Subiect Bac matematică pedagogic, iunie 2014 (varianta 1) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2014 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left({\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2\right):\frac{19}{9}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2014-x$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=x-2014$. Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor celor două funcții.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9^{x^2+3x}=9^{x-1}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Prețul unui aparat de fotografiat este de $360$ de lei. Determinați prețul aparatului de fotografiat după o reducere cu $25\%$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(-2,3)$ și $B(2,3)$. Determinați coordonatele mijlocului segmentului $AB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Determinați lungimea laturii $BC$ a triunghiului $ABC$ dreptunghic în $A$ știind că $AC=6$ și $\sin B=\frac{3}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=x+y+11$.

1. (5 puncte) Calculați $8\ast (-3)$.

2. (5 puncte) Arătați că legea de compoziție „$\ast$” este asociativă.

3. (5 puncte) Verificați dacă $e=-11$ este element neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

4. (5 puncte) Determinați numerele întregi $x$ știind că $\left(x^2\right)\ast x=121$.

5. (5 puncte) Arătați că $x\ast (x+23)=(x\ast x)\ast 12$ pentru orice număr real $x$.

6. (5 puncte) Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $\lg x\ast \lg x=13$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricea $A(a)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)$, unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Calculați $\det \left(A(0)\right)$.

2. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ știind că $2A(a)+A(a-3)=3A(0)$.

3. (5 puncte) Arătați că $A(1)+A(2)+\dots +A(9)=9A(5)$.

4. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A(a)+A(b)\right)=4\det \left(A(a)\cdot A(b)\right)$ pentru orice numere reale $a$ și $b$.

5. (5 puncte) Verificați dacă matricea $A(-a)$ este inversa matricei $A(a)$ pentru orice număr real $a$.

6. (5 puncte) Determinați matricea $X=\left(\begin{array}{cc}p& 2\\ q& 1\end{array}\right)\in {\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$ știind că $X\cdot A(a)=A(a)\cdot X$ pentru orice număr real $a$.

Barem și răspunsuri

În total cerințele valorează 90 de puncte; cu cele 10 puncte din oficiu se ajunge la 100. Numărul îngroșat dintr-o paranteză arată câte puncte valorează etapa pe care o încheie, iar etapele de la fiecare cerință însumează 5 puncte.

Exercițiul 1. (5 p) — o fracție, o putere și un cât.

Puterea este ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{9}$, iar numărul $2$ se scrie $\frac{18}{9}$. Paranteza are valoarea $${\left(\frac{1}{3}\right)}^2+2=\frac{1}{9}+\frac{18}{9}=\frac{19}{9}\text{(3 p)}.$$ Câtul a două fracții egale este $\frac{19}{9}:\frac{19}{9}=1$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — punctul comun a două grafice.

Un punct aflat pe ambele grafice are aceeași ordonată pe fiecare, deci abscisa lui satisface $f(x)=g(x)$: $$2014-x=x-2014\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=4028$, adică $x=2014$, iar ordonata este $f(2014)=2014-2014=0$. Graficele se taie în $(2014,0)$ (2 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Membrii au aceeași bază, $9$, iar $t\mapsto 9^t$ este injectivă, deci exponenții coincid: $$x^2+3x=x-1,\text{adica˘}{x}^2+2x+1=0\text{(3 p)}.$$ Membrul stâng este $(x+1{)}^2$, deci $\mathbf{x}=-1$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — reducere cu un procent.

Reducerea înseamnă un sfert din preț: $$\frac{25}{100}\cdot 360=90\text{ de lei}\text{(3 p)}.$$ Prețul după reducere este $360-90=270$ de lei (2 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment.

Mijlocul $M$ are drept coordonate mediile coordonatelor capetelor. Pentru abscisă: $$x_M=\frac{-2+2}{2}=0\text{(3 p)}.$$ Ordonata este $y_M=\frac{3+3}{2}=3$, deci $\mathbf{M}(0,3)$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi dreptunghic și sinus.

Unghiul drept fiind în $A$, sinusul lui $B$ este cateta opusă, $AC$, împărțită la ipotenuza $BC$: $$\frac{3}{5}=\frac{6}{BC}\text{(3 p)}.$$ Din proporție, $3\cdot BC=5\cdot 6=30$, deci $\mathbf{BC}=10$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: o valoare.

Punem $x=8$ și $y=-3$ în definiția legii: $$8\ast (-3)=8+(-3)+11\text{(3 p)}.$$ Suma este $16$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: asociativitatea.

