Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2022 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2022 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Determinați suma primilor trei termeni ai progresiei aritmetice ${\left(a_n\right)}_{n\ge 1}$, știind că $a_1=3$ și $r=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=(1-2a)x+1$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(1)=f(-1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $1+{\log }_2(2x+1)={\log }_{2}4$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de o cifră, acesta să fie pătrat perfect.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,4)$, $B(-3,2)$ și $C(5,2)$. Determinați lungimea medianei triunghiului $ABC$ construită din vârful $A$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Calculați $\sqrt{3}\cdot \sin 60^{\circ }\cdot \sin 45^{\circ }-3\cdot \sin 30^{\circ }\cdot \cos 45^{\circ }$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1$.

1. (5 puncte) Arătați că $3\ast 4=-1$.

2. (5 puncte) Verificați dacă $e=-2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $a\ast 7=5$.

4. (5 puncte) Determinați valorile reale ale lui $x$ pentru care $x\ast (1+x)\ge -3$.

5. (5 puncte) Determinați cel mai mare număr natural $n$ pentru care $n\ast n\ast n\le n$.

6. (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere naturale pentru care $m\ast n=-1$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}2& 3\\ 1& -2\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

1. (5 puncte) Arătați că $\det (A)=-7$.

2. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A+x{I}_2\right)\ge -7$, pentru orice număr real $x$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A\cdot A=a{I}_2$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $m$ pentru care $\det \left(mA-I_2\right)=m\cdot \det \left(A+I_2\right)$.

5. (5 puncte) Se consideră matricea $M=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ y& x\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, astfel încât $A\cdot M=M\cdot A$. Arătați că $y=0$.

6. (5 puncte) Determinați pentru câte valori întregi ale lui $a$ obținem $\det (aA)\ge -28$.

Barem și răspunsuri

Fiecare etapă poartă, îngroșat, punctele ei. Baremul are două rânduri la fiecare cerință, cu o singură excepție: a patra cerință a Subiectului I, unde rândurile sunt de 2 p, 2 p și 1 p. Rezultatele finale sunt îngroșate, iar ordinea este cea a foii oficiale.

Exercițiul 1. (5 p) — suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice.

De la $a_1$ la $a_3$ sunt două salturi, fiecare de mărime $r$, așa că $$a_3=a_1+2r\text{(2 p)}.$$ Cu $a_1=3$ și $r=2$ rezultă $a_3=3+2\cdot 2=7$. Suma primilor trei termeni este semisuma extremelor înmulțită cu numărul termenilor: $$S_3=\frac{(a_1+a_3)\cdot 3}{2}=\frac{10\cdot 3}{2}=15\text{(3 p)}.$$ Verificare: termenul din mijloc este $a_2=3+2=5$, iar $3+5+7=15$.

Exercițiul 2. (5 p) — o egalitate între două valori ale unei funcții.

Se înlocuiesc $x=1$ și $x=-1$ în $f(x)=(1-2a)x+1$: $$f(1)=(1-2a)\cdot 1+1=2-2a,f(-1)=(1-2a)\cdot (-1)+1=-1+2a+1=2a\text{(2 p)}.$$ Egalitatea $f(1)=f(-1)$ devine $2-2a=2a$, deci $4a=2$ și $\mathbf{a}=\frac{1}{2}$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu logaritm.

Numărul ${\log }_{2}4$ este $2$, pentru că $2^2=4$; ecuația se scrie $$1+{\log }_2(2x+1)=2\text{(2 p)}.$$ Rămâne ${\log }_2(2x+1)=1$, adică $2x+1=2^1=2$, deci $x=\frac{1}{2}$. Logaritmul există numai pentru argument pozitiv: la $x=\frac{1}{2}$, argumentul este $2\cdot \frac{1}{2}+1=2>0$, iar $1+{\log }_{2}2=2={\log }_{2}4$. Așadar $\mathbf{x}=\frac{1}{2}$ este soluție, care convine (3 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitatea de a obține un pătrat perfect.

Un număr de o cifră este pătrat perfect când este $0^2$, $1^2$, $2^2$ sau $3^2$ (următorul pătrat, $4^2=16$, are două cifre): sunt $0$, $1$, $4$ și $9$. Avem deci $4$ cazuri favorabile (2 p). Mulțimea din enunț este $\{0,1,2,\dots ,9\}$ și are $10$ elemente: sunt $10$ cazuri posibile (2 p). Probabilitatea este raportul $p=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$ (1 p).

