Subiect Bac matematică pedagogic, august 2023 (varianta 7) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2023 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{50}-5\left(\sqrt{2}-1\right)=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-3x+a$, unde $a$ este număr real. Arătați că $f(1)=f(2)$, pentru orice număr real $a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația ${\log }_3(x+2)={\log }_3(4-x)$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea numerelor naturale de două cifre, acesta să aibă produsul cifrelor egal cu $8$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,a)$, $B(1,0)$ și $C(5,2)$, unde $a$ este număr real. Determinați numărul real $a$, știind că punctul $A$ este mijlocul segmentului $BC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\sin 30^{\circ }+\sqrt{2}\cos 45^{\circ }+\cos 60^{\circ }=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\ast y=3(4-x-y)+xy$.

1. (5 puncte) Arătați că $3\ast 0=3$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Arătați că $e=4$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Arătați că $\frac{7}{3}$ este simetricul lui $\frac{3}{2}$ în raport cu legea de compoziție „$\ast$”.

5. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^x\ast 3^x=3$.

6. (5 puncte) Calculați $3\ast 4\ast 5\ast \dots \ast 2023$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$ și $B(a)=\left(\begin{array}{cc}a+2& 1\\ 1& a\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(B(0)\right)=-1$.

2. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A=5I_2$.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $\det \left(B(a)+A\right)=0$.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $B(a)\cdot B(-2)=B(0)-I_2$.

5. (5 puncte) Demonstrați că matricea $B(a-1)$ este inversabilă, pentru orice număr rațional $a$.

6. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$, știind că $X\cdot B(0)=A$.

Barem și răspunsuri

Fiecare cerință are două etape, iar paranteza îngroșată de la capătul unei etape arată cât valorează ea: 2 p sau 3 p, în total 5 p. Etapele urmează ordinea rândurilor din foaia oficială. Rezultatele finale sunt îngroșate.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Din $50=25\cdot 2$ rezultă $\sqrt{50}=\sqrt{25\cdot 2}=5\sqrt{2}$. Paranteza se înmulțește cu $5$ pe fiecare termen: $5\left(\sqrt{2}-1\right)=5\sqrt{2}-5$. Atunci $$\sqrt{50}-5\left(\sqrt{2}-1\right)=5\sqrt{2}-\left(5\sqrt{2}-5\right)\text{(3 p)}.$$ Scăderea parantezei înseamnă scăderea fiecărui termen din ea, așa că $5\sqrt{2}-5\sqrt{2}+5=5$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — valori ale unei funcții cu parametru.

Se înlocuiește $x=1$ în $f(x)=x^2-3x+a$: $$f(1)=1^2-3\cdot 1+a=1-3+a=a-2\text{(2 p)},$$ pentru orice $a$ real. Pentru $x=2$: $f(2)=2^2-3\cdot 2+a=4-6+a=a-2$. Cele două valori coincid, $f(1)=f(2)=a-2$, indiferent de valoarea reală a lui $a$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație logaritmică.

Logaritmii există când argumentele sunt pozitive: $x+2>0$ și $4-x>0$, adică $x$ se află în intervalul $(-2,4)$. Doi logaritmi egali, în aceeași bază, au argumentele egale: $$x+2=4-x\text{(2 p)}.$$ Din $2x=2$ rezultă $x=1$. Valoarea $1$ este în intervalul $(-2,4)$: argumentele sunt $1+2=3$ și $4-1=3$, ambele pozitive. Prin urmare $\mathbf{x}=1$ este soluție, care convine (3 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate pe numerele de două cifre.

Cel mai mic număr cu două cifre este $10$, iar cel mai mare este $99$; între ele sunt $99-10+1=90$ de numere, deci $90$ de cazuri posibile (2 p). Cazurile favorabile se caută printre perechile (cifra zecilor, cifra unităților) cu produsul $8$. Descompunerile lui $8$ în doi factori-cifre sunt $1\cdot 8$ și $2\cdot 4$, fiecare în două ordini: $(1,8)$, $(2,4)$, $(4,2)$ sau $(8,1)$. Numerele favorabile sunt $18$, $24$, $42$ și $81$, adică $4$ cazuri favorabile. Împărțind la numărul cazurilor posibile se obține $\frac{4}{90}=\frac{2}{45}$ (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment, cu o coordonată necunoscută.

Ordonata mijlocului unui segment este semisuma ordonatelor capetelor. Pentru $B(1,0)$, $C(5,2)$ și mijlocul $A(3,a)$: $$a=\frac{0+2}{2}\text{(3 p)}.$$ Deci $a=\frac{2}{2}=1$ (2 p). Verificare: abscisa mijlocului este $\frac{1+5}{2}=3$, adică tocmai abscisa lui $A$.

