: punctul $\left(\frac{1}{2},\frac{7}{2}\right)$ este mijlocul segmentului $MN$, nu simetricul lui $N$ față de $M$; simetricul este $P(5,2)$.
• Exercițiul 6: raportul din $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ este $\frac{AB}{BC}$, nu $\frac{BC}{AB}$; a doua scriere ar da $BC=4$, mai mic decât cateta $AB=8$.
• Cerința II.3: numărul $2$ nu este element neutru: $x\ast 2=(x-2)\cdot 0+2=2$ pentru orice $x$.
• Cerința II.4: valorile $1$ și $4$ nu sunt soluții, deoarece $1\ast 1=3>1$ și $4\ast 4=6>4$.
• Cerința II.5: la $x=2$ puterea $2^x$ este $4$, iar $(4\ast 4)\ast 4=6\ast 4=10$; compunerea $4\ast 4$ este $6$, nu $4\cdot 4=16$.
• Cerința II.6: pătratul ${\left(\sqrt{3}-1\right)}^2$ este $4-2\sqrt{3}$, nu $3-1=2$.
• Cerința III.2: egalitatea $A\cdot A=O_2$ nu înseamnă $A=O_2$; matricea $A$ are elemente nenule, de pildă $-2\ne 0$.
• Cerința III.3: produsul $M(a)\cdot M(b)$ este $M(a+b)$, nu $M(ab)$; pentru $a=2$ și $b=3$ avem $M(5)$, iar $M(6)$ este altă matrice.
• Cerința III.4: ecuația $t^2+t-90=0$ are soluțiile $-10$ și $9$, nu $10$ și $-9$, fiindcă $10^2+10-90=20$.
• Cerința III.6: $X=2A-I_2$ nu este $2A$: matricea $2A$ are $-4$ în stânga sus, iar $X$ are $-5$.

Despre litere. În Subiectul I, $x$ este necunoscuta la itemii 2 și 3, $M$ și $N$ sunt puncte la itemul 5, iar $A$, $B$, $C$ sunt vârfurile triunghiului de la itemul 6. La legea celei de-a doua grupe, $x$ și $y$ sunt variabilele ei; la cerința II.3, $e=3$ este numărul dat în enunț și verificat, nu căutat; la cerința II.4, $n$ este numărul natural căutat, la cerința II.5, $x$ este exponentul necunoscut, iar la cerința II.6, $p$ și $q$ sunt numerele raționale căutate. La ultima grupă, $A$ nu mai este un vârf de triunghi, ci matricea dată, iar $M$ nu mai este un punct, ci numele matricei $M(a)$, cu $a$ real oarecare la cerința III.3; $t$ este necunoscuta de la cerința III.4, $O_2$ este matricea nulă definită în cerința III.2, iar $X$ este matricea necunoscută de la cerința III.6.