Subiect Bac matematică pedagogic, sesiunea specială 2025 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2025 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{6}\cdot \left(\sqrt{6}-2\right)-\sqrt{16}+2\sqrt{6}=2$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-1$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=4f(1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{4+x}=3^{2-x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Se consideră mulțimea $A=\{1,2,3,\dots ,15\}$. Determinați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A$, acesta să fie divizor al lui $15$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(4,8)$, $B(5,0)$ și $C$, mijlocul segmentului $OA$. Determinați distanța dintre punctele $B$ și $C$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $2\sin 30^{\circ }-{\left(\cos 45^{\circ }\right)}^2-\cos 60^{\circ }=0$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=xy+x+y+10$.

1. (5 puncte) Arătați că $2\ast 5=27$.

2. (5 puncte) Arătați că $x\ast y=(x+1)(y+1)+9$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(-10)\ast x=10+x$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast (-x)=1$.

5. (5 puncte) Determinați $x\in [0,+\infty )$ pentru care $(x-9)\ast \left(9-\sqrt{x}\right)=9$.

6. (5 puncte) Arătați că, pentru orice număr natural $n$, divizibil cu $3$, numărul natural $(n+1)\ast (n+2)$ este divizibil cu $3$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ b& a\end{array}\right)$, unde $a$ și $b$ sunt numere reale.

1. (5 puncte) Arătați că $\det \left(B(1,-1)\right)=2$.

2. (5 puncte) Arătați că $A\cdot B(1,-3)=4I_2$.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$ pentru care $A-2I_2=B(a,b)$.

4. (5 puncte) Determinați matricea $X\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ pentru care $X\cdot B(1,-1)=A$.

5. (5 puncte) Știind că $a$ și $b$ sunt numere reale, $a\ne 0$, astfel încât $\det \left(aA-B(a,b)\right)=0$, arătați că $3a=b$.

6. (5 puncte) Determinați perechile $(a,b)$ de numere reale, cu $a<b$, pentru care $(a+b)B(a,b)+bB(a+b,-b)=B(25,6)$.

Barem și răspunsuri

În rezolvările de mai jos, numărul de puncte al fiecărui rând din foaia de evaluare stă îngroșat la sfârșitul lui. Cerințele au câte 5 puncte, în împărțirile 3 + 2 sau 2 + 3, iar cele 18 cerințe ajung la 90 de puncte; oficiul de 10 puncte face din ele 100.

Exercițiul 1. (5 p) — radicali: paranteză și termeni care se reduc.

Se înmulțește $\sqrt{6}$ cu fiecare termen din paranteză: $\sqrt{6}\cdot \sqrt{6}=6$ și $\sqrt{6}\cdot (-2)=-2\sqrt{6}$. În plus, $\sqrt{16}=4$. Expresia devine $$6-2\sqrt{6}-4+2\sqrt{6}\text{(3 p)}.$$ Termenii $-2\sqrt{6}$ și $+2\sqrt{6}$ se anulează, iar $6-4=2$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcție de gradul întâi: o ecuație în $a$.

Valoarea funcției în $1$ este $f(1)=3\cdot 1-1=2$, iar în $a$ este $f(a)=3a-1$ (3 p). Condiția $f(a)=4f(1)$ înseamnă $3a-1=4\cdot 2=8$. Rezultă $3a=9$ și $\mathbf{a}=3$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială cu aceeași bază.

Puterile lui $3$ sunt egale numai dacă exponenții sunt egali: $$4+x=2-x\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=-2$, deci $\mathbf{x}=-1$. Verificare: ambii membri sunt $3^3=27$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate: divizorii unui număr.

Mulțimea $A$ conține numerele de la $1$ la $15$, adică $15$ elemente și $15$ cazuri posibile (2 p). Descompunerea $15=3\cdot 5$ arată că divizorii lui $15$ sunt $1$, $3$, $5$ și $15$; toți se află în $A$, așa că numărul cazurilor favorabile este $4$. Probabilitatea este $$P=\frac{4}{15}\text{(3 p)}.$$

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și o distanță.

Originea este $O(0,0)$, iar $C$ este mijlocul lui $OA$, deci coordonatele lui $C$ sunt jumătăți din cele ale lui $A(4,8)$: $$C\left(\frac{0+4}{2},\frac{0+8}{2}\right)=C(2,4)\text{(3 p)}.$$ Distanța de la $B(5,0)$ la $C(2,4)$ este $BC=\sqrt{(5-2{)}^2+(0-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=5$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — expresie cu sinus și cosinus.

Valorile din tabel sunt $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (3 p). Se înlocuiește în expresie; pătratul din mijloc este ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$: $$2\cdot \frac{1}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: calculul unei valori.

În formula legii se pun $x=2$ și $y=5$: $$2\ast 5=2\cdot 5+2+5+10\text{(3 p)}.$$ Suma este $10+2+5+10=27$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Se pornește de la membrul drept al egalității cerute și se desface produsul: $(x+1)(y+1)=xy+x+y+1$, deci $$(x+1)(y+1)+9=xy+x+y+1+9\text{(2 p)}.$$ Termenii liberi dau $1+9=10$, iar rezultatul $xy+x+y+10$ este chiar $x\ast y$. Desfacerea nu a folosit nicio valoare anume, deci egalitatea are loc pentru orice $x$ și $y$ reale (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu primul operand fixat.

Cu $-10$ în locul primului operand, $$(-10)\ast x=(-10)x+(-10)+x+10=-10x+x=-9x\text{(2 p)},$$ fiindcă $-10$ și $+10$ se reduc. Ecuația $-9x=10+x$ dă $-10x=10$, adică $\mathbf{x}=-1$. Verificare: $(-10)\ast (-1)=10-10-1+10=9=10+(-1)$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: un operand și opusul lui.

Pentru $y=-x$ produsul $xy$ devine $-x^2$, iar $x+y$ este $0$: $$x\ast (-x)=-x^2+x-x+10=-x^2+10\text{(3 p)}.$$ Ecuația $-x^2+10=1$ înseamnă $x^2=9$, deci $\mathbf{x}=-3$ sau $\mathbf{x}=3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: operanzi cu radical.

Forma $x\ast y=(x+1)(y+1)+9$, dovedită la cerința II.2, se aplică operanzilor $x-9$ și $9-\sqrt{x}$ (definiți pentru $x\ge 0$): $$(x-9)\ast \left(9-\sqrt{x}\right)=(x-9+1)\left(9-\sqrt{x}+1\right)+9=(x-8)\left(10-\sqrt{x}\right)+9\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $9$ revine la $(x-8)\left(10-\sqrt{x}\right)=0$. Un produs este nul când un factor este nul: $x-8=0$ dă $x=8$, iar $10-\sqrt{x}=0$ dă $\sqrt{x}=10$, adică $x=100$. Ambele numere sunt în $[0,+\infty )$, deci $\mathbf{x}=8$ și $\mathbf{x}=100$ convin (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: divizibilitate cu $3$.

Cu forma din cerința II.2, operanzii $n+1$ și $n+2$ dau $$(n+1)\ast (n+2)=(n+2)(n+3)+9\text{(2 p)}.$$ Un număr natural $n$ divizibil cu $3$ are forma $n=3m$, cu $m$ natural. Atunci $(3m+2)(3m+3)+9=(3m+2)\cdot 3(m+1)+9=3\left[(3m+2)(m+1)+3\right]$. Paranteza dreaptă este un număr natural, deci $(n+1)\ast (n+2)$ este multiplu de $3$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $a=1$ și $b=-1$ matricea este $B(1,-1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$, iar determinantul ei este $$\det \left(B(1,-1)\right)=1\cdot 1-1\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ Scăderea unui produs negativ înseamnă adunare: $1+1=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: un produs egal cu un multiplu al lui $I_2$.

Cu $B(1,-3)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -3& 1\end{array}\right)$, fiecare element al produsului combină o linie a lui $A$ cu o coloană a lui $B(1,-3)$: $$A\cdot B(1,-3)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot 1+(-1)(-3)& 1\cdot 1+(-1)\cdot 1\\ 3\cdot 1+1\cdot (-3)& 3\cdot 1+1\cdot 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& 0\\ 0& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricea obținută are $4$ pe diagonala principală și $0$ în rest, adică $4I_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: egalitatea a două matrice.

Se scade $2I_2$ din $A$, element cu element: $$A-2I_2=\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 3& -1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Două matrice sunt egale când au elementele de pe aceleași poziții egale. Comparând cu $B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}a& a\\ b& a\end{array}\right)$, trei poziții dau $a=-1$ și poziția din stânga jos dă $b=3$: $\mathbf{a}=-1$ și $\mathbf{b}=3$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: ecuație cu necunoscuta în stânga.

Determinantul matricei $B(1,-1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$ este $2\ne 0$, deci matricea este inversabilă. Pentru o matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ cu determinantul $\Delta \ne 0$, inversa este $\frac{1}{\Delta }\left(\begin{array}{cc}s& -q\\ -r& p\end{array}\right)$; aici $\Delta =2$ și $p=q=s=1$, $r=-1$: $$B(1,-1{)}^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 1& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din $X\cdot B(1,-1)=A$, înmulțind la dreapta cu inversa, $X=A\cdot B(1,-1{)}^{-1}$. Linie cu coloană, cu $A=\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ 3& 1\end{array}\right)$: $$X=\left(\begin{array}{cc}1\cdot \frac{1}{2}+(-1)\cdot \frac{1}{2}& 1\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+(-1)\cdot \frac{1}{2}\\ 3\cdot \frac{1}{2}+1\cdot \frac{1}{2}& 3\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)+1\cdot \frac{1}{2}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& -1\\ 2& -1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: determinant nul și o relație între $a$ și $b$.

Se calculează $aA=\left(\begin{array}{cc}a& -a\\ 3a& a\end{array}\right)$ și se scade $B(a,b)$: $$aA-B(a,b)=\left(\begin{array}{cc}0& -2a\\ 3a-b& 0\end{array}\right),\det =0\cdot 0-(-2a)(3a-b)=2a(3a-b)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $2a(3a-b)=0$ este un produs nul. Factorul $2a$ este nenul, fiindcă $a\ne 0$, așa că rămâne $3a-b=0$, adică $3a=b$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o combinație care dă $B(25,6)$.

Cu $B(a+b,-b)=\left(\begin{array}{cc}a+b& a+b\\ -b& a+b\end{array}\right)$ avem, la poziția $(1,1)$, $(a+b)a+b(a+b)=(a+b{)}^2$ (la fel pe poziția $(1,2)$ și pe $(2,2)$), iar la poziția $(2,1)$, $(a+b)b+b(-b)=ab$: $$(a+b)B(a,b)+bB(a+b,-b)=\left(\begin{array}{cc}(a+b{)}^2& (a+b{)}^2\\ ab& (a+b{)}^2\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea cu $B(25,6)=\left(\begin{array}{cc}25& 25\\ 6& 25\end{array}\right)$ dă $(a+b{)}^2=25$ și $ab=6$. Deci $a+b=5$ sau $a+b=-5$. Din identitatea $(a-b{)}^2=(a+b{)}^2-4ab=25-24=1$ și din $a<b$ rezultă $b-a=1$. Pentru $a+b=5$, adunarea relațiilor $a+b=5$ și $b-a=1$ dă $2b=6$, deci $b=3$ și $a=2$. Pentru $a+b=-5$, la fel, $2b=-4$, deci $b=-2$ și $a=-3$. Cu $a<b$, perechile sunt $(2,3)$ și $(-3,-2)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

În această pagină se află varianta 3 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, de la sesiunea specială a Bacalaureatului 2025, pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Candidații lucrează trei ore la 18 cerințe de câte 5 puncte, adică 90 de puncte pe lucrare. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile reproduc foaia oficială; calculele, explicațiile și avertismentele sunt scrise de Matepolis, iar rândurile punctate ale fiecărei rezolvări urmează împărțirea din foaia de evaluare.

Pe scurt, lucrarea. Subiectul I amestecă șase teme: un calcul cu radicali, valoarea unei funcții de gradul întâi, o ecuație exponențială, o probabilitate pe o mulțime de numere, o distanță în reper și o expresie cu sinus și cosinus. Subiectul al II-lea pornește de la legea $x\ast y=xy+x+y+10$, a cărei formă cu doi factori, $(x+1)(y+1)+9$, este cerută la cerința II.2 și ajută la cerințele II.5 și II.6. În subiectul al III-lea, matricele $A$ și $B(a,b)$ duc la un determinant, la un produs, la o ecuație matriceală și la un sistem simetric în $a+b$ și $ab$.

Cum se leagă de programă. Potrivit programei de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), clasa a IX-a aduce funcția de gradul întâi, funcția de gradul al doilea și triunghiul dreptunghic. Din clasa a X-a sunt radicalii, ecuațiile exponențiale și cele cu radicali, probabilitatea și reperul cartezian. Legile de compoziție se studiază în clasa a XI-a, iar matricele, determinanții, matricele inversabile și ecuațiile matriceale în clasa a XII-a. Pentru recapitulare, elevul poate parcurge lecția Probabilitatea la tehnologic: controlul calității, pentru itemul 4, și lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic, pentru cerința III.4.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 4: divizorii lui $15$ sunt $1$, $3$, $5$ și $15$, adică patru numere. Cine uită pe $1$ și pe $15$ obține $\frac{2}{15}$, care nu este probabilitatea cerută.
• Exercițiul 5: punctul $C$ este mijlocul lui $OA$, nu al lui $AB$. Mijlocul lui $AB$ ar fi $\left(\frac{9}{2},4\right)$, nu $C(2,4)$.
• Cerința II.5: ecuația $\sqrt{x}=10$ are numai soluția $x=100$; valoarea $-100$ nu aparține mulțimii $[0,+\infty )$, iar $\sqrt{-100}$ nu este număr real.
• Cerința III.4: din $X\cdot B(1,-1)=A$ se obține $X=A\cdot B(1,-1{)}^{-1}$, cu inversa în dreapta. În ordine inversă, produsul $B(1,-1{)}^{-1}\cdot A$ este $\left(\begin{array}{cc}-1& -1\\ 2& 0\end{array}\right)$, care nu este $X$.
• Cerința III.5: condiția $a\ne 0$ este necesară. Pentru $a=0$ și $b=1$, determinantul $\det \left(aA-B(a,b)\right)$ este $0$, dar $3a=0$ nu este egal cu $b=1$.
• Cerința III.6: perechile $(3,2)$ și $(-2,-3)$ au aceeași sumă și același produs ca $(2,3)$ și $(-3,-2)$, dar nu respectă condiția $a<b$.

Despre litere. În prima parte, $a$ este argumentul funcției $f$. În problema cu matrice, $a$ și $b$ sunt parametrii lui $B(a,b)$: devin necunoscute în cerințele cu egalitate de matrice și cu perechi, iar în cerința cu determinant nul rămân oarecare, legate doar prin relația de demonstrat. În problema cu legea, litera $m$ este numărul natural pentru care $n=3m$.