Subiect Bac matematică pedagogic, august 2024 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2024 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $2 (2 + 3) - 32 + 2 = 4$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcțiile $f : R \to R$ , $f (x) = 3 x + 2$ și $g : R \to R$ , $g (x) = 2 x + 3$ . Determinați numărul real $m$ pentru care $f (m) = g (m)$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $2^{4 x - 3} = 2^{2 - x}$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ , numărul $2 n + 1$ să aparțină mulțimii $A$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 0)$ și $B (0, 4)$ . Calculați aria triunghiului $A O B$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $(sin 6 0^{\circ} + sin 3 0^{\circ}) (sin 6 0^{\circ} - sin 3 0^{\circ}) = sin 4 5^{\circ} \cdot cos 4 5^{\circ}$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție asociativă $x \circ y = 3 x y - 2 (x + y - 1)$ .

1. (5 puncte) Arătați că $1 \circ 2 = 2$ .

2. (5 puncte) Arătați că $e = 1$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $(x \circ 2) + (x \circ 3) = 5$ .

4. (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $(3 n + 1) \circ 1 < 7$ .

5. (5 puncte) Demonstrați că $x \circ y = 3 (x - \frac{2}{3}) (y - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

6. (5 puncte) Arătați că $\frac{1}{2} \circ \frac{2}{3} \circ \frac{3}{4} \circ \frac{4}{5} = \frac{2}{3}$ .

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (a) = (a + 1 1 - 1 a - 1)$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det (A (1)) = 1$ .

2. (5 puncte) Demonstrați că $I_{2} + A (a - 1) = A (a)$ , pentru orice număr real $a$ .

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (A (a)) = a$ .

4. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A (a) \cdot A (a) = (84 - 4 0)$ .

5. (5 puncte) Determinați matricea $X \in M_{2} (R)$ pentru care $X \cdot A (1) = A (2)$ .

6. (5 puncte) Demonstrați că $det (A (a) + I_{2}) \geq 0$ , pentru orice număr real $a$ .

Barem și răspunsuri

Rezolvările urmează rândurile foii de evaluare, iar numărul de puncte al fiecărui rând apare îngroșat la sfârșitul lui. Câte 5 puncte pentru fiecare dintre cele 18 cerințe înseamnă 90 de puncte, la care oficiul de 10 puncte adaugă totalul de 100.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Factorul $2$ din fața parantezei se înmulțește cu fiecare termen din ea: $2 (2 + 3) = 2 \cdot 2 + 32$ . Membrul stâng devine $2 \cdot 2 + 32 - 32 + 2 (2 p) .$ Termenii $32$ și $- 32$ dau suma $0$ , iar $2 \cdot 2 = 2$ , fiindcă $2$ este numărul pozitiv cu pătratul $2$ . Rămâne $2 + 2 = 4$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — valorile a două funcții egale.

Formula lui $f$ se aplică numărului $m$ în locul lui $x$ : $f (m) = 3 m + 2 (2 p) .$ La fel, $g (m) = 2 m + 3$ , deci cerința $f (m) = g (m)$ este ecuația $3 m + 2 = 2 m + 3$ . Aducând $m$ într-un membru și numerele în celălalt, $3 m - 2 m = 3 - 2$ , adică $m = 1$ (3 p). Proba: $f (1) = 3 + 2 = 5$ și $g (1) = 2 + 3 = 5$ .

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu puteri ale lui $2$ .

Cele două puteri au aceeași bază, $2$ , iar puterile lui $2$ cu exponenți diferiți sunt numere diferite; de aceea egalitatea lor impune exponenți egali: $4 x - 3 = 2 - x .$ Strângem termenii cu $x$ în stânga: $4 x + x = 2 + 3$ , adică $5 x = 5$ (3 p). De aici $x = 1$ (2 p). Proba: $2^{4 \cdot 1 - 3} = 2^{1} = 2$ și $2^{2 - 1} = 2^{1} = 2$ .

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate cu o condiție asupra lui $2 n + 1$ .

Mulțimea $A$ are $9$ elemente, deci numărul $n$ poate fi ales în $9$ feluri; acestea sunt cazurile posibile (2 p). Cum $n \geq 1$ , numărul $2 n + 1$ este cel puțin $3$ , așa că aparține lui $A$ atât timp cât nu depășește $9$ : $2 n + 1 \leq 9$ , adică $n \leq 4$ . Favorabile sunt cele patru valori $n = 1$ , $n = 2$ , $n = 3$ și $n = 4$ , pentru care $2 n + 1$ ia pe rând valorile $3$ , $5$ , $7$ și $9$ ; valoarea $n = 5$ duce la $11$ , număr absent din $A$ , iar valorile mai mari dau numere și mai mari. Raportul dintre cele $4$ cazuri favorabile și cele $9$ posibile este probabilitatea, $\frac{4}{9}$ (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — aria triunghiului $A O B$ .

Ordonata $0$ a lui $A (3, 0)$ arată că $A$ stă pe axa $O x$ , deci $A O = 3$ ; abscisa $0$ a lui $B (0, 4)$ arată că $B$ stă pe axa $O y$ , deci $B O = 4$ . Așadar $A O = 3, B O = 4 (3 p) .$ Axele sunt perpendiculare, deci unghiul din $O$ al triunghiului $A O B$ este drept, iar $A O$ și $B O$ sunt catetele. Aria triunghiului dreptunghic este semiprodusul catetelor: $\frac{A O \cdot B O}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — o identitate cu sinusuri și cosinusuri.

Valorile folosite sunt $sin 6 0^{\circ} = \frac{3}{2}$ , $sin 3 0^{\circ} = \frac{1}{2}$ și $sin 4 5^{\circ} = cos 4 5^{\circ} = \frac{2}{2}$ (3 p). Membrul stâng are structura $(u + v) (u - v) = u^{2} - v^{2}$ , cu $u = sin 6 0^{\circ}$ și $v = sin 3 0^{\circ}$ : $(\frac{3}{2})^{2} - (\frac{1}{2})^{2} = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{2} .$ Membrul drept este $(\frac{2}{2})^{2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ . Membrurile coincid, deci identitatea se verifică (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — lege de compoziție: valoarea într-o pereche.

Cu $x = 1$ și $y = 2$ în $3 x y - 2 (x + y - 1)$ : $1 \circ 2 = 3 \cdot 1 \cdot 2 - 2 (1 + 2 - 1) (3 p) .$ Primul termen este $6$ , iar paranteza are valoarea $2$ , deci $6 - 4 = 2$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — lege de compoziție: elementul neutru.

Un element neutru trebuie să lase orice număr neschimbat din ambele părți. Enunțul spune doar că legea este asociativă, așa că se calculează ambele produse cu $e = 1$ . Pentru orice $x \in R$ , $x \circ 1 = 3 \cdot x \cdot 1 - 2 (x + 1 - 1) = 3 x - 2 x = x (2 p) .$ Apoi $1 \circ x = 3 \cdot 1 \cdot x - 2 (1 + x - 1) = 3 x - 2 x = x$ , tot pentru orice $x$ real. Fiindcă $x \circ 1 = 1 \circ x = x$ pentru toți $x$ , numărul $e = 1$ joacă rolul elementului neutru (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — lege de compoziție: ecuație cu două produse.

Pentru $x$ real arbitrar, $x \circ 2 = 6 x - 2 (x + 1) = 4 x - 2, x \circ 3 = 9 x - 2 (x + 2) = 7 x - 4,$ deci $(x \circ 2) + (x \circ 3) = 11 x - 6$ (3 p). Ecuația $11 x - 6 = 5$ dă $11 x = 11$ , adică $x = 1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — lege de compoziție: o inegalitate.

Pentru $n$ natural, $(3 n + 1) \circ 1 = 3 (3 n + 1) - 2 (3 n + 1) = 3 n + 1$ ; rezultatul era de așteptat, fiindcă $1$ este element neutru (cerința II.2) (2 p). Inegalitatea $3 n + 1 < 7$ dă $3 n < 6$ , adică $n < 2$ . Cum $n$ este natural, rămân $n = 0$ și $n = 1$ , iar pentru ele $3 n + 1$ este $1$ , respectiv $4$ , ambele mai mici decât $7$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — lege de compoziție: forma cu doi factori.

Se desface definiția: $x \circ y = 3 x y - 2 (x + y - 1) = 3 x y - 2 x - 2 y + 2$ . Scriem $2 = \frac{4}{3} + \frac{2}{3}$ și grupăm $3 x y - 2 x$ , respectiv $- 2 y + \frac{4}{3}$ : $x \circ y = 3 x y - 2 x - 2 y + \frac{4}{3} + \frac{2}{3} = 3 x (y - \frac{2}{3}) - 2 (y - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3} (3 p) .$ Primii doi termeni au factorul comun $y - \frac{2}{3}$ , iar $3 x - 2 = 3 (x - \frac{2}{3})$ , deci pentru orice numere reale $x$ și $y$ $x \circ y = 3 (x - \frac{2}{3}) (y - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3} (2 p) .$

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — lege de compoziție: compunerea a patru numere.

Cu forma din cerința II.5, pentru orice $x$ real, factorul $\frac{2}{3} - \frac{2}{3}$ este $0$ și anulează primul termen: $x \circ \frac{2}{3} = 3 (x - \frac{2}{3}) \cdot 0 + \frac{2}{3} = \frac{2}{3}, \frac{2}{3} \circ x = 3 \cdot 0 \cdot (x - \frac{2}{3}) + \frac{2}{3} = \frac{2}{3} (3 p) .$ Legea fiind asociativă, compunerea celor patru numere se poate grupa în $(\frac{1}{2} \circ \frac{2}{3}) \circ (\frac{3}{4} \circ \frac{4}{5})$ . Prima paranteză este $\frac{2}{3}$ (relația de mai sus, cu $x = \frac{1}{2}$ ), așa că rezultatul este $\frac{2}{3} \circ t$ , unde $t = \frac{3}{4} \circ \frac{4}{5}$ . Dar $\frac{2}{3} \circ t = \frac{2}{3}$ pentru orice $t$ , deci rezultatul este $\frac{2}{3}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Pentru $a = 1$ elementele diagonalei principale sunt $1 + 1 = 2$ și $1 - 1 = 0$ : $A (1) = (21 - 1 0)$ . Determinantul este $2 \cdot 0$ minus produsul $(- 1) \cdot 1$ al elementelor de pe cealaltă diagonală: $det (A (1)) = 2 \cdot 0 - 1 \cdot (- 1) (3 p) .$ Rezultă $0 + 1 = 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: o identitate pentru orice $a$ .

Punând $a - 1$ în locul lui $a$ în $A (a)$ , obținem $A (a - 1) = ((a - 1) + 1 1 - 1 (a - 1) - 1) = (a 1 - 1 a - 2)$ , deci $I_{2} + A (a - 1) = (1001) + (a 1 - 1 a - 2) (3 p) .$ Adunând pe fiecare poziție, $(1 + a 0 + 1 0 + (- 1) 1 + (a - 2)) = (a + 1 1 - 1 a - 1)$ , adică $A (a)$ . Parametrul $a$ a rămas literă pe tot parcursul, deci relația se verifică la orice $a$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: ecuație cu determinantul.

Pentru $a$ real arbitrar, $det (A (a)) = (a + 1) (a - 1) - 1 \cdot (- 1) = a^{2} - 1 + 1 = a^{2} (3 p) .$ Condiția $det (A (a)) = a$ devine $a^{2} = a$ , adică $a^{2} - a = 0$ și $a (a - 1) = 0$ . Produsul $a (a - 1)$ se anulează numai prin factorii săi, adică pentru $a = 0$ și pentru $a = 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: ecuație cu pătratul unei matrice.

Cu $A (a) = (a + 1 1 - 1 a - 1)$ , elementul de pe poziția $(i, j)$ din $A (a) \cdot A (a)$ unește linia $i$ a primului factor cu coloana $j$ a celui de-al doilea: $A (a) \cdot A (a) = ((a + 1) (a + 1) + (- 1) \cdot 1 1 \cdot (a + 1) + (a - 1) \cdot 1 (a + 1) (- 1) + (- 1) (a - 1) 1 \cdot (- 1) + (a - 1) (a - 1)) = (a^{2} + 2 a 2 a - 2 a a^{2} - 2 a) (3 p) .$ Simplificările sunt: $a^{2} + 2 a + 1 - 1$ , $- a - 1 - a + 1$ , $a + 1 + a - 1$ și $- 1 + a^{2} - 2 a + 1$ . Matricea $(84 - 4 0)$ din dreapta trebuie să coincidă cu produsul la fiecare poziție; din poziția stânga jos, $2 a = 4$ , deci $a = 2$ . Celelalte poziții confirmă: $a^{2} + 2 a = 8$ , $- 2 a = - 4$ și $a^{2} - 2 a = 0$ . Așadar $a = 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: ecuație matriceală.

Matricea $A (1) = (21 - 1 0)$ are determinantul $1$ (cerința III.1), deci este inversabilă. Inversa unei matrice $(p r q s)$ de determinant $d \neq = 0$ se scrie interschimbând pe $p$ cu $s$ , luând opusele lui $q$ și $r$ și împărțind tot la $d$ ; aici $d = 1$ și $A (1)^{- 1} = (0 - 1 12) (3 p) .$ În egalitatea $X \cdot A (1) = A (2)$ se înmulțește, în partea dreaptă, cu $A (1)^{- 1}$ și rezultă $X = A (2) \cdot A (1)^{- 1}$ . Cum $A (2) = (31 - 1 1)$ , $X = (31 - 1 1) (0 - 1 12) = (3 \cdot 0 + (- 1) (- 1) 1 \cdot 0 + 1 \cdot (- 1) 3 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2) = (1 - 1 13) (2 p) .$ Verificare: $(1 - 1 13) (21 - 1 0) = (1 \cdot 2 + 1 \cdot 1 - 1 \cdot 2 + 3 \cdot 1 1 \cdot (- 1) + 1 \cdot 0 (- 1) (- 1) + 3 \cdot 0) = (31 - 1 1) = A (2)$ .

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: o inegalitate pentru orice $a$ .

Prin adunarea lui $I_{2}$ , elementele diagonalei principale cresc cu $1$ : $A (a) + I_{2} = (a + 2 1 - 1 a)$ . Pentru $a$ real arbitrar, $det (A (a) + I_{2}) = (a + 2) \cdot a - (- 1) \cdot 1 = a^{2} + 2 a + 1 (3 p) .$ Cum $a^{2} + 2 a + 1 = (a + 1)^{2}$ , iar un pătrat de număr real e cel puțin $0$ , determinantul este $\geq 0$ pentru orice $a$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Matematica M_pedagogic din august 2024, pentru filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare, a avut varianta 3 a probei E. c). Se lucrează trei ore la 18 cerințe a câte 5 puncte, în total 90 de puncte. Se acordă 10 puncte din oficiu. Maximul ajunge astfel la 100 de puncte. Enunțurile reproduc foaia oficială, iar rezolvările sunt scrise de noi, fiecare etapă punctată având un rând corespondent în foaia de evaluare.

Ce conține varianta. Prima parte are șase cerințe fără legătură între ele: un calcul cu radicali, egalitatea valorilor a două funcții, o ecuație cu puteri ale lui $2$ , o probabilitate cu o condiție asupra lui $2 n + 1$ , aria triunghiului $A O B$ și o identitate cu sinusuri și cosinusuri. A doua parte pornește de la legea $x \circ y = 3 x y - 2 (x + y - 1)$ pe $R$ , pe care enunțul o declară asociativă. A treia parte folosește matricele $A (a)$ cu $a + 1$ și $a - 1$ pe diagonala principală, cu $- 1$ deasupra și $1$ dedesubt.

Legătura cu programa. Programa de examen M_pedagogic din OMEN 4430/2014 așază în clasa a IX-a funcțiile de forma $a x + b$ și trigonometria triunghiului dreptunghic; radicalii, ecuațiile exponențiale, probabilitatea evenimentelor egal probabile și calculul unei arii în reper sunt de clasa a X-a. Legile de compoziție aparțin clasei a XI-a, iar matricele, determinanții și inversarea matricelor $2 \times 2$ clasei a XII-a. Pentru a doua parte a lucrării se poate deschide lecția Lege de compoziție la tehnologic: tabla, iar pentru cerința cu matrice inversă lecția Inversa 2×2: formula pe scurt, liceu tehnologic.

Greșeli de evitat, cu dovada lor.

Exercițiul 4: numărul $1$ este impar și aparține lui $A$ , dar $2 n + 1 = 1$ cere $n = 0$ , care nu este în $A$ . Cele patru valori impare ale lui $2 n + 1$ , de la $3$ la $9$ , dau $4$ cazuri favorabile, nu $5$ ; răspunsul $\frac{5}{9}$ ar fi, prin urmare, greșit.
Cerința II.2: calculul $x \circ 1 = x$ nu ajunge. Enunțul spune doar că legea este asociativă, nu și comutativă, deci egalitatea $1 \circ x = x$ se verifică separat, tot pentru orice $x$ real.
Cerința II.5: la desfacerea parantezei din definiția legii, termenul $- 1$ din paranteză, înmulțit cu factorul $- 2$ din fața ei, dă $+ 2$ . Dacă ar fi scris $- 2$ , expresia ar fi $3 x y - 2 x - 2 y - 2$ , iar la $x = y = 1$ ea ar da $- 3$ , pe când legea dă $3 - 2 = 1$ .
Cerința II.6: numărul $\frac{2}{3}$ nu este element neutru, fiindcă $0 \circ \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ , nu $0$ . Dimpotrivă, el absoarbe orice element: $x \circ \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$ .
Cerința III.3: împărțirea ecuației $a^{2} = a$ la $a$ pierde soluția $a = 0$ , pentru că $0^{2} = 0$ se verifică.
Cerința III.4: ridicarea la pătrat a fiecărui element nu dă produsul matricei cu ea însăși. La $a = 2$ ar rezulta $(9111)$ , iar produsul adevărat este $(84 - 4 0)$ .

Despre litere. Litera $A$ are trei sensuri: mulțimea cifrelor nenule (itemul 4), punctul $A (3, 0)$ (itemul 5) și matricea $A (a)$ din partea a treia a lucrării. Litera $n$ este numărul ales din acea mulțime la itemul 4, iar la cerința II.4 este numărul natural căutat. În itemul 2 necunoscuta este $m$ , iar în itemul 3 este $x$ . În problema cu legea, $x$ este necunoscută la cerința II.3 și element oarecare în cerințele despre elementul neutru, forma cu doi factori și elementul absorbant; litera $e$ din cerința II.2 este elementul neutru propus, $e = 1$ . În problema cu matrice, $a$ este parametrul lui $A (a)$ : necunoscut în ecuațiile cu determinantul și cu pătratul matricei, arbitrar în cele două demonstrații; în cerința cu inversa, $X$ este matricea necunoscută.