Subiect Bac matematică pedagogic, sesiunea specială 2024 (varianta 9) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2024 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că $3 \cdot (2 - 3) - 23 + 4 = 1$ .

Exercițiul 2 (5 puncte)

Se consideră funcția $f : R \to R$ , $f (x) = 5 x - 4$ . Determinați numărul real $a$ pentru care $f (a) = a$ .

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $x^{2} + 4 x + 5 = 1$ .

Exercițiul 4 (5 puncte)

Calculați probabilitatea ca, alegând un număr $n$ din mulțimea $A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ , numărul $n^{2}$ să aparțină mulțimii $A$ .

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $x O y$ se consideră punctele $A (3, 4)$ și $B (7, - 4)$ . Arătați că $O A = O M$ , unde punctul $M$ este mijlocul segmentului $A B$ .

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $A B C$ , dreptunghic în $A$ , cu $A B = 8$ , $A C = 3$ și punctul $M$ mijlocul segmentului $A B$ . Arătați că perimetrul triunghiului $A M C$ este egal cu $12$ .

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x \circ y = 2 x y - 5 (x + y) + 15$ .

1. (5 puncte) Arătați că $2 \circ 2 = 3$ .

2. (5 puncte) Arătați că $e = 3$ este elementul neutru al legii de compoziție „ $\circ$ ”.

3. (5 puncte) Determinați mulțimea numerelor reale $x$ pentru care $x \circ 4 \leq 1$ .

4. (5 puncte) Arătați că $x \circ y = 2 (x - \frac{5}{2}) (y - \frac{5}{2}) + \frac{5}{2}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ .

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x \circ x = x$ .

6. (5 puncte) Determinați numărul natural nenul $n$ pentru care $n \circ \frac{1}{n}$ este număr natural.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $I_{2} = (1001)$ și $A (a) = (10 a - 1 a)$ , unde $a$ este număr real.

1. (5 puncte) Arătați că $det (A (2)) = 2$ .

2. (5 puncte) Arătați că $2 A (3) - A (5) = I_{2}$ .

3. (5 puncte) Determinați numerele reale $a$ pentru care $det (A (a + 1)) = 2 a^{2}$ .

4. (5 puncte) Arătați că $A (a) \cdot A (b) = A (ab)$ , pentru orice numere reale $a$ și $b$ .

5. (5 puncte) Determinați inversa matricei $B = A (2) \cdot A (3)$ .

6. (5 puncte) Determinați perechile $(a, b)$ de numere naturale pentru care $det (b A (a)) = 4$ .

Barem și răspunsuri

În cele ce urmează, fiecare cerință are două rânduri punctate, ca în foaia de evaluare. Cifra îngroșată dintre paranteze arată câte puncte din 5 valorează rândul pe care îl încheie; oficiul de 10 puncte nu apare în rezolvări.

Exercițiul 1. (5 p) — calcul cu radicali.

Produsul se desface prin distribuire: $3 \cdot (2 - 3) = 23 - 3 \cdot 3$ . Expresia devine $23 - 3 \cdot 3 - 23 + 4 (2 p) .$ Termenii $23$ și $- 23$ se reduc, iar $3 \cdot 3 = 3$ ; rămâne $- 3 + 4 = 1$ (3 p).

Exercițiul 2. (5 p) — funcție de gradul întâi.

Se înlocuiește $x$ cu $a$ în formula funcției: $f (a) = 5 a - 4$ , pentru orice $a$ real (2 p). Condiția $f (a) = a$ este $5 a - 4 = a$ . Mutând $a$ în stânga se obține $4 a = 4$ , deci $a = 1$ (3 p). Verificare: $f (1) = 5 - 4 = 1$ .

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu radical.