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unei mediane în reper.

Mediana din $A$ unește vârful $A$ cu mijlocul $M$ al laturii $BC$. Coordonatele lui $M$ sunt semisumele coordonatelor capetelor $B(-3,2)$ și $C(5,2)$: $$x_M=\frac{-3+5}{2}=1,y_M=\frac{2+2}{2}=2\text{(2 p)}.$$ Punctele $A(1,4)$ și $M(1,2)$ au aceeași abscisă: $x_M-x_A=0$, iar $y_M-y_A=-2$. Distanța dintre ele este $$AM=\sqrt{(x_M-x_A{)}^2+(y_M-y_A{)}^2}=\sqrt{4}=2\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 6. (5 p) — expresie cu sinus și cosinus.

Valorile cunoscute sunt $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ (3 p). Se înlocuiește în expresie; cum $\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}=3$, $$\sqrt{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}-3\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{4}-\frac{3\sqrt{2}}{4}=0\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea ei pe o pereche.

În definiția $x\ast y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1$ se pun $x=3$ și $y=4$: $$3\ast 4=-\frac{(3-1)(4-1)}{3}+1\text{(2 p)}.$$ Numărătorul este $2\cdot 3=6$, iar $-\frac{6}{3}+1=-2+1=-1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: verificarea unui element neutru.

Un element $e$ este neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$. Pentru $e=-2$: $$x\ast (-2)=-\frac{(x-1)(-2-1)}{3}+1=-\frac{(x-1)(-3)}{3}+1=x-1+1=x\text{(2 p)},$$ pentru orice $x$ real. În ordine inversă, $(-2)\ast x=-\frac{(-2-1)(x-1)}{3}+1=x-1+1=x$, de asemenea pentru orice $x$ real. Ambele egalități se verifică; așadar $e=-2$ este într-adevăr neutrul legii „$\ast$” (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu un operand fixat.

Se înlocuiesc $x=a$ și $y=7$: $$-\frac{(a-1)(7-1)}{3}+1=5\text{(2 p)}.$$ Fracția $\frac{7-1}{3}$ este $2$, deci ecuația este $-(a-1)\cdot 2+1=5$, adică $-2(a-1)=4$ și $a-1=-2$. Rezultă $\mathbf{a}=-1$ (3 p). Verificare: $(-1)\ast 7=-\frac{(-2)\cdot 6}{3}+1=4+1=5$.

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: o inecuație.

Pentru al doilea operand $1+x$ avem $(1+x)-1=x$, deci $$x\ast (1+x)=-\frac{(x-1)(1+x-1)}{3}+1=-\frac{x(x-1)}{3}+1\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea cerută este $-\frac{x(x-1)}{3}+1\ge -3$, adică $-\frac{x(x-1)}{3}\ge -4$. Înmulțind cu $-3$, sensul se schimbă: $x(x-1)\le 12$, adică $x^2-x-12\le 0$. Trinomul se descompune, $x^2-x-12=(x-4)(x+3)$, are rădăcinile $-3$ și $4$ și este negativ sau nul între ele. Prin urmare $\mathbf{x}\in [-3,4]$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: compunerea de trei ori a aceluiași număr.

Legea este asociativă, deci $n\ast n\ast n=(n\ast n)\ast n$. Întâi $n\ast n=-\frac{(n-1{)}^2}{3}+1$; notând $u=n\ast n$, avem $u-1=-\frac{(n-1{)}^2}{3}$, iar $$n\ast n\ast n=u\ast n=-\frac{(u-1)(n-1)}{3}+1=\frac{(n-1{)}^3}{9}+1\text{(3 p)}.$$ Inegalitatea $\frac{(n-1{)}^3}{9}+1\le n$ înseamnă $\frac{(n-1{)}^3}{9}\le n-1$; se înmulțește cu $9$, se trece totul în stânga și se scoate factorul comun $n-1$; celălalt factor este diferența de pătrate $(n-1{)}^2-9=(n-4)(n+2)$, iar condiția devine $$\frac{(n-1)(n-4)(n+2)}{9}\le 0.$$ Pentru $n$ natural, $n+2>0$, deci produsul primilor doi factori trebuie să fie nepozitiv, adică $n$ se află între rădăcinile $1$ și $4$, inclusiv: $1\le n\le 4$. Valorile naturale sunt $1,2,3,4$, iar cea mai mare este $\mathbf{n}=4$ (2 p); pentru valoarea $5$ a lui $n$ cei trei factori sunt $4$, $1$ și $7$, cu produsul $28$, pozitiv.

