Subiect Bac matematică pedagogic, simulare 2025 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2025 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{5}\left(2\sqrt{5}+\sqrt{10}\right)-2-5\sqrt{2}=8$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+7$. Determinați abscisa punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f$ și $g$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{3x}\cdot \frac{1}{3^3}=9^x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

În cadrul unei campanii promoționale toate produsele se vând cu $70\%$ din prețul afișat la raft, iar produsele electronice sunt ieftinite cu încă $10\%$ din noul preț. Determinați prețul de vânzare în cadrul campaniei al unui produs electronic cu prețul afișat la raft de $900$ de lei.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(1,5)$, $B(5,3)$, $C(8,4)$ și $D$, mijlocul segmentului $AB$. Arătați că triunghiul $ODC$ este isoscel.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ dreptunghic în $A$, cu $AB=4$ și $\sin B=\frac{1}{3}$. Arătați că $AC=\sqrt{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y-\frac{xy}{6}+1$.

1. (5 puncte) Arătați că $2\circ 3=5$.

2. (5 puncte) Arătați că $x\circ y=7-\frac{1}{6}(x-6)(y-6)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $x\circ 4=4$.

4. (5 puncte) Determinați perechile $(m,n)$ de numere întregi, cu $m<n$, pentru care $m\circ n=\frac{1}{6}$.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $(0\circ x)\circ (x+1)=1$.

6. (5 puncte) Determinați tripletele $(a,b,c)$ de numere reale, știind că numerele $a$, $b$ și $c$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice cu rația $6$ și $b\circ c=-5$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}2x& 3x+1\\ 1-x& 1\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(B(1)\right)=2$.

2. (5 puncte) Arătați că $B(1)\cdot B(2)-B(2)=11A$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $\det \left(B(-1)+aA\right)=0$.

4. (5 puncte) Arătați că $B(-x)+2B(x)=3B\left(\frac{x}{3}\right)$, pentru orice număr real $x$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot \left(B(x)+I_2\right)=B(x)\cdot A$.

6. (5 puncte) Arătați că, pentru orice numere întregi $m$ și $n$, numărul $N=\det \left(B(2m)-B(2n+1)\right)$ este natural, multiplu impar de $3$.

Barem și răspunsuri

Sub fiecare cerință, numărul de puncte al unui rând din foaia de evaluare apare îngroșat la capătul lui, în împărțirea 3 + 2 sau 2 + 3. Cele 18 cerințe strâng 90 de puncte, iar oficiul adaugă încă 10.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali: desfacerea unei paranteze.

Se înmulțește $\sqrt{5}$ cu fiecare termen din paranteză: $\sqrt{5}\cdot 2\sqrt{5}=2\cdot 5=10$ și $\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, fiindcă $50=25\cdot 2$. Membrul stâng devine $$10+5\sqrt{2}-2-5\sqrt{2}\text{(3 p)}.$$ Termenii cu $\sqrt{2}$ se reduc, iar $10-2=8$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — intersecția a două grafice.

Punctul comun are abscisa soluției ecuației $f(x)=g(x)$: $$3x-1=x+7\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=8$, deci abscisa este $\mathbf{x}=4$; în acest punct ambele funcții valorează $11$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu baza $3$.

Fracția $\frac{1}{3^3}$ este $3^{-3}$, iar $9$ este $3^2$, deci $9^x$ are baza $3$ și exponentul $2x$. Produsul din stânga are exponentul $3x-3$, așa că ecuația se scrie $3^{3x-3}=3^{2x}$, cu aceeași bază în ambii membri, iar exponenții trebuie să fie egali: $$3x-3=2x\text{(3 p)}.$$ Rămâne $\mathbf{x}=3$. Verificare: $3^9:27=19683:27=729$, iar $9^3=729$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — două reduceri succesive.

Prima etapă lasă $70\%$ din prețul de raft: $\frac{70}{100}\cdot 900=630$ de lei (2 p). A doua etapă ieftinește cu $10\%$ din acest preț nou: $630-\frac{10}{100}\cdot 630=630-63=567$ de lei (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — triunghi isoscel în reper.

Mijlocul lui $AB$ are coordonatele semisumelor: $D\left(\frac{1+5}{2},\frac{5+3}{2}\right)=D(3,4)$ (2 p). Cu $O(0,0)$, avem $OD=\sqrt{3^2+4^2}=5$, iar $DC=\sqrt{(8-3{)}^2+(4-4{)}^2}=5$. Laturile $DO$ și $DC$ sunt egale, deci triunghiul $ODC$ este isoscel, cu vârful în $D$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic dat prin sinus.

Sinusul unui unghi ascuțit este cateta opusă supra ipotenuză, deci $\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}$, iar $BC=3\cdot AC$ (2 p). Teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic $ABC$ dă $A{B}^2+A{C}^2=B{C}^2$, adică $16+A{C}^2=9\cdot A{C}^2$. Atunci $8\cdot A{C}^2=16$, $A{C}^2=2$ și, lungimea fiind pozitivă, $\mathbf{AC}=\sqrt{2}$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: calculul unei valori.

Se pun $x=2$ și $y=3$ în formula legii: $$2\circ 3=2+3-\frac{2\cdot 3}{6}+1\text{(3 p)}.$$ Raportul $\frac{6}{6}$ valorează $1$, iar suma devine $5-1+1=5$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Se desface membrul drept al egalității cerute: $$7-\frac{1}{6}(x-6)(y-6)=7-\frac{1}{6}\left(xy-6x-6y+36\right)=7-\frac{xy}{6}+x+y-6\text{(3 p)}.$$ După reducerea lui $7-6$ se obține $x+y-\frac{xy}{6}+1$, adică $x\circ y$. Calculul nu a folosit nicio valoare anume pentru $x$ și $y$, deci egalitatea este adevărată oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: ecuația în care $4$ este operandul al doilea.

Pentru $y=4$, fracția $\frac{4x}{6}$ este $\frac{2x}{3}$, deci $$x\circ 4=x+4-\frac{2x}{3}+1=\frac{x}{3}+5\text{(3 p)}.$$ Ecuația $\frac{x}{3}+5=4$ dă $\frac{x}{3}=-1$, adică $\mathbf{x}=-3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: perechi de numere întregi.

Cu forma din cerința II.2, $m\circ n=7-\frac{1}{6}(m-6)(n-6)=\frac{1}{6}$. Se înmulțește cu $6$ și rezultă $42-(m-6)(n-6)=1$; prin urmare produsul $(m-6)(n-6)$ are valoarea $41$ (3 p). Numărul $41$ este prim, iar factorii $m-6$ și $n-6$ sunt întregi și se înmulțesc până la $41$; fiecare dintre ei este deci un divizor al lui $41$, adică $\pm 1$ sau $\pm 41$. Perechile de factori întregi cu produsul $41$ sunt patru: $(1,41)$, $(41,1)$, $(-1,-41)$ și $(-41,-1)$. Condiția $m<n$ cere $m-6<n-6$, adică primul factor mai mic decât al doilea, așa că rămân $(m-6,n-6)=(1,41)$ și $(m-6,n-6)=(-41,-1)$. Perechile sunt $(7,47)$ și $(-35,5)$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: compunere de două ori.

Întâi se calculează $0\circ x=0+x-\frac{0\cdot x}{6}+1=x+1$. Expresia din enunț este deci $(x+1)\circ (x+1)$, iar cu forma din cerința II.2 $$(x+1)\circ (x+1)=7-\frac{1}{6}(x+1-6)(x+1-6)=7-\frac{1}{6}(x-5{)}^2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea cu $1$ cere ca partea scăzută din $7$ să fie $6$, deci pătratul $(x-5{)}^2$ este $36$, iar $x-5=6$ sau $x-5=-6$. Soluțiile sunt $\mathbf{x}=11$ și $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: termeni ai unei progresii.

Progresia are rația $6$, așadar $a=b-6$ și $c=b+6$. Cu forma din cerința II.2, $$b\circ c=7-\frac{1}{6}(b-6)(c-6)=7-\frac{1}{6}(b-6)\cdot b=-5,$$ de unde $(b-6)b=72$, adică $b^2-6b-72=0$ (3 p). Discriminantul este $\Delta =36+288=324=18^2$. Soluțiile sunt $b=\frac{6\pm 18}{2}$, deci $b=12$ sau $b=-6$. Tripletele $(b-6,b,b+6)$ sunt $(6,12,18)$ și $(-12,-6,0)$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $x=1$, $B(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ 0& 1\end{array}\right)$. Determinantul este $$\det \left(B(1)\right)=2\cdot 1-4\cdot 0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2-0=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: produs și diferență.

Matricea $B(2)$ este $\left(\begin{array}{cc}4& 7\\ -1& 1\end{array}\right)$. Linie cu coloană dau $$B(1)\cdot B(2)=\left(\begin{array}{cc}2\cdot 4+4\cdot (-1)& 2\cdot 7+4\cdot 1\\ 0\cdot 4+1\cdot (-1)& 0\cdot 7+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 18\\ -1& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scăzând $B(2)$ rămâne $\left(\begin{array}{cc}0& 11\\ 0& 0\end{array}\right)=11\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)=11A$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: determinant cu un parametru.

Avem $B(-1)=\left(\begin{array}{cc}-2& -2\\ 2& 1\end{array}\right)$, iar $aA=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ 0& 0\end{array}\right)$ modifică doar elementul din dreapta sus: $$B(-1)+aA=\left(\begin{array}{cc}-2& a-2\\ 2& 1\end{array}\right),\det =-2\cdot 1-2(a-2)=2-2a\text{(3 p)}.$$ Din $2-2a=0$ rezultă $\mathbf{a}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: o identitate pentru orice $x$.

Se calculează $B(-x)=\left(\begin{array}{cc}-2x& -3x+1\\ 1+x& 1\end{array}\right)$ și $2B(x)=\left(\begin{array}{cc}4x& 6x+2\\ 2-2x& 2\end{array}\right)$, iar suma lor este $$B(-x)+2B(x)=\left(\begin{array}{cc}2x& 3x+3\\ 3-x& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Pe de altă parte, $B\left(\frac{x}{3}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{2x}{3}& x+1\\ 1-\frac{x}{3}& 1\end{array}\right)$, iar înmulțit cu $3$ dă $\left(\begin{array}{cc}2x& 3x+3\\ 3-x& 3\end{array}\right)$. Matricele coincid, oricare ar fi $x$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: egalitatea a două produse.

Se adaugă $I_2$ lui $B(x)$ și se înmulțește cu $A$ la stânga: $B(x)+I_2=\left(\begin{array}{cc}2x+1& 3x+1\\ 1-x& 2\end{array}\right)$, iar linia întâi a lui $A$ este $(0,1)$, linia a doua este $(0,0)$: $$A\cdot \left(B(x)+I_2\right)=\left(\begin{array}{cc}1-x& 2\\ 0& 0\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Produsul în ordine inversă este $B(x)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 2x\\ 0& 1-x\end{array}\right)$. Egalitatea cere, element cu element, $1-x=0$, $2=2x$ și $0=1-x$; toate trei sunt satisfăcute doar de $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: un determinant care e multiplu impar de $3$.

Cu $B(2m)=\left(\begin{array}{cc}4m& 6m+1\\ 1-2m& 1\end{array}\right)$ și $B(2n+1)=\left(\begin{array}{cc}4n+2& 6n+4\\ -2n& 1\end{array}\right)$ rezultă $$B(2m)-B(2n+1)=\left(\begin{array}{cc}4m-4n-2& 6m-6n-3\\ 1-2m+2n& 0\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Dreapta jos fiind $0$, determinantul este $-(6m-6n-3)(1-2m+2n)$. Cum $6m-6n-3=-3(1-2m+2n)$, se obține $N=3(1-2m+2n{)}^2$. Numărul $1-2m+2n=1+2(n-m)$ este întreg impar, deci pătratul lui este un număr natural impar (nenul). Prin urmare $N$ este natural, iar produsul dintre $3$ și un număr impar este impar: $N$ este multiplu impar de $3$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Subiectul de față poartă pe foaia oficială cuvântul „Simulare” și este proba E. c) de matematică M_pedagogic pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, în anul 2025. Se lucrează trei ore la 18 cerințe de câte 5 puncte (90 de puncte). Se acordă 10 puncte din oficiu. Fiecare enunț este copiat din foaia oficială; calculele, comentariile și capcanele de mai jos sunt scrise de Matepolis, iar rândurile punctate ale rezolvărilor reproduc împărțirea foii de evaluare.

Ce găsești în lucrare. Subiectul I are un calcul cu radicali, intersecția a două grafice, o ecuație exponențială, două reduceri succesive de preț, un triunghi isoscel în reper și un triunghi dreptunghic dat prin sinus. În subiectul al II-lea, legea $x\circ y=x+y-\frac{xy}{6}+1$ este rescrisă la cerința II.2 sub forma $7-\frac{1}{6}(x-6)(y-6)$, iar cerințele următoare se rezolvă mai ușor cu această formă. Subiectul al III-lea folosește matricea fixă $A$, care are un singur element nenul, și matricele $B(x)$.

Programa. Conform programei de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), clasa a IX-a cuprinde poziția relativă a două drepte, triunghiul dreptunghic și progresiile aritmetice (acestea apar la cerința II.6), iar clasa a X-a cuprinde radicalii, ecuațiile exponențiale, procentele și reperul cartezian. Pentru legile de compoziție programa merge la clasa a XI-a, iar pentru matrice și determinanți la clasa a XII-a. Cine vrea să exerseze înainte poate citi Procente și TVA la tehnologic: factura pentru itemul 4 și Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple pentru cerința III.5.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: produsul $\sqrt{5}\cdot \sqrt{10}$ este $\sqrt{50}=5\sqrt{2}$, nu $\sqrt{15}$; radicalii se înmulțesc, nu se adună radicanzii.
• Exercițiul 4: a doua reducere se aplică prețului nou. Dacă $10\%$ s-ar lua din $900$, ar rezulta $630-90=540$, care nu este prețul de vânzare.
• Exercițiul 6: raportul $\sin B=\frac{AC}{BC}$ folosește cateta opusă lui $B$. Cu $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{3}$ s-ar obține $BC=12$ și $A{C}^2=12^2-4^2=128$, în loc de $A{C}^2=2$.
• Cerința II.4: numărul $41$ are și divizori negativi; factorii $-41$ și $-1$ dau perechea $(-35,5)$. Fără ea, răspunsul rămâne cu o singură pereche.
• Cerința II.5: $0\circ x=x+1$, nu $0$: termenul cu $xy$ dispare, dar rămân $x$ și $+1$.
• Cerința III.5: produsele $A\cdot \left(B(x)+I_2\right)$ și $B(x)\cdot A$ sunt matrice diferite în general; pentru $x=0$ ele sunt $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

Despre litere. La cerința II.6, $a$, $b$ și $c$ sunt termenii progresiei, iar la cerința III.3 litera $a$ este scalarul din $aA$. La cerințele II.4 și III.6, $m$ și $n$ sunt numere întregi; în cerința III.4, $x$ este un număr real arbitrar, iar în cerința III.5 este necunoscuta din parametrul matricei $B(x)$.