Subiect Bac matematică pedagogic, model 2025 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2025 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Se consideră progresia aritmetică $(a_{n})_{n \geq 1}$ cu $a_{2} = 4$ și $a_{3} = 6$ . Calculați $a_{1}$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = x^{2} - x + 4$ . Arătați că $f (0) = f (1)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{3 x - 2} - 49 \cdot 7^{x} = 0$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

După ce parcurge $75%$ din lungimea unui traseu montan, un alpinist constată că mai are de parcurs $2$ km până la finalul traseului. Calculați lungimea întregului traseu montan.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (2, 3)$ și $B (5, 7)$ . Determinați lungimea segmentului $A C$ , știind că punctul $B$ este mijlocul segmentului $A C$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $4 (sin 6 0^{\circ} \cdot cos 3 0^{\circ} - sin 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ}) = 1$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = \frac{x + y}{2} - 1$ .

1. (5 puncte) Arătați că $(- 2) \circ 4 = 0$ .

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „ $\circ$ ” este comutativă.

3. (5 puncte) Demonstrați că $(2 x + 1) \circ 1 = x$ , pentru orice număr real $x$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x^{2} \circ x = 2$ .

5. (5 puncte) Arătați că $(x^{2} + 3) \circ (4 x + 5) \geq 1$ , pentru orice număr real $x$ .

6. (5 puncte) Determinați perechile $(m, n)$ de numere naturale, cu $m < n$ , pentru care $m \circ n \leq 0$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (a) = (a - 1 a a a + 1)$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det (A (2)) = - 1$ .

2. (5 puncte) Arătați că $A (2) + A (0) = 2 A (1)$ .

3. (5 puncte) Arătați că $A (0) \cdot A (0) = I_{2}$ .

4. (5 puncte) Demonstrați că matricea $A (a)$ este inversabilă, pentru orice număr real $a$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (A (a) + a I_{2}) = 11$ .

6. (5 puncte) Se consideră matricea $C (a, b) = a A (b) + b A (a)$ , unde $a$ și $b$ sunt numere reale. Determinați perechile $(a, b)$ de numere naturale pentru care suma elementelor matricei $C (a, b)$ este egală cu $24$ .

Barem și răspunsuri

Rezolvările urmează, rând cu rând, foaia de evaluare, iar la capătul fiecărui rând apare numărul lui de puncte, îngroșat. Fiecare cerință are 5 puncte; cele 18 cerințe fac 90 de puncte, iar oficiul de 10 puncte duce totalul la 100.

Exercițiul 1. (5 p) — progresie aritmetică: primul termen.

Un termen al unui șir aritmetic, aflat între doi vecini, este media aritmetică a acestora: $a_{2} = \frac{a _{1} + a _{3}}{2} (3 p) .$ Înlocuind, $4 = \frac{a _{1} + 6}{2}$ , deci $a_{1} + 6 = 8$ și $a_{1} = 2$ . Verificare: rația este $4 - 2 = 2$ , iar $a_{3} = 4 + 2 = 6$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcție pătratică: două valori egale.

Pentru $x = 0$ formula dă $f (0) = 0 - 0 + 4 = 4$ (2 p). Pentru $x = 1$ avem $f (1) = 1 - 1 + 4 = 4$ . Cele două valori coincid, deci $f (0) = f (1)$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Ecuația cere ca primul termen să fie egal cu $49 \cdot 7^{x}$ . Numărul $49$ este $7^{2}$ , iar la un produs de puteri cu aceeași bază exponenții se adună, așa că ecuația devine $7^{3 x - 2} = 7^{x + 2}$ . Puterile lui $7$ sunt distincte pentru exponenți distincți, deci exponenții trebuie să coincidă: $3 x - 2 = x + 2, de unde 2 x = 4 (3 p) .$ Rezultă $x = 2$ . Verificare: $7^{3 \cdot 2 - 2} = 7^{4} = 2401$ și $49 \cdot 7^{2} = 49 \cdot 49 = 2401$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — procente: un tot necunoscut.

Fie $x$ lungimea traseului, în kilometri. După $75%$ din el rămâne partea restantă, de $2$ km: $x - \frac{75}{100} \cdot x = 2 (3 p) .$ Membrul stâng este $\frac{25}{100} \cdot x = \frac{x}{4}$ , deci $\frac{x}{4} = 2$ și $x = 8$ km (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — lungimea unui segment al cărui mijloc se cunoaște.

Distanța dintre $A (2, 3)$ și $B (5, 7)$ este $A B = (5 - 2)^{2} + (7 - 3)^{2} = 9 + 16 = 5 (3 p) .$ Punctul $B$ este mijlocul lui $A C$ , deci $A C$ este dublul lui $A B$ : $A C = 2 \cdot 5 = 10$ . Coordonatele lui $C$ confirmă: $C (2 \cdot 5 - 2, 2 \cdot 7 - 3) = C (8, 11)$ , iar $A C = 6^{2} + 8^{2} = 10$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice ale unghiurilor remarcabile.

