Subiect Bac matematică tehnologic, rezervă august 2023 (varianta 5) — rezolvat pas cu pas

Toate probele M3 din 2023 · Toate subiectele Bac M3 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat tehnologic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $4\cdot \left(1-\frac{4}{5}\right)+\frac{1}{5}=1$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=3x+2$. Arătați că $f(0)\cdot f(1)=10$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{2x-3}=3^x$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$, acesta să verifice inegalitatea $n^2\le 23$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,3)$ și $B(4,0)$. Arătați că perimetrul triunghiului $OAB$ este egal cu $12$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $\left(1+2\cos 60^{\circ }\right)\cdot \sin 30^{\circ }=1$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 7 (15 puncte)

Se consideră matricele $A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right)$ și $B(x)=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ -1& x-2\end{array}\right)$, unde $x$ este număr real.

a) (5 puncte) Arătați că $\det A=3$.

b) (5 puncte) Arătați că $B(8)-3B(2)=2A$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $A\cdot B(x)=B(x)$.

Exercițiul 8 (15 puncte)

Se consideră polinomul $f=X^3-2X^2-2X+m$, unde $m$ este număr real.

a) (5 puncte) Pentru $m=3$, arătați că $f(1)=0$.

b) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care $x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1+x_1{x}_2{x}_3=1$, unde $x_1$, $x_2$ și $x_3$ sunt rădăcinile polinomului $f$.

c) (5 puncte) Determinați numărul real $m$ pentru care polinomul $f$ este divizibil cu polinomul $X+2$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare subpunct valorează 5 puncte.

Exercițiul 9 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=\frac{3x}{x^2+1}$.

a) (5 puncte) Arătați că $f^{\prime }(x)=\frac{3\left(1-x^2\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2}$, $x\in \mathbb{R}$.

b) (5 puncte) Determinați ecuația asimptotei orizontale spre $+\infty$ la graficul funcției $f$.

c) (5 puncte) Determinați intervalele de monotonie a funcției $f$.

Exercițiul 10 (15 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x^2+1$.

a) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^1\left(f(x)-1\right)dx=\frac{2}{3}$.

b) (5 puncte) Arătați că ${\int }_0^2\frac{4x}{f(x)}dx=2\ln 3$.

c) (5 puncte) Determinați numărul natural $n$, știind că ${\int }_1^{e}f\left(\frac{1}{x}\right)\cdot \ln xdx=f(n)-\frac{4}{e}$.

Barem și răspunsuri

Pe lucrare se pot obține 100 p: 90 p din cerințe și 10 p din oficiu. Fiecare cerință dintre 1 și 6 valorează 5 p; la problemele 7–10, fiecare subpunct valorează tot 5 p, împărțite pe două rânduri. Cifrele care încheie rândurile de mai jos sunt cele din baremul oficial al rezervei din august 2023 (varianta 5). Căile de rezolvare, probele și capcanele sunt ale paginii.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu fracții.

Paranteza se calculează prima, cu numitorul comun $5$: $1-\frac{4}{5}=\frac{5}{5}-\frac{4}{5}=\frac{1}{5}$, deci expresia devine $4\cdot \frac{1}{5}+\frac{1}{5}$ (3 p).

Înmulțirea dă $4\cdot \frac{1}{5}=\frac{4}{5}$, iar cele două fracții rămase au același numitor: $$\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{5}{5}=1\text{(2 p)}.$$

(Altă cale: se distribuie factorul $4$, iar $4-\frac{16}{5}+\frac{1}{5}=4-3=1$. Capcană: factorul $4$ înmulțește numai pe $1$, ca în $4\cdot 1-\frac{4}{5}+\frac{1}{5}=\frac{17}{5}$; altă greșeală este scăderea fracțiilor finale, $\frac{4}{5}-\frac{1}{5}=\frac{3}{5}$.)

Exercițiul 2. (5 p) — două valori ale unei funcții.

Valoarea în $0$ a unei funcții de gradul întâi este termenul liber: $f(0)=3\cdot 0+2=2$ (2 p).

Pentru $x=1$ se obține $f(1)=3\cdot 1+2=5$, deci produsul valorilor este $$f(0)\cdot f(1)=2\cdot 5=10\text{(3 p)}.$$

(Probă: graficul urcă cu $3$ la fiecare unitate, deci $f(1)=f(0)+3=5$. Capcană: valorile se adună în loc să se înmulțească, $2+5=7$; sau se ia valoarea în produsul argumentelor, $f(0\cdot 1)=f(0)=2$, care nu este produsul valorilor.)

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Ambele puteri au baza $3$, iar funcția $t\mapsto 3^t$ nu ia aceeași valoare de două ori; prin urmare puterile sunt egale exact când exponenții coincid: $$2x-3=x\text{(3 p)}.$$ Mutând $x$ în stânga se obține $\mathbf{x}=3$. O putere cu baza $3$ există pentru orice exponent real, deci nu apar condiții de existență (2 p).

(Probă: pentru $x=3$ exponentul din stânga este $2\cdot 3-3=3$, adică exponentul din dreapta. Altă cale: se împarte la $3^x>0$ și rămâne $3^{x-3}=1=3^0$, deci $x-3=0$. Capcană: se mută termenii cu semn greșit, $2x-x=-3$, de unde $x=-3$; dar $3^{2\cdot (-3)-3}=3^{-9}$, iar $3^{-9}\ne 3^{-3}$.)

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu o inegalitate.

Mulțimea $A$ conține numerele $0,1,2,\dots ,9$, adică zece elemente; atâtea sunt cazurile posibile (2 p).

Pentru $n=0,1,2,3,4$ pătratul este cel mult $16$, deci sub $23$, în timp ce $5^2=25$ trece de $23$, la fel ca pătratele numerelor mai mari. Deci $n\in \{0,1,2,3,4\}$, fiindcă $4^2=16\le 23<25=5^2$. Rezultă cinci cazuri favorabile și $$\mathbf{p}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}\text{(3 p)}.$$

(Altă cale: pentru $n\ge 0$, $n^2\le 23$ înseamnă $n\le \sqrt{23}$, iar $4<\sqrt{23}<5$. Capcană: se uită că $0\in A$ și mulțimea pare să aibă nouă elemente, cu patru favorabile, de unde $\frac{4}{9}$; altă greșeală este includerea lui $n=5$, deși $5^2=25>23$, ceea ce ar da $\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.)

Exercițiul 5. (5 p) — perimetrul unui triunghi în reper.

Originea este $O(0,0)$. Punctul $A(0,3)$ stă pe axa $Oy$, iar $B(4,0)$ pe axa $Ox$; distanța de la origine la fiecare este valoarea absolută a coordonatei nenule: $$OA=3,OB=4\text{(2 p)}.$$ Axele sunt perpendiculare, deci triunghiul $OAB$ este dreptunghic în $O$, iar ipotenuza este $$AB=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5.$$ Perimetrul este $OA+OB+AB=3+4+5=12$ (3 p).

(Aceeași lungime iese din formula distanței: $AB=\sqrt{(4-0{)}^2+(0-3{)}^2}=5$. Capcană: ipotenuza se ia egală cu suma catetelor, $AB=3+4=7$, iar perimetrul ar deveni $14$; altă greșeală este omiterea laturii $AB$, de unde $3+4=7$.)

Exercițiul 6. (5 p) — valori trigonometrice.

Din tabelul valorilor unghiurilor notabile: $\cos 60^{\circ }=\frac{1}{2}$ și $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ (2 p).

Prima paranteză este $1+2\cdot \frac{1}{2}=2$, iar produsul cu al doilea factor este $$2\cdot \frac{1}{2}=1\text{(3 p)}.$$

(Probă: $30^{\circ }+60^{\circ }=90^{\circ }$, deci $\sin 30^{\circ }=\cos 60^{\circ }$. Capcană: $\cos 60^{\circ }$ se ia egal cu $\frac{\sqrt{3}}{2}$, valoarea lui $\cos 30^{\circ }$; atunci prima paranteză ar fi $1+\sqrt{3}$, iar produsul $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$, diferit de $1$.)

