Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2019 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2019 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că numărul $\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3\sqrt{2}+1\right)+{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2$ este întreg.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(2m-1)x-5$, unde $m$ este număr real. Determinați numerele reale $m$, știind că $|f(1)|=4$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\sqrt{2x+3}=3x+2$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă cifra zecilor strict mai mică decât cifra unităților.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,1)$, $B(2,1)$ și $C(0,a)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ astfel încât $AC\perp OB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați măsura unghiului $A$ al triunghiului $ABC$, știind că $BC=6\sqrt{2}$, $AC=12$ și $m(\sphericalangle B)=45^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$.

1. (5 puncte) Calculați $\sqrt{2}\ast \sqrt{4}$.

2. (5 puncte) Demonstrați că legea de compoziție „$\ast$” este comutativă.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $2^x\ast 4^x=2$.

5. (5 puncte) Determinați valorile reale $x$ pentru care $x\ast (x+1)\le 8$.

6. (5 puncte) Calculați $1\ast \sqrt{2}\ast \sqrt{3}\ast \dots \ast \sqrt{10}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $M=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& 3\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $A(a)=M+2a{I}_2$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Calculați $\det M$.

2. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, știind că $\det (A(a))=7$.

3. (5 puncte) Arătați că $M\cdot A(a)=A(a)\cdot M$, pentru orice număr real $a$.

4. (5 puncte) Determinați inversa matricei $A(-1)$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $a$, $a>0$, pentru care suma elementelor matricei $A({\log }_{2}a)$ este egală cu $37$.

6. (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr întreg $m$, numărul $\det (A(m))$ este natural impar.

Barem și răspunsuri

Cele 18 cerințe au în total 90 de puncte, iar cu oficiul lucrarea ajunge la 100. În rezolvări, cifrele îngroșate din paranteze spun câte puncte din 5 revin fiecărui rând al foii de evaluare, în ordinea ei; itemul 4 are trei rânduri, celelalte au câte două.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Primul produs se desface termen cu termen: $\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3\sqrt{2}+1\right)=3\cdot 2+\sqrt{2}-3\sqrt{2}-1$, fiindcă $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$. Rămâne $$\left(\sqrt{2}-1\right)\left(3\sqrt{2}+1\right)=6-1-2\sqrt{2}=5-2\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$ Pătratul sumei este ${\left(\sqrt{2}+1\right)}^2=2+2\sqrt{2}+1=3+2\sqrt{2}$. La adunare, termenii cu $\sqrt{2}$ se reduc: $5-2\sqrt{2}+3+2\sqrt{2}=8$, un număr întreg (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcție de gradul întâi cu modul.

În $x=1$ funcția are valoarea $f(1)=(2m-1)\cdot 1-5=2m-6$. Modulul $|f(1)|$ este $4$ când numărul din interior este $4$ sau $-4$: $$2m-6=-4\text{ sau }2m-6=4\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $2m-6=-4$ dă $2m=2$, deci $m=1$, iar egalitatea $2m-6=4$ dă $2m=10$, deci $m=5$. Se cer $\mathbf{m}=1$ și $\mathbf{m}=5$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Ridicăm la pătrat ambii membri; pătratul din dreapta are trei termeni, $9x^2$, $12x$ și $4$. Trecem totul într-un singur membru și obținem $$2x+3=(3x+2{)}^2\Rightarrow 9x^2+10x+1=0\text{(3 p)}.$$ Pentru discriminant obținem $100-36=64$, iar formula rădăcinilor dă $x=\frac{-10\pm 8}{18}$, adică $-1$ sau $-\frac{1}{9}$. Prin ridicare la pătrat pot apărea soluții străine, așa că rădăcinile se încearcă în ecuația cu radical. Pentru valoarea $-1$, membrul drept este $3\cdot (-1)+2=-1$, număr negativ, iar un radical nu este negativ: valoarea $-1$ nu convine. Pentru $x=-\frac{1}{9}$, avem $2x+3=\frac{25}{9}$, $\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}$ și $3x+2=\frac{5}{3}$, deci $\mathbf{x}=-\frac{1}{9}$ convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitatea unei comparații între cifre.

De la $10$ la $99$ sunt $99-10+1=90$ de numere naturale cu două cifre, deci $90$ de cazuri posibile (1 p).

Fie $z$ cifra zecilor și $u$ cifra unităților, cu $z<u$. Pentru $z=1$, cifra $u$ poate fi $2,3,\dots ,9$, deci $8$ valori; pentru $z=2$ sunt $7$ valori, apoi $6,5,4,3,2$, iar pentru $z=8$ rămâne o singură valoare, $u=9$. Pentru $z=9$ nu mai există nicio cifră mai mare. Numărul cazurilor favorabile este $8+7+6+5+4+3+2+1=36$ (2 p).