Membrul drept este $1$ , număr pozitiv, deci ridicarea la pătrat păstrează echivalența: numărul de sub radical trebuie să fie $1^{2} = 1$ . Ecuația devine $x^{2} + 4 x + 5 = 1$ , iar după scăderea lui $1$ , $x^{2} + 4 x + 4 = 0 (3 p) .$ Cum $x^{2} + 4 x + 4 = (x + 2)^{2}$ , singura soluție este $x = - 2$ . Verificare în ecuația inițială: $(- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 5 = 4 - 8 + 5 = 1$ , iar $1 = 1$ , deci valoarea convine (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — probabilitate.

În $A = {0, 1, \dots, 9}$ se află $10$ numere, așa că alegerea are $10$ rezultate posibile (2 p). Numărul $n^{2}$ este în $A$ când $n^{2} \leq 9$ . Pătratele $0^{2} = 0$ , $1^{2} = 1$ , $2^{2} = 4$ și $3^{2} = 9$ sunt elemente ale lui $A$ , iar $4^{2} = 16$ și pătratele următoare depășesc $9$ . Cazurile favorabile sunt $n = 0, 1, 2, 3$ , adică $4$ , iar $p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} (3 p) .$

Exercițiul 5. (5 p) — mijlocul unui segment și distanța la origine.

Mijlocul $M$ al segmentului $A B$ are coordonatele $\frac{3 + 7}{2} = 5$ și $\frac{4 + ( - 4 )}{2} = 0$ , deci $M (5, 0)$ . Punctul $M$ se află pe axa $O x$ , iar distanța lui la originea $O (0, 0)$ este $O M = 5^{2} + 0^{2} = 5$ (3 p). Distanța de la $O$ la $A (3, 4)$ este $O A = 3^{2} + 4^{2} = 25 = 5$ . Cele două distanțe sunt egale: $OA = OM$ (2 p).

Exercițiul 6. (5 p) — perimetrul unui triunghi dreptunghic.

Punctul $M$ este mijlocul lui $A B$ și $A B = 8$ , deci $A M = \frac{A B}{2} = 4$ (2 p). Triunghiul $A M C$ are unghiul drept în $A$ , fiindcă $M$ se află pe latura $A B$ a unghiului drept $A$ al triunghiului $A B C$ . Catetele sunt $A M = 4$ și $A C = 3$ , deci $M C = A M^{2} + A C^{2} = 16 + 9 = 5$ . Perimetrul este $A M + A C + M C = 4 + 3 + 5 = 12$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — legea de compoziție: valoarea pe o pereche.

Se pun $x = y = 2$ în definiția legii: $2 \circ 2 = 2 \cdot 2 \cdot 2 - 5 (2 + 2) + 15 (3 p) .$ Calculul dă $8 - 20 + 15 = 3$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea de compoziție: elementul neutru.

Un element neutru $e$ cere $x \circ e = x$ și $e \circ x = x$ , pentru orice $x$ real. Pentru $e = 3$ , prima egalitate este $x \circ 3 = 2 \cdot x \cdot 3 - 5 (x + 3) + 15 = 6 x - 5 x - 15 + 15 = x (2 p) .$ Cealaltă egalitate, $3 \circ x = 2 \cdot 3 \cdot x - 5 (3 + x) + 15 = 6 x - 15 - 5 x + 15 = x$ , are același rezultat, fiindcă $x$ nu a fost fixat. Din ambele părți se obține $x$ , deci $e = 3$ îndeplinește condițiile unui element neutru (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — legea de compoziție: inecuație.

Se pune $y = 4$ în definiția legii: $x \circ 4 = 2 \cdot x \cdot 4 - 5 (x + 4) + 15 = 8 x - 5 x - 20 + 15 = 3 x - 5, pentru orice x real (2 p) .$ Inecuația $x \circ 4 \leq 1$ este $3 x - 5 \leq 1$ , adică $3 x \leq 6$ , deci $x \leq 2$ . Mulțimea cerută este intervalul $(- \infty, 2]$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — legea de compoziție: forma cu paranteze.