Exercițiul 7. (15 p) — matrice cu parametru.

a) (5 p) Matricea $A$ are $p=1$, $q=0$, $r=1$ și $s=3$, deci determinantul $ps-qr$ este $$\det A=1\cdot 3-0\cdot 1\text{(3 p)}.$$ $$\det A=3-0=3\text{(2 p)}.$$

(Observație: deasupra diagonalei principale stă $0$, deci determinantul este produsul $1\cdot 3$ al elementelor diagonale. Capcană: scăderea se face invers, $0\cdot 1-1\cdot 3=-3$.)

b) (5 p) Se înlocuiește $x$ în $B(x)$: $B(8)=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ -1& 6\end{array}\right)$ și $B(2)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 0\end{array}\right)$, deci $$B(8)-3B(2)=\left(\begin{array}{cc}8& 0\\ -1& 6\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ -3& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Fiecare element al rezultatului se împarte la $2$ și se obține chiar $A$: $$\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 2& 6\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right)=2A\text{(2 p)}.$$

(Capcană: scalarul $3$ se aplică doar unui element al lui $B(2)$, ca în $\left(\begin{array}{cc}6& 0\\ -1& 0\end{array}\right)$; diferența ar avea atunci $-1-(-1)=0$ în stânga jos, nu $2$.)

c) (5 p) Produsul se face rând cu coloană: $$A\cdot B(x)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ -1& x-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x& 0\\ x-3& 3x-6\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Primele două elemente coincid cu cele din $B(x)$ pentru orice $x$. Din celelalte două, $x-3=-1$ dă $x=2$, iar $3x-6=x-2$ dă $2x=4$, adică tot $\mathbf{x}=2$ (2 p).

(Altă cale: $A\cdot B(x)=B(x)$ înseamnă $\left(A-I_2\right)B(x)=O_2$, cu $A-I_2=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 1& 2\end{array}\right)$; a doua linie a produsului este $\left(x-2,2(x-2)\right)$ și se anulează numai pentru $x=2$. Capcană: se compară numai prima linie, unde $x=x$ și $0=0$ sunt adevărate pentru orice $x$, și se conchide că orice $x$ convine; dar pentru $x=0$ elementul din stânga jos este $x-3=-3\ne -1$.)

Exercițiul 8. (15 p) — polinom de gradul $3$.

a) (5 p) Pentru $m=3$, $f=X^3-2X^2-2X+3$; în $X=1$ fiecare termen devine un număr: $$f(1)=1^3-2\cdot 1^2-2\cdot 1+3\text{(3 p)}.$$ $$f(1)=1-2-2+3=0\text{(2 p)}.$$

(Altfel spus, $1$ este rădăcină a lui $f$ pentru $m=3$. Capcană: termenul $-2X^2$ se evaluează ca $(-2{)}^2=4$, iar suma ar fi $1+4-2+3=6$.)

b) (5 p) La un polinom $X^3+a{X}^2+bX+c$ relațiile lui Viète dau suma rădăcinilor $-a$, suma produselor câte două $b$ și produsul rădăcinilor $-c$. Aici $a=-2$, $b=-2$, $c=m$: $$x_1{x}_2+x_2{x}_3+x_3{x}_1=-2,x_1{x}_2{x}_3=-m,$$ iar expresia din cerință, suma acestor două numere, devine $-2-m$ (3 p).

Din $-2-m=1$ rezultă $\mathbf{m}=-3$ (2 p).

(Probă: pentru $m=-3$, $-2-(-3)=1$. Capcană: produsul rădăcinilor se ia egal cu $m$, nu cu $-m$; atunci $-2+m=1$ dă $m=3$, dar $-2-3=-5\ne 1$.)

c) (5 p) Restul împărțirii lui $f$ la $X+2=X-(-2)$ este $f(-2)$ (teorema lui Bézout): $$f(-2)=(-2{)}^3-2(-2{)}^2-2(-2)+m=-8-8+4+m=m-12\text{(2 p)}.$$ Divizibilitatea cere restul nul, $m-12=0$, deci $\mathbf{m}=12$ (3 p).

(Probă: pentru $m=12$, $f=X^3-2X^2-2X+12=(X+2)\left(X^2-4X+6\right)$. Capcană: se evaluează în $2$, nu în $-2$: $f(2)=8-8-4+m=m-4$, iar condiția ar da $m=4$.)