Din tabelul valorilor: $sin 6 0^{\circ} = cos 3 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ și $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ (2 p). Produsele sunt $\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$ , respectiv $\frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4}$ . Prin urmare $4 (\frac{3}{4} - \frac{2}{4}) = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1 (3 p) .$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoare numerică.

Se înlocuiesc $x = - 2$ și $y = 4$ în definiția legii: $(- 2) \circ 4 = \frac{- 2 + 4}{2} - 1 (3 p) .$ Fracția este $\frac{2}{2} = 1$ , deci rezultatul este $1 - 1 = 0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: comutativitatea.

Se calculează $y \circ x$ , iar suma $y + x$ nu depinde de ordinea termenilor: $y \circ x = \frac{y + x}{2} - 1 (3 p) .$ Cum $y + x = x + y$ , avem $\frac{y + x}{2} - 1 = \frac{x + y}{2} - 1$ , iar membrul drept este definiția lui $x \circ y$ . Rezultă $y \circ x = x \circ y$ oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$ ; legea este deci comutativă (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: o identitate.

Cu $x$ arbitrar, primul operand este $2 x + 1$ și al doilea este $1$ : $(2 x + 1) \circ 1 = \frac{2 x + 1 + 1}{2} - 1 (2 p) .$ Numărătorul este $2 x + 2$ , deci fracția este $x + 1$ , iar $x + 1 - 1 = x$ . Identitatea se verifică la orice valoare reală a lui $x$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu necunoscuta la pătrat.

Cu primul operand $x^{2}$ și al doilea $x$ , legea dă $x^{2} \circ x = \frac{x ^{2} + x}{2} - 1 (2 p) .$ Ecuația $\frac{x ^{2} + x}{2} - 1 = 2$ înseamnă $x^{2} + x = 6$ , adică $x^{2} + x - 6 = 0$ . Discriminantul este $1 + 24 = 25$ , iar $x = \frac{- 1 \pm 5}{2}$ dă $x = - 3$ și $x = 2$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: o inegalitate pentru orice $x$ .

Operanzii sunt $x^{2} + 3$ și $4 x + 5$ , iar legea îi adună: $(x^{2} + 3) \circ (4 x + 5) = \frac{x ^{2} + 3 + 4 x + 5}{2} - 1 = \frac{x ^{2} + 4 x + 6}{2} (2 p) .$ Diferența dintre acest număr și $1$ este $\frac{x ^{2} + 4 x + 6}{2} - 1 = \frac{x ^{2} + 4 x + 4}{2} = \frac{( x + 2 ) ^{2}}{2}$ . Un pătrat este mereu cel puțin $0$ , deci diferența este $\geq 0$ pentru orice $x$ real, adică rezultatul este cel puțin $1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: perechi de numere naturale.

Pentru $m$ și $n$ oarecare, $m \circ n = \frac{m + n}{2} - 1 = \frac{m + n - 2}{2} (2 p) .$ Inegalitatea $m \circ n \leq 0$ revine la $m + n \leq 2$ . Dacă $m \geq 1$ , atunci $n > m \geq 1$ , deci $n \geq 2$ și $m + n \geq 3$ , ceea ce nu convine. Rămâne $m = 0$ , cu $0 < n \leq 2$ : $n = 1$ sau $n = 2$ . Perechile sunt $(0, 1)$ și $(0, 2)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $a = 2$ avem $A (2) = (1223)$ , iar determinantul este $det (A (2)) = 1 \cdot 3 - 2 \cdot 2 (3 p) .$ Rezultatul este $3 - 4 = - 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o egalitate cu un multiplu.

Matricele necesare sunt $A (2) = (1223)$ și $A (0) = (- 1 0 01)$ . Matricele se adună pe poziții: $A (2) + A (0) = (0224) (3 p) .$ Pentru $a = 1$ , $A (1) = (0112)$ , deci $2 A (1) = (0224)$ . Cele două matrice coincid: $A (2) + A (0) = 2 A (1)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: un produs egal cu $I_{2}$ .

Cu $A (0) = (- 1 0 01)$ , fiecare dintre cele patru elemente ale produsului este suma produselor dintre o linie și o coloană a lui $A (0)$ : $A (0) \cdot A (0) = ((- 1) (- 1) + 0 \cdot 0 0 \cdot (- 1) + 1 \cdot 0 (- 1) \cdot 0 + 0 \cdot 1 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1) (3 p) .$ Calculând, se obține $(1001)$ , care este chiar $I_{2}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: inversabilitate pentru orice $a$ .

Determinantul lui $A (a)$ se calculează cu $a$ arbitrar: $det (A (a)) = (a - 1) (a + 1) - a \cdot a (3 p) .$ Desfăcând, $(a - 1) (a + 1) - a \cdot a = a^{2} - 1 - a^{2} = - 1$ : termenii cu $a^{2}$ se reduc, iar determinantul este $- 1$ pentru orice $a$ . O matrice pătratică al cărei determinant nu este zero are inversă, iar aici $- 1 \neq = 0$ ; prin urmare $A (a)$ este inversabilă pentru orice număr real $a$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: ecuație cu determinantul unei sume.