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: perechi de numere naturale.

Din $-\frac{(m-1)(n-1)}{3}+1=-1$ rezultă $-\frac{(m-1)(n-1)}{3}=-2$, deci $$(m-1)(n-1)=6\text{(2 p)}.$$ Produsul este pozitiv, așa că factorii $m-1$ și $n-1$ au același semn. Fiindcă $m$ și $n$ sunt naturale, $m-1\ge -1$ și $n-1\ge -1$; doi factori negativi ar fi atunci ambii $-1$, iar produsul lor ar fi $1$, nu $6$. Rămân factori pozitivi, adică descompunerile lui $6$ în doi factori: $1\cdot 6$, $2\cdot 3$, $3\cdot 2$ și $6\cdot 1$. Adăugând $1$ la fiecare factor, perechile sunt $(2,7)$, $(3,4)$, $(4,3)$ și $(7,2)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinantul de ordinul doi.

Determinantul este produsul elementelor diagonalei principale minus produsul celor de pe cealaltă diagonală: $$\det (A)=2\cdot (-2)-1\cdot 3\text{(3 p)}.$$ Rămâne $-4-3=-7$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: un determinant cu parametru.

Se adună elementele de pe aceleași locuri, iar $x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& x\end{array}\right)$: $$A+x{I}_2=\left(\begin{array}{cc}2+x& 3\\ 1& -2+x\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Determinantul este $(2+x)(-2+x)-3\cdot 1=x^2-4-3=x^2-7$. Inegalitatea $x^2-7\ge -7$ revine la $x^2\ge 0$, adevărată pentru orice $x$ real, fiindcă un pătrat nu este negativ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: pătratul lui $A$.

Produsul se face linie cu coloană: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 2+3\cdot 1& 2\cdot 3+3\cdot (-2)\\ 1\cdot 2+(-2)\cdot 1& 1\cdot 3+(-2)\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}7& 0\\ 0& 7\end{array}\right),a{I}_2=\left(\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& a\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Cele două matrice sunt egale când $a=7$ (celelalte două elemente sunt $0$ în ambele): $\mathbf{a}=7$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: o ecuație cu determinanți.

Avem $mA-I_2=\left(\begin{array}{cc}2m-1& 3m\\ m& -2m-1\end{array}\right)$, deci $\det \left(mA-I_2\right)=(2m-1)(-2m-1)-3m\cdot m=1-4m^2-3m^2=1-7m^2$. Pe de altă parte, $A+I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 1& -1\end{array}\right)$ și $\det \left(A+I_2\right)=3\cdot (-1)-3\cdot 1=-6$ (2 p). Ecuația este $1-7m^2=m\cdot (-6)$, adică $7m^2-6m-1=0$. Discriminantul este $36+28=64$, iar rădăcinile sunt $m=\frac{6\pm 8}{14}$, adică $m=1$ și $m=-\frac{1}{7}$. Soluțiile sunt $\mathbf{m}=-\frac{1}{7}$ și $\mathbf{m}=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: matricele care comută cu $A$.

Elementele produselor se obțin linie cu coloană: $$A\cdot M=\left(\begin{array}{cc}2x+3y& 2y+3x\\ x-2y& y-2x\end{array}\right),M\cdot A=\left(\begin{array}{cc}2x+y& 3x-2y\\ 2y+x& 3y-2x\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $A\cdot M=M\cdot A$ cere egalitatea elementelor de pe aceleași locuri. În stânga sus, $2x+3y=2x+y$, de unde $2y=0$, deci $y=0$. Dreapta sus cere $3x+2y=3x-2y$, adică tot $y=0$, iar pentru $y=0$ matricea $M=x{I}_2$ comută cu $A$, deci și celelalte două egalități se verifică. Rezultă $\mathbf{y}=0$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: câte valori întregi.

Scalarul $a$ înmulțește fiecare element: $aA=\left(\begin{array}{cc}2a& 3a\\ a& -2a\end{array}\right)$, iar $$\det (aA)=2a\cdot (-2a)-3a\cdot a=-4a^2-3a^2=-7a^2\text{(2 p)}.$$ Inegalitatea $-7a^2\ge -28$ se împarte la $-7$, cu schimbarea sensului: $a^2\le 4$, adică $-2\le a\le 2$. Numerele întregi din acest interval sunt $-2$, $-1$, $0$, $1$ și $2$, deci $a$ poate avea $5$ valori (3 p).