Exercițiul 9. (15 p) — derivata unui raport, asimptotă, monotonie.

a) (5 p) Regula câtului, cu $u=3x$ și $v=x^2+1$, are la numărător $u^{\prime }v-u{v}^{\prime }$: $$f^{\prime }(x)=\frac{3\left(x^2+1\right)-3x\cdot 2x}{{\left(x^2+1\right)}^2}\text{(3 p)}.$$ Numărătorul este $3x^2+3-6x^2=3-3x^2=3\left(1-x^2\right)$, deci $$f^{\prime }(x)=\frac{3\left(1-x^2\right)}{{\left(x^2+1\right)}^2},x\in \mathbb{R}\text{(2 p)}.$$

(Probă: $f^{\prime }(0)=\frac{3\cdot 1}{1^2}=3$, panta tangentei la grafic în origine. Capcană: se derivează separat numărătorul și numitorul, $\frac{(3x{)}^{\prime }}{{\left(x^2+1\right)}^{\prime }}=\frac{3}{2x}$, expresie diferită de $f^{\prime }(x)$; altă greșeală este adunarea, nu scăderea, la numărător: $3\left(x^2+1\right)+3x\cdot 2x=9x^2+3$.)

b) (5 p) La $+\infty$ numitorul crește mai repede decât numărătorul; se scoate $x$ factor comun la numitor: $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3x}{x^2+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3}{x\left(1+\frac{1}{x^2}\right)}=0\text{(3 p)}.$$ Graficul se apropie de axa $Ox$, deci dreapta $\mathbf{y}=0$ este asimptotă orizontală spre $+\infty$ (2 p).

(Capcană: ecuația se scrie $x=0$, în loc de $y=0$; dreapta $x=0$ este axa $Oy$, pe care graficul o taie în $f(0)=0$, deci nu o ocolește.)

c) (5 p) Numitorul derivatei, ${\left(x^2+1\right)}^2$, este pozitiv, deci semnul lui $f^{\prime }$ este cel al numărătorului $3\left(1-x^2\right)$. Acesta se anulează când $1-x^2=0$, adică în $x=-1$ și $x=1$ (2 p).

Expresia $1-x^2$ este negativă pentru $|x|>1$ și pozitivă pentru $|x|<1$:

• pe $(-\infty ,-1]$, $f^{\prime }\le 0$, deci $f$ descrește;
• pe $[-1,1]$, $f^{\prime }\ge 0$, deci $f$ crește;
• pe $[1,+\infty )$, $f^{\prime }\le 0$, deci $f$ descrește (3 p).

(Probă: $f(-1)=-\frac{3}{2}$ și $f(1)=\frac{3}{2}$; în $-1$ este un minim local, în $1$ un maxim local. Capcană: se scrie că $f$ crește pe $(-\infty ,1]$ și scade pe $[1,+\infty )$, ca la o parabolă; dar $f(-2)=-\frac{6}{5}>-\frac{3}{2}=f(-1)$, deci $f$ scade între $-2$ și $-1$.)

Exercițiul 10. (15 p) — integrale cu funcția $2x^2+1$.

a) (5 p) Din $f(x)-1=2x^2$ rămâne de integrat o putere; o primitivă a lui $2x^2$ este $\frac{2x^3}{3}$: $${\int }_0^1\left(f(x)-1\right)dx={\int }_0^{1}2x^{2}dx=\frac{2x^3}{3}{|}_0^1\text{(3 p)}.$$ $$=\frac{2\cdot 1^3}{3}-\frac{2\cdot 0^3}{3}=\frac{2}{3}\text{(2 p)}.$$

(Capcană: la primitivă se uită împărțirea la noul exponent, $\int 2x^{2}dx=2x^3$; între $0$ și $1$ ar ieși $2$, nu $\frac{2}{3}$.)

b) (5 p) Numitorul $f(x)=2x^2+1$ este pozitiv, iar derivata lui este tocmai numărătorul $4x$. O primitivă a raportului $\frac{u^{\prime }}{u}$ este $\ln u$: $${\int }_0^2\frac{4x}{f(x)}dx={\int }_0^2\frac{{\left(2x^2+1\right)}^{\prime }}{2x^2+1}dx=\ln \left(2x^2+1\right){|}_0^2\text{(3 p)}.$$ $$=\ln 9-\ln 1=2\ln 3\text{(2 p)}.$$