Exercițiul 6. (5 p) — expresie cu sinus și cosinus.

Valorile cunoscute sunt $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (3 p). Produsul $\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ este $\frac{2}{2}=1$, fiindcă $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$. Prin urmare $$\sin 30^{\circ }+\sqrt{2}\cos 45^{\circ }+\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}+\sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea ei pe o pereche.

Se înlocuiesc $x=3$ și $y=0$ în definiția $x\ast y=3(4-x-y)+xy$: $$3\ast 0=3(4-3-0)+3\cdot 0\text{(3 p)}.$$ Paranteza are valoarea $4-3-0=1$, deci rezultatul este $3\cdot 1+0=3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: o formă cu paranteze.

Se desface paranteza din definiție, $3(4-x-y)=12-3x-3y$, și se scrie $12=9+3$: $$x\ast y=xy-3x-3y+9+3\text{(2 p)}.$$ Termenii se grupează: $xy-3x=x(y-3)$ și $-3y+9=-3(y-3)$. De aici, pentru orice numere reale $x$ și $y$, $$x\ast y=x(y-3)-3(y-3)+3=(x-3)(y-3)+3\text{(3 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Elementul neutru $e$ trebuie să verifice $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$. Cu forma $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$ și $e=4$: $$x\ast 4=(x-3)(4-3)+3=x-3+3=x\text{(2 p)},$$ pentru orice $x$ real. În cealaltă ordine, $4\ast x=(4-3)(x-3)+3=x-3+3=x$, de asemenea pentru orice $x$ real. Cele două egalități se verifică pentru orice $x$, așadar $e=4$ îndeplinește definiția neutrului pentru legea „$\ast$” (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: simetricul unui element.

Neutrul legii este $e=4$ (cerința precedentă); simetricul lui $x$ este numărul $y$ pentru care $x\ast y=y\ast x=4$. Se calculează întâi $$\frac{7}{3}\ast \frac{3}{2}=\left(\frac{7}{3}-3\right)\left(\frac{3}{2}-3\right)+3=\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)+3=1+3=4\text{(2 p)}.$$ Apoi, în ordine inversă, $\frac{3}{2}\ast \frac{7}{3}=\left(\frac{3}{2}-3\right)\left(\frac{7}{3}-3\right)+3=\left(-\frac{3}{2}\right)\left(-\frac{2}{3}\right)+3=1+3=4$. Ambele ordini dau $e=4$, prin urmare $\frac{3}{2}$ are ca simetric pe $\frac{7}{3}$ față de legea „$\ast$” (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: ecuație exponențială.

Din forma $x\ast y=(x-3)(y-3)+3$, pentru orice $x$ real: $$9^x\ast 3^x=\left(9^x-3\right)\left(3^x-3\right)+3\text{(2 p)}.$$ Ecuația $9^x\ast 3^x=3$ devine $\left(9^x-3\right)\left(3^x-3\right)=0$, adică $\left(3^{2x}-3\right)\left(3^x-3\right)=0$, pentru că $9=3^2$, deci $9^x$ se scrie $3^{2x}$. Produsul se anulează numai când măcar un factor se anulează. Din $3^{2x}=3^1$ rezultă $2x=1$, deci $x=\frac{1}{2}$; din $3^x=3^1$ rezultă $x=1$. Soluțiile sunt $\mathbf{x}=\frac{1}{2}$ și $\mathbf{x}=1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o compunere lungă.

Pentru orice $x$ real, $3\ast x=(3-3)(x-3)+3=0\cdot (x-3)+3=3$ (2 p). Legea este asociativă (așa spune enunțul), deci compunerea $3\ast 4\ast 5\ast \dots \ast 2023$ poate fi grupat ca $3\ast \left(4\ast 5\ast \dots \ast 2023\right)$. Paranteza este un număr real $x$, iar $3\ast x=3$ pentru orice $x$; așadar rezultatul este $3$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinantul de ordinul doi.

La o matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ determinantul este $ps-qr$. Pentru $a=0$ avem $B(0)=\left(\begin{array}{cc}0+2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, deci $$\det \left(B(0)\right)=2\cdot 0-1\cdot 1\text{(3 p)}.$$ Rămâne $0-1=-1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: pătratul unei matrice.

