Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă iunie 2017 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2017 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\left(2-\frac{1}{2}\right):\frac{1}{2}=3$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2+1$. Calculați $f(-1)\cdot f(1)$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x+2}=9$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr din mulțimea $A=\{11,22,33,44,55,66,77,88,99\}$, acesta să fie multiplu de $2$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(2,1)$ și $B(2,-1)$. Arătați că $AO=OB$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că ${\sin }^{2}45^{\circ }-{\cos }^{2}60^{\circ }=\frac{1}{4}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& 1\end{array}\right)$ și $B=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 2& x\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=-8$.

b) (5 puncte) Arătați că $A\cdot A-2A=8I_2$, unde $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$.

c) (5 puncte) Demonstrați că $\det (A\cdot B-B\cdot A)\ge 0$, pentru orice număr real $x$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=2X^3+3X^2-X-2$.

a) (5 puncte) Arătați că $f(1)=2$.

b) (5 puncte) Determinați câtul și restul împărțirii polinomului $f$ la polinomul $X+1$.

c) (5 puncte) Determinați rădăcinile polinomului $f$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^4-2x^2+12$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=4x(x-1)(x+1)$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Arătați că $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{f(x)-x^4}=-\frac{1}{2}$.

c) (5 puncte) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției $f$ în punctul de abscisă $x=1$, situat pe graficul funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x^2+2x-4$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_1^2\left(f(x)-2x+4\right)dx=7$.

b) (5 puncte) Determinați primitiva $F$ a funcției $f$ pentru care $F(1)=2017$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care ${\int }_1^{a}f(x)dx=a^3-2$.

Barem și răspunsuri

Cerințele însumează 90 p, iar oficiul adaugă 10 p: 100 p. Cerințele 1–6 valorează câte 5 p, iar subpunctele cerințelor 7–10 tot câte 5 p; toate au câte două rânduri, cu excepția cerinței 4, care are trei (2 p + 2 p + 1 p). La sfârșitul fiecărei bucăți de rezolvare, „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)” arată cât valorează rândul corespunzător din documentul oficial al rezervei din iunie 2017, varianta 9. Soluțiile, controalele și avertismentele sunt ale noastre.

Exercițiul 1. (5 p) — o diferență și o împărțire.

Diferența din paranteză se calculează cu numitorul $2$, fiindcă $2=\frac{4}{2}$: $$2-\frac{1}{2}=\frac{4}{2}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\text{(2 p)}.$$ Împărțirea la $\frac{1}{2}$ înseamnă înmulțirea cu inversa, adică cu $2$: $$\frac{3}{2}:\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\cdot 2=3\text{(3 p)}.$$

(Control: $3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$. Capcană: se înmulțește cu $\frac{1}{2}$ în loc de $2$; atunci $\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$, nu $3$.)

Exercițiul 2. (5 p) — două valori ale unei funcții.

Valoarea în $-1$: $(-1{)}^2=1$, deci $$f(-1)=(-1{)}^2+1=2\text{(2 p)}.$$ Valoarea în $1$ este $f(1)=1^2+1=2$, iar produsul este $$f(-1)\cdot f(1)=2\cdot 2=4\text{(3 p)}.$$

(Control: funcția $x^2+1$ ia aceeași valoare în $-1$ și în $1$, deoarece $(-1{)}^2=1^2=1$. Capcană: se scrie $(-1{)}^2$ ca $-1^2$, adică $-1$; atunci suma ar fi $-1+1=0$, iar produsul ar fi $0$.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Numărul $9$ este $3^2$, deci ecuația este $3^{2x+2}=3^2$, iar exponenții sunt egali: $$2x+2=2\text{(3 p)}.$$ Rezultă $2x=0$, adică $\mathbf{x}=0$ (2 p).