Constanta $15$ se scrie $\frac{25}{2} + \frac{5}{2}$ , iar primii patru termeni ai legii se grupează cu factorul comun $y - \frac{5}{2}$ : $x \circ y = 2 x y - 5 x - 5 y + \frac{25}{2} + \frac{5}{2} = 2 x (y - \frac{5}{2}) - 5 (y - \frac{5}{2}) + \frac{5}{2} (3 p) .$ Primii doi termeni au factorul comun $y - \frac{5}{2}$ : ei dau $(y - \frac{5}{2}) (2 x - 5)$ , iar $2 x - 5 = 2 (x - \frac{5}{2})$ . De aici $x \circ y = 2 (x - \frac{5}{2}) (y - \frac{5}{2}) + \frac{5}{2}$ , pentru orice numere reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — legea de compoziție: ecuație.

Pentru $y = x$ , forma cu paranteze dă $x \circ x = 2 (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{5}{2}$ , oricare ar fi $x$ real (2 p). Ecuația $x \circ x = x$ este $2 (x - \frac{5}{2})^{2} + \frac{5}{2} = x$ . Cum $\frac{5}{2} - x = - (x - \frac{5}{2})$ , ecuația se scrie $2 (x - \frac{5}{2})^{2} - (x - \frac{5}{2}) = 0$ , iar factorul comun $x - \frac{5}{2}$ dă $(x - \frac{5}{2}) (2 x - 5 - 1) = 0$ . Primul factor se anulează la $x = \frac{5}{2}$ , al doilea, $2 x - 6$ , la $x = 3$ . Soluțiile sunt $x = \frac{5}{2}$ și $x = 3$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — legea de compoziție: număr natural.

Se pun $x = n$ și $y = \frac{1}{n}$ ; produsul $n \cdot \frac{1}{n}$ este $1$ : $n \circ \frac{1}{n} = 2 \cdot n \cdot \frac{1}{n} - 5 (n + \frac{1}{n}) + 15 = 17 - 5 n - \frac{5}{n}, pentru orice n natural nenul (2 p) .$ Numerele $17$ și $5 n$ sunt întregi, deci rezultatul poate fi întreg doar dacă $\frac{5}{n}$ este întreg, adică $n$ divide $5$ , deci $n$ poate fi $1$ sau $5$ . Pentru $n = 1$ valoarea este $17 - 5 - 5 = 7$ , număr natural, deci $n = 1$ convine. Pentru $n$ egal cu $5$ valoarea este $17 - 25 - 1 = - 9$ , număr negativ, deci nu este natural și valoarea $5$ nu convine. Răspunsul este $n = 1$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — determinant de ordinul doi.

Pentru $a = 2$ , $A (2) = (10 2 - 1 2) = (1012)$ , iar produsul de pe diagonala principală este $1 \cdot 2$ , cel de pe cealaltă diagonală $1 \cdot 0$ : $det (A (2)) = 1 \cdot 2 - 1 \cdot 0 (3 p) .$ Rezultă $2 - 0 = 2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — combinație de matrice.

Matricele sunt $A (3) = (1023)$ și $A (5) = (1045)$ . Scalarul $2$ înmulțește fiecare element al lui $A (3)$ , deci $2 A (3) - A (5) = (2046) - (1045) (3 p) .$ Diferența, element cu element, este $(2 - 1 0 - 0 4 - 4 6 - 5) = (1001) = I_{2}$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — determinantul ca funcție de parametru.

În $A (a + 1)$ parametrul se schimbă peste tot: elementul din dreapta sus este $(a + 1) - 1 = a$ , iar cel din dreapta jos este $a + 1$ , deci $A (a + 1) = (10 a a + 1)$ și $det (A (a + 1)) = 1 \cdot (a + 1) - a \cdot 0 = a + 1 (3 p) .$ În ecuația $a + 1 = 2 a^{2}$ toți termenii se trec în membrul drept, iar trinomul $2 a^{2} - a - 1$ se descompune în $(2 a + 1) (a - 1)$ . Produsul este nul pentru $a = - \frac{1}{2}$ sau $a = 1$ (2 p). Verificare: $det (A (2)) = 2 = 2 \cdot 1^{2}$ și $det (A (\frac{1}{2})) = \frac{1}{2} = 2 \cdot \frac{1}{4}$ .