(Capcană: $\ln 9$ se scrie $3\ln 3$; dar $9=3^2$, deci $\ln 9=2\ln 3$, iar $\ln 1=0$.)

c) (5 p) Se calculează $f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{2}{x^2}+1$. O primitivă a lui este $F(x)=-\frac{2}{x}+x$, căci $F^{\prime }(x)=\frac{2}{x^2}+1$. Integrarea prin părți, cu factorii $F^{\prime }$ și $\ln x$, dă $${\int }_1^e{F}^{\prime }(x)\ln xdx=F(x)\ln x{|}_1^e-{\int }_1^e\frac{F(x)}{x}dx.$$ Primul termen este $F(e)\cdot 1-F(1)\cdot 0=e-\frac{2}{e}$. În al doilea, $\frac{F(x)}{x}=-\frac{2}{x^2}+1$ are primitiva $\frac{2}{x}+x$, deci integrala lui este $\left(\frac{2}{e}+e\right)-(2+1)=\frac{2}{e}+e-3$. Atunci $${\int }_1^{e}f\left(\frac{1}{x}\right)\ln xdx=e-\frac{2}{e}-\left(\frac{2}{e}+e-3\right)=3-\frac{4}{e}\text{(3 p)}.$$ Ecuația devine $3-\frac{4}{e}=f(n)-\frac{4}{e}$, adică $f(n)=3$, deci $2n^2+1=3$ și $n^2=1$. Dintre $-1$ și $1$ este număr natural doar $\mathbf{n}=1$ (2 p).

(Probă: $f(1)=3$. Capcană: se rețin ambele rădăcini ale ecuației $n^2=1$, deși cerința vorbește despre un număr natural.)

Pentru părinți și profesori

Despre ce e vorba. Subiectul rezolvat aici este varianta 5 a probei E. c) de matematică M_tehnologic, lucrată în rezerva sesiunii de august 2023. Au susținut-o absolvenții filierei tehnologice, adică ai profilurilor servicii, resurse și tehnic, indiferent de calificarea profesională. Ministerul Educației a publicat subiectul și baremul prin Centrul Național de Politici și Evaluare în Educație. Enunțurile din „Itemi" sunt cele din PDF, fără schimbări; calea de rezolvare, probele și observațiile sunt scrise de noi, iar din barem apare doar valoarea în puncte a fiecărui rând.

Cum e alcătuită lucrarea.

• zece cerințe: șase independente la început și patru probleme cu trei subpuncte, două în al doilea subiect și două în al treilea;
• cerințele valorează în total 90 de puncte, la care se adaugă 10 din oficiu;
• un grup de 5 puncte (o cerință sau un subpunct) are în barem două rânduri, cu 2 și 3 puncte, în această ordine sau în ordinea inversă;
• se lucrează trei ore.

Ce se cere în varianta 5, în ordine.

Programa de examen. Clasa fiecărei cerințe urmează programa de examen M_tehnologic (OMEN 4430/2014, Anexa 2), neschimbată din 2015, la care trimit și ordinele pentru Bacalaureatul din 2026 și din 2027; pentru 2028 și 2029 ordinele nu au apărut încă, iar Bacalaureatul din 2030 are programe noi (OMEC 5077/2026).

• Nota 1. Fracțiile cu paranteză din cerința 1 țin, în programa de examen, de operațiile cu numere reale (clasa a IX-a). Anexa 3 a programei școlare noi nu are o unitate pe această temă, motiv pentru care ea se tratează în „Supliment Bac M3 2027–2029: numere reale, modul, aproximări, intervale".
• Nota 2. Programa de examen cere ecuațiile exponențiale în clasa a X-a; noua programă școlară lasă ecuațiile pe seama graficelor. Aducerea la aceeași bază, folosită la cerința 3, se găsește în „Supliment Bac M3 2027–2029: ecuații — radicali, exponențiale, logaritmice".
• Nota 3. Programa de examen include distanța dintre două puncte în clasa a X-a, pe când programa școlară nouă o mută în clasa a IX-a, în capitolul despre geometria analitică.

