Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2018 (varianta 2) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2018 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\cdot \left(\text{0,1(6)}+\frac{1}{3}\right)=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-2$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $5^{x^2+6}=5^{5x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui obiect este $900$ de lei. Determinați prețul obiectului după ce acesta se ieftinește de două ori, succesiv, cu câte $10\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,-1)$, $B(1,2)$ și $C(-1,-2)$. Demonstrați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\sin }^{2}30^{\circ }+{\sin }^{2}45^{\circ }+{\sin }^{2}60^{\circ }=\frac{3}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=2(x+y)+xy+2$.

1. (5 puncte) Arătați că $0\ast (-2)=-2$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=(x+2)(y+2)-2$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=-1$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, știind că $(x+1)\ast (x+1)=2$.

5. (5 puncte) Determinați numerele $x\in (0,+\infty )$ pentru care $\lg x\ast \lg (2x)=-2$.

6. (5 puncte) Dați exemplu de numere raționale $a$ și $b$, care nu sunt întregi, pentru care numărul $a\ast b$ este întreg.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $M(a)=aA+I_2$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=2$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $\det (M(a))=(a+1)(2a+1)$, pentru orice număr real $a$.

3. (5 puncte) Determinați inversa matricei $M(-2)$.

4. (5 puncte) Arătați că $M(1)\cdot M(2)=3\left(A\cdot A+I_2\right)$.

5. (5 puncte) Demonstrați că $\det (M(a)-2aA)\ne 1$, pentru orice număr întreg nenul $a$.

6. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_{2,1}(\mathbb{R})$ pentru care $A\cdot X=\left(\begin{array}{c}0\\ -4\end{array}\right)$.

Barem și răspunsuri

La fiecare cerință, cele două rânduri ale foii oficiale poartă puncte diferite, iar în text ele sunt marcate îngroșat la capătul etapei; împreună dau 5 puncte pe cerință și 90 pe întreaga lucrare, la care oficiul adaugă 10.

Exercițiul 1. (5 p) — o expresie cu o fracție periodică mixtă.

Fracția $\text{0,1(6)}$ are o cifră neperiodică, $1$, urmată de perioada $6$. La numărător se scade partea neperiodică din numărul format de ea și de perioadă, $16-1=15$; la numitor se pune un $9$ pentru cifra perioadei și un $0$ pentru cifra neperiodică, adică $90$: $$\text{0,1(6)}=\frac{15}{90}=\frac{1}{6}\text{(3 p)}.$$ Cu numitorul comun $6$, $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}$, deci paranteza este $\frac{1}{6}+\frac{2}{6}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$, iar expresia devine $$2\cdot \left(\frac{1}{6}+\frac{1}{3}\right)=2\cdot \frac{1}{2}=1\text{(2 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — ecuație cu valoarea funcției.

Valoarea funcției în $a$ se obține punând $a$ în locul lui $x$: $$f(a)=2a-2\text{(2 p)}.$$ Condiția $f(a)=a$ înseamnă $2a-2=a$. Mutăm termenii cu $a$ în stânga și numărul în dreapta: $2a-a=2$, deci $\mathbf{a}=2$; într-adevăr, $f(2)=2\cdot 2-2=2$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu aceeași bază.

Două puteri ale lui $5$ sunt egale numai dacă exponenții lor sunt egali, deoarece puterile lui $5$ cu exponenți diferiți sunt diferite. Egalitatea exponenților este $x^2+6=5x$, adică $$x^2-5x+6=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $25-24=1$, iar $x=\frac{5\pm 1}{2}$ dă $\mathbf{x}=2$ sau $\mathbf{x}=3$. Pentru $x=2$, ambii exponenți sunt $2^2+6=10$ și $5\cdot 2=10$; pentru $x=3$, ei sunt $3^2+6=15$ și $5\cdot 3=15$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două ieftiniri succesive.

