Subiect Bac matematică pedagogic, sesiunea specială 2022 (varianta 3) — rezolvat pas cu pas

Toate probele de la pedagogic din 2022 · Toate subiectele Bac pedagogic 2013–2026

Disciplina: Matematică · Clasa a XII-a · Unitatea: Subiecte oficiale de Bacalaureat pedagogic

Exerciții

Partea I – Subiectul I (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Exercițiul 1 (5 puncte)

Arătați că ${\left(\sqrt{3}+1\right)}^2-{\left(\sqrt{3}-1\right)}^2=\sqrt{48}$.

Exercițiul 2 (5 puncte)

Determinați coordonatele punctului de intersecție a graficelor funcțiilor $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $f(x)=2x+1$ și $g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, $g(x)=-2x+5$.

Exercițiul 3 (5 puncte)

Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația $3^{x-2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2x}$.

Exercițiul 4 (5 puncte)

Determinați câte numere naturale impare de două cifre se pot forma cu cifrele $1,2,3,4,5,6,7$ și $8$.

Exercițiul 5 (5 puncte)

În reperul cartezian $xOy$ se consideră punctele $A(0,2)$, $B(5,2)$ și $C(6,6)$. Determinați distanța de la punctul $B$ la mijlocul segmentului $AC$.

Exercițiul 6 (5 puncte)

Se consideră triunghiul $ABC$ cu $AB=9$, $AC=12$ și $BC=15$. Arătați că $\sin B+\sin C=\frac{7}{5}$.

Partea II – Subiectul al II-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Pe mulțimea numerelor reale se definește legea de compoziție $x\ast y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}$.

1. (5 puncte) Arătați că $4\ast 2=0$.

2. (5 puncte) Demonstrați că $x\ast y=-\frac{1}{3}(x-1)(y-1)+1$, pentru orice numere reale $x$ și $y$.

3. (5 puncte) Determinați numărul real $x$ pentru care $4\ast x=x$.

4. (5 puncte) Arătați că $e=-2$ este elementul neutru al legii de compoziție „$\ast$”.

5. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ pentru care $x\ast x=-2$.

6. (5 puncte) Arătați că $\frac{1}{x}\ast \frac{1}{x}\le 1$, pentru orice număr real nenul $x$.

Partea III – Subiectul al III-lea (30 de puncte)

Fiecare dintre cele șase cerințe valorează 5 puncte.

Se consideră matricele $A(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 1& 2\end{array}\right)$, $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 0\end{array}\right)$ și $I_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$, unde $x$ și $y$ sunt numere reale.

1. (5 puncte) Arătați că $\det B=2$.

2. (5 puncte) Arătați că $\det \left(A(2n,2n+1)\right)$ este număr natural impar, pentru orice număr natural nenul $n$.

3. (5 puncte) Arătați că $A(2x,0)+A(0,2x)=2A(x,x)$, pentru orice număr real $x$.

4. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$, astfel încât $A(x,y)\cdot B=B\cdot A(x,y)$.

5. (5 puncte) Determinați numărul real strict pozitiv $x$, știind că suma elementelor matricei $A({\log }_{3}x,1)$ este egală cu $5$.

6. (5 puncte) Determinați numerele reale $x$ și $y$, știind că $A(x,y)\cdot A(x,y)=2I_2$.

Barem și răspunsuri

Soluțiile de mai jos sunt împărțite ca foaia de evaluare: fiecare rând poartă la capăt, îngroșat, punctele lui. Un rând valorează 2