Se adaugă $a I_{2}$ matricei $A (a)$ , pe poziții: $A (a) + a I_{2} = (2 a - 1 a a 2 a + 1), det = (2 a - 1) (2 a + 1) - a^{2} = 3 a^{2} - 1 (3 p) .$ Ecuația $3 a^{2} - 1 = 11$ dă $3 a^{2} = 12$ , adică $a^{2} = 4$ . Prin urmare $a = - 2$ și $a = 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: suma elementelor unei combinații.

Cu $a A (b) = (ab - a ab ab ab + a)$ și $b A (a) = (ab - b ab ab ab + b)$ se obține $C (a, b) = (2 ab - a - b 2 ab 2 ab 2 ab + a + b) (2 p) .$ Suma celor patru elemente este $(2 ab - a - b) + 2 ab + 2 ab + (2 ab + a + b) = 8 ab$ . Condiția $8 ab = 24$ dă $ab = 3$ . Numerele naturale $a$ și $b$ cu produsul $3$ sunt $1$ și $3$ (zero nu convine, produsul ar fi $0$ ), în oricare ordine. Perechile sunt $(1, 3)$ și $(3, 1)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Aici este modelul de subiect pentru proba E. c) de matematică M_pedagogic din Bacalaureatul 2025 (filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare). Pe foaia oficială scrie „Model” în locul unui număr de variantă. Lucrarea se scrie în trei ore: 18 cerințe a câte 5 puncte, în total 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Textul enunțurilor vine din foaia oficială, iar rezolvările aparțin Matepolis, cu un rând al foii de evaluare pentru fiecare etapă punctată.

Cum e construit modelul. Subiectul I adună șase cerințe independente: primul termen al unei progresii aritmetice, două valori ale unei funcții cu termen pătratic, o ecuație exponențială, un procent, lungimea unui segment în reper și o expresie cu sinusuri și cosinusuri. Subiectul al II-lea se bazează pe legea $x \circ y = \frac{x + y}{2} - 1$ , adică media aritmetică a operanzilor, minus $1$ . În subiectul al III-lea apar matricele $A (a)$ : pe diagonala principală stau $a - 1$ și $a + 1$ , iar pe cea secundară stă de două ori $a$ .

Ce spune programa. Programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014) trece prin clasa a IX-a progresiile aritmetice, funcția cu termen pătratic și triunghiul dreptunghic, de la care vin sinusul și cosinusul unghiurilor remarcabile. Din clasa a X-a fac parte ecuațiile exponențiale, procentele și reperul cartezian. Legile de compoziție sunt materie de a XI-a; matricele, determinanții și inversabilitatea țin de a XII-a. Pentru exersare se pot deschide lecția Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice, pentru itemul 3, și lecția Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid, pentru cerințele cu matrice.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

Exercițiul 4: cei $2$ km nu sunt $75%$ din traseu, ci restul de $25%$ . Împărțirea $2 : \frac{3}{4}$ ar da $\frac{8}{3}$ km, care nu este lungimea traseului; ecuația corectă dă $8$ km.
Exercițiul 5: valoarea $A B = 5$ este numai jumătate din răspuns. Fiindcă $B$ este mijlocul lui $A C$ , lungimea cerută este $A C = 2 \cdot 5 = 10$ .
Exercițiul 6: produsul $sin 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ}$ este $\frac{2}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ , nu $\frac{2}{4}$ , pentru că $2 \cdot 2 = 2$ .
Cerința II.3: pentru $x = 0$ egalitatea $(2 x + 1) \circ 1 = x$ se verifică, deoarece $1 \circ 1 = 0$ . O singură valoare nu demonstrează însă identitatea; calculul se face cu $x$ arbitrar.
Cerința II.6: perechile $(1, 1)$ și $(0, 0)$ nu convin, chiar dacă $1 + 1 = 2$ și $0 + 0 \leq 2$ , fiindcă enunțul cere $m < n$ . Doar $(0, 1)$ și $(0, 2)$ respectă ambele condiții.
Cerința III.6: ecuația $ab = 3$ are și soluții care nu sunt naturale, de pildă $(\frac{1}{2}, 6)$ , dar enunțul cere perechi de numere naturale; rămân $(1, 3)$ și $(3, 1)$ .

Despre litere. În problema cu legea, $x$ este un număr real arbitrar în cerințele II.3 și II.5 și necunoscuta ecuației din cerința II.4, iar $m$ și $n$ sunt numerele naturale din cerința II.6. În problema cu matrice, $a$ este parametrul lui $A (a)$ în cerințele III.4 și III.5, iar în cerința III.6 literele $a$ și $b$ sunt perechea căutată.