Pentru părinți și profesori

Pagina rezolvă foaia de la simularea din 2022 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, publicată de minister în arhiva simulării pentru clasa a XII-a. Lucrarea durează trei ore și cuprinde 18 cerințe de câte 5 puncte, adică 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Textele cerințelor sunt cele din foaie, iar rezolvările sunt scrise de Matepolis, câte o etapă pentru fiecare rând punctat al baremului.

Pe scurt, simularea. Subiectul I are șase cerințe de sine stătătoare: suma primilor trei termeni ai unei progresii aritmetice, o funcție de gradul întâi cu parametru, o ecuație cu logaritm, o probabilitate pe cifre, lungimea unei mediane în reper și o expresie cu valori trigonometrice. Subiectul al II-lea construiește o singură problemă pe legea asociativă $x\ast y=-\frac{(x-1)(y-1)}{3}+1$ din $\mathbb{R}$, iar Subiectul al III-lea, pe matricea $A$ de ordinul doi și pe determinanții ei.

Programa. În programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), progresia aritmetică, funcția de gradul întâi, inecuația de gradul al doilea și trigonometria triunghiului dreptunghic aparțin clasei a IX-a. Logaritmii, probabilitatea și distanța dintre două puncte aparțin clasei a X-a. Legile de compoziție vin în clasa a XI-a, iar matricele și determinanții, în clasa a XII-a. Cine vrea să reia progresia, poate citi Progresia aritmetică la tehnologic: rate, salarii; pentru determinant există Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid.

Capcane verificate.

• Exercițiul 1: între $a_1$ și $a_3$ sunt două salturi; $a_3=3+2\cdot 2=7$, pe când trei salturi ar da $3+3\cdot 2=9$. Termenul din mijloc este $a_2=5$, iar $3+5+7=15$.
• Exercițiul 3: ${\log }_{2}4=2$, fiindcă $2^2=4$; la $x=\frac{1}{2}$ argumentul $2x+1$ este $2$, deci pozitiv.
• Exercițiul 4: și $0$ este pătrat perfect, $0=0^2$; cine îl uită numără $3$ cazuri favorabile din $10$ și obține $\frac{3}{10}$, nu $\frac{2}{5}$.
• Exercițiul 5: mijlocul $M(1,2)$ are aceeași abscisă ca $A(1,4)$, așa că $AM$ este un segment vertical, de lungime $4-2=2$.
• Cerința II.4: capetele intervalului aparțin soluției, inegalitatea fiind nestrictă: pentru $x=4$ avem $x\ast (1+x)=-\frac{4\cdot 3}{3}+1=-3$, adică exact valoarea limită.
• Cerința II.5: $n\ast n\ast n=\frac{(n-1{)}^3}{9}+1$, cu plus în față; pentru valoarea $5$ a lui $n$ expresia este $\frac{73}{9}$, mai mare decât $5$, deci $5$ nu convine.
• Cerința II.6: ecuația $(m-1)(n-1)=6$ ar avea și soluția $m=0$, $n=-5$ (factorii $-1$ și $-6$), dar $-5$ nu este natural.
• Cerința III.4: determinantul nu este aditiv: $\det (mA-I_2)=1-7m^2$, iar $\det (mA)-\det I_2=-7m^2-1$.
• Cerința III.5: produsul de matrice nu este comutativ în general; de pildă, pentru $x=1$ și $y=1$, elementul din stânga sus este $5$ în $A\cdot M$ și $3$ în $M\cdot A$, deci cele două produse diferă.
• Cerința III.6: în $-2\le a\le 2$ intră și $a=0$, iar capetele $-2$ și $2$ dau chiar $-28$, deci inegalitatea nestrictă le păstrează; fără ele ar rămâne $3$ valori, nu $5$.

Literele. În Subiectul I, $a$ din a doua cerință este necunoscuta din coeficientul funcției. În problema cu legea, $x$ este necunoscută sau număr real oarecare, după cerință; $a$ din a treia cerință este numărul căutat, $n$ din a cincea este natural, iar $m$ și $n$ din ultima formează perechea de numere naturale căutată. În problema cu matrice, $x$ din a doua cerință este un număr real oarecare; $a$ din a treia este scalarul căutat; $m$ din a patra este un număr real căutat (nu are legătură cu $m$ din problema cu legea); $x$ și $y$ din a cincea sunt elementele matricei $M$, iar $a$ din ultima este un număr întreg.