Ieftinirea cu $10\%$ scade din preț a zecea parte din el. Prima oară, din $900$ de lei: $$900-\frac{10}{100}\cdot 900=900-90=810\text{ de lei}\text{(3 p)}.$$ A doua ieftinire se calculează din prețul nou, adică din $810$ de lei: $810-\frac{10}{100}\cdot 810=810-81=729$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi dat prin coordonate.

Distanța dintre punctele $P(x_1,y_1)$ și $Q(x_2,y_2)$ este radicalul sumei dintre pătratul diferenței absciselor și pătratul diferenței ordonatelor. Pentru laturile care pornesc din $A$: $$AB=\sqrt{(1-2{)}^2+(2+1{)}^2}=\sqrt{10},AC=\sqrt{(-1-2{)}^2+(-2+1{)}^2}=\sqrt{10},$$ așadar $AB=AC$ și triunghiul este isoscel (3 p).

Latura $BC$ este $\sqrt{(-1-1{)}^2+(-2-2{)}^2}=\sqrt{20}$. Se observă că ${\left(\sqrt{20}\right)}^2={\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2$, iar reciproca teoremei lui Pitagora arată că unghiul din $A$ este drept. Triunghiul $ABC$ este deci dreptunghic și isoscel (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — sinusuri ale unghiurilor remarcabile.

Din tabelul valorilor unghiurilor remarcabile, $$\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2},\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2},\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}\text{(3 p)}.$$ Scrierea ${\sin }^{2}30^{\circ }$ înseamnă ${\left(\sin 30^{\circ }\right)}^2$. Pătratele sunt $\frac{1}{4}$, $\frac{2}{4}$ și $\frac{3}{4}$, iar suma lor este $$\frac{1}{4}+\frac{2}{4}+\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: o valoare.

În definiția legii, $x$ devine $0$ și $y$ devine $-2$: $$0\ast (-2)=2\left(0+(-2)\right)+0\cdot (-2)+2\text{(3 p)}.$$ Primul termen este $2\cdot (-2)=-4$, produsul cu $0$ dispare, deci rezultatul este $-4+0+2=-2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: forma factorizată.

Desfacem paranteza din definiție și scriem constanta $2$ ca $4-2$: $$x\ast y=xy+2x+2y+4-2\text{(2 p)}.$$ Grupăm $xy+2x=x(y+2)$ și $2y+4=2(y+2)$; în ambele apare paranteza $y+2$, pe care o scoatem factor comun: $$x\ast y=x(y+2)+2(y+2)-2=(x+2)(y+2)-2,$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru propus.

Un număr $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$ real, deci ambele ordini trebuie verificate. Cu forma factorizată din cerința II.2 și cu $e=-1$: $$x\ast (-1)=(x+2)(-1+2)-2=x+2-2=x\text{(2 p)}.$$ În ordinea inversă, $$(-1)\ast x=(-1+2)(x+2)-2=x+2-2=x=x\ast (-1),$$ pentru orice $x$ real. Ambele egalități au loc, așa că răspunsul este da: $e=-1$ este elementul neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu doi operanzi egali.

Cu forma factorizată, $(x+1)\ast (x+1)=(x+1+2)(x+1+2)-2=(x+3)(x+3)-2$. Egalitatea cu $2$ se scrie $(x+3)(x+3)-2=2$, adică $x^2+6x+9-2=2$, de unde $$x^2+6x+5=0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $36-20=16$, iar $x=\frac{-6\pm 4}{2}$ dă $\mathbf{x}=-5$ sau $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu logaritmi.

