Subiect Bac matematică pedagogic, model 2026 — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2026 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $\sqrt{64}-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot \left(2-\sqrt{2}\right)=4$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=7x-4$. Determinați numărul real $a$ pentru care $f(a)=5a$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $9\cdot 3^x=3^5$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

După o ieftinire cu $15\%$, prețul unui obiect s-a micșorat cu $75$ de lei. Determinați prețul obiectului înainte de ieftinire.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,4)$, $B(2,0)$ și $C(6,6)$. Arătați că $MA=MB$, unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $OC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Arătați că $4{\left(\sin 60^{\circ }\right)}^2-{\left(\sin 45^{\circ }\right)}^2-2{\left(\sin 30^{\circ }\right)}^2=2$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=\frac{x+y}{3}-4$.

1. (5 puncte) Arătați că $7\ast 8=1$.

2. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $4\ast x=x$.

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x^2=0$.

4. (5 puncte) Arătați că $(2x)\ast (2y)=2\cdot \left(x\ast (y+6)\right)$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

5. (5 puncte) Determinați numerele naturale $n$ pentru care $(3n)\ast \left((2n)\ast n\right)\le -n$.

6. (5 puncte) Determinați $x\in (0,+\infty )$ pentru care $\lg x\ast \lg x=(-3)\ast \lg \frac{1}{x}$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, $A=\left(\begin{array}{cc}1& 6\\ 0& -2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)$ și $M(x,y)=xA+yB$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

1. (5 puncte) Arătați că $\det A=-2$.

2. (5 puncte) Determinați numărul real $a$ pentru care $A+2I_2=aB$.

3. (5 puncte) Arătați că $A\cdot A+A=2I_2$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$ pentru care $M(x,y)\cdot A=B$.

5. (5 puncte) Arătați că, dacă $x$ și $y$ sunt numere reale distincte astfel încât $\det \left(M(x,y)\right)=\det \left(M(y,x)\right)$, atunci $x+y=0$.

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $M(x,x)\cdot M(x,-x)=M(-2,2)$.

Barem și răspunsuri

Cele 18 cerințe valorează laolaltă 90 de puncte; cu cele 10 puncte din oficiu totalul lucrării devine 100. Numărul îngroșat dintr-o paranteză spune câte puncte din cele 5 aduce rândul pe care îl încheie; rândurile urmează foaia oficială.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Radicalul din $64$ este $8$. Produsul din paranteză se desface în $2\sqrt{2}\cdot 2-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4\sqrt{2}-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}$, deci $$\sqrt{64}-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}\cdot \left(2-\sqrt{2}\right)=8-4\sqrt{2}+4\sqrt{2}-2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\text{(3 p)}.$$ Termenii $-4\sqrt{2}$ și $4\sqrt{2}$ se anulează între ei, iar $\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=2$ face ca $2\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}=4$. Rămâne $8-4=4$ (2 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcția de gradul întâi.

În formula $f(x)=7x-4$ se pune $a$ în locul lui $x$: $f(a)=7a-4$, valabilă pentru fiecare $a$ real (2 p). Cerința $f(a)=5a$ devine $7a-4=5a$. Termenii cu $a$ merg în stânga și dau $2a=4$, adică $\mathbf{a}=2$ (3 p). Verificare: $f(2)=10=5\cdot 2$.

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație exponențială.

Se scrie $9=3^2$, iar ecuația devine $3^2\cdot 3^x=3^5$. Un produs de puteri ale aceleiași baze păstrează baza și însumează exponenții, deci $3^{2+x}=3^5$. Puterile lui $3$ sunt distincte pentru exponenți distincți, așa că exponenții coincid: $2+x=5$ (3 p). Rezultă $\mathbf{x}=3$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — procent și preț de dinaintea ieftinirii.

Fie $p$ prețul în lei de dinaintea ieftinirii. Reducerea este $15\%$ din $p$ și valorează $75$ de lei: $$\frac{15}{100}\cdot p=75\text{(3 p)}.$$ Se înmulțește cu $\frac{100}{15}$: $p=75\cdot \frac{100}{15}=5\cdot 100=500$ de lei (2 p). După ieftinire, obiectul costă $500-75=425$ de lei.

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și distanța dintre puncte.

Originea este $O(0,0)$, iar mijlocul segmentului $OC$ se obține din semisumele coordonatelor, $\frac{0+6}{2}=3$ pe abscisă și $\frac{0+6}{2}=3$ pe ordonată, deci $M(3,3)$ (2 p). Distanțele lui $M$ față de $A(0,4)$ și față de $B(2,0)$ sunt $MA=\sqrt{(0-3{)}^2+(4-3{)}^2}=\sqrt{9+1}=\sqrt{10}$ și $MB=\sqrt{(2-3{)}^2+(0-3{)}^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$. Așadar $\mathbf{MA}=\mathbf{MB}$ (3 p).

Exercițiul 6. (5 p) — valori ale sinusului.

Valorile de lucru sunt $\sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin 45^{\circ }=\frac{\sqrt{2}}{2}$ și $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$ (3 p). Pătratele lor sunt $\frac{3}{4}$, $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ și $\frac{1}{4}$, deci $$4\cdot \frac{3}{4}-\frac{1}{2}-2\cdot \frac{1}{4}=3-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=2\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: valoarea pe o pereche.

Se pun $x=7$ și $y=8$ în definiția legii: $$7\ast 8=\frac{7+8}{3}-4\text{(3 p)}.$$ Fracția este $\frac{15}{3}=5$, iar $5-4=1$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu un operand fixat.

Primul operand este $4$, iar al doilea $x$: $4\ast x=\frac{4+x}{3}-4$, pentru orice $x$ real (2 p). Ecuația $4\ast x=x$ înseamnă $\frac{4+x}{3}-4=x$. Înmulțită cu $3$, devine $4+x-12=3x$, adică $-8=2x$, de unde $\mathbf{x}=-4$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu necunoscuta la pătrat.

Operanzii sunt $x$ și $x^2$: $$x\ast x^2=\frac{x+x^2}{3}-4=\frac{x^2+x-12}{3}\text{(3 p)}.$$ Fracția se anulează când numărătorul se anulează: $x^2+x-12=0$. Descompunerea $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$ arată că soluțiile sunt $\mathbf{x}=-4$ și $\mathbf{x}=3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: egalitate pentru orice $x$ și $y$.

Cu operanzii $2x$ și $2y$, membrul stâng este $$(2x)\ast (2y)=\frac{2x+2y}{3}-4\text{(2 p)}.$$ Pentru membrul drept: $x\ast (y+6)=\frac{x+y+6}{3}-4=\frac{x+y}{3}+2-4=\frac{x+y}{3}-2$. Dublând, $2\cdot \left(x\ast (y+6)\right)=\frac{2x+2y}{3}-4$, adică exact expresia din stânga. Identitatea este valabilă pentru toate perechile reale $(x,y)$: $\frac{2x+2y}{3}-4$ în ambele părți (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: inecuație în numere naturale.

Se începe cu parantezele interioare: $(2n)\ast n=\frac{2n+n}{3}-4=n-4$. Apoi $$(3n)\ast (n-4)=\frac{3n+n-4}{3}-4=\frac{4n-4}{3}-4=\frac{4n-16}{3}\text{(2 p)}.$$ Inecuația $\frac{4n-16}{3}\le -n$ se înmulțește cu $3$: $4n-16\le -3n$, adică $7n\le 16$ și $n\le \frac{16}{7}$, unde $2<\frac{16}{7}<3$. Numerele naturale care îndeplinesc condiția sunt $\mathbf{n}=0$, $\mathbf{n}=1$ și $\mathbf{n}=2$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: ecuație cu logaritm zecimal.

Logaritmul există pentru $x>0$. Cu $t=\lg x$ și $\lg \frac{1}{x}=-\lg x=-t$, partea stângă devine $t\ast t=\frac{2t}{3}-4$, iar partea dreaptă $(-3)\ast (-t)=\frac{-3-t}{3}-4$ (2 p). Din $\frac{2t}{3}-4=\frac{-3-t}{3}-4$ rezultă $2t=-3-t$, adică $t=-1$ și $\lg x=-1$. Atunci $x=10^{-1}=\frac{1}{10}$, număr strict pozitiv, deci valoarea convine: $\mathbf{x}=\frac{1}{10}$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordinul doi.

La o matrice $\left(\begin{array}{cc}p& q\\ r& s\end{array}\right)$ determinantul este $ps-qr$; aici $p=1$, $q=6$, $r=0$, $s=-2$, deci $$\det A=1\cdot (-2)-6\cdot 0\text{(3 p)}.$$ Rezultă $-2-0=-2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — adunare de matrice și multiplu al unei matrice.

Matricea $2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$ are numărul $2$ doar pe diagonală, așa că $$A+2I_2=\left(\begin{array}{cc}3& 6\\ 0& 0\end{array}\right)=3\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& 0\end{array}\right)=3B\text{(3 p)}.$$ Egalitatea $3B=aB$ se verifică pe elementul din stânga sus al lui $B$, care este $1$: $3\cdot 1=a\cdot 1$, deci $\mathbf{a}=3$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — pătratul unei matrice.

Elementele produsului $A\cdot A$ se calculează linie cu coloană: $1\cdot 1+6\cdot 0=1$, $1\cdot 6+6\cdot (-2)=-6$, $0\cdot 1+(-2)\cdot 0=0$ și $0\cdot 6+(-2)(-2)=4$: $$A\cdot A=\left(\begin{array}{cc}1& -6\\ 0& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Adunând $A$ element cu element, $\left(\begin{array}{cc}1+1& -6+6\\ 0+0& 4+(-2)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)=2{\mathbf{I}}_2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — ecuație matriceală cu două necunoscute.

Elementele lui $M(x,y)=xA+yB$ sunt $x+y$, $6x+2y$, $0$ și $-2x$. Înmulțirea cu $A$ dă $$M(x,y)\cdot A=\left(\begin{array}{cc}x+y& -6x+2y\\ 0& 4x\end{array}\right)\text{(3 p)},$$ unde $-6x+2y$ vine din $(x+y)\cdot 6+(6x+2y)(-2)$, iar $4x$ din $(-2x)(-2)$. Egalitatea cu $B$ cere $x+y=1$, $-6x+2y=2$ și $4x=0$. Din ultima, $x=0$; atunci $y=1$, iar cea de-a doua egalitate se confirmă: $-6\cdot 0+2\cdot 1=2$. Soluția este $\mathbf{x}=0$ și $\mathbf{y}=1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — doi determinanți egali.

Ambele matrice sunt triunghiulare: $M(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x+y& 6x+2y\\ 0& -2x\end{array}\right)$ și $M(y,x)=\left(\begin{array}{cc}y+x& 6y+2x\\ 0& -2y\end{array}\right)$, iar determinantul fiecăreia se reduce la produsul celor două elemente diagonale: $$\det \left(M(x,y)\right)=-2x(x+y),\det \left(M(y,x)\right)=-2y(x+y)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea lor se scrie $-2x(x+y)+2y(x+y)=0$, adică $-2(x-y)(x+y)=0$. Numerele fiind distincte, $x-y\ne 0$, deci factorul $x+y$ este cel nul: $\mathbf{x}+\mathbf{y}=0$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — produs de matrice cu parametru.

Din $M(x,x)=x(A+B)=\left(\begin{array}{cc}2x& 8x\\ 0& -2x\end{array}\right)$ și $M(x,-x)=x(A-B)=\left(\begin{array}{cc}0& 4x\\ 0& -2x\end{array}\right)$ rezultă, linie cu coloană, elementele $0$, $2x\cdot 4x+8x\cdot (-2x)=-8x^2$, $0$ și $(-2x)(-2x)=4x^2$: $$M(x,x)\cdot M(x,-x)=x^2\left(\begin{array}{cc}0& -8\\ 0& 4\end{array}\right)=x^{2}M(-2,2)\text{(3 p)},$$ deoarece $M(-2,2)=-2A+2B=\left(\begin{array}{cc}0& -8\\ 0& 4\end{array}\right)$. Ecuația devine $x^{2}M(-2,2)=M(-2,2)$, iar matricea $M(-2,2)$ nu este nulă, deci $x^2=1$ și $\mathbf{x}=-1$ sau $\mathbf{x}=1$ (2 p).

Pentru părinți și profesori

Foaia oficială marcată „Model” descrie, pentru 2026, proba scrisă E. c) la matematică M_pedagogic: trei subiecte cu câte 30 de puncte fiecare, adică 18 cerințe de 5 puncte, și trei ore de lucru efectiv. Se acordă 10 puncte din oficiu. Textul fiecărei cerințe este reprodus întocmai după foaia oficială; rezolvările sunt scrise de Matepolis, iar fiecare rând punctat al documentului de evaluare își are aici etapa lui, în aceeași ordine.

Cum arată modelul. Primul subiect are șase cerințe de sine stătătoare: un calcul cu radicali, o funcție de gradul întâi, o ecuație exponențială, o ieftinire, un punct de la mijlocul unui segment în reper și o expresie cu sinusuri. Al doilea subiect pornește de la legea $x\ast y=\frac{x+y}{3}-4$ și cere o valoare, două ecuații, o egalitate valabilă pentru orice $x$ și $y$, o inecuație în numere naturale și o ecuație cu logaritm zecimal. Al treilea subiect ia matricele $A$ și $B$ și familia $M(x,y)=xA+yB$.

Ce materie se folosește. În programa de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), funcția de gradul întâi și triunghiul dreptunghic cu valorile sinusului sunt în clasa a IX-a; radicalii, ecuațiile exponențiale și logaritmice, procentele și reperul cartezian sunt în clasa a X-a; legile de compoziție sunt în clasa a XI-a; matricele și determinantul sunt în clasa a XII-a. Pentru determinanți se poate reveni la Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid, iar pentru cerința II.6 la Logaritmul zecimal: concentrații, tehnologic.

Capcane, cu dovada lor.

• Exercițiul 4: cei $75$ de lei sunt reducerea, nu prețul nou. Dacă ar fi prețul nou, ecuația ar fi $\frac{85}{100}\cdot p=75$ și ar da $p=\frac{1500}{17}$, un preț fără valoare întreagă în lei; cu reducerea de $75$ de lei, prețul vechi este $500$, iar cel nou $425$.
• Cerința II.2: ecuația $4\ast x=x$ are o singură soluție, $x=-4$, iar asta nu arată că $4$ ar fi neutru față de lege: $4\ast 0=\frac{4}{3}-4=-\frac{8}{3}$, nu $0$.
• Cerința II.3: fără termenul $-4$ s-ar rezolva $\frac{x^2+x}{3}=0$, cu soluțiile $0$ și $-1$; niciuna nu convine, fiindcă $0\ast 0^2=-4$ și $(-1)\ast 1^2=-4$.
• Cerința II.5: parantezele din enunț fixează ordinea. Gruparea $\left((3n)\ast (2n)\right)\ast n$ dă $\frac{8n-48}{9}$, deosebită de $\frac{4n-16}{3}$; la $n=6$ prima expresie are valoarea $0$, iar a doua $\frac{8}{3}$. Niciuna nu verifică inecuația la $n=6$, fiindcă ambele sunt mai mari decât $-6$.
• Cerința II.6: $\lg \frac{1}{x}$ este $-\lg x$, nu $\frac{1}{\lg x}$; la $x=100$ prima expresie este $-2$, a doua $\frac{1}{2}$.
• Cerința III.3: ridicarea la pătrat element cu element a lui $A$ dă $\left(\begin{array}{cc}1& 36\\ 0& 4\end{array}\right)$, nu $A\cdot A$; cu $A$ adunat, ar rezulta $\left(\begin{array}{cc}2& 42\\ 0& 2\end{array}\right)$, matrice care nu este $2I_2$.
• Cerința III.5: simplificarea cu $x+y$ ar pierde tocmai cazul căutat; pentru $x=3$ și $y=-3$, numere distincte, ambii determinanți sunt $0$.

Despre litere. În problema cu legea, necunoscuta este $x$, iar la cerința II.5 este $n$; la cerința II.4, $x$ și $y$ sunt numere oarecare. În problema cu matrice, $x$ și $y$ sunt parametrii matricei $M(x,y)$: necunoscute în cerința III.4, numere distincte oarecare în cerința III.5, iar în cerința III.6 necunoscuta este doar $x$; în cerința III.2 necunoscuta este $a$. În cerința II.6, $t=\lg x$ este doar o notație ajutătoare.