Probabilitatea se obține împărțind cazurile favorabile la cele posibile: $p=\frac{36}{90}=\frac{2}{5}$, după simplificarea cu $18$ (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — drepte perpendiculare în reper.

Punctele $A(1,1)$ și $C(0,a)$ au abscise diferite, deci dreapta $AC$ are pantă: $m_{AC}=\frac{a-1}{0-1}=1-a$. Dreapta $OB$ trece prin originea $O(0,0)$ și prin $B(2,1)$, deci $m_{OB}=\frac{1-0}{2-0}=\frac{1}{2}$ (2 p).

Perpendicularitatea a două drepte cu pante înseamnă că produsul pantelor este $-1$, adică $\frac{1}{2}(1-a)=-1$. Rezultă $1-a=-2$, deci $\mathbf{a}=3$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — unghi dintr-un triunghi.

În orice triunghi, fiecare latură împărțită la sinusul unghiului ei opus dă aceeași valoare (teorema sinusurilor): $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AC}{\sin B}$. Cu $BC=6\sqrt{2}$, $AC=12$ și $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$, partea dreaptă este $\frac{12}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=12\sqrt{2}$, iar $$\frac{6\sqrt{2}}{\sin A}=12\sqrt{2}\Rightarrow \sin A=\frac{6\sqrt{2}}{12\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$ Un unghi cu sinusul $\frac{1}{2}$ măsoară $30^{\circ }$ sau $150^{\circ }$. Valoarea $150^{\circ }$ nu convine, fiindcă împreună cu $m(\sphericalangle B)=45^{\circ }$ ar da $195^{\circ }$, iar cele trei unghiuri ale unui triunghi însumează $180^{\circ }$. Rămâne $\mathbf{m}(\sphericalangle \mathbf{A})=30^{\circ }$, care convine (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea ei într-o pereche.

Punem $x=\sqrt{2}$ și $y=\sqrt{4}$ în $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$: $$\sqrt{2}\ast \sqrt{4}=\left(\sqrt{2}-2\right)\left(\sqrt{4}-2\right)+2\text{(3 p)}.$$ Cum $\sqrt{4}=2$, a doua paranteză este $2-2=0$, produsul parantezelor este $0$ și rămâne $2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: comutativitatea.

Legea este dată, pentru orice numere reale $x$ și $y$, prin $x\ast y=(x-2)(y-2)+2$ (2 p).

Inversăm rolurile celor două numere: $y\ast x=(y-2)(x-2)+2$. Produsul a două numere reale nu depinde de ordinea factorilor, deci primul termen al sumei rămâne același după ce factorii $(y-2)$ și $(x-2)$ își schimbă locurile, iar $$y\ast x=(x-2)(y-2)+2=x\ast y.$$ Cum egalitatea este valabilă pentru toate perechile $x$, $y$ de numere reale, legea „$\ast$” este comutativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Pentru orice $x$ real, $x\ast 3=(x-2)(3-2)+2=x-2+2=x$ (2 p).

În cealaltă ordine, $3\ast x=(3-2)(x-2)+2=x-2+2=x$, tot pentru orice $x$ real. Cum $x\ast 3=3\ast x=x$ pentru orice $x$, numărul $\mathbf{e}=3$ este elementul neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuație exponențială.

Aplicăm legea numerelor $2^x$ și $4^x$: $2^x\ast 4^x=\left(2^x-2\right)\left(4^x-2\right)+2$. Ecuația cere ca rezultatul să fie $2$, deci ultimul termen $2$ se reduce și rămâne $$\left(2^x-2\right)\left(4^x-2\right)=0⟺2^x-2=0\text{ sau }{4}^x-2=0\text{(3 p)}.$$ Primul factor se anulează pentru $x=1$, fiindcă $2^1=2$. Al doilea factor se anulează când $4^x$ ia valoarea $2$; cum $4=2^2$, asta înseamnă $2^{2x}=2^1$, deci $2x=1$ și $x=\frac{1}{2}$. Soluțiile sunt $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{x}=\frac{1}{2}$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: inegalitate de gradul al doilea.

Punem $y=x+1$ în lege: $x\ast (x+1)=(x-2)(x+1-2)+2=(x-2)(x-1)+2=x^2-3x+4$. Inegalitatea dată este echivalentă cu o inegalitate de gradul al doilea: $$(x-2)(x+1-2)+2\le 8⟺x^2-3x-4\le 0\text{(3 p)}.$$ Discriminantul este $9+16=25$, iar rădăcinile sunt $\frac{3\pm 5}{2}$, adică $-1$ și $4$. Parabola asociată trinomului are ramurile în sus (coeficientul lui $x^2$ este $1>0$), deci trinomul ia valori negative sau nule între rădăcini: $\mathbf{x}\in [-1,4]$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: compunere de mai mulți termeni.

Pentru orice numere reale $x$ și $y$ avem $x\ast 2=(x-2)(2-2)+2=2$ și $2\ast y=(2-2)(y-2)+2=2$. Așadar numărul $2$ rămâne $2$ după compunerea cu orice alt număr, din oricare parte (2 p).

Printre termenii compunerii apare $\sqrt{4}=2$. Legea este asociativă, deci parantezele se pot așeza oricum, iar primii patru termeni se grupează: $\left(1\ast \sqrt{2}\ast \sqrt{3}\right)\ast \sqrt{4}$. Ultimul termen al grupei este $2$, așa că, după prima egalitate, grupa este egală cu $2$. Rămâne $2\ast \left(\sqrt{5}\ast \sqrt{6}\ast \dots \ast \sqrt{10}\right)$, iar a doua egalitate dă rezultatul $2$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Determinantul unei matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ este $ps-qr$: din produsul elementelor de pe diagonala principală se scade produsul celor de pe cealaltă diagonală. Pentru $M$ obținem $$\det M=2\cdot 3-1\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ Scăderea unui număr negativ adaugă valoarea lui: $6+1=7$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: ecuație cu determinant.

Matricea $2a{I}_2$ are $2a$ pe cele două locuri ale diagonalei principale și zerouri în afara ei, deci $A(a)=M+2a{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2+2a& 1\\ -1& 3+2a\end{array}\right)$. Determinantul este $$\det (A(a))=(2+2a)(3+2a)-1\cdot (-1)=4a^2+10a+7\text{(3 p)}.$$ Ecuația $4a^2+10a+7=7$ devine $4a^2+10a=0$, adică $2a(2a+5)=0$. De aici $a=0$ sau $a=-\frac{5}{2}$, deci $\mathbf{a}=-\frac{5}{2}$ și $\mathbf{a}=0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: comutarea cu o matrice $A(a)$.

Produsul se desface prin distributivitate: $M\cdot A(a)=M\cdot \left(M+2a{I}_2\right)=M\cdot M+M\cdot 2a{I}_2$. Scalarul $2a$ iese în față, iar $M\cdot I_2=M$, deci $$M\cdot A(a)=M\cdot M+2aM\text{(2 p)}.$$ În cealaltă ordine, $A(a)\cdot M=\left(M+2a{I}_2\right)\cdot M=M\cdot M+2a\cdot I_2\cdot M=M\cdot M+2aM$, fiindcă $I_2\cdot M=M$. Ambele produse sunt egale cu $M\cdot M+2aM$, deci $M\cdot A(a)=A(a)\cdot M$ pentru orice $a$ real (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: inversa unei matrice de ordin 2.

Pentru $a=-1$, $A(-1)=M-2I_2=\left(\begin{array}{cc}2-2& 1\\ -1& 3-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$. Determinantul este $0\cdot 1-1\cdot (-1)=1$, nenul, deci matricea are inversă (2 p).

Inversa unei matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu determinantul $\Delta \ne 0$ este $\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$: elementele diagonalei principale își schimbă locurile, iar cele ale diagonalei secundare își schimbă semnul. Cu $\Delta =1$, $${\left(A(-1)\right)}^{-1}=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Verificare în ambele ordini: $A(-1)\cdot \left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 0\end{array}\right)\cdot A(-1)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: suma elementelor și un logaritm.

Pentru un număr real $t$, $A(t)=\left(\begin{array}{cc}2+2t& 1\\ -1& 3+2t\end{array}\right)$, iar adunând cele patru elemente obținem $(2+2t)+1+(-1)+(3+2t)=5+4t$. Cu $t={\log }_{2}a$ obținem $$5+4{\log }_{2}a\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $5+4{\log }_{2}a=37$ dă $4{\log }_{2}a=32$, adică ${\log }_{2}a=8$, iar din definiția logaritmului $a=2^8=256$, care este pozitiv. Rezultă $\mathbf{a}=256$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: un determinant natural impar.

Matricea $A(m)=M+2m{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2+2m& 1\\ -1& 3+2m\end{array}\right)$ are determinantul $\det (A(m))=(2+2m)(3+2m)+1=4m^2+10m+7$. Pentru $m$ întreg, numărul este întreg. Trinomul $4m^2+10m+7$ are discriminantul $10^2-4\cdot 4\cdot 7=-12<0$ și coeficientul $4>0$ la $m^2$, deci este pozitiv oricare ar fi $m$ real. Un întreg pozitiv este natural, așadar $\det (A(m))$ este natural (2 p).