La produsul a două matrice, locul $(i,j)$ primește suma produselor dintre elementele liniei $i$ a primului factor și cele ale coloanei $j$ a celui de-al doilea: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}(-1)(-1)+2\cdot 2& (-1)\cdot 2+2\cdot 1\\ 2\cdot (-1)+1\cdot 2& 2\cdot 2+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1+4& -2+2\\ -2+2& 4+1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Adunările dau $A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}5& 0\\ 0& 5\end{array}\right)$, adică $A\cdot A=5{\mathbf{I}}_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: determinantul unei sume.

Suma se face pe elemente: $B(a)+A=\left(\begin{array}{cc}a+2+(-1)& 1+2\\ 1+2& a+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+1& 3\\ 3& a+1\end{array}\right)$. Atunci $$\det \left(B(a)+A\right)=(a+1)(a+1)-3\cdot 3=(a+1{)}^2-3^2\text{(3 p)}.$$ Cu formula $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$ se obține $(a+1{)}^2-3^2=(a+1-3)(a+1+3)=(a-2)(a+4)$. Produsul se anulează dacă $a-2=0$ sau $a+4=0$. Soluțiile sunt $\mathbf{a}=2$ și $\mathbf{a}=-4$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: o ecuație între produse și sume de matrice.

Se înlocuiește $-2$ în $B$: $B(-2)=\left(\begin{array}{cc}-2+2& 1\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)$. Produsul linie cu coloană este $$B(a)\cdot B(-2)=\left(\begin{array}{cc}(a+2)\cdot 0+1\cdot 1& (a+2)\cdot 1+1\cdot (-2)\\ 1\cdot 0+a\cdot 1& 1\cdot 1+a\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1-2a\end{array}\right)\text{(2 p)},$$ pentru orice $a$ real. În membrul drept, $B(0)-I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$. Egalitatea matricelor cere egalitatea elementelor de pe aceleași poziții: dreapta sus și stânga jos cer $a=1$, iar dreapta jos cere $1-2a=-1$, care pentru $a=1$ este adevărată. Deci $\mathbf{a}=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: inversabilitate.

Se înlocuiește $a-1$ în $B$: $B(a-1)=\left(\begin{array}{cc}(a-1)+2& 1\\ 1& a-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a+1& 1\\ 1& a-1\end{array}\right)$, iar $$\det \left(B(a-1)\right)=(a+1)(a-1)-1\cdot 1=a^2-1-1=a^2-2\text{(2 p)},$$ pentru orice $a$ real. Dacă determinantul unei matrice nu este zero, matricea admite inversă; trebuie deci dovedit că $a^2-2\ne 0$ pentru $a$ rațional. Dacă ar fi $a^2=2$, atunci $a$ ar fi $\sqrt{2}$ sau $-\sqrt{2}$, iar niciunul nu este număr rațional ($\sqrt{2}$ este irațional, deci și opusul lui). Cum $a$ este rațional, $a^2-2\ne 0$, prin urmare $B(a-1)$ admite inversă (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: ecuația $X\cdot B(0)=A$.

Pentru $B(0)=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$, determinantul este $2\cdot 0-1\cdot 1=-1\ne 0$, deci $B(0)$ admite inversă. Pentru inversa unei matrice de ordinul doi se interschimbă elementele diagonalei principale, se schimbă semnul celorlalte două și totul se împarte la determinant: $$B(0{)}^{-1}=\frac{1}{-1}\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ -1& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Verificare: $B(0)\cdot B(0{)}^{-1}$ are elementele $2\cdot 0+1\cdot 1=1$, $2\cdot 1+1\cdot (-2)=0$, $1\cdot 0+0\cdot 1=0$ și $1\cdot 1+0\cdot (-2)=1$, adică este $I_2$. Necunoscuta $X$ este în stânga lui $B(0)$, deci ambii membri se înmulțesc la dreapta cu $B(0{)}^{-1}$: $X=A\cdot B(0{)}^{-1}$, iar $$X=\left(\begin{array}{cc}-1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}(-1)\cdot 0+2\cdot 1& (-1)\cdot 1+2\cdot (-2)\\ 2\cdot 0+1\cdot 1& 2\cdot 1+1\cdot (-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& -5\\ 1& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$

Pentru părinți și profesori

Pagina de față rezolvă varianta 7 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, din sesiunea august 2023, pentru specializarea învățător-educatoare a filierei vocaționale. Timpul de lucru este de trei ore. Foaia are 18 cerințe, fiecare de 5 puncte, deci 90 de puncte în total. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile reproduc foaia oficială; soluțiile sunt scrise de Matepolis, câte o etapă pentru fiecare rând punctat al baremului.

