Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2021 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2021 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=\frac{1}{2}$ și $a_4=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=ax+a-2$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(1)+f(-2)=0$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $1+{\log }_6(2x+6)=3$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să poată fi scris sub forma $n^3$, unde $n$ este număr natural.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$, $B(0,6)$, $C(4,2)$ și punctul $D$, mijlocul segmentului $BC$. Determinați ecuația dreptei $AD$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $2\sin 30^{\circ }\cos 60^{\circ }-\cos 120^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=\frac{(x-1)(y-1)}{2}+1$.

1. (5 puncte) Arătați că $2\ast (-5)=-2$.

2. (5 puncte) Verificați dacă $e=3$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $a\ast 5=3$.

4. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x\ast (1-x)\ge -5$.

5. (5 puncte) Arătați că există o infinitate de numere naturale $n$ pentru care numărul $N=\left(\sqrt{n}+1\right)\ast \left(\sqrt{n}+1\right)$ este natural par.

6. (5 puncte) Determinați tripletele $(m,n,p)$ de numere naturale, cu $m<n<p$, pentru care $m\ast n\ast p=8$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ -1& 1\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B(n)=\underset{\text{de }n\text{ ori }A}{\underbrace{A\cdot A\cdot \dots \cdot A}}$, unde $n$ este număr natural nenul.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=4$.

2. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A+x{I}_2\right)\ge 3$, pentru orice număr real $x$.

3. (5 puncte) Arătați că există un număr real $a$, astfel încât $B(3)=a{I}_2$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det \left(2mA+I_2\right)+2m\det \left(A-I_2\right)=0$.

5. (5 puncte) Se consideră matricea $M=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, astfel încât $A\cdot M=M\cdot A$. Arătați că $x+y+3z-t=0$.

6. (5 puncte) Demonstrați că, pentru orice număr natural nenul $n$, matricea $B(6n)$ are toate elementele numere naturale.

Barem și răspunsuri

Cifrele îngroșate din paranteze arată câte puncte din cele 5 revin fiecărei etape a unei rezolvări, în ordinea din foaia de evaluare. Cele 18 cerințe adună 90 de puncte; împreună cu oficiul se ajunge la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — suma a trei termeni de la începutul unei progresii.

Termenul $a_4$ se obține din $a_1$ prin trei adăugări ale rației $r$, deci $5=\frac{1}{2}+3r$. De aici $3r=\frac{9}{2}$ și $r=\frac{3}{2}$ (2 p).

Termenii sunt $a_2=a_1+r$ și $a_3=a_1+2r$, așa că $$a_1+a_2+a_3=3a_1+3r=3\cdot \frac{1}{2}+3\cdot \frac{3}{2}=\frac{3}{2}+\frac{9}{2}=6\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi cu parametru.

Pentru $x=1$ avem $f(1)=a\cdot 1+a-2=2a-2$, iar pentru $x=-2$ avem $f(-2)=a\cdot (-2)+a-2=-a-2$ (2 p).

Egalitatea cerută devine $(2a-2)+(-a-2)=0$, adică $a-4=0$, deci $\mathbf{a}=4$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Scădem $1$ din ambii membri: ${\log }_6(2x+6)=2$. Prin definiția logaritmului, argumentul este baza ridicată la puterea $2$: $$2x+6=6^2\text{(3 p)}.$$ Rămâne $2x+6=36$, deci $2x=30$ și $x=15$. Argumentul este $2\cdot 15+6=36>0$, deci $\mathbf{x}=15$ este soluție (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu cuburi.

Mulțimea numerelor naturale cu o singură cifră este $\{0,1,2,\dots ,9\}$, deci avem $10$ cazuri posibile (2 p).

Dintre ele se scriu ca $n^3$, cu $n$ natural, numerele $0^3=0$, $1^3=1$ și $2^3=8$; următorul cub, $3^3=27$, are două cifre. Avem $3$ cazuri favorabile (2 p).

Împărțim numărul cazurilor favorabile la numărul celor posibile: probabilitatea este $\frac{3}{10}$ (1 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și ecuația unei drepte.

Mijlocul lui $BC$ are coordonatele semisumelor: $x_D=\frac{0+4}{2}=2$ și $y_D=\frac{6+2}{2}=4$, deci $D(2,4)$ (2 p).

Panta dreptei $AD$ este $\frac{4-2}{2-0}=1$. Dreapta trece prin $A(0,2)$, un punct de pe axa $Oy$, deci ordonata la origine este $2$. Ecuația dreptei $AD$ este $\mathbf{y}=\mathbf{x}+2$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Valorile cunoscute sunt $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$. Cosinusul unui unghi obtuz este negativ, iar $120^{\circ }$ este obtuz: $\cos 120^{\circ }=\cos (180^{\circ }-60^{\circ })=-\cos 60^{\circ }=-\frac{1}{2}$ (3 p).