Ce a avut special varianta 5. La cerința 3, cele două puteri au aceeași bază, așa că ecuația se reduce la una de gradul întâi în exponenți. La cerința 4, condiția $n^2\le 23$ se verifică pe zece numere, de la $0$ la $9$, iar elementul $0$ este caz favorabil. La Subiectul al II-lea, matricea $A$ nu depinde de nimic, iar $B(x)$ depinde de parametrul $x$; la 7.c) apar $x$-uri în trei dintre cele patru elemente ale produsului. Cerința 8.b) cere suma a două dintre relațiile lui Viète, iar 8.c) se reduce la valoarea polinomului în $-2$. La Subiectul al III-lea, funcția $\frac{3x}{x^2+1}$ este impară, iar derivata ei se anulează în $-1$ și în $1$. Integrala de la 10.c) cere integrare prin părți cu primitiva lui $f\left(\frac{1}{x}\right)$.

Timp. Din cele 180 de minute, 24 pot fi păstrate pentru recitire; restul de 156 de minute trebuie să acopere cele 90 de puncte ale cerințelor, ceea ce înseamnă 104 secunde pentru fiecare punct.

Cum se notează. Orice soluție corectă este admisă, chiar dacă nu seamănă cu cea din barem; punctele nu se fracționează, iar nota este totalul împărțit la 10. Pentru nota 6 sunt necesare 60 de puncte în total, adică 10 din oficiu și 50 din cerințe.

Locuri unde se greșește. La 1, factorul $4$ trebuie să înmulțească toată paranteza; la 4, elementul $0$ se numără și printre cazurile posibile, și printre cele favorabile; la 7.c), a doua linie a produsului, nu doar prima, decide valoarea lui $x$; la 8.b), produsul rădăcinilor este $-m$, nu $m$; la 8.c), se evaluează polinomul în $-2$, nu în $2$; la 9.c), $f$ nu crește pe tot intervalul $(-\infty ,1]$; la 10.c), din $n^2=1$ se reține numai valoarea naturală.

Cum se poate lucra cu pagina. Încearcă mai întâi fiecare cerință pe cont propriu; după aceea, urmărește rândul din barem și vezi unde pașii tăi diferă de ai noștri. La fiecare cerință, ghidajul pune întrebări scurte, iar la o alegere greșită explică de ce nu convine. Cu mai puțin de 40 de puncte din cele 90, reia Subiectul I; între 40 și 65, exersează subpunctele de la capătul problemelor; peste 65, rămâne de exersat doar viteza.

Formulele din varianta 5

• La cerințele 1–6. Dacă $a>0$ și $a\ne 1$, atunci $a^u=a^v$ exact când $u=v$; probabilitatea este raportul dintre numărul cazurilor favorabile și cel al cazurilor posibile; lungimea unui segment cu un capăt în origine pe o axă este valoarea absolută a coordonatei; $\cos 60^{\circ }=\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$.
• La problemele 7 și 8. Pentru $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ determinantul este $ps-qr$; la un polinom $X^3+a{X}^2+bX+c$, cu rădăcinile $x_1,x_2,x_3$, avem $x_1+x_2+x_3=-a$, $x_1{x}_2+x_1{x}_3+x_2{x}_3=b$ și $x_1{x}_2{x}_3=-c$; restul împărțirii lui $f$ la $X-a$ este $f(a)$.
• La problemele 9 și 10. ${\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$; la o funcție continuă și derivabilă, semnul derivatei dă monotonia; ${\int }_a^b\frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln u(x){|}_a^b$ pentru $u>0$; ${\int }_a^b{F}^{\prime }(x)g(x)dx=F(x)g(x){|}_a^b-{\int }_a^{b}F(x)g^{\prime }(x)dx$.

Despre litere. Cuvântul „item" din titlurile de mai jos înseamnă „cerință" (așa îl numește baremul). Funcția $f$ nu e aceeași peste tot: la 2 este o funcție de gradul întâi, la 8 un polinom, la 9 și la 10 câte o funcție. $A$ numește o mulțime (4), un punct (5) și o matrice (7); $B$ numește un punct (5) și o matrice cu parametru (7). La 4, $n$ este un element al mulțimii $A$, iar la 10.c) este numărul natural căutat; $m$ este parametrul polinomului de la 8.