Ce conține varianta 7. Prima parte are șase cerințe de sine stătătoare: un calcul cu radicali, o egalitate între două valori ale unei funcții de gradul al doilea cu parametru, o ecuație logaritmică, o probabilitate pe numerele de două cifre, un mijloc de segment cu o coordonată necunoscută și o expresie trigonometrică. A doua parte este o problemă despre legea asociativă $x\ast y=3(4-x-y)+xy$ pe $\mathbb{R}$, în care se află forma $(x-3)(y-3)+3$, elementul neutru, un simetric și o ecuație exponențială. A treia parte pornește de la matricea $A$ și de la familia $B(a)$ și se încheie cu ecuația $X\cdot B(0)=A$.

Ce parte din programă acoperă. Programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014) pune în clasa a IX-a funcția de gradul al doilea, reperul cartezian și trigonometria triunghiului dreptunghic; în clasa a X-a, radicalii, ecuațiile logaritmice, probabilitatea evenimentelor egal probabile și coordonatele punctelor. Legile de compoziție, cu neutrul și simetricul lor, sunt în clasa a XI-a, iar matricele, determinanții, matricele inversabile și ecuațiile matriceale, în clasa a XII-a. La proprietățile legii ajută Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru, iar la inversa unei matrice de ordinul doi, Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Capcane, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: factorul care iese de sub radical este $5$, nu $25$: $5^2\cdot 2=50$, în timp ce $25^2\cdot 2=1250$.
• Exercițiul 2: în $f(2)$ înmulțirea $3\cdot 2=6$ se face înaintea scăderii, deci $4-6=-2$; calculul $(4-3)\cdot 2$ ar da $2$. Pentru $a=5$, de pildă, $f(1)=3$ și $f(2)=3$.
• Exercițiul 3: valoarea găsită prin egalarea argumentelor se păstrează numai dacă verifică ambele condiții de existență, $x+2>0$ și $4-x>0$; pentru $x=1$ argumentele sunt $3$ și $3$, ambele pozitive, deci soluția convine.
• Exercițiul 4: numerele $24$ și $42$ sunt amândouă favorabile; cine numără doar $18$, $24$ și $81$ obține $\frac{3}{90}=\frac{1}{30}$, nu $\frac{2}{45}$.
• Exercițiul 5: ordonata mijlocului folosește ordonatele capetelor, $0$ și $2$; semisuma absciselor, $\frac{1+5}{2}=3$, este abscisa lui $A$, nu valoarea căutată.
• Cerința II.3: elementul neutru cere ambele egalități; în plus, $3$ nu este neutru: $3\ast 5=3$, pe când $4\ast 5=5$.
• Cerința II.4: simetricul se verifică prin elementul neutru al legii, $4$, nu prin $1$; produsul $\left(-\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)$ este $1$, iar după adunarea lui $3$ rezultă $4$.
• Cerința II.5: ecuația $9^x=3$ are soluția $x=\frac{1}{2}$, fiindcă $9^{1/2}=3$; valoarea $x=3$ nu merge, căci $9^3=729$.
• Cerința III.3: matricele se adună înainte de a calcula determinantul; la valoarea $0$ a lui $a$ avem $\det \left(B(0)+A\right)=-8$, pe când $\det B(0)+\det A=-1+(-5)=-6$.
• Cerința III.5: ecuația $a^2=2$ are soluțiile $\pm \sqrt{2}$, numere iraționale; de aceea condiția „$a$ rațional” contează, iar pentru $a=\sqrt{2}$ determinantul este $0$ și matricea nu este inversabilă.
• Cerința III.6: din $X\cdot B(0)=A$ rezultă $X=A\cdot B(0{)}^{-1}$; înmulțirea în ordine inversă, $B(0{)}^{-1}\cdot A$, dă $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ -5& 0\end{array}\right)$, care nu verifică ecuația.

Rolul literelor. La itemul cu funcția, $a$ este un parametru: egalitatea cerută trebuie să se verifice, oricare ar fi valoarea lui. La mijlocul segmentului, $a$ este necunoscuta, ordonata punctului $A$, iar la ecuația logaritmică și la cea exponențială necunoscuta este $x$. În problema cu legea, $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare când se demonstrează forma cu paranteze, iar $e$ notează elementul neutru, dat în enunț ($e=4$) și verificat prin calcul. În problema cu matrice, $a$ este parametrul familiei $B(a)$, apoi necunoscută în cele două ecuații, apoi număr rațional oarecare la inversabilitate; $X$ este matricea necunoscută de la final.