Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2023 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2023 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2 (22 - 6) + 23 = 4$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 2 x + 1$ . Determinați numărul real pozitiv $a$ pentru care $f (a)$ este media geometrică a numerelor $f (0)$ și $f (4)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2 \cdot 3^{x + 1} = 18$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui produs este $300$ de lei. După o scumpire cu $p %$ prețul produsului devine $360$ de lei. Calculați $p$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (- 1, 2)$ , $B (1, 1)$ și $C (3, m)$ . Determinați numărul real $m$ pentru care punctul $C$ aparține dreptei $A B$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ dreptunghic în $A$ , $A B = 6$ și măsura unghiului $C$ este egală cu $6 0^{\circ}$ . Arătați că $B C = 43$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = \frac{1}{3} x y - x - y + 6$ .

1. (5 puncte) Arătați că $1 \circ (- 3) = 7$ .

2. (5 puncte) Arătați că $e = 6$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

3. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive ecuația $x \circ 6 = 1$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $2 \circ n < (2 n) \circ 1 + 1$ .

5. (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = \frac{1}{3} \cdot (x - 3) (y - 3) + 3$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

6. (5 puncte) Calculați $1 \circ 2 \circ \dots \circ 2023$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A = (- 1 2 21)$ , $B (a) = (a + 2 1 1 a)$ , $I_{2} = (1001)$ , unde $a$ este un număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $A \cdot A = 5 I_{2}$ .

2. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (B (a) + A) = 0$ .

3. (5 puncte) Demonstrați că $B (q - 1)$ este inversabilă pentru orice număr rațional $q$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $B (a) \cdot B (a) = B (\frac{5}{4})$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale pozitive $x$ pentru care $B (lo g_{2} x) - B (lo g_{4} x) = I_{2}$ .

6. (5 puncte) Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $X \cdot B (0) = A$ .

Barem și răspunsuri

Rezolvările sunt împărțite pe rândurile foii de evaluare, iar la sfârșitul fiecărui rând stă, îngroșat, numărul lui de puncte. Cele 18 cerințe a câte 5 puncte fac 90, iar oficiul de 10 puncte completează totalul la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Factorul $2$ se înmulțește pe rând cu cei doi termeni din paranteză: $2 \cdot 22 = 2 \cdot (2)^{2} = 4$ și $2 \cdot 6 = 12 = 23$ , deoarece $12 = 4 \cdot 3$ . Așadar $2 (22 - 6) = 4 - 23 (3 p) .$ Cu $23$ adăugat, cei doi termeni cu radical dau suma $0$ și rămâne $4 - 23 + 23 = 4$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — valoarea unei funcții egală cu o medie geometrică.

Formula funcției dă $f (a) = 2 a + 1$ , $f (0) = 1$ și $f (4) = 2 \cdot 4 + 1 = 9$ (3 p). Media geometrică a valorilor $1$ și $9$ este $1 \cdot 9 = 9 = 3$ , așa că enunțul cere $2 a + 1 = 9 = 3.$ Rezultă $2 a = 2$ și $a = 1$ , număr pozitiv, deci convine (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Împărțind ecuația la $2$ , membrul drept devine $\frac{18}{2} = 9 = 3^{2}$ , deci ambele părți sunt puteri ale lui $3$ . Puterile lui $3$ cu exponenți diferiți sunt numere diferite, așa că egalitatea puterilor cere exponenți egali: $3^{x + 1} = 3^{2}, deci x + 1 = 2 (3 p) .$ Scăzând $1$ din ambii membri, rezultă $x = 1$ (2 p). Proba: $2 \cdot 3^{1 + 1} = 2 \cdot 9 = 18$ .

Exercițiul 4. (5 p) — procente: prețul după scumpire.

Creșterea este $\frac{p}{100} \cdot 300$ lei, iar prețul nou este prețul vechi plus creșterea: Scăzând $300$ din ambii membri, rămâne doar creșterea: $300 + \frac{p}{100} \cdot 300 = 360, deci \frac{p}{100} \cdot 300 = 60 (3 p) .$ Cum $\frac{300}{100} = 3$ , egalitatea se scrie $3 p = 60$ , de unde $p = 20$ (2 p). Proba: $20%$ din $300$ este $60$ , iar $300 + 60 = 360$ .

Exercițiul 5. (5 p) — un punct pe o dreaptă dată prin două puncte.