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — produsul a două matrice de aceeași familie.

Elementele produsului, linie cu coloană, sunt $1 \cdot 1 + (a - 1) \cdot 0 = 1$ , $1 \cdot (b - 1) + (a - 1) \cdot b$ , $0 \cdot 1 + a \cdot 0 = 0$ și $0 \cdot (b - 1) + a \cdot b = ab$ (3 p). Elementul din dreapta sus este $b - 1 + ab - b = ab - 1$ . Atunci $A (a) \cdot A (b) = (10 ab - 1 ab),$ iar $A (ab)$ are în dreapta sus $ab - 1$ și în dreapta jos $ab$ ; prin urmare $A (a) \cdot A (b) = A (ab)$ , pentru orice $a$ și $b$ reali (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — inversa unei matrice.

Din cerința III.4, $A (a) \cdot A (b) = A (ab)$ pentru orice $a$ și $b$ reali, deci $B = A (2) \cdot A (3) = A (2 \cdot 3) = A (6)$ (2 p). Aceeași regulă dă $A (6) \cdot A (\frac{1}{6}) = A (6 \cdot \frac{1}{6}) = A (1) = (1001) = I_{2}$ , iar în ordine inversă, $A (\frac{1}{6}) \cdot A (6) = A (1) = I_{2}$ . Prin urmare inversa lui $B$ este $A (\frac{1}{6}) = 10 \frac{1}{6} - 1 \frac{1}{6} = 10 - \frac{5}{6} \frac{1}{6}$ (3 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — determinantul unui multiplu al unei matrice.

Matricea $b A (a)$ are elementele $b$ , $b (a - 1)$ , $0$ și $ba$ , deci $det (b A (a)) = b \cdot ba - b (a - 1) \cdot 0 = a b^{2}, pentru orice a ș i b (2 p) .$ Condiția este $a b^{2} = 4$ , cu $a$ și $b$ naturale. Numărul $b$ nu poate fi $0$ , pentru că atunci produsul ar fi $0$ . Numărul $b^{2}$ divide $4$ , deci $b^{2} \in {1, 4}$ , adică $b = 1$ sau $b = 2$ ; valoarea $4$ a lui $b$ ar da pătratul $16$ , care nu divide $4$ . Pentru $b = 1$ rezultă $a = 4$ , iar pentru $b = 2$ rezultă $a = 1$ . Perechile $(a, b)$ sunt $(4, 1)$ și $(1, 2)$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Aici este rezolvată varianta 9 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, din arhiva oficială a sesiunii speciale 2024. Cele 18 cerințe valorează câte 5 puncte, adică 90 de puncte în total. Se acordă 10 puncte din oficiu. Candidatul are trei ore de lucru efectiv. Cerințele sunt copiate din foaia oficială, iar rezolvările, făcute de Matepolis, se împart pe rândurile punctate ale baremului.

Cum se înșiră cerințele. Prima parte conține șase cerințe de sine stătătoare: un calcul cu radicali, o ecuație cu o funcție de gradul întâi, o ecuație cu radical, o probabilitate, o egalitate de distanțe în reper și perimetrul unui triunghi. A doua parte pornește de la legea $x \circ y = 2 x y - 5 (x + y) + 15$ , definită pe numerele reale. A treia parte folosește matricele $A (a) = (10 a - 1 a)$ cu $a$ real.

Locul temelor în programă. Radicalii, ecuațiile cu radicali, probabilitățile și distanțele în reperul cartezian țin de clasa a X-a; funcția de gradul întâi și triunghiul dreptunghic, de clasa a IX-a; legile de compoziție, de clasa a XI-a; matricele, determinantul și inversa unei matrice, de clasa a XII-a (programa de examen M_pedagogic, OMEN 4430/2014). Pentru ecuația cu radical se poate reciti Ecuații cu radicali: verifici soluțiile, tehnologic.

Capcane, cu dovada lor.