Termenii $4m^2$ și $10m$ sunt numere pare, pentru că au factorul $2$. Suma lor este pară, iar adunată cu $7$, număr impar, dă un număr impar. Prin urmare $\det (A(m))$ este natural impar (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă foaia de simulare din 2019 pentru clasa a XII-a, la proba E. c) de matematică M_pedagogic. Lucrarea durează trei ore și are trei subiecte obligatorii. Fiecare subiect are șase cerințe, iar o cerință valorează 5 puncte; în total sunt 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt cele din foaia oficială, iar explicațiile, comentariile și ghidajul interactiv aparțin Matepolis; fiecare rând punctat al foii de evaluare are pe pagină rezolvarea lui.

Ce se cere. Primele șase cerințe sunt independente: o expresie cu radicali, o funcție liniară cu modul, o ecuație cu radical, o probabilitate, dreptele perpendiculare din reper și măsura unui unghi dintr-un triunghi. Următoarele șase formează o singură problemă, despre o lege de compoziție despre care cadrul spune că este asociativă. Ultimele șase formează tot o singură problemă, despre matricea $M$ și matricele $A(a)$ care se obțin din ea.

Ce spune programa. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, aplicată la Bacalaureatul din 2019, cuprinde în clasa a IX-a modulul unui număr real, funcția de gradul întâi, reperul cartezian și teorema sinusurilor. Radicalii, ecuațiile cu radicali, probabilitatea, perpendicularitatea a două drepte și logaritmii țin de clasa a X-a. Legile de compoziție sunt din clasa a XI-a, iar matricele, determinanții și inversa unei matrice din clasa a XII-a. La ecuația cu radical se potrivește lecția Ecuații cu radicali: verifici soluțiile, tehnologic, iar pentru legea de compoziție, lecția Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 3: după ridicarea la pătrat, ecuația de gradul al doilea are rădăcinile $-1$ și $-\frac{1}{9}$, dar $x=-1$ nu verifică ecuația cu radical: stânga devine $\sqrt{2\cdot (-1)+3}=1$, iar dreapta $3\cdot (-1)+2=-1$.
• Exercițiul 4: între „zecile mai mici” și „zecile mai mari” nu există simetrie. Zecile nu pot fi $0$, dar unitățile pot, așa că numerele cu zecile strict mai mari decât unitățile sunt $45$, iar cele cu zecile strict mai mici sunt doar $36$; probabilitatea cerută nu este $\frac{1}{2}$.
• Exercițiul 6: din $\sin A=\frac{1}{2}$ rezultă $A=30^{\circ }$ sau $A=150^{\circ }$, dar a doua valoare și $m(\sphericalangle B)=45^{\circ }$ ar însuma $195^{\circ }$, mai mult decât cele $180^{\circ }$ ale unui triunghi.
• Cerința II.4: ecuația are două soluții. Valoarea $x=1$ anulează primul factor, iar $x=\frac{1}{2}$ îl anulează pe al doilea, fiindcă $4^{1/2}=\sqrt{4}=2$; cine se oprește la primul factor pierde a doua soluție.
• Cerința III.2: produsul diagonalei secundare este $1\cdot (-1)=-1$, iar scăderea lui adaugă $1$. Dacă în schimb s-ar scădea $1$, determinantul ar fi $4a^2+10a+5$, iar ecuația $4a^2+10a+5=7$ ar avea discriminantul $100+32=132$, care nu este pătrat perfect; rădăcinile ar fi iraționale, în loc de $0$ și $-\frac{5}{2}$.
• Cerința III.5: din ${\log }_{2}a=8$ rezultă $a=2^8=256$; numărul $8$ este logaritmul lui $a$, nu $a$. Pentru $a=8$, suma elementelor ar fi $5+4{\log }_{2}8=17$, nu $37$.

Despre litere. Aceeași literă are alt rol de la un item la altul. Litera $m$ este, în itemul 2, parametrul din $f(x)=(2m-1)x-5$ și totodată necunoscuta, iar în cerința III.6 este un număr întreg oarecare. Litera $a$ este în itemul 5 ordonata punctului $C(0,a)$ și necunoscuta; în cerința III.2 este necunoscuta, în cerința III.3 un număr real oarecare, iar în cerința III.5 necunoscuta cu $a>0$, care apare sub logaritm în $A({\log }_{2}a)$. Litera $x$ este variabila funcției în itemul 2 și necunoscuta în cerințele I.3, II.4 și II.5. Numărul $e=3$ din cerința II.3 este dat în enunț și doar se verifică. În itemul 5, $O$ este originea reperului, iar $A$, $B$ și $C$ sunt puncte; în Subiectul al III-lea, $A(a)$ este o matrice, iar $M$ este matricea dată în cadru.