Evaluare finală clasa 9 matematică mate-info (a IX-a), cu barem: programa nouă 2026–2027

Disciplina: Matematică · Clasa a IX-a (clasa a 9-a), matematică-informatică · Unitatea: Evaluări generale

Exerciții

Partea I – Verificarea noțiunilor de bază (24 de puncte)

Exercițiul 1 (6 puncte)

Alegeți litera corespunzătoare răspunsului corect.

a) Negația propoziției „$\forall x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$” este: (2 p) A. $\forall x\in \mathbb{R},x^2<0$; B. $\exists x\in \mathbb{R},x^2<0$; C. $\exists x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$; D. $\forall x\in \mathbb{R},x^2\le 0$.

b) Al cincilea termen al progresiei aritmetice cu $a_1=3$ și rația $r=4$ este: (2 p) A. $15$; B. $23$; C. $19$; D. $7$.

c) Valoarea lui $\cos \frac{2\pi }{3}$ este: (2 p) A. $-\frac{1}{2}$; B. $\frac{1}{2}$; C. $-\frac{\sqrt{3}}{2}$; D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Exercițiul 2 (6 puncte)

Se consideră propozițiile $p$: „$6$ este număr prim” și $q$: „$12$ este divizibil cu $4$”.

a) Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor $p$ și $q$. (2 p)

b) Precizați valoarea de adevăr a propozițiilor $p\vee q$, $p\wedge q$ și $p\to q$. (2 p)

c) Scrieți negația propoziției „$\exists n\in \mathbb{N},n^2=2n+3$” și precizați care dintre cele două propoziții (cea dată sau negația ei) este adevărată. (2 p)

Exercițiul 3 (6 puncte)

a) Calculați al patrulea termen al progresiei geometrice cu $b_1=2$ și rația $q=3$. (2 p)

b) Calculați suma primilor $5$ termeni ai progresiei geometrice de la punctul a). (2 p)

c) Determinați numărul real $x$ pentru care numerele $x-1$, $x+3$ și $3x+1$ sunt, în această ordine, termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice. (2 p)

Exercițiul 4 (6 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=x^2-6x+5$.

a) Determinați coordonatele punctelor de intersecție ale reprezentării grafice a funcției $f$ cu axele de coordonate. (2 p)

b) Determinați coordonatele vârfului parabolei și ecuația axei de simetrie. (2 p)

c) Determinați imaginea funcției $f$ și intervalele de monotonie. (2 p)

Partea a II-a – Aplicații și raționamente (34 de puncte)

Exercițiul 5 (7 puncte)

Se consideră funcțiile $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x-3$ și $g(x)=x^2+1$.

a) Determinați $(f\circ g)(x)$ și $(g\circ f)(x)$. (3 p)

b) Arătați că funcția $f$ este bijectivă și determinați inversa ei. (2 p)

c) Arătați că funcția $g$ nu este injectivă. (2 p)

Exercițiul 6 (7 puncte)

Fie $x_1$ și $x_2$ soluțiile ecuației $x^2-5x+3=0$.

a) Fără a rezolva ecuația, calculați $x_1+x_2$, $x_1{x}_2$ și $x_1^2+x_2^2$. (3 p)

b) Rezolvați în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $\{\begin{array}{l}x+y=5\\ xy=6\end{array}$. (2 p)

c) Rezolvați în $\mathbb{R}\times \mathbb{R}$ sistemul $\{\begin{array}{l}y=x+1\\ y=x^2-1\end{array}$ și interpretați geometric soluțiile. (2 p)

Exercițiul 7 (6 puncte)

a) Determinați domeniul maxim de definiție al funcției $f(x)=\sqrt{6-2x}$. (2 p)

b) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sqrt{x+6}=x$. (4 p)

Exercițiul 8 (7 puncte)

Se știe că $\sin x=\frac{3}{5}$ și $x\in \left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.

a) Calculați $\cos x$ și $\mathrm{tg}x$. (3 p)

b) Calculați $\sin 75^{\circ }$, folosind formula sinusului unei sume. (2 p)

c) Calculați $\sin 2x$, pentru $x$ din enunț. (2 p)

Exercițiul 9 (7 puncte)

a) Calculați $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}+\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)$. (2 p)

b) Rezolvați ecuația $\sin x=\frac{1}{2}$, pentru $x\in [0,2\pi ]$. (2 p)

c) Rezolvați în $\mathbb{R}$ ecuația $\sin 2x=\cos x$. (3 p)