Înlocuim: $2\sin 30^{\circ }\cos 60^{\circ }-\cos 120^{\circ }=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: valoarea ei într-o pereche.

Punem $x=2$ și $y=-5$ în definiția legii: $$2\ast (-5)=\frac{(2-1)(-5-1)}{2}+1\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $1\cdot (-6)=-6$, iar $\frac{-6}{2}=-3$, deci $2\ast (-5)=-3+1=-2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: elementul neutru.

Un element neutru $e$ trebuie să verifice $x\ast e=x$ și $e\ast x=x$ pentru orice $x$ real. Cu $e=3$, prima egalitate este $$x\ast 3=\frac{(x-1)(3-1)}{2}+1=\frac{(x-1)\cdot 2}{2}+1=x-1+1=x\text{(2 p)}.$$ A doua egalitate, în cealaltă ordine: $3\ast x=\frac{(3-1)(x-1)}{2}+1=x-1+1=x$, pentru orice $x$ real. Ambele egalități sunt adevărate pentru orice $x$ real, așadar $e=3$ este neutru pentru legea dată (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu un operand fixat.

Cu $y=5$: $$a\ast 5=\frac{(a-1)(5-1)}{2}+1=\frac{(a-1)\cdot 4}{2}+1=2(a-1)+1=2a-1\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $a\ast 5=3$ devine $2a-1=3$, deci $2a=4$ și $\mathbf{a}=2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: o inegalitate.

Al doilea operand este $y=1-x$, iar $y-1=-x$: $$x\ast (1-x)=\frac{(x-1)(-x)}{2}+1=\frac{-x^2+x}{2}+1=\frac{-x^2+x+2}{2}\text{(2 p)}.$$ Înmulțirea cu $2>0$ nu schimbă sensul inegalității $\frac{-x^2+x+2}{2}\ge -5$, care devine $-x^2+x+2\ge -10$, adică $-x^2+x+12\ge 0$, sau $x^2-x-12\le 0$. Avem $x^2-x-12=(x+3)(x-4)$, deci rădăcinile sunt $-3$ și $4$. Coeficientul lui $x^2$ este pozitiv, așa că trinomul ia valori negative între rădăcini și se anulează în ele: $\mathbf{x}\in [-3,4]$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: o infinitate de numere naturale.

Ambii operanzi sunt egali cu $\sqrt{n}+1$, iar fiecărui operand i se scade $1$ în formulă: $$N=\frac{\left(\sqrt{n}+1-1\right)\left(\sqrt{n}+1-1\right)}{2}+1=\frac{\sqrt{n}\cdot \sqrt{n}}{2}+1=\frac{n}{2}+1\text{(2 p)}.$$ Alegem $n=4k+2$, cu $k$ număr natural. Atunci $N=\frac{4k+2}{2}+1=2k+1+1=2(k+1)$, număr natural par. Valorile $k=0,1,2,\dots$ dau numerele $n=2,6,10,\dots$, toate diferite, deci există o infinitate de numere naturale $n$ pentru care $N$ este natural par (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: tripleți de numere naturale.

Legea fiind asociativă, expresia $m\ast n\ast p$ are sens fără paranteze. Din formulă, $(m\ast n)-1=\frac{(m-1)(n-1)}{2}$; la a doua compunere, cu al treilea operand $p$, se înmulțește cu $p-1$ și se împarte din nou la $2$, deci $$m\ast n\ast p=\frac{(m-1)(n-1)(p-1)}{4}+1\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $m\ast n\ast p=8$ dă $\frac{(m-1)(n-1)(p-1)}{4}=7$, adică $(m-1)(n-1)(p-1)=28$. Numerele $m-1<n-1<p-1$ sunt întregi cel puțin egale cu $-1$. Produsul $28$ nu poate avea un factor nul. Dacă $m$ ar fi $0$, factorul $m-1$ ar fi negativ, iar ceilalți doi, $n-1\ge 0$ și $p-1>0$, nu sunt negativi: produsul nu ar fi pozitiv. Rămân factori strict pozitivi, adică $1\le m-1<n-1<p-1$. Descompunerile lui $28=2^2\cdot 7$ în trei factori naturali nenuli sunt $1\cdot 1\cdot 28$, $2\cdot 2\cdot 7$, $1\cdot 2\cdot 14$ și $1\cdot 4\cdot 7$; primele două repetă un factor, deci rămân $1\cdot 2\cdot 14$ și $1\cdot 4\cdot 7$. Adăugând $1$ la fiecare factor, tripletele sunt $(2,3,15)$ și $(2,5,8)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

La o matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)$ determinantul este $ad-bc$. Pentru $A$ avem $a=1$, $b=3$, $c=-1$, $d=1$, deci $$\det A=1\cdot 1-3\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ Produsul $3\cdot (-1)$ este $-3$, iar $\det A=1+3=4$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: un determinant mai mare sau egal cu 3.

Pe diagonala lui $x{I}_2$ stă $x$, iar celelalte elemente sunt $0$, deci $$A+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}1+x& 3\\ -1& 1+x\end{array}\right),\det \left(A+x{I}_2\right)=(1+x)(1+x)-3\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ Produsul $3\cdot (-1)$ este $-3$; a-l scădea echivalează cu a aduna $3$, deci $\det \left(A+x{I}_2\right)=(1+x{)}^2+3$. Fiind pătratul unui număr real, $(1+x{)}^2\ge 0$ pentru orice $x$ real. Adunând $3$, obținem $(1+x{)}^2+3\ge 3$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: o putere care se reduce la $a{I}_2$.

Avem $B(3)=A\cdot A\cdot A=(A\cdot A)\cdot A$. La un produs $P\cdot Q$, elementul $(i,j)$ este suma produselor dintre elementele liniei $i$ din $P$ și cele ale coloanei $j$ din $Q$, luate în aceeași ordine: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+3\cdot (-1)& 1\cdot 3+3\cdot 1\\ -1\cdot 1+1\cdot (-1)& -1\cdot 3+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-2& 6\\ -2& -2\end{array}\right).$$ Înmulțim încă o dată cu $A$, la dreapta: $$B(3)=\left(\begin{array}{cc}-2\cdot 1+6\cdot (-1)& -2\cdot 3+6\cdot 1\\ -2\cdot 1+(-2)\cdot (-1)& -2\cdot 3+(-2)\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-8& 0\\ 0& -8\end{array}\right)=-8I_2\text{(3 p)}.$$ Matricea $a{I}_2$ are pe diagonală numărul $a$, iar în rest zerouri; egalitatea $-8I_2=a{I}_2$ se verifică pentru $\mathbf{a}=-8$, deci numărul real $a$ există (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: o ecuație cu determinanți.

Avem $2mA+I_2=\left(\begin{array}{cc}2m+1& 6m\\ -2m& 2m+1\end{array}\right)$, deci $$\det \left(2mA+I_2\right)=(2m+1{)}^2-6m\cdot (-2m)=4m^2+4m+1+12m^2=16m^2+4m+1.$$ Matricea $A-I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -1& 0\end{array}\right)$ are determinantul $0\cdot 0-3\cdot (-1)=3$, deci $2m\det \left(A-I_2\right)=6m$ (3 p).

Rămâne ecuația $16m^2+4m+1+6m=0$, deci $16m^2+10m+1=0$, cu $\Delta =10^2-4\cdot 16\cdot 1=36$. Soluțiile $m=\frac{-10\pm 6}{32}$ sunt $\mathbf{m}=-\frac{1}{2}$ și $\mathbf{m}=-\frac{1}{8}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: matrice care comută cu $A$.

Pentru $A\cdot M$ se combină liniile lui $A$ cu coloanele lui $M$, iar pentru $M\cdot A$ liniile lui $M$ cu coloanele lui $A$: $$A\cdot M=\left(\begin{array}{cc}x+3z& y+3t\\ -x+z& -y+t\end{array}\right),M\cdot A=\left(\begin{array}{cc}x-y& 3x+y\\ z-t& 3z+t\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Două matrice sunt egale când au aceleași elemente pe fiecare poziție. Poziția din stânga sus dă $x+3z=x-y$, deci $3z=-y$; poziția din dreapta sus dă $y+3t=3x+y$, deci $3t=3x$ și $t=x$. Atunci $$x+y+3z-t=x+y+(-y)-x=0\text{(3 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: toate elementele unei puteri sunt numere naturale.

Matricea $B(6n)$ este produsul a $6n$ factori $A$. Îi grupăm câte trei: obținem $2n$ grupe, fiecare egală cu $B(3)=-8I_2$. Prin urmare $$B(6n)=\underset{2n\text{ factori}}{\underbrace{B(3)\cdot B(3)\cdot \dots \cdot B(3)}}=(-8I_2{)}^{2n}=(-8{)}^{2n}{I}_2\text{(3 p)}.$$ Scalarul $-8$ se scoate în fața produsului, iar $I_2\cdot I_2=I_2$. Exponentul $2n$ este par, deci $(-8{)}^{2n}={\left((-8{)}^2\right)}^n=64^n$ și $B(6n)=64^n{I}_2=\left(\begin{array}{cc}64^n& 0\\ 0& 64^n\end{array}\right)$. Elementele sunt $64^n$, număr natural, și $0$, tot număr natural, pentru orice $n$ natural nenul; prin urmare $B(6n)$ are numai elemente naturale (2 p).

Pentru părinți și profesori

Aici găsiți foaia de la simularea din 2021 a probei E. c), matematică M_pedagogic. Toate subiectele sunt obligatorii, lucrarea durează trei ore efective, iar cele 18 cerințe valorează fiecare 5 puncte, în total 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile sunt cele oficiale; rezolvările, explicațiile și ghidajul sunt scrise de noi, iar fiecare etapă punctată dintr-o rezolvare corespunde unui rând al foii de evaluare.

Cum se împarte foaia. Subiectul I cuprinde șase probleme independente, de la adunarea a trei termeni ai unei progresii aritmetice și o funcție de gradul întâi până la o expresie trigonometrică; între ele se află o ecuație logaritmică, o probabilitate și ecuația unei drepte în reper. Al doilea subiect este o singură problemă, despre legea asociativă $x\ast y=\frac{(x-1)(y-1)}{2}+1$ de pe mulțimea numerelor reale. Al treilea subiect este tot o singură problemă, despre matricea $A$ și puterile ei $B(n)$.

În programă. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, în vigoare la Bacalaureatul din 2021, trece în clasa a IX-a progresiile aritmetice, funcția de gradul întâi și formulele pentru sinusul și cosinusul unghiului $180^{\circ }-x$; ecuațiile logaritmice, probabilitatea și ecuația dreptei în reper aparțin clasei a X-a; legile de compoziție aparțin clasei a XI-a, iar matricele și determinanții clasei a XII-a. Pentru exersare sunt utile lecțiile Lege de compoziție la tehnologic: tabla și Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 4: zero este număr natural de o cifră și este chiar cub, $0=0^3$. Dacă se numără doar $1,2,\dots ,9$, rămân $9$ cazuri posibile și $2$ favorabile, iar raportul $\frac{2}{9}$ nu este probabilitatea cerută.
• Cerința II.2: un exemplu numeric nu arată că $3$ este neutru: $5\ast 3=5$ este adevărată, dar neutralitatea se cere pentru orice $x$ real, așa că ambele egalități, $x\ast 3$ și $3\ast x$, se calculează cu litera $x$.
• Cerința II.4: inegalitatea nu este strictă. Capătul $-3$ dă $(-3)\ast 4=-5$, iar capătul $4$ dă $4\ast (-3)=-5$; fiindcă $-5\ge -5$, ambele capete aparțin soluției, iar intervalul deschis $(-3,4)$ ar pierde două soluții.
• Cerința II.6: tripletul $(3,3,8)$ dă $(3-1)(3-1)(8-1)=28$, dar repetă numărul $3$; enunțul cere $m<n<p$, deci tripletul nu este soluție.
• Cerința III.3: ridicarea la pătrat a fiecărui element al lui $A$ ar da $\left(\begin{array}{cc}1& 9\\ 1& 1\end{array}\right)$, în timp ce produsul $A\cdot A$ este $\left(\begin{array}{cc}-2& 6\\ -2& -2\end{array}\right)$.
• Cerința III.5: matricea $A$ nu comută cu fiecare matrice $M$. Pentru $M$ cu toate elementele egale cu $1$, produsul $A\cdot M$ are linia a doua nulă, iar $M\cdot A$ are prima coloană nulă; de aceea egalitatea $A\cdot M=M\cdot A$ impune condiții asupra elementelor.

Despre litere. Aceeași literă are alt rol în itemi diferiți. Litera $a$: în itemul 1, $a_1$ și $a_4$ sunt termeni ai progresiei, iar rația $r$ este introdusă în rezolvare; în itemul 2, $a$ este parametrul din $f(x)=ax+a-2$ și totodată necunoscuta; în cerința II.3, $a$ este necunoscuta din $a\ast 5=3$; în cerința III.3, $a$ este scalarul din $a{I}_2$. Literele $A$, $B$, $C$ și $D$ sunt puncte în itemul 5, dar în Subiectul al III-lea $A$ este matricea dată, iar $B(n)$ este puterea ei. În cerința II.2, $e=3$ este dat în enunț și doar se verifică, nu se caută. Litera $x$ este variabila funcției în itemul 2, necunoscută în cerințele I.3 și II.4, număr real oarecare în cerința III.2 și element al matricei $M$ în cerința III.5. Litera $n$ este număr natural în cerințele I.4 și II.5, iar în cerința III.6 este număr natural nenul, la fel ca în definiția lui $B(n)$; litera $m$ este un element al tripletului din cerința II.6 și necunoscută reală în cerința III.4.