Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2016, sesiunea de rezervă (varianta 5) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2016 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2\left(1+\frac{1}{2}\right)\left(1+\frac{1}{3}\right)\left(1+\frac{1}{4}\right)=5$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați valorile reale ale lui $x$, pentru care $f(x)\ge g(x)$, unde $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x-2$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x+4$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $7^{x^2+3}=7^{4x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

O firmă folosește $6000$ de lei pentru publicitate, sumă care reprezintă $5\%$ din profitul anual al firmei. Calculați profitul anual al firmei.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(3,0)$, $B(6,4)$ și $C(0,4)$. Calculați perimetrul triunghiului $ABC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\sin }^{2}30^{\circ }+{\cos }^{2}60^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\circ y=x+y+5$.

1. (5 puncte) Arătați că $(-1)\circ 1=5$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\circ$” este asociativă.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=-5$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\circ$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$, pentru care $x^2\circ x=7$.

5. (5 puncte) Demonstrați că $\left(x^2-y-5\right)\circ \left(x-y^2\right)=(x-y)(x+y+1)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

6. (5 puncte) Determinați numerele naturale $m$ și $n$, știind că $m\circ n=6$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $O_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $A(a)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $\det (A(0))=1$.

2. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$, pentru care $\det (A(a))=0$.

3. (5 puncte) Arătați că $A(1)\cdot A(1)-2A(1)=O_2$.

4. (5 puncte) Determinați numărul real $a$, pentru care $A(2)\cdot A(a)=3A(1)$.

5. (5 puncte) Demonstrați că $\det (A(a)-A(0))\le 0$, pentru orice număr real $a$.

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ și $b$, știind că $A(a)\cdot A(b)=O_2$.

Barem și răspunsuri

Rezolvările sunt împărțite pe rândurile punctate ale foii oficiale, iar numărul îngroșat din paranteză arată cât din cele 5 puncte ale cerinței valorează rândul. Fiecare cerință are câte două rânduri, cu $3+2$ sau $2+3$ puncte; la adăugarea oficiului, lucrarea ajunge la 100 de puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — un produs de fracții.

Fiecare paranteză se scrie ca o fracție cu numitor comun: $1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$, $1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}$ și $1+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$ (3 p).

Înmulțim cu $2$ și simplificăm: fiecare numitor dispare împreună cu numărătorul care îl precedă, așa că $$2\cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{5}{4}=5\text{(2 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — o inecuație cu două funcții.

Cerința $f(x)\ge g(x)$ se scrie cu expresiile funcțiilor: $f(x)\ge g(x)⟺3x-2\ge x+4$ (2 p).

Mutăm termenii cu $x$ într-un membru și constantele în celălalt: $3x-x\ge 4+2$, adică $2x\ge 6$. Cum $2$ este pozitiv, la împărțirea cu el semnul inegalității rămâne același, deci $x\ge 3$, adică $\mathbf{x}\in [3,+\infty )$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — o ecuație exponențială cu exponent pătratic.

Puterile lui $7$ sunt egale, deci exponenții sunt egali; aducem totul în membrul stâng: $$x^2+3=4x⟺x^2-4x+3=0\text{(3 p)}.$$ Trinomul se descompune: $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$, deci rădăcinile sunt $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{x}=3$. La verificare, pentru $x=1$ exponenții sunt $4$ și $4$, iar pentru $x=3$ sunt $12$ și $12$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — un procent aplicat unui profit.

Notăm cu $x$ profitul anual. Procentul $5\%$ înseamnă $\frac{5}{100}=\frac{1}{20}$, deci $5\%\cdot x=\frac{x}{20}$ (3 p).

Această sumă este cea de $6000$ de lei: $\frac{x}{20}=6000$. Înmulțim ambii membri cu $20$ și obținem $x=6000\cdot 20=120000$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — perimetrul unui triunghi din coordonate.

Cu formula lungimii unui segment în reper, $AB=\sqrt{(6-3{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{25}=5$ și $AC=\sqrt{(0-3{)}^2+(4-0{)}^2}=\sqrt{25}=5$ (2 p).

Ordonatele lui $B$ și $C$ coincid, $4$, așa că $BC=|6-0|=6$. Perimetrul este suma laturilor: $AB+AC+BC=5+5+6=16$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — pătratele unui sinus și ale unui cosinus.