(Control: pentru $x=0$ membrul stâng este $3^{2\cdot 0+2}=3^2=9$. Capcană: exponentul se egalează cu $9$, adică $2x+2=9$, de unde $x=\frac{7}{2}$; dar $3^{2\cdot \frac{7}{2}+2}=3^9=19683$, nu $9$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate pe o mulțime enumerată.

Alegerea se face între cele nouă numere scrise în acolada mulțimii $A$, așa că numărul cazurilor posibile este $$9\text{(2 p)}.$$ Dintre ele, multipli de $2$ sunt numai cele pare, $22,44,66$ și $88$, deci numărul cazurilor favorabile este $$4\text{(2 p)}.$$ Probabilitatea este raportul dintre cazurile favorabile și cele posibile: $$p=\frac{4}{9}\text{(1 p)}.$$

(Control: celelalte cinci numere sunt impare, iar $4+5=9$. Capcană: se numără numerele impare, $5$ la număr, și iese $\frac{5}{9}$; aceasta este probabilitatea ca numărul să fie impar.)

Exercițiul 5. (5 p) — segmente egale.

Distanța de la $A(2,1)$ la originea $O(0,0)$ este $$AO=\sqrt{(2-0{)}^2+(1-0{)}^2}=\sqrt{5}\text{(2 p)}.$$ La fel, pentru $B(2,-1)$, pătratul lui $-1$ este $1$: $$BO=\sqrt{(2-0{)}^2+(-1-0{)}^2}=\sqrt{5},\text{deci }AO=BO\text{(3 p)}.$$

(Control: punctele $A$ și $B$ sunt simetrice față de axa $Ox$, iar $O$ se află pe ea. Capcană: pătratul lui $-1$ se ia $-1$; atunci $BO=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$, diferit de $AO$.)

Exercițiul 6. (5 p) — sinus și cosinus.

Valorile cunoscute sunt $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ (2 p). Se ridică la pătrat fiecare valoare și se scad rezultatele: $${\sin }^{2}45^{\circ }-{\cos }^{2}60^{\circ }={\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}\text{(3 p)}.$$

(Control: $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$, iar $\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{4}$. Capcană: se ridică la pătrat doar numărătorul $\sqrt{2}$ și se obține $\frac{2}{2}$; atunci diferența ar fi $1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matricele $A$ și $B$.

a) (5 p) Se scade produsul diagonalei secundare din cel al diagonalei principale: $$\det A=1\cdot 1-3\cdot 3\text{(3 p)}.$$ $$=1-9=-8\text{(2 p)}.$$

(Control: $A$ este simetrică, iar $(1-3)(1+3)=-8$. Capcană: produsele se adună, $1+9=10$.)

b) (5 p) Fiecare element al produsului $A\cdot A$ se obține înmulțind o linie cu o coloană, iar $2A$ dublează toate elementele lui $A$: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}10& 6\\ 6& 10\end{array}\right),2A=\left(\begin{array}{cc}2& 6\\ 6& 2\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Scăderea se face element cu element: $$A\cdot A-2A=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ 0& 8\end{array}\right)=8I_2\text{(2 p)}.$$

(Control: pe poziția $(1,2)$, $A\cdot A$ are $1\cdot 3+3\cdot 1=6$, iar $2A$ are $2\cdot 3=6$, deci diferența este $0$; pe diagonală, $10-2=8$. Capcană: $A\cdot A$ se ia ca matricea elementelor ridicate la pătrat, $\left(\begin{array}{cc}1& 9\\ 9& 1\end{array}\right)$, iar în poziția $(1,1)$ rezultă $1-2=-1$, nu $8$.)

c) (5 p) Produsele sunt $$A\cdot B=\left(\begin{array}{cc}6& 2+3x\\ 2& 6+x\end{array}\right),B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}6& 2\\ 2+3x& 6+x\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Diferența lor are zerouri pe diagonală, iar celelalte două elemente sunt opuse: $$A\cdot B-B\cdot A=\left(\begin{array}{cc}0& 3x\\ -3x& 0\end{array}\right),\det (A\cdot B-B\cdot A)=0\cdot 0-3x\cdot (-3x)=9x^2\ge 0\text{(3 p)}.$$

(Control: pentru $x=1$ matricea diferență este $\left(\begin{array}{cc}0& 3\\ -3& 0\end{array}\right)$, cu determinantul $9$. Capcană: se consideră $A\cdot B=B\cdot A$, deci diferența nulă și determinantul $0$; dar produsele diferă ori de câte ori $x\ne 0$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinomul $f$.

a) (5 p) Se înlocuiește $X=1$: $$f(1)=2\cdot 1^3+3\cdot 1^2-1-2\text{(3 p)}.$$ $$=2+3-1-2=2\text{(2 p)}.$$

(Capcană: se uită semnul ultimului termen și se scrie $+2$; atunci suma ar fi $2+3-1+2=6$.)

b) (5 p) Se împarte la $X+1=X-(-1)$, deci schema lui Horner folosește $a=-1$ și coeficienții $2,3,-1,-2$; se obțin pe rând $2$, $3+(-1)\cdot 2=1$, $-1+(-1)\cdot 1=-2$ și $-2+(-1)\cdot (-2)=0$. Primele trei numere dau câtul: $$\text{caˆtul este }2{\mathbf{X}}^2+\mathbf{X}-2\text{(3 p)}.$$ Ultimul număr este restul, adică $f(-1)$: $$\text{restul este }0\text{(2 p)}.$$

(Control: $(X+1)\left(2X^2+X-2\right)=2X^3+3X^2-X-2$. Capcană: se împarte la $X-1$; restul ar fi $f(1)=2$, nu $0$.)

c) (5 p) Din b), polinomul se scrie ca produs: $$f=(X+1)\left(2X^2+X-2\right)\text{(2 p)}.$$ Primul factor dă rădăcina $-1$. Trinomul $2X^2+X-2$ are discriminantul $1+16=17$, deci rădăcinile lui sunt $\frac{-1\pm \sqrt{17}}{4}$. Rădăcinile polinomului $f$ sunt $${\mathbf{x}}_1=-1,{\mathbf{x}}_2=\frac{-1-\sqrt{17}}{4}\text{și}{\mathbf{x}}_3=\frac{-1+\sqrt{17}}{4}\text{(3 p)}.$$

(Control: $x_2+x_3=-\frac{1}{2}$ și $x_2{x}_3=\frac{1-17}{16}=-1$, adică exact $-\frac{b}{a}$ și $\frac{c}{a}$ pentru $2X^2+X-2$. Capcană: discriminantul se calculează $1-16=-15$, cu semnul termenului $-4ac$ greșit; atunci nu ar exista rădăcini reale.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivată, limită, tangentă.

a) (5 p) Fiecare monom se derivează separat: $x^4$ dă $4x^3$, $-2x^2$ dă $-4x$, iar constanta $12$ dispare: $$f^{\prime }(x)=4x^3-4x\text{(3 p)}.$$ Se scoate factorul $4x$, iar diferența de pătrate $x^2-1$ se descompune: $$f^{\prime }(x)=4x\left(x^2-1\right)=4x(x-1)(x+1),x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Control: $f^{\prime }(0)=f^{\prime }(1)=f^{\prime }(-1)=0$. Capcană: la derivarea lui $-2x^2$ se uită factorul $2$ care coboară din exponent; atunci în $f^{\prime }$ ar apărea termenul $-2x$ în loc de $-4x$.)

b) (5 p) Prin scădere, $f(x)-x^4=-2x^2+12$, deci $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{f(x)-x^4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+1}{-2x^2+12}\text{(2 p)}.$$ Împărțind numărătorul și numitorul la $x^2$, termenii $\frac{1}{x^2}$ și $\frac{12}{x^2}$ tind la $0$: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{1}{x^2}}{-2+\frac{12}{x^2}}=-\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Control: la $x=100$, raportul $\frac{10001}{-19988}$ este negativ și apropiat de $-\frac{1}{2}$. Capcană: se pierde semnul minus al lui $-2x^2$ și iese $+\frac{1}{2}$.)

c) (5 p) Pentru $x=1$ se obține $$f(1)=1-2+12=11,f^{\prime }(1)=4\cdot 1\cdot 0\cdot 2=0\text{(2 p)}.$$ Ecuația tangentei, $y-f(1)=f^{\prime }(1)(x-1)$, devine $y-11=0$, adică $$\mathbf{y}=11\text{(3 p)}.$$

(Control: panta $0$ înseamnă tangentă orizontală, care trece prin punctul $(1,11)$. Capcană: se uită ordonata punctului de tangență și se scrie $y=0$, o dreaptă care nu trece prin $(1,11)$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale și primitivă.

a) (5 p) În integrand, $2x$ și $-2x$ se reduc, la fel $-4$ și $+4$: $$f(x)-2x+4=3x^2+2x-4-2x+4=3x^2,\text{deci }{\int }_1^2\left(f(x)-2x+4\right)dx={\int }_1^{2}3x^{2}dx\text{(2 p)}.$$ O primitivă a lui $3x^2$ este $x^3$: $$x^3{|}_1^2=8-1=7\text{(3 p)}.$$

(Control: ${\left(x^3\right)}^{\prime }=3x^2$. Capcană: primitiva se ia $3x^3$; atunci valoarea ar fi $24-3=21$.)

b) (5 p) Primitivele lui $f$ se obțin integrând termen cu termen și adăugând o constantă: $$F(x)=x^3+x^2-4x+c,c\in \mathbb{R}\text{(3 p)}.$$ Condiția $F(1)=2017$ dă $1+1-4+c=2017$, deci $c=2019$ și $$\mathbf{F}(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^3+{\mathbf{x}}^2-4x+2019\text{(2 p)}.$$

(Control: $F^{\prime }(x)=3x^2+2x-4=f(x)$ și $F(1)=1+1-4+2019=2017$. Capcană: se omite constanta $c$; atunci $F(1)=-2$, nu $2017$.)

c) (5 p) Se folosește primitiva $x^3+x^2-4x$ și formula Leibniz–Newton; valoarea ei în $1$ este $1+1-4=-2$: $${\int }_1^{a}f(x)dx=\left(x^3+x^2-4x\right){|}_1^a=a^3+a^2-4a+2\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $a^3+a^2-4a+2=a^3-2$ conduce la $a^2-4a+4=0$, adică $(a-2{)}^2=0$, deci $$\mathbf{a}=2\text{(2 p)}.$$

(Control: pentru $a=2$ integrala este $8+4-8+2=6$, iar $a^3-2=6$. Capcană: se scade valoarea primitivei în $1$ cu semnul greșit și rămâne $a^3+a^2-4a-2$; atunci ecuația ar da $a^2-4a=0$, adică $a=0$ sau $a=4$.)

Pentru părinți și profesori

Pagina de față conține lucrarea de rezervă la matematică M_tehnologic din sesiunea iunie 2017, varianta 9, cu fiecare cerință rezolvată. Titlul din foaie este „Examenul de bacalaureat național 2017, Proba E. c)”, iar antetul numește Ministerul Educației Naționale și Centrul Național de Evaluare și Examinare. Subiectele sunt gândite pentru filiera tehnologică, la profilurile servicii, resurse și tehnic. Enunțurile sunt aduse fără modificări, cu punctuația foii. Rezolvările, controalele și avertismentele sunt scrise de noi; din documentul oficial de evaluare am preluat doar felul în care se împart punctele între rânduri.

Cele trei subiecte au câte 30 de puncte fiecare, foaia adaugă 10 puncte din oficiu, iar timpul efectiv de lucru este de 3 ore. Subiectul I este alcătuit din șase cerințe independente, iar fiecare dintre următoarele două subiecte conține două probleme cu câte trei subpuncte. În documentul oficial un subpunct de 5 puncte se desparte în rânduri, iar la capătul fiecărui rând pagina notează „(1 p)”, „(2 p)” sau „(3 p)”.

O abatere de la tiparul obișnuit. Cerința 4 are în documentul oficial trei rânduri, de 2 p, 2 p și 1 p: întâi numărul cazurilor posibile, apoi cel al cazurilor favorabile, în cele din urmă raportul. Celelalte cinci cerințe ale primului subiect au câte două rânduri. De aceea lucrarea are 37 de rânduri punctate, cu suma 90, iar ghidajul are la cerința 4 trei pași.

Harta variantei 9

În programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), clasa a X-a cuprinde evenimentele egal probabile, iar clasa a XII-a cuprinde împărțirea cu $X-a$, schema lui Horner și relațiile lui Viète pentru polinoame de grad cel mult $3$.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

Ce are varianta 9. La 4 mulțimea $A$ este formată din numerele de două cifre egale, adică $11,22,\dots ,99$, iar numărătoarea cazurilor favorabile se face direct, pe elemente. La 7.c) produsele $A\cdot B$ și $B\cdot A$ au aceleași elemente pe diagonala principală, iar celelalte două elemente, $2+3x$ și $2$, își schimbă locurile; de aceea diferența lor are zerouri pe diagonală. La 8.c) două dintre rădăcini sunt numere iraționale, deoarece discriminantul $17$ nu este pătrat perfect. La 9.c) derivata se anulează în punctul de abscisă $1$, deci tangenta este orizontală. La 10.c) ecuația în $a$ se reduce la un pătrat egal cu $0$, care are o singură soluție.

Cifre pentru ritm. Primele trei cerințe de la Subiectul I valorează 15 puncte. Un elev care le rezolvă numai pe ele, cu cele 10 puncte din oficiu, are 25 de puncte, adică nota 2,5.

Cum parcurgi pagina. Rezolvă mai întâi singur subpunctul, apoi urmărește fiecare dintre rândurile soluției și compară-le cu cele scrise de tine. Dacă te oprești la 7.c), calculează pe rând, linie cu coloană, cele patru elemente ale fiecărui produs și compară-le poziție cu poziție; dacă te oprești la 10.c), grupează toți termenii într-un singur membru al ecuației.

Formulele variantei 9

• Subiectul I. $a^u=a^v$ cu $a>0$, $a\ne 1$ implică $u=v$; probabilitatea este câtul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile; distanța dintre $P$ și $Q$ este $\sqrt{(x_P-x_Q{)}^2+(y_P-y_Q{)}^2}$; $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$.
• Subiectul al II-lea. $\det \left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right)=ad-bc$; restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$; pentru $a{X}^2+bX+c$ cu discriminantul $\Delta =b^2-4ac$, rădăcinile se obțin împărțind la $2a$ suma dintre opusul lui $b$ și plus sau minus $\sqrt{\Delta }$.
• Subiectul al III-lea. ${\left(x^n\right)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$; tangenta în abscisa $x_0$ are ecuația $y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$; ${\int }_u^{v}f(x)dx=F(v)-F(u)$, cu $F^{\prime }=f$.

Despre litere. Litera $f$ denumește patru obiecte diferite: funcția $x^2+1$ de la 2, polinomul de la 8, funcția cu $x^4$ de la 9 și cea cu $3x^2$ de la 10. Litera $A$ este o mulțime la 4, un punct la 5 și o matrice la 7, iar litera $B$ este un punct la 5 și o matrice la 7. Litera $F$ de la 10.b) este primitiva căutată, iar $a$ de la 10.c) este un număr real.