Pentru $x>0$, numerele $\lg x$ și $\lg (2x)$ sunt reale, deci legea li se aplică; cu forma factorizată, $\lg x\ast \lg (2x)=(\lg x+2)(\lg (2x)+2)-2$. Egalitatea cu $-2$ înseamnă că produsul $(\lg x+2)(\lg (2x)+2)$ este $0$, iar un produs este $0$ când unul dintre factori este $0$: $$(\lg x+2)(\lg (2x)+2)-2=-2\Rightarrow \lg x+2=0\text{ sau }\lg (2x)+2=0\text{(3 p)}.$$ Dacă $\lg x+2=0$, logaritmul lui $x$ este $-2$ și $x=10^{-2}=\frac{1}{100}$. Dacă $\lg (2x)+2=0$, logaritmul lui $2x$ este $-2$ și $2x=\frac{1}{100}$, deci $x=\frac{1}{200}$. Ambele numere sunt pozitive, adică aparțin intervalului $(0,+\infty )$, deci $\mathbf{x}=\frac{1}{100}$ și $\mathbf{x}=\frac{1}{200}$ convin (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: un exemplu.

Cu forma factorizată, $a\ast b=(a+2)(b+2)-2$. Fiindcă $2$ este întreg, numărul $a\ast b$ este întreg exact când produsul $(a+2)(b+2)$ este întreg: $$a\ast b\in \mathbb{Z}⟺(a+2)(b+2)\in \mathbb{Z}\text{(2 p)}.$$ Alegem pentru $a+2$ și $b+2$ două fracții cu produsul $1$: $a+2=\frac{2}{3}$ și $b+2=\frac{3}{2}$. Atunci $a=-\frac{4}{3}$ și $b=-\frac{1}{2}$ sunt raționale și nu sunt întregi, iar $$a\ast b=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}-2=1-2=-1,$$ care este număr întreg (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Determinantul unei matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ este $ps-qr$, iar pentru $A=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)$ avem $$\det A=1\cdot 2-0\cdot 1\text{(3 p)}.$$ Produsul cu factorul $0$ este $0$, așa că $\det A=2-0=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: determinantul lui $M(a)$.

Înmulțirea cu $a$ acționează pe fiecare element al lui $A$, iar $I_2$ se adună pe poziții: $$M(a)=a\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+1& a\\ 0& 2a+1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Elementul din stânga jos este $0$, așa că produsul de pe diagonala secundară este $a\cdot 0=0$ și $$\det (M(a))=(a+1)(2a+1)-a\cdot 0=(a+1)(2a+1),$$ pentru orice număr real $a$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: inversa lui $M(-2)$.

Pentru $a=-2$, matricea este $M(-2)=-2A+I_2=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 0& -4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 0& -3\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $(-1)(-3)-(-2)\cdot 0$, adică $$\det (M(-2))=3\text{(2 p)}.$$ Determinantul nu este nul, deci $M(-2)$ are inversă. Pentru o matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu determinantul $d$, inversa este $\frac{1}{d}\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$: elementele diagonalei își schimbă locurile, iar celelalte două își schimbă semnul. Cu $d=3$, $$M^{-1}(-2)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-3& 2\\ 0& -1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-1& \frac{2}{3}\\ 0& -\frac{1}{3}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Verificare, în ambele ordini: $M(-2)\cdot M^{-1}(-2)=M^{-1}(-2)\cdot M(-2)=I_2$.

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: un produs egal cu un multiplu.

Matricea $M(1)$ se obține adunând $I_2$ la $A$, iar $M(2)$ adunând $I_2$ la $2A$. Produsul se face linie cu coloană; cele patru elemente ale lui sunt $2\cdot 3+1\cdot 0=6$, $2\cdot 2+1\cdot 5=9$, $0\cdot 3+3\cdot 0=0$ și $0\cdot 2+3\cdot 5=15$: $$M(1)\cdot M(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 3\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}3& 2\\ 0& 5\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}6& 9\\ 0& 15\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pentru partea din dreapta, $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 0& 4\end{array}\right)$, deci $A\cdot A+I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 0& 5\end{array}\right)$. Matricea rămasă după scoaterea factorului $3$ din produs este chiar aceasta, deci $M(1)\cdot M(2)=3\left(A\cdot A+I_2\right)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: un determinant diferit de $1$.

Din definiție, $M(a)-2aA=aA+I_2-2aA=I_2-aA$, iar $I_2-aA$ este $M(-a)$. Determinantul lui $M(-a)$ se obține din formula cerinței III.2, în care $a$ devine $-a$: $$M(a)-2aA=I_2-aA=M(-a)\Rightarrow \det (M(a)-2aA)=(1-a)(1-2a)\text{(2 p)}.$$ Dacă determinantul ar fi $1$, am avea $(1-a)(1-2a)=1$, adică $1-3a+2a^2=1$, deci $2a^2-3a=0$ și $$a(2a-3)=0.$$ Soluțiile sunt $a=0$ și $a=\frac{3}{2}$. Numărul $0$ nu este nenul, iar $\frac{3}{2}$ nu este întreg, deci niciuna nu convine unui număr întreg nenul $a$; prin urmare $\det (M(a)-2aA)\ne 1$ pentru orice număr întreg nenul $a$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o ecuație matriceală cu o coloană necunoscută.

Matricea necunoscută are două linii și o coloană, deci o scriem $X=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$. Produsul linie cu coloană dă $$A\cdot X=\left(\begin{array}{c}1\cdot x+1\cdot y\\ 0\cdot x+2\cdot y\end{array}\right),\text{iar egalitatea cu }\left(\begin{array}{c}0\\ -4\end{array}\right)\text{ ıˆnseamna˘}\{\begin{array}{l}x+y=0\\ 2y=-4\end{array}\text{(2 p)}.$$ A doua ecuație dă $y=-2$, iar din prima, $x=-y=2$. Soluția este $x=2$ și $y=-2$, adică $X=\left(\begin{array}{c}2\\ -2\end{array}\right)$, pe care o putem verifica: $1\cdot 2+1\cdot (-2)=0$ și $2\cdot (-2)=-4$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 2 din sesiunea de iunie 2018 a probei E. c) la matematică M_pedagogic, dată elevilor de la filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, durează trei ore și are trei subiecte de câte șase cerințe a câte 5 puncte, în total 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile de mai jos sunt cele ale foii oficiale, iar soluțiile și întrebările ghidajului sunt scrise de Matepolis, fiecare etapă punctată corespunzând unui rând al foii de evaluare.

Cuprinsul lucrării. Primele șase cerințe sunt independente: o expresie cu o fracție zecimală periodică, o funcție de gradul întâi, o ecuație exponențială, două ieftiniri succesive, un triunghi dat prin coordonatele vârfurilor și o sumă de pătrate de sinusuri. Următoarele șase se referă la legea $x\ast y=2(x+y)+xy+2$ pe $\mathbb{R}$: o valoare, forma factorizată, elementul neutru propus, două ecuații și un exemplu de numere raționale. Ultimele șase pornesc de la matricele $A$, $I_2$ și $M(a)=aA+I_2$: trei determinanți (cerințele III.1, III.2 și III.5), o inversă, un produs de matrice și o ecuație matriceală.

Programa pe clase. Potrivit programei de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, pusă în aplicare cu Bacalaureatul din 2015, funcția de gradul întâi și trigonometria triunghiului dreptunghic țin de clasa a IX-a. Ecuațiile exponențiale și logaritmice, procentele și calculul distanțelor în plan sunt în clasa a X-a, legile de compoziție în a XI-a, iar matricele, determinanții și ecuațiile matriceale în a XII-a. La cerințele I.3 și II.5 se poate relua lecția Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice, iar la cerința III.6, lecția Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Capcane, cu numerele lor.

• Exercițiul 1: numărătorul fracției periodice mixte $\text{0,1(6)}$ este $16-1=15$, nu $16$; cu $\frac{16}{90}=\frac{8}{45}$ s-ar obține altă valoare decât $\frac{1}{6}$.
• Exercițiul 2: condiția $f(a)=a$ dă $2a-2=a$, nu $2a-2=0$; a doua ar da $a=1$, dar $f(1)=0$, nu $1$.
• Exercițiul 3: ecuația $x^2-5x+6=0$ are soluțiile $2$ și $3$, nu $-2$ și $-3$, pentru că suma lor este $+5$.
• Exercițiul 4: două ieftiniri cu câte $10\%$ nu înseamnă una de $20\%$: din $900$ de lei, $20\%$ ar da $720$, iar rezultatul adevărat este $729$, fiindcă a doua ieftinire se face din $810$.
• Exercițiul 5: reciproca lui Pitagora cere pătratele laturilor, ${\left(\sqrt{10}\right)}^2+{\left(\sqrt{10}\right)}^2=20$; suma lungimilor $\sqrt{10}+\sqrt{10}=2\sqrt{10}=\sqrt{40}$ nu este $\sqrt{20}$.
• Exercițiul 6: ${\sin }^{2}30^{\circ }$ este ${\left(\sin 30^{\circ }\right)}^2=\frac{1}{4}$; fără ridicarea la pătrat, suma $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ nu ar fi $\frac{3}{2}$.
• Cerința II.3: numărul $0$ nu este element neutru, fiindcă $x\ast 0=2x+2$; de pildă $1\ast 0=4$, nu $1$.
• Cerința II.4: ecuația $x^2+6x+5=0$ are soluțiile $-1$ și $-5$; valorile $1$ și $5$ nu o verifică, deoarece $1+6+5=12$.
• Cerința II.5: dacă logaritmul zecimal al lui $x$ este $-2$, atunci $x=10^{-2}=\frac{1}{100}$, nu $x=-2$, care nici nu aparține lui $(0,+\infty )$.
• Cerința II.6: perechea $a=b=-\frac{3}{2}$ are numere raționale neîntregi, dar $a\ast b=-\frac{7}{4}$ nu este întreg, deci nu este un exemplu bun.
• Cerința III.2: matricea $I_2$ adaugă $1$ și pe diagonala lui $aA$, așa că al doilea element al diagonalei este $2a+1$, nu $2a$.
• Cerința III.3: matricea $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}-1& -2\\ 0& -3\end{array}\right)$, adică $M(-2)$ doar împărțită la determinant, nu este inversa ei: produsul lor are în stânga sus $\frac{1}{3}$, nu $1$.
• Cerința III.4: produsul $M(1)\cdot M(2)$ nu este $M(3)$; matricea $M(3)$ are $4$ în stânga sus, iar produsul are $6$.
• Cerința III.5: ecuația $a(2a-3)=0$ are soluția $a=\frac{3}{2}$, pentru care determinantul chiar este $1$, dar $\frac{3}{2}$ nu e întreg; iar $a=0$ este exclus de cuvântul „nenul”.
• Cerința III.6: din $x+y=0$ și $y=-2$ rezultă $x=2$, nu $x=-2$.

Despre litere. În Subiectul I, $a$ este necunoscuta la itemul 2, iar $A$ este un punct la itemul 5. La legea din Subiectul al II-lea, $x$ și $y$ sunt variabilele ei; la cerința II.3, $e=-1$ este numărul dat în enunț, verificat în rezolvare, nu căutat; la cerința II.4, $x$ este necunoscuta, iar la cerința II.5 necunoscuta este un număr din $(0,+\infty )$; la cerința II.6, $a$ și $b$ sunt numerele căutate. În Subiectul al III-lea, $A$ este matricea dată, iar $a$ din $M(a)$ este oarecare la cerințele III.2 și III.5 și are valorile $-2$, $1$ și $2$ la cerințele III.3 și III.4; la cerința III.6, $X$ este matricea necunoscută, iar $x$ și $y$ sunt elementele ei, introduse în rezolvare.