Punctul $(x, y)$ aparține dreptei $A B$ când diferențele $x + 1$ și $y - 2$ față de $A$ sunt proporționale cu cele ale lui $B$ față de $A$ , adică cu $1 - (- 1) = 2$ și $1 - 2 = - 1$ : $\frac{x + 1}{2} = \frac{y - 2}{- 1} \Rightarrow x + 2 y - 3 = 0 (3 p) .$ Verificare: $A$ dă $- 1 + 4 - 3 = 0$ , iar $B$ dă $1 + 2 - 3 = 0$ . Pentru $C (3, m)$ se pune condiția ca ecuația să fie adevărată: $3 + 2 m - 3 = 0$ , de unde $m = 0$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — o latură a unui triunghi dreptunghic cu un unghi dat.

Unghiul drept este în $A$ , deci ipotenuza este $B C$ , iar cateta $A B$ se opune unghiului $C$ . Sinusul lui $C$ este câtul dintre cateta opusă, $A B$ , și ipotenuza $B C$ , iar $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ : $sin C = \frac{A B}{B C} ⟺ \frac{3}{2} = \frac{6}{B C} (3 p) .$ Rezultă $B C = \frac{12}{3} = \frac{12 3}{3} = 43$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea într-o pereche.

Cu $x = 1$ și $y = - 3$ în $\frac{1}{3} x y - x - y + 6$ : $1 \circ (- 3) = \frac{1}{3} \cdot 1 \cdot (- 3) - 1 + 3 + 6 (3 p) .$ Primul termen este $- 1$ , iar $- y = - (- 3) = 3$ ; astfel $- 1 - 1 + 3 + 6 = 7$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Elementul neutru lasă orice număr neschimbat, indiferent de partea pe care stă. Pentru orice $x \in R$ , cu $e = 6$ , $x \circ 6 = \frac{1}{3} \cdot x \cdot 6 - x - 6 + 6 = 2 x - x = x (2 p) .$ La fel, $6 \circ x = \frac{1}{3} \cdot 6 \cdot x - 6 - x + 6 = 2 x - x = x$ , pentru orice $x$ real. Din cele două egalități, $e = 6$ joacă rolul elementului neutru al legii (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu radical.

Pentru $x > 0$ numărul $x$ este real, iar $6$ este neutru (cerința II.2), deci $t \circ 6 = t$ pentru orice $t$ . Calculând direct, cu $t = x$ : $x \circ 6 = \frac{1}{3} \cdot x \cdot 6 - x - 6 + 6 = 2 x - x = x (3 p) .$ Ecuația devine $x = 1$ , de unde $x = 1$ ; numărul $1$ este pozitiv, deci $x = 1$ convine (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: o inegalitate cu numere naturale.

Din definiție, $2 \circ n = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot n - 2 - n + 6$ și $(2 n) \circ 1 = \frac{1}{3} \cdot 2 n \cdot 1 - 2 n - 1 + 6$ . Inegalitatea cerută este $\frac{2 n}{3} - 2 - n + 6 < \frac{2 n}{3} - 2 n - 1 + 6 + 1 (2 p) .$ Termenul $\frac{2 n}{3}$ figurează în ambele părți și se simplifică; rămâne $- n + 4 < - 2 n + 6$ , adică $n < 2$ . Cum $n$ este natural, valorile sunt $n = 0$ și $n = 1$ (3 p). Verificare: la $n = 0$ avem $4 < 6$ , la $n = 1$ avem $\frac{11}{3} < \frac{14}{3}$ .

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Din definiția $x \circ y = \frac{1}{3} x y - x - y + 6$ se scrie $- x = - \frac{1}{3} \cdot 3 x$ și $6 = 3 + 3$ : $x \circ y = \frac{1}{3} x y - \frac{1}{3} \cdot 3 x - y + 3 + 3 (2 p) .$ Primii doi termeni dau $\frac{1}{3} x (y - 3)$ , iar $- y + 3 = - (y - 3)$ , deci $x \circ y = \frac{1}{3} x (y - 3) - (y - 3) + 3$ . Scoatem factor comun pe $y - 3$ : $x \circ y = (y - 3) (\frac{1}{3} x - 1) + 3 = \frac{1}{3} (x - 3) (y - 3) + 3,$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: o compunere cu 2023 de operanzi.

Din forma de la cerința II.5, factorul $y - 3$ se anulează pentru $y = 3$ și rămâne doar $+ 3$ : pentru orice $x$ real, $x \circ 3 = \frac{1}{3} (x - 3) \cdot 0 + 3 = 3, 3 \circ x = \frac{1}{3} \cdot 0 \cdot (x - 3) + 3 = 3 (2 p) .$ Printre operanzii $1, 2, \dots, 2023$ se află $9 = 3$ . Asociativitatea permite gruparea $(1 \circ \dots \circ 8) \circ 9 \circ (10 \circ \dots \circ 2023)$ . Primul grup, compus cu $9 = 3$ , dă $3$ , pentru că $x \circ 3 = 3$ ; urmează $3 \circ (10 \circ \dots \circ 2023) = 3$ , pentru că $3 \circ x = 3$ . Valoarea compunerii este $3$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: pătratul unei matrice.