Partea a III-a – Probleme și demonstrații (32 de puncte)

Exercițiul 10 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) În triunghiul $ABC$, $AB=5$, $AC=8$ și $\sphericalangle BAC=60^{\circ }$.

a) Calculați lungimea laturii $BC$. (3 p)

b) Calculați aria triunghiului $ABC$. (2 p)

c) Calculați raza cercului circumscris și raza cercului înscris în triunghiul $ABC$. (3 p)

Exercițiul 11 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) În triunghiul $ABC$, $AB=6$, $AC=9$ și $BC=10$. Bisectoarea unghiului $BAC$ intersectează latura $BC$ în punctul $D$.

a) Calculați lungimile segmentelor $BD$ și $DC$. (3 p)

b) Calculați lungimea bisectoarei $AD$. (3 p)

c) Fie $F$ mijlocul laturii $AB$ și $E\in (AC)$ astfel încât $AE=3,6$ și $EC=5,4$. Arătați că dreptele $AD$, $BE$ și $CF$ sunt concurente. (2 p)

Exercițiul 12 (8 puncte)

(Problemă aplicată.) Andrei economisește: în prima lună pune deoparte $50$ de lei, iar în fiecare lună următoare cu $10$ lei mai mult decât în luna precedentă. Sora lui, Ioana, pune deoparte câte $120$ de lei în fiecare lună.

a) Câți lei pune deoparte Andrei în luna a $12$-a? (2 p)

b) Câți lei a strâns Andrei, în total, după $12$ luni? (2 p)

c) După câte luni suma strânsă de Andrei ajunge la $2000$ de lei? (2 p)

d) De la ce lună suma totală strânsă de Andrei o depășește pe cea strânsă de Ioana? (2 p)

Exercițiul 13 (8 puncte)

(Redactare completă cerută.) Se consideră propoziția $P(n)$: „$1+3+5+\dots +(2n-1)=n^2$”, $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

a) Verificați că $P(1)$ și $P(2)$ sunt adevărate. (2 p)

b) Demonstrați, prin metoda inducției matematice, că $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. (4 p)

c) Calculați suma $1+3+5+\dots +99$. (2 p)

Barem și răspunsuri

Punctaj total: 90 p din exerciții + 10 p din oficiu = 100 p. Partea I – 24 p (exercițiile 1–4) · Partea a II-a – 34 p (exercițiile 5–9) · Partea a III-a – 32 p (exercițiile 10–13).

Exercițiul 1. (6 p)

a) (2 p) B. Negația lui „pentru orice $x$, $x^2\ge 0$” este „există $x$ pentru care $x^2<0$”: cuantificatorul universal devine existențial, iar relația se neagă.

b) (2 p) C. $a_5=a_1+4r=3+16=19$.

c) (2 p) A. $\cos \frac{2\pi }{3}=\cos \left(\pi -\frac{\pi }{3}\right)=-\cos \frac{\pi }{3}=-\frac{1}{2}$.

Exercițiul 2. (6 p)

a) (2 p) $p$ este falsă ($6=2\cdot 3$), $q$ este adevărată ($12=4\cdot 3$).

b) (2 p) $p\vee q$ este adevărată (cel puțin una e adevărată); $p\wedge q$ este falsă ($p$ e falsă); $p\to q$ este adevărată (o implicație cu premisa falsă este adevărată).

c) (2 p) Negația: „$\forall n\in \mathbb{N},n^2\ne 2n+3$”. Pentru $n=3$: $3^2=9=2\cdot 3+3$, deci propoziția dată este adevărată, iar negația ei este falsă.

Exercițiul 3. (6 p)

a) (2 p) $b_4=b_1{q}^3=2\cdot 27=54$.

b) (2 p) $S_5=b_1\cdot \frac{q^5-1}{q-1}=2\cdot \frac{243-1}{2}=242$ (termenii: $2,6,18,54,162$).

c) (2 p) Trei numere sunt termeni consecutivi ai unei progresii aritmetice dacă termenul din mijloc este media aritmetică a celorlalți doi: $2(x+3)=(x-1)+(3x+1)$, adică $2x+6=4x$, deci $x=3$. Numerele sunt $2,6,10$.