Fie $x$, $y$, $z$ numere reale. Grupând primii doi operanzi, $(x\ast y)\ast z=(x+y+11)\ast z=x+y+z+22$ (2 p). Grupând ultimii doi, $x\ast (y\ast z)=x\ast (y+z+11)=x+y+z+22$. Cele două grupări dau aceeași expresie, oricare ar fi $x$, $y$, $z$, deci legea este asociativă (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: element neutru.

Un număr $e$ este element neutru dacă $x\ast e=e\ast x=x$ pentru orice $x$. Cu $e=-11$, de o parte: $$x\ast (-11)=x+(-11)+11=x\text{(3 p)}.$$ De cealaltă parte, $(-11)\ast x=-11+x+11=x$. Ambele egalități se verifică pentru orice $x$ real, așadar $-11$ este element neutru (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: ecuație în numere întregi.

Cum $\left(x^2\right)\ast x=x^2+x+11$, egalitatea cu $121$ devine $$x^2+x+11=121,\text{adica˘}{x}^2+x-110=0\text{(3 p)}.$$ Aici $\Delta =1+440=441=21^2$, deci $x=\frac{-1\pm 21}{2}$, adică $-11$ sau $10$; ambele numere sunt întregi, așadar $\mathbf{x}=-11$ și $\mathbf{x}=10$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: o identitate.

Membrul stâng este $x\ast (x+23)=x+(x+23)+11=2x+34$ (2 p). Pentru membrul drept, $x\ast x=2x+11$, iar apoi $(x\ast x)\ast 12=(2x+11)+12+11=2x+34$. Cele două părți coincid, ambele fiind $2x+34$, pentru fiecare $x$ real (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție și logaritm zecimal.

Ambii operanzi ai legii sunt $\lg x$, deci $\lg x\ast \lg x=\lg x+\lg x+11=2\lg x+11$, iar ecuația devine $$2\lg x+11=13\text{(2 p)}.$$ Rămâne $\lg x=1$, adică $x=10$. Numărul $10$ este pozitiv, deci $\lg 10$ există, iar $1\ast 1=13$ confirmă ecuația: $\mathbf{x}=10$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordin 2.

Pentru $a=0$ matricea este $A(0)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, iar $$\det \left(A(0)\right)=1\cdot 1-0\cdot 0\text{(3 p)}.$$ Rezultatul este $1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — ecuație matriceală cu parametru.

Calculăm membrul stâng: $2A(a)=\left(\begin{array}{cc}2& 2a\\ 0& 2\end{array}\right)$ și $A(a-3)=\left(\begin{array}{cc}1& a-3\\ 0& 1\end{array}\right)$, deci $$2A(a)+A(a-3)=\left(\begin{array}{cc}3& 3a-3\\ 0& 3\end{array}\right),3A(0)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 3\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Două matrice sunt egale numai dacă au aceleași elemente; la colțul din dreapta sus, $3a-3=0$, deci $\mathbf{a}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — suma a nouă matrice.

Matricea $A(k)$ are $1$ pe diagonală și $k$ în dreapta sus, deci suma se scrie desfășurat $$A(1)+A(2)+\dots +A(9)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)+\dots +\left(\begin{array}{cc}1& 9\\ 0& 1\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Adunăm element cu element: diagonala adună nouă termeni egali cu $1$, iar elementul din dreapta sus adună $1,2,\dots ,9$. Suma $1+2+\dots +9$ este $45$, deci rezultatul este $\left(\begin{array}{cc}9& 45\\ 0& 9\end{array}\right)=9\left(\begin{array}{cc}1& 5\\ 0& 1\end{array}\right)=9A(5)$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — determinantul unei sume și al unui produs.

Suma este $A(a)+A(b)=\left(\begin{array}{cc}2& a+b\\ 0& 2\end{array}\right)$, cu determinantul $$\det \left(A(a)+A(b)\right)=2\cdot 2-0=4\text{(2 p)}.$$ Produsul este $A(a)\cdot A(b)=\left(\begin{array}{cc}1& a+b\\ 0& 1\end{array}\right)$, cu determinantul $1$. Prin urmare $4\det \left(A(a)\cdot A(b)\right)=4\cdot 1=4$, adică exact $\det \left(A(a)+A(b)\right)$, pentru orice $a$ și $b$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice inversă.

O inversă se recunoaște prin produsul egal cu $I_2$. Calculăm într-o ordine: $$A(a)\cdot A(-a)=\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& -a\\ 0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& -a+a\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2\text{(3 p)}.$$ În ordinea cealaltă, $A(-a)\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}1& a-a\\ 0& 1\end{array}\right)=I_2$. Ambele ordini dau $I_2$, deci $A(-a)$ este inversa lui $A(a)$, oricare ar fi $a$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — o matrice care comută cu toate matricele $A(a)$.

Calculăm cele două produse: $$X\cdot A(a)=\left(\begin{array}{cc}p& pa+2\\ q& qa+1\end{array}\right),A(a)\cdot X=\left(\begin{array}{cc}p+qa& 2+a\\ q& 1\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Condiția se impune pentru fiecare $a$. Din $pa+2=2+a$ rezultă $p=1$ (coeficientul lui $a$), iar din $qa+1=1$ rezultă $q=0$; cu aceste valori coincid și celelalte două elemente. Deci $\mathbf{X}=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 1\end{array}\right)$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 1 a probei E. c) la matematică M_pedagogic, susținută la 2 iulie 2014 în sesiunea iunie–iulie, este rezolvată integral mai jos. Candidații au avut trei ore. Se acordă 10 puncte din oficiu. Foaia oficială grupează cele 18 cerințe în trei subiecte a câte șase cerințe de câte 5 puncte (adică 30 de puncte pe subiect). Enunțurile sunt copiate întocmai din foaia oficială; rezolvările aparțin Matepolis și își împart cele 5 puncte ale fiecărei cerințe pe etapele din documentul oficial de evaluare.

La cine se dă proba: la specializarea învățător-educatoare proba E. c) este matematica M_pedagogic, iar la celelalte specializări pedagogice ea este istorie.

Cuprinsul variantei. Primul subiect adună șase probleme independente: o fracție cu o putere, două funcții afine, o ecuație exponențială, o reducere cu un procent, mijlocul unui segment și un triunghi dreptunghic cu sinusul unui unghi cunoscut. Al doilea subiect are ca punct de plecare legea $x\ast y=x+y+11$ și cere pe rând o valoare a ei, asociativitatea, elementul neutru, o ecuație în numere întregi, o identitate și o ecuație cu logaritm. Al treilea subiect folosește matricea $A(a)$ și cere un determinant, o ecuație matriceală, o sumă de nouă matrice, o egalitate între determinanți, inversa lui $A(a)$ și o matrice $X$ cu $X\cdot A(a)=A(a)\cdot X$ pentru fiecare $a$.

Locul în programă. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014, aplicată începând cu Bacalaureatul din 2015, repartizează materia astfel: în clasa a IX-a, calculul cu numere reale și funcția de gradul întâi; în clasa a X-a, ecuațiile exponențiale, logaritmii și procentele; în clasa a XI-a, legile de compoziție; în clasa a XII-a, matricele, determinanții și matricele inversabile. Pentru legea de compoziție puteți relua lecția Bac tehnologic: asociativă, comutativă, neutru, iar pentru inversa unei matrice de ordin 2 lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Capcane, cu dovada lor.

• Exercițiul 1: dacă ${\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ este citit ca $\frac{2}{3}$, rezultatul devine $\frac{24}{19}$, nu $1$; exponentul $2$ cere înmulțirea fracției cu ea însăși, $\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{3}=\frac{1}{9}$, nu înmulțirea ei cu $2$.
• Exercițiul 4: suma de $90$ de lei este reducerea, nu prețul de după reducere, care este $270$ de lei.
• Cerința II.2: un singur triplet, ca în $(1\ast 2)\ast 3=28=1\ast (2\ast 3)$, nu demonstrează asociativitatea; egalitatea se arată pentru $x$, $y$, $z$ oarecare.
• Cerința II.3: pentru $0$ nu se obține $x\ast 0=x$, ci $x\ast 0=x+11$, care diferă de $x$ oricare ar fi $x$; deci $0$ nu e element neutru.
• Cerința III.4: $\det \left(A(a)+A(b)\right)=4$, dar $\det A(a)+\det A(b)=2$; determinantul nu se distribuie față de adunare.
• Cerința III.6: cu $a=0$ se obține $A(0)=I_2$, iar $X\cdot I_2=I_2\cdot X$ este adevărată pentru oricare $X$; de aceea condiția trebuie exploatată pentru un $a$ general.

Despre litere. În cerința II.3, litera $e$ este un număr pus la încercare ca element neutru, nu numărul lui Euler, baza logaritmului natural. În problema cu matrice, $a$ este parametrul matricei $A(a)$, dar în cerința III.2 el este și necunoscuta; $p$ și $q$ din cerința III.6 sunt elementele necunoscute ale lui $X$.