Exercițiul 1: $3 \cdot 3 = 3$ , nu $6$ ; cu $6$ s-ar obține $4 - 6$ , număr diferit de $1$ .
Exercițiul 3: ecuațiile cu radical se verifică în forma inițială: la $x = - 2$ numărul de sub radical este $(- 2)^{2} + 4 \cdot (- 2) + 5 = 1$ , iar $1 = 1$ .
Exercițiul 4: favorabile sunt valorile lui $n$ , adică $0, 1, 2, 3$ ; pătratele lor, $0, 1, 4, 9$ , sunt elemente ale lui $A$ . Valoarea $n = 4$ nu este favorabilă, pentru că $4^{2} = 16$ depășește $9$ .
Exercițiul 5: suma $3 + 7 = 10$ nu este abscisa mijlocului; mijlocul este jumătatea ei, $5$ , deci $M (5, 0)$ și nu $M (10, 0)$ .
Exercițiul 6: ipotenuza triunghiului $A M C$ este $M C$ , fiindcă unghiul drept este în $A$ ; diferența $4^{2} - 3^{2} = 7$ ar fi pătratul unei catete dacă ipotenuza ar fi cunoscută, nu pătratul lui $M C$ .
Cerința II.2: un singur număr nu poate demonstra o proprietate valabilă pentru toți $x$ . La $x = 0$ se obține $0 \circ 3 = 2 \cdot 0 \cdot 3 - 5 (0 + 3) + 15 = 0$ , dar pentru neutralitate trebuie arătate ambele egalități, $x \circ 3 = x$ și $3 \circ x = x$ , cu $x$ arbitrar.
Cerința II.3: inegalitatea $x \circ 4 \leq 1$ este nestrictă; pentru $x = 2$ se obține $2 \circ 4 = 2 \cdot 2 \cdot 4 - 5 (2 + 4) + 15 = 1$ , deci $2$ aparține mulțimii.
Cerința II.5: dacă ecuația $2 (x - \frac{5}{2})^{2} = x - \frac{5}{2}$ se simplifică cu $x - \frac{5}{2}$ , soluția $x = \frac{5}{2}$ se pierde; de aceea termenii se aduc într-un membru și se scoate factor comun.
Cerința II.6: $n = 5$ este divizor al lui $5$ , dar nu convine: $5 \circ \frac{1}{5} = 17 - 5 \cdot 5 - 1 = - 9$ , număr negativ, deci nu este natural.
Cerința III.2: scalarul $2$ înmulțește toate elementele lui $A (3)$ , și pe $a - 1 = 2$ ; de aceea în dreapta sus apare $4$ , nu $2$ .
Cerința III.4: produsul de matrice nu se calculează element cu element; pentru $a = 3$ și $b = 2$ , elementul din dreapta sus al produsului este $ab - 1 = 5$ , pe când $(a - 1) (b - 1) = 2$ .
Cerința III.5: opusa matricei $B = A (6)$ nu este inversa ei, pentru că $B \cdot (- B) = - A (6) \cdot A (6) = - A (36)$ , matrice cu $- 1$ în stânga sus, deci diferită de $I_{2}$ .
Cerința III.6: perechea $(1, 4)$ nu verifică $a b^{2} = 4$ , deoarece $1 \cdot 4^{2} = 16$ ; numărul $b$ intră la pătrat.

Despre litere. În itemul 2 se caută numărul real $a$ , în itemul 3 necunoscuta este $x$ , iar în itemul 4, $n$ este numărul tras din mulțimea $A$ . În problema cu legea, $x$ din cerința II.2 și perechea $x$ , $y$ din cerința II.4 sunt reali arbitrari, iar $x$ din cerințele II.3 și II.5 este necunoscuta; în cerința II.6, $n$ este natural nenul. În problema cu matrice, $a$ și $b$ din cerințele III.4 și III.5 sunt reali arbitrari, $a$ din cerința III.3 este necunoscuta, iar în cerința III.6 numerele $a$ și $b$ sunt naturale.