Exercițiul 4. (6 p)

a) (2 p) Cu $Oy$: $f(0)=5$, punctul $(0,5)$. Cu $Ox$: $x^2-6x+5=0$, $\Delta =16$, $x_1=1$, $x_2=5$; punctele $(1,0)$ și $(5,0)$.

b) (2 p) $x_V=-\frac{b}{2a}=3$, $y_V=f(3)=9-18+5=-4$: $V(3,-4)$. Axa de simetrie: $x=3$.

c) (2 p) Cum $a=1>0$, parabola are ramurile în sus și minimul $-4$: $\mathrm{Im}f=[-4,+\infty )$. Funcția este descrescătoare pe $(-\infty ,3]$ și crescătoare pe $[3,+\infty )$.

Exercițiul 5. (7 p)

a) (3 p) $(f\circ g)(x)=f(x^2+1)=2(x^2+1)-3=2x^2-1$; $(g\circ f)(x)=g(2x-3)=(2x-3{)}^2+1=4x^2-12x+10$.

b) (2 p) Pentru orice $y\in \mathbb{R}$, ecuația $2x-3=y$ are soluția unică $x=\frac{y+3}{2}$, deci $f$ este bijectivă. Inversa: $f^{-1}:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f^{-1}(x)=\frac{x+3}{2}$.

c) (2 p) $g(-1)=g(1)=2$, cu $-1\ne 1$: două argumente diferite au aceeași valoare, deci $g$ nu este injectivă.

Exercițiul 6. (7 p)

a) (3 p) Relațiile lui Viète: $x_1+x_2=5$, $x_1{x}_2=3$. Atunci $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=25-6=19$.

b) (2 p) $x$ și $y$ sunt soluțiile ecuației $t^2-5t+6=0$, adică $t\in \{2,3\}$. Soluțiile sistemului: $(2,3)$ și $(3,2)$.

c) (2 p) Prin egalare: $x^2-1=x+1$, adică $x^2-x-2=0$, cu soluțiile $x=2$ și $x=-1$. Soluțiile sistemului: $(2,3)$ și $(-1,0)$. Geometric: dreapta $y=x+1$ intersectează parabola $y=x^2-1$ în punctele $(-1,0)$ și $(2,3)$.

Exercițiul 7. (6 p)

a) (2 p) Condiția: $6-2x\ge 0$, adică $x\le 3$. Domeniul maxim: $D=(-\infty ,3]$.

b) (4 p) Condiții: $x+6\ge 0$ și, pentru că radicalul este nenegativ, $x\ge 0$; deci $x\ge 0$. Ridicând la pătrat: $x+6=x^2$, adică $x^2-x-6=0$, cu soluțiile $x=3$ și $x=-2$. Valoarea $-2$ nu respectă condiția $x\ge 0$ și se respinge; verificare pentru $x=3$: $\sqrt{9}=3$. Soluția: $S=\{3\}$.

Exercițiul 8. (7 p)

a) (3 p) ${\cos }^{2}x=1-{\sin }^{2}x=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$. În cadranul al II-lea cosinusul este negativ: $\cos x=-\frac{4}{5}$. Atunci $\mathrm{tg}x=\frac{\sin x}{\cos x}=-\frac{3}{4}$.

b) (2 p) $\sin 75^{\circ }=\sin (45^{\circ }+30^{\circ })=\sin 45^{\circ }\cos 30^{\circ }+\cos 45^{\circ }\sin 30^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

c) (2 p) $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac{3}{5}\cdot \left(-\frac{4}{5}\right)=-\frac{24}{25}$.

Exercițiul 9. (7 p)

a) (2 p) $\arcsin \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\pi }{4}$ și $\arccos \left(-\frac{1}{2}\right)=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$. Suma: $\frac{\pi }{4}+\frac{2\pi }{3}=\frac{11\pi }{12}$.

b) (2 p) Pe $[0,2\pi ]$, sinusul ia valoarea $\frac{1}{2}$ în cadranele I și II: $x\in \left\{\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}\right\}$.

c) (3 p) $2\sin x\cos x=\cos x$, adică $\cos x(2\sin x-1)=0$. Fie $\cos x=0$, cu $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$; fie $\sin x=\frac{1}{2}$, cu $x=(-1{)}^k\frac{\pi }{6}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Mulțimea soluțiilor este reuniunea celor două familii.