Elementul de pe poziția $(i, j)$ din $A \cdot A$ se calculează înmulțind pe rând elementele liniei $i$ cu cele ale coloanei $j$ și adunând rezultatele: $A \cdot A = ((- 1) (- 1) + 2 \cdot 2 2 \cdot (- 1) + 1 \cdot 2 (- 1) \cdot 2 + 2 \cdot 1 2 \cdot 2 + 1 \cdot 1) = (1 + 4 - 2 + 2 - 2 + 2 4 + 1) (3 p) .$ Rezultă $(5005) = 5 (1001)$ , adică $A \cdot A = 5 I_{2}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: ecuație cu determinantul unei sume.

Mai întâi se adună matricele, element cu element: $B (a) + A = (a + 2 - 1 1 + 2 1 + 2 a + 1) = (a + 1 3 3 a + 1)$ , iar determinantul ei este $det (B (a) + A) = (a + 1)^{2} - 3 \cdot 3 = (a + 1)^{2} - 9 (3 p) .$ Ecuația $(a + 1)^{2} - 9 = 0$ cere $a + 1 = 3$ sau $a + 1 = - 3$ , adică $a = 2$ sau $a = - 4$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: inversabilitate pentru orice $q$ rațional.

Punând $a = q - 1$ , $B (q - 1) = (q + 1 1 1 q - 1)$ , cu determinantul $det (B (q - 1)) = (q + 1) (q - 1) - 1 \cdot 1 = q^{2} - 2 (2 p) .$ Matricea este inversabilă cât timp determinantul ei diferă de $0$ . Ecuația $q^{2} - 2 = 0$ are soluțiile $q = 2$ și $q = - 2$ , iar ele nu sunt raționale, fiindcă $2$ este număr irațional. Rezultă $q^{2} - 2 \neq = 0$ pentru orice $q$ rațional, deci $B (q - 1)$ este inversabilă (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: ecuație cu pătratul lui $B (a)$ .

În produsul $B (a) \cdot B (a)$ , fiecare poziție adună două produse formate cu o linie și o coloană ale lui $B (a)$ : $B (a) \cdot B (a) = ((a + 2) (a + 2) + 1 \cdot 1 1 \cdot (a + 2) + a \cdot 1 (a + 2) \cdot 1 + 1 \cdot a 1 \cdot 1 + a \cdot a) = ((a + 2)^{2} + 1 2 a + 2 2 a + 2 a^{2} + 1) .$ Cum $B (\frac{5}{4}) = \frac{5}{4} + 2 1 1 \frac{5}{4} = \frac{13}{4} 1 1 \frac{5}{4}$ , am scris ambii membri ai egalității (3 p). Din poziția dreapta sus, $2 a + 2 = 1$ , deci $a = - \frac{1}{2}$ . Celelalte poziții confirmă: $(\frac{3}{2})^{2} + 1 = \frac{13}{4}$ și $1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$ . Așadar $a = - \frac{1}{2}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: ecuație cu logaritmi.

Fie $t = lo g_{2} x$ și $u = lo g_{4} x$ , cu $x > 0$ . Atunci $B (t) = (t + 2 1 1 t)$ și $B (u) = (u + 2 1 1 u)$ ; scăderea se face pe fiecare poziție: $B (t) - B (u) = (t - u 0 0 t - u) (2 p) .$ Egalitatea cu $I_{2}$ cere $0 = 0$ în colțuri și $t - u = 1$ pe diagonală. Fiindcă $4 = 2^{2}$ , logaritmul în baza $4$ este jumătate din cel în baza $2$ , deci $lo g_{2} x - \frac{1}{2} lo g_{2} x = 1$ , adică $lo g_{2} x = 2$ . Atunci $x = 2^{2} = 4$ , număr pozitiv; prin urmare $x = 4$ convine (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: ecuație matriceală.

Cu $X = (a c b d)$ și $B (0) = (2110)$ , $X \cdot B (0) = (2 a + b 2 c + d a c) (2 p) .$ Egalarea cu $A = (- 1 2 21)$ element cu element dă: $a = 2$ (dreapta sus) și $c = 1$ (dreapta jos). Din $2 a + b = - 1$ rezultă $b = - 5$ , iar din $2 c + d = 2$ rezultă $d = 0$ . Deci $X = (21 - 5 0)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Foaia oficială a simulării din 2023 are, în locul unui număr de variantă, cuvântul „Simulare”. Proba E. c) de matematică M_pedagogic (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare) are aici 18 cerințe a câte 5 puncte, adică 90 în total, și se lucrează trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Astfel lucrarea poate aduna cel mult 100 de puncte. Enunțurile urmează foaia oficială; rezolvările sunt ale Matepolis, cu etapele așezate pe rândurile foii de evaluare.

Ce conține simularea. Subiectul I reunește șase cerințe independente: un calcul cu radicali, o egalitate între o valoare a funcției $f (x) = 2 x + 1$ și media geometrică a altor două, o ecuație exponențială, o scumpire cu procent necunoscut, o condiție ca un punct din reper să stea pe dreapta $A B$ și un triunghi cu un unghi drept și unul de $6 0^{\circ}$ . Subiectul al II-lea lucrează cu legea asociativă $x \circ y = \frac{1}{3} x y - x - y + 6$ pe $R$ , în care apar un element neutru și un element care „absoarbe” pe celelalte. Ultima parte a lucrării folosește matricele $A$ și $B (a)$ .

Legătura cu programa. În programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), clasa a IX-a aduce funcțiile $a x + b$ și rezolvarea triunghiului dreptunghic. De clasa a X-a țin radicalii, ecuațiile exponențiale, logaritmii, procentele și ecuația dreptei determinate de două puncte. Legile de compoziție sunt materie de a XI-a, iar matricele, determinanții și ecuațiile matriceale de a XII-a. Pentru itemul 5 poate fi reluată lecția Aria triunghiului din coordonate, tehnologic, iar pentru ultima cerință lecția Ecuații matriceale: pe ce parte, pentru tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

Exercițiul 1: produsul $2 \cdot 6$ este $12 = 23$ , nu $6$ ; de aceea termenul $- 23$ , obținut la desfacerea parantezei, se reduce cu termenul $23$ de după ea.
Exercițiul 3: factorul $2$ nu intră în bază. La $x = 1$ avem $2 \cdot 3^{2} = 18$ , în timp ce $(2 \cdot 3)^{2} = 36$ , deci $2 \cdot 3^{x + 1}$ nu se poate scrie ca putere a lui $6$ .
Exercițiul 4: cei $360$ de lei sunt prețul de după scumpire, nu creșterea. Dacă ar fi creșterea, ecuația $\frac{p}{100} \cdot 300 = 360$ ar da $p = 120$ , iar prețul nou ar fi $300 + 360 = 660$ , nu $360$ .
Cerința II.4: inegalitatea este strictă. La $n = 2$ , ambele părți valorează $\frac{10}{3}$ , deci $n = 2$ nu convine.
Cerința II.6: numărul $3$ nu este elementul neutru, care este $6$ ; el are altă proprietate: $x \circ 3 = 3$ și $3 \circ x = 3$ , oricare ar fi $x$ . Tocmai de aceea operandul $9 = 3$ aduce întreaga compunere la valoarea $3$ .
Cerința III.2: determinantul sumei $B (a) + A$ nu se obține adunând determinanții celor doi termeni. La $a = 2$ avem $det B (2) + det A = 7 + (- 5) = 2$ , dar $det (B (2) + A) = 0$ .
Cerința III.5: $lo g_{4} x$ este jumătate din $lo g_{2} x$ , nu dublul lui; de pildă, $lo g_{4} 16 = 2$ , iar $lo g_{2} 16 = 4$ .

Despre litere. Literele $A$ , $B$ , $C$ numesc puncte din reper în itemul 5 și vârfurile triunghiului din itemul 6, dar în partea a treia $A$ este o matrice fixă, iar $B (a)$ o familie de matrice. În itemul 2 litera $a$ este numărul real pozitiv căutat; în partea a treia ea este parametrul lui $B (a)$ , necunoscut în ecuațiile cu determinantul și cu pătratul matricei, iar în rezolvarea ultimei cerințe $a$ , $b$ , $c$ , $d$ notează elementele matricei necunoscute $X$ . Litera $p$ din itemul 4 este procentul căutat, $m$ din itemul 5 este ordonata necunoscută a lui $C$ , iar $e$ din cerința II.2 este elementul neutru propus, $e = 6$ . Litera $n$ din cerința II.4 este numărul natural căutat. În problema cu legea, $x$ este element oarecare la cerința despre elementul neutru, $x$ și $y$ sunt elemente oarecare la forma cu doi factori, iar $x$ este necunoscută pozitivă în ecuația cu radical. În partea a treia, $q$ este un număr rațional oarecare, $x$ este necunoscută pozitivă în ecuația cu logaritmi, iar $X$ este matricea necunoscută din ultima cerință.