Valorile cunoscute sunt $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (2 p). Fiecare se ridică la pătrat: $${\sin }^{2}30^{\circ }+{\cos }^{2}60^{\circ }={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — o compunere calculată din definiție.

Punem $x=-1$ și $y=1$ în $x\circ y=x+y+5$: $$(-1)\circ 1=(-1)+1+5\text{(3 p)}.$$ Primii doi termeni dau $0$, iar $0+5=5$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — asociativitatea legii.

Compunem întâi $x\circ y=x+y+5$ cu $z$; rezultatul primei compuneri devine primul operand al celei de-a doua: $$(x\circ y)\circ z=(x+y+5)\circ z=(x+y+5)+z+5=x+y+z+10\text{(2 p)}.$$ În cealaltă grupare, $y\circ z=y+z+5$ devine al doilea operand: $$x\circ (y\circ z)=x\circ (y+z+5)=x+(y+z+5)+5=x+y+z+10.$$ Cele două grupări dau aceeași expresie pentru orice $x$, $y$, $z$ reali, deci legea „$\circ$” este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — verificarea elementului neutru.

Elementul neutru trebuie să verifice ambele egalități, $x\circ e=x$ și $e\circ x=x$, pentru orice $x$. Cu $e=-5$: $x\circ (-5)=x+(-5)+5=x$ (2 p).

Și în cealaltă ordine, $(-5)\circ x=(-5)+x+5=x$, pentru orice număr real $x$. Cum ambele egalități au loc pentru orice $x$, numărul $e=-5$ este elementul neutru al legii „$\circ$” (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație cu $x^2\circ x$.

Cu $x^2$ în locul lui $x$ și $x$ în locul lui $y$: $x^2\circ x=x^2+x+5$. Ecuația devine $$x^2+x+5=7⟺x^2+x-2=0\text{(3 p)}.$$ Trinomul se descompune în $x^2+x-2=(x+2)(x-1)$, deci $\mathbf{x}=-2$ sau $\mathbf{x}=1$. Verificare: $4\circ (-2)=4-2+5=7$ și $1\circ 1=1+1+5=7$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — o identitate cu doi operanzi compuși.

Cei doi operanzi se pun în lege, care îi adună și mai adaugă $5$: $$\left(x^2-y-5\right)\circ \left(x-y^2\right)=x^2-y-5+x-y^2+5\text{(2 p)}.$$ Termenii $-5$ și $+5$ se reduc, iar rămân $x^2-y^2+x-y$. Grupăm: $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$, deci $$x^2-y^2+x-y=(x-y)(x+y)+(x-y)=(x-y)(x+y+1),$$ pentru orice numere reale $x$ și $y$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — o ecuație în numere naturale.

Din lege, $m\circ n=6$ înseamnă $m+n+5=6$, adică $m+n=1$ (2 p).

Două numere naturale cu suma $1$ sunt neapărat $0$ și $1$: $\mathbf{m}=0$, $\mathbf{n}=1$ sau $\mathbf{m}=1$, $\mathbf{n}=0$. Verificare: $0\circ 1=0+1+5=6$ și $1\circ 0=6$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinantul lui $A(0)$.

Pentru $a=0$ cele două elemente din afara diagonalei sunt $0$: $A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar determinantul este $\det (A(0))=\left|\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-0\cdot 0$ (3 p).

Produsul diagonalei principale este $1$, al celei secundare $0$, deci $1-0=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — valorile lui $a$ pentru care determinantul se anulează.

Determinantul este produsul diagonalei principale minus produsul celei secundare: $\det (A(a))=\left|\begin{array}{cc}1& a\\ a& 1\end{array}\right|=1\cdot 1-a\cdot a=1-a^2$ (2 p).

Ecuația $1-a^2=0$ se scrie $a^2=1$, cu soluțiile $\mathbf{a}=-1$ și $\mathbf{a}=1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — o diferență de matrice.

Produsul se face linie cu coloană, iar $A(1)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 1\end{array}\right)$ are $1$ în fiecare loc: fiecare element al produsului este $1\cdot 1+1\cdot 1=2$. Scalarul înmulțește fiecare element al lui $A(1)$: $$A(1)\cdot A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right),2A(1)=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 2& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Matricele sunt egale, deci scăderea lor, element cu element, dă $$A(1)\cdot A(1)-2A(1)=\left(\begin{array}{cc}2-2& 2-2\\ 2-2& 2-2\end{array}\right)={\mathbf{O}}_2\text{(2 p)}.$$

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — o ecuație matriceală cu parametrul $a$.

Cu $A(2)=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$, produsul $A(2)\cdot A(a)$ se calculează linie cu coloană, iar $3A(1)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 3\end{array}\right)$: $$A(2)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}1+2a& a+2\\ 2+a& 2a+1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 3\\ 3& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Egalitatea a două matrice cere egalitatea tuturor celor patru elemente: $1+2a=3$ dă $a=1$, iar $a+2=3$ dă tot $a=1$. Valoarea $\mathbf{a}=1$ verifică toate cele patru elemente (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — o inegalitate cu determinant.

Diferența se face element cu element, înainte de determinant: $A(a)-A(0)=\left(\begin{array}{cc}0& a\\ a& 0\end{array}\right)$, iar $\det (A(a)-A(0))=\left|\begin{array}{cc}0& a\\ a& 0\end{array}\right|=0\cdot 0-a\cdot a=-a^2$ (3 p).

Pătratul oricărui număr real este cel puțin $0$, deci $-a^2\le 0$ oricare ar fi $a$; inegalitatea cerută are loc pentru toate numerele reale $a$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — produsul a două matrice $A(a)$ și $A(b)$ egal cu matricea nulă.

Produsul se face linie cu coloană: $A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{cc}1+ab& b+a\\ a+b& ab+1\end{array}\right)$, iar egalitatea cu $O_2$ cere ca toate elementele să fie nule (2 p).

Rămân două condiții: $1+ab=0$ și $a+b=0$. Din a doua, $b=-a$, iar prima devine $1-a^2=0$, deci $a=1$ sau $a=-1$. Perechile sunt $\mathbf{a}=1$, $\mathbf{b}=-1$ sau $\mathbf{a}=-1$, $\mathbf{b}=1$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Foaia din sesiunea de rezervă a lunii iunie 2016, varianta 5, la proba E. c) de matematică M_pedagogic (filiera vocațională, specializarea învățător-educatoare), durează trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Subiectele sunt trei, toate obligatorii, iar fiecare cuprinde șase cerințe de 5 puncte; cele 18 cerințe valorează în total 90 de puncte. Enunțurile reproduc foaia oficială; rezolvările și ghidajul interactiv, așezate pe rândurile punctate ale foii de evaluare, sunt ale Matepolis.

Ce cuprinde. Subiectul I începe cu un produs de fracții, apoi cere o inecuație cu două funcții de gradul I, o ecuație exponențială cu exponent pătratic, un procent aplicat unui profit, perimetrul unui triunghi din coordonate și o expresie cu sinus și cosinus. Subiectul al II-lea folosește legea $x\circ y=x+y+5$: o valoare, asociativitatea, o verificare a elementului neutru, o ecuație, o identitate și o ecuație în numere naturale. Subiectul al III-lea lucrează cu matricele $A(a)$, cu $1$ pe diagonală și $a$ în afara ei: doi determinanți, o diferență de matrice, o ecuație matriceală cu parametru, o inegalitate cu determinant și un produs egal cu matricea nulă.

Locul în programă. Sesiunea de rezervă din 2016 aparține programei M_pedagogic din OMEN 4430/2014, care se aplică din Bacalaureatul 2015. Calculul cu fracții, inecuațiile de gradul I și valorile trigonometrice ale unghiurilor ascuțite sunt în clasa a IX-a; ecuațiile exponențiale, calculul financiar și coordonatele punctelor în plan sunt în clasa a X-a; legile de compoziție sunt în clasa a XI-a; matricele și determinanții, în clasa a XII-a. Pentru calculul cu procente se poate relua lecția Procente și TVA la tehnologic: factura, iar pentru produsul de matrice lecția Bac tehnologic: produsul de matrice, pe exemple.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: factorul $2$ din față înmulțește întregul produs. Fără factorul $2$, produsul celor trei fracții ar fi $\frac{5}{2}$, nu $5$.
• Exercițiul 2: soluția inecuației nu se oprește la punctul în care cele două funcții sunt egale. Pentru $x=3$ avem $f(3)=g(3)=7$, dar și $x=4$ verifică inegalitatea: $f(4)=10\ge g(4)=8$.
• Exercițiul 3: la aducerea termenilor într-un membru, constanta $3$ rămâne cu plus. Dacă ar deveni $-3$, ecuația ar avea rădăcinile $2\pm \sqrt{7}$, iar pentru $x=2+\sqrt{7}$ cei doi exponenți ar diferi cu $6$, deci nu ar fi egali.
• Exercițiul 4: suma de $6000$ de lei este $5\%$ din profit, nu profitul în sine. Profitul este mai mare decât ea, $120000>6000$, iar $5\%$ din $6000$ ar fi doar $300$.
• Exercițiul 5: perimetrul însumează toate cele trei laturi. Fără $BC$, suma $AB+AC=10$ ar fi mai mică decât perimetrul $16$.
• Exercițiul 6: scrierea ${\sin }^{2}30^{\circ }$ înseamnă ${\left(\sin 30^{\circ }\right)}^2=\frac{1}{4}$; nu este $\sin 900^{\circ }$, care este $0$.
• Cerința II.1: termenul $+5$ din lege nu se uită: $(-1)+1=0$, dar $(-1)\circ 1=0+5=5$.
• Cerința II.2: fiecare compunere adaugă $5$, deci două compuneri adaugă $10$. Cu $+5$ în loc de $+10$, pentru $x=y=z=0$ s-ar obține $5$, iar $(0\circ 0)\circ 0=5\circ 0=10$.
• Cerința II.3: numărul $5$ nu este neutru: $x\circ 5=x+5+5=x+10$, nu $x$. Neutrul se obține anulând termenii în plus: numărul căutat este opusul lui $5$, adică $-5$.
• Cerința II.4: $x^2\circ x$ este $x^2+x+5$, nu $(x\circ x{)}^2$: pentru $x=1$ avem $1\circ 1=7$ și $(1\circ 1{)}^2=49$, iar $1^2\circ 1=7$.
• Cerința II.5: $x^2-y^2$ este produsul dintre diferență și sumă, nu pătratul diferenței: pentru $x=3$ și $y=1$ avem $9-1=8$, iar pătratul lui $3-1$ este $4$.
• Cerința II.6: numărul $0$ este natural. Dacă s-ar omite, nu ar rămâne nicio pereche, deși $0\circ 1=0+1+5=6$ și $1\circ 0=6$.
• Cerința III.1: matricea $A(0)$ are $1$ pe diagonala principală, fiindcă acolo stau elementele fixe $1$; este $I_2$, nu $O_2$, deci determinantul ei este $1$, nu $0$.
• Cerința III.2: produsul diagonalei secundare, $a\cdot a=a^2$, se scade. Cu plus ar ieși $1+a^2$, care este cel puțin $1$ și nu se anulează niciodată.
• Cerința III.3: produsul $A(1)\cdot A(1)$ se face linie cu coloană: $1\cdot 1+1\cdot 1=2$ în fiecare loc. Pe poziții ar fi dat $1$ în fiecare loc, iar $2A(1)$ are $2$.
• Cerința III.4: în $A(2)$ numărul $2$ stă pe diagonala secundară, iar $1$ pe cea principală; primul element al produsului este $1\cdot 1+2\cdot a=1+2a$, nu $2+a$.
• Cerința III.5: egalitatea apare la $a=0$: $A(0)-A(0)=O_2$ are determinantul $0$, iar $0\le 0$ este adevărat, fiindcă inegalitatea nu este strictă.
• Cerința III.6: ambele perechi $(1,-1)$ și $(-1,1)$ verifică: $1+ab=1-1=0$ și $a+b=0$. O singură pereche ar pierde jumătate din soluții.

Despre litere. În itemul 2, $f$ și $g$ sunt numele funcțiilor, iar $x$ este numărul real căutat. În itemul 3, $x$ este necunoscuta din exponent. În itemul 4, litera $x$ numește profitul anual: enunțul nu o folosește, iar baremul o introduce. În itemul 5, $A$, $B$ și $C$ sunt punctele date. În Subiectul II, $x$ și $y$ sunt numere reale arbitrare (la cerința II.2 apare și $z$), $x$ devine necunoscută la cerința II.4 și rămâne arbitrar la cerința II.5, unde apare și $y$; la cerința II.3, $e$ este elementul neutru: valoarea $-5$ este dată în enunț și verificată, nu căutată; la cerința II.6, $m$ și $n$ sunt numerele naturale căutate. În Subiectul III, $O_2$ este matricea nulă dată, iar $A(a)$ are parametrul real $a$: necunoscută la cerințele III.2 și III.4, număr arbitrar la cerința III.5, iar la cerința III.6, unde apare și $b$, parametrii sunt cei doi necunoscuți.