Exercițiul 10. (8 p)

a) (3 p) Teorema cosinusului: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \frac{1}{2}=49$, deci $BC=7$.

b) (2 p) $\mathcal{A}=\frac{AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }}{2}=\frac{5\cdot 8}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=10\sqrt{3}$.

c) (3 p) Din teorema sinusurilor, $2R=\frac{BC}{\sin A}=\frac{7}{\sqrt{3}/2}=\frac{14}{\sqrt{3}}$, deci $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$. Semiperimetrul: $p=\frac{5+8+7}{2}=10$, iar $r=\frac{\mathcal{A}}{p}=\frac{10\sqrt{3}}{10}=\sqrt{3}$.

Exercițiul 11. (8 p)

a) (3 p) Teorema bisectoarei: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Cum $BD+DC=10$: $BD=4$ și $DC=6$.

b) (3 p) Relația lui Stewart: $A{B}^2\cdot DC+A{C}^2\cdot BD=BC\cdot (A{D}^2+BD\cdot DC)$, adică $36\cdot 6+81\cdot 4=10\cdot (A{D}^2+24)$, $540=10A{D}^2+240$, deci $A{D}^2=30$ și $AD=\sqrt{30}$.

c) (2 p) $AF=FB$, deci $\frac{AF}{FB}=1$; $\frac{BD}{DC}=\frac{2}{3}$; $\frac{CE}{EA}=\frac{5,4}{3,6}=\frac{3}{2}$. Produsul $\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}=1$; punctele $D$, $E$, $F$ sunt pe laturi (nu pe prelungiri), deci, după reciproca teoremei lui Ceva, dreptele $AD$, $BE$ și $CF$ sunt concurente.

Exercițiul 12. (8 p)

a) (2 p) Sumele lunare ale lui Andrei formează o progresie aritmetică cu $a_1=50$ și $r=10$: $a_{12}=50+11\cdot 10=160$ de lei.

b) (2 p) $S_{12}=\frac{(a_1+a_{12})\cdot 12}{2}=\frac{(50+160)\cdot 12}{2}=1260$ de lei.

c) (2 p) $S_n=\frac{[2\cdot 50+(n-1)\cdot 10]\cdot n}{2}=5n^2+45n$. Din $5n^2+45n=2000$ rezultă $n^2+9n-400=0$, cu $\Delta =1681=41^2$ și soluția naturală $n=16$. După 16 luni.

d) (2 p) Ioana strânge $120n$ lei în $n$ luni. Cerem $5n^2+45n>120n$, adică $5n^2>75n$, $n>15$. De la luna a 16-a suma lui Andrei ($2000$ de lei) o depășește pe a Ioanei ($1920$ de lei); după $15$ luni sunt egale ($1800$ de lei fiecare).

Exercițiul 13. (8 p)

a) (2 p) $P(1)$: $1=1^2$, adevărată. $P(2)$: $1+3=4=2^2$, adevărată.

b) (4 p) Verificarea inițială e făcută la a). Presupunem $P(k)$ adevărată pentru un $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $1+3+\dots +(2k-1)=k^2$. Arătăm $P(k+1)$: $1+3+\dots +(2k-1)+(2k+1)=k^2+2k+1=(k+1{)}^2$. Din principiul inducției matematice, $P(n)$ este adevărată pentru orice $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

c) (2 p) $2n-1=99$ dă $n=50$, deci suma este $50^2=2500$.

Pentru părinți și profesori

Cum se aplică:

• Punctaj total: 100 de puncte (90 de puncte din exerciții + 10 puncte din oficiu). Nota = punctajul total împărțit la 10, rotunjită la întreg pentru catalog.
• Timp recomandat: două ore de curs (2 × 50 de minute): orientativ Partea I și o parte din Partea a II-a în prima oră, restul în a doua; oficiul se acordă o singură dată. Fără întrerupere, proba durează în jur de 90 de minute (20 pentru Partea I, 35 pentru a II-a, 35 pentru a III-a).
• Materiale: riglă, creion, foaie de matematică. Fără calculator: valorile trigonometrice cerute sunt ale unghiurilor de bază, iar datele triunghiurilor dau rezultate exacte.
• Redactare: la Partea a III-a se cere rezolvarea completă, cu justificări. La ecuația cu radicali (exercițiul 7b), lipsa condițiilor de existență sau a verificării soluțiilor se depunctează chiar dacă rezultatul final este corect.

Interpretarea rezultatului: