Subiect Bac matematică pedagogic, model 2023 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2023 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}+2\frac{1}{2}=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x+1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)$ este media aritmetică a numerelor $f(1)$ și $f(5)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2\sqrt{x-1}+3=5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $M=\{1,2,3,\dots ,2022\}$, acesta să fie multiplu de $2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,3)$, $B(-2,-1)$ și $C(1,-1)$. Arătați că triunghiul $ABC$ este dreptunghic.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Lungimea razei cercului circumscris triunghiului $ABC$ este $5$, iar $BC=10$. Calculați $\sin A$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x\circ y=xy+8(x+y)+56$.

1. (5 puncte) Arătați că $(-5)\circ (-6)=-2$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\circ y=(x+8)(y+8)-8$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Arătați că $e=-7$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

4. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale inecuația $x\circ (x+2)\le -8$.

5. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^x\circ (-7)=16$.

6. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $2(a\circ 1)=a+(a\circ 2)$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$ și $M(x)=I_2+xA$, unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=-6$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $M(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 3x\\ 2x& x+1\end{array}\right)$, pentru orice număr real $x$.

3. (5 puncte) Arătați că suma elementelor matricei $B$ este pătratul unui număr natural, unde $B=(-1)\cdot M(-1)\cdot M(1)$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $\det \left(M(x)\right)=0$.

5. (5 puncte) Arătați că matricea $C$ este inversabilă, unde $C=M(1)-M(2)+M(3)-M(4)$.

6. (5 puncte) Determinați perechile $(a,b)$ de numere naturale pentru care $aM(b)+bM(a)=I_2$.

Barem și răspunsuri

Rezolvările de mai jos sunt tăiate pe rândurile foii de evaluare, iar la capătul fiecărui rând stă, îngroșat, numărul lui de puncte. Cele 18 cerințe a câte 5 puncte dau 90, la care oficiul de 10 puncte adaugă încă o zecime din total, ajungând la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — o putere cu exponent negativ și un număr mixt.

Exponentul $-1$ cere inversarea fracției: ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}=\frac{5}{2}$. Numărul mixt $2\frac{1}{2}$ este suma $2+\frac{1}{2}$, adică $\frac{4}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$ (3 p). Prin urmare expresia din enunț, ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}+2\frac{1}{2}$, devine suma $\frac{5}{2}+\frac{5}{2}$, iar $$\frac{5}{2}+\frac{5}{2}=\frac{10}{2}=5\text{(2 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — media aritmetică a două valori ale funcției.

Formula funcției dă $f(a)=a+1$, $f(1)=1+1=2$ și $f(5)=5+1=6$ (3 p). Media aritmetică a numerelor $2$ și $6$ este $\frac{2+6}{2}$, iar cerința este $$a+1=\frac{2+6}{2}=4.$$ De aici $\mathbf{a}=3$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Se scade $3$ din ambii membri: $2\sqrt{x-1}=2$. Împărțind la $2$, $\sqrt{x-1}=1$; cum membrul drept este pozitiv, ridicarea la pătrat dă o ecuație echivalentă: $$x-1=1\text{(3 p)}.$$ Rezultă $x=2$. Proba în ecuația inițială: sub radical rămâne $2-1=1\ge 0$, iar $2\sqrt{1}+3=5$; așadar $\mathbf{x}=2$ convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate pe o mulțime de numere consecutive.

Mulțimea $M$ numără $2022$ de elemente, așadar alegerea poate avea $2022$ de rezultate; ele sunt cazurile posibile (2 p). Un multiplu de $2$ din $M$ are forma $2k$, cu $k$ natural nenul și $2k\le 2022$, adică $k\le 1011$. Primul este $2\cdot 1$, ultimul $2\cdot 1011=2022$, deci sunt $1011$ cazuri favorabile și $$p=\frac{1011}{2022}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi dreptunghic în reper.

Fiecare lungime se obține din diferențele coordonatelor capetelor: $BC=\sqrt{(1+2{)}^2+(-1+1{)}^2}=3$, apoi $AC=\sqrt{(1-1{)}^2+(3+1{)}^2}=4$ și, în sfârșit, $AB=\sqrt{(1+2{)}^2+(3+1{)}^2}=\sqrt{25}=5$ (3 p). Lungimile verifică $B{C}^2+A{C}^2=9+16=25=A{B}^2$, adică exact relația lui Pitagora pentru laturile $3$, $4$ și $5$. Deci triunghiul are un unghi drept, așezat față în față cu latura cea mai lungă, $AB$, adică în vârful $C$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — teorema sinusurilor.

Teorema sinusurilor leagă latura $BC$ de unghiul $A$ care i se opune și de raza $R$ a cercului circumscris: $\frac{BC}{\sin A}=2R$. Cu $BC=10$ și $R=5$, $$\frac{10}{\sin A}=2\cdot 5\text{(3 p)}.$$ Membrul drept este $10$, deci $\sin A=\frac{10}{10}=1$ (2 p). Un sinus egal cu $1$ arată că unghiul $A$ este drept, iar $BC$ este diametru.

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea într-o pereche.

Cu $x=-5$ și $y=-6$ în $xy+8(x+y)+56$: $$(-5)\circ (-6)=(-5)(-6)+8(-5-6)+56\text{(3 p)}.$$ Produsul este $30$, paranteza este $-11$, iar $8\cdot (-11)=-88$; deci $30-88+56=-2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: o formă cu doi factori.

În definiție se scrie $56=64-8$, ca să apară $8^2$: $$x\circ y=xy+8x+8y+64-8\text{(3 p)}.$$ Grupăm $xy+8x=x(y+8)$ și $8y+64=8(y+8)$. Rezultă $x(y+8)+8(y+8)-8=(x+8)(y+8)-8$, pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Elementul neutru $e=-7$ trebuie să verifice $x\circ e=e\circ x=x$ pentru orice $x$. Cu forma din cerința II.2, $$x\circ (-7)=(x+8)(-7+8)-8=x+8-8=x\text{(2 p)}.$$ La fel, $(-7)\circ x=(-7+8)(x+8)-8=x+8-8=x$, pentru orice $x$ real. Ambele egalități au loc pentru orice $x$, deci $e=-7$ este elementul neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: o inecuație.

Cu forma $(x+8)(y+8)-8$ și $y=x+2$, $$x\circ (x+2)=(x+8)(x+2+8)-8=(x+8)(x+10)-8\text{(2 p)}.$$ Adunând $8$ în ambii membri, inecuația devine $(x+8)(x+10)\le 0$. Produsul a doi factori este $\le 0$ când factorii au semne opuse sau când unul dintre ei este $0$. Dacă $x<-10$, factorii $x+8$ și $x+10$ sunt amândoi sub $0$, așa că produsul lor depășește $0$; dacă $x>-8$, ei sunt amândoi peste $0$ și produsul iarăși depășește $0$. Dacă $-10\le x\le -8$, avem $x+10\ge 0$ și $x+8\le 0$, iar produsul nu este pozitiv. Așadar $\mathbf{x}\in [-10,-8]$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: o ecuație exponențială.

Din cerința II.3, $-7$ este element neutru, deci $t\circ (-7)=t$ pentru orice $t$; în particular, cu $t=2^x$, $$2^x\circ (-7)=\left(2^x+8\right)(-7+8)-8=2^x\text{(3 p)}.$$ Ecuația devine $2^x=16$, iar $16=2^4$. Puterile lui $2$ cu exponenți diferiți sunt numere diferite, deci $\mathbf{x}=4$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o ecuație în $a$.

Pentru $a$ real arbitrar, $$a\circ 1=a+8(a+1)+56=9a+64,a\circ 2=2a+8(a+2)+56=10a+72\text{(3 p)}.$$ Ecuația $2(a\circ 1)=a+(a\circ 2)$ devine $2(9a+64)=a+10a+72$, adică $18a+128=11a+72$. De aici $7a=-56$ și $\mathbf{a}=-8$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $A=\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ 2& 1\end{array}\right)$ se calculează $0\cdot 1$ și $2\cdot 3$, iar al doilea număr se scade din primul: $$\det A=0\cdot 1-2\cdot 3\text{(3 p)}.$$ Rezultă $0-6=-6$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: forma lui $M(x)$.

Înmulțirea cu numărul $x$ afectează fiecare element al lui $A$, deci $xA=\left(\begin{array}{cc}0& 3x\\ 2x& x\end{array}\right)$ și $$M(x)=I_2+xA=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 3x\\ 2x& x\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Adunând pe poziții, $M(x)=\left(\begin{array}{cc}1+0& 0+3x\\ 0+2x& 1+x\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 3x\\ 2x& x+1\end{array}\right)$, pentru orice număr real $x$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: suma elementelor unui produs.

Din forma lui $M(x)$ avem $M(-1)=\left(\begin{array}{cc}1& -3\\ -2& 0\end{array}\right)$ și $M(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 2\end{array}\right)$. Pe poziția $(i,j)$ a produsului se combină linia $i$ din $M(-1)$ cu coloana $j$ din $M(1)$: $$M(-1)\cdot M(1)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+(-3)\cdot 2& 1\cdot 3+(-3)\cdot 2\\ (-2)\cdot 1+0\cdot 2& (-2)\cdot 3+0\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}-5& -3\\ -2& -6\end{array}\right).$$ Înmulțirea cu $-1$ schimbă semnul fiecărui element, deci $B=\left(\begin{array}{cc}5& 3\\ 2& 6\end{array}\right)$ (3 p). Elementele însumează $5+3+2+6=16=4^2$, iar $4$ este un număr natural: suma este deci un pătrat perfect de număr natural (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: ecuație cu determinantul.

Determinantul lui $M(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 3x\\ 2x& x+1\end{array}\right)$ este $$\det \left(M(x)\right)=1\cdot (x+1)-3x\cdot 2x=x+1-6x^2\text{(2 p)}.$$ Condiția $\det \left(M(x)\right)=0$ înseamnă $6x^2-x-1=0$. Discriminantul este $1+24=25$, iar soluțiile sunt $x=\frac{1\pm 5}{12}$, adică $x=\frac{1}{2}$ și $x=-\frac{1}{3}$. Verificare: $6\cdot \frac{1}{4}-\frac{1}{2}-1=0$ și $6\cdot \frac{1}{9}+\frac{1}{3}-1=0$. Așadar $\mathbf{x}=-\frac{1}{3}$ și $\mathbf{x}=\frac{1}{2}$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: inversabilitatea unei combinații.

Cu $M(k)=\left(\begin{array}{cc}1& 3k\\ 2k& k+1\end{array}\right)$ și semnele $+,-,+,-$, fiecare element al lui $C$ este o sumă alternantă. În stânga sus: $1-1+1-1=0$. În dreapta sus: $3-6+9-12=-6$. În stânga jos: $2-4+6-8=-4$. În dreapta jos: $2-3+4-5=-2$. Deci $$C=\left(\begin{array}{cc}0& -6\\ -4& -2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Determinantul este $0\cdot (-2)-(-6)(-4)=-24$. El este nenul, iar o matrice pătratică cu determinant nenul admite inversă; așadar $C$ este inversabilă (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: ecuație în numere naturale.

Cu $M(b)=\left(\begin{array}{cc}1& 3b\\ 2b& b+1\end{array}\right)$ și $M(a)=\left(\begin{array}{cc}1& 3a\\ 2a& a+1\end{array}\right)$, $$aM(b)=\left(\begin{array}{cc}a& 3ab\\ 2ab& ab+a\end{array}\right),bM(a)=\left(\begin{array}{cc}b& 3ab\\ 2ab& ab+b\end{array}\right),$$ iar suma lor este $\left(\begin{array}{cc}a+b& 6ab\\ 4ab& 2ab+a+b\end{array}\right)$ (2 p). Egalitatea cu $I_2$ înseamnă patru condiții: $a+b=1$ în stânga sus, $6ab=0$ în dreapta sus, $4ab=0$ în stânga jos și $2ab+a+b=1$ în dreapta jos. Din $ab=0$, ultima condiție se reduce la $a+b=1$, deci rămân $a+b=1$ și $ab=0$. Pentru numere naturale, $a+b=1$ înseamnă că unul dintre numere este $0$ și celălalt este $1$, iar ambele cazuri dau $ab=0$. Perechile sunt $(0,1)$ și $(1,0)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Subiectul-model de matematică M_pedagogic pregătit pentru Bacalaureatul 2023 (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare) poartă pe foaia oficială cuvântul „Model”, în locul unui număr de variantă. Cele 18 cerințe valorează câte 5 puncte, adică 90 în total, iar lucrul efectiv durează trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Adunate, ele ridică maximul la 100 de puncte. Enunțurile urmează foaia oficială; rezolvările sunt ale Matepolis și respectă, rând cu rând, împărțirea numărului de puncte din foaia de evaluare.

Ce conține modelul. Prima parte are șase cerințe independente: un calcul cu o putere cu exponent negativ și un număr mixt, funcția $f(x)=x+1$ cu media a două valori, o ecuație cu radical, o probabilitate pe mulțimea $\{1,2,\dots ,2022\}$, un triunghi dat prin vârfuri în reper și raza cercului circumscris unui triunghi. A doua parte folosește legea asociativă $x\circ y=xy+8(x+y)+56$ pe $\mathbb{R}$. A treia parte pornește de la matricea $A$ și de la familia $M(x)=I_2+xA$.

Legătura cu programa. Din programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), funcțiile și teorema sinusurilor sunt materie de clasa a IX-a; puterile cu exponent real, ecuațiile cu radicali, probabilitățile și distanțele în reper țin de clasa a X-a. Legile de compoziție se învață în clasa a XI-a, iar matricele și determinanții în clasa a XII-a. Pentru itemul 3 se poate relua lecția Ecuații cu radicali: verifici soluțiile, tehnologic, iar pentru produsul de matrice lecția Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: numărul mixt $2\frac{1}{2}$ înseamnă $2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$, nu produsul $2\cdot \frac{1}{2}=1$, iar ${\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}$ este $\frac{5}{2}$, nu $-\frac{2}{5}$.
• Exercițiul 3: dacă, din $2\sqrt{x-1}=2$, s-ar uita împărțirea la $2$ și radicalul ar fi egalat cu $2$, s-ar ajunge la $x=5$; dar $2\sqrt{5-1}+3=7$, nu $5$.
• Exercițiul 4: cel mai mare multiplu de $2$ din mulțime este $2\cdot 1011=2022$, iar $2\cdot 1012=2024$ depășește $2022$; sunt $1011$ multipli, nu $1012$.
• Cerința II.4: soluțiile inecuației stau între rădăcini. La $x=0$ produsul $(x+8)(x+10)$ este $80>0$, iar la $x=-8$ el este $0$, deci $-8$ convine, pentru că inegalitatea nu este strictă.
• Cerința III.3: produsul $M(-1)\cdot M(1)$ nu se face pe poziții; așa s-ar obține $\left(\begin{array}{cc}1& -9\\ -4& 0\end{array}\right)$, în timp ce produsul adevărat este $\left(\begin{array}{cc}-5& -3\\ -2& -6\end{array}\right)$.
• Cerința III.4: în ecuația $6x^2-x-1=0$ termenul liber este $-1$, deci $-4ac=+24$ și discriminantul este $1+24=25$, nu $1-24$.

Despre litere. Litera $M$ numește mulțimea $\{1,2,\dots ,2022\}$ la itemul 4 și, urmată de $(x)$, familia de matrice din partea a treia. Literele $A$, $B$, $C$ sunt vârfuri ale triunghiurilor din itemii 5 și 6; în ultima parte ele numesc matrice. Litera $a$ este necunoscută reală în itemul 2 și în ecuația cu legea, iar în ultima cerință $a$ și $b$ sunt numerele naturale căutate. Litera $e$ din cerința II.3 este elementul neutru propus, $e=-7$. În problema cu legea, $x$ și $y$ sunt elemente oarecare la cerința II.2, iar $x$ este element oarecare în rezolvarea cerinței II.3; la inecuația din cerința II.4 și la ecuația exponențială, $x$ este necunoscută. În problema cu matrice, $x$ este arbitrar în demonstrația formei lui $M(x)$ și necunoscut în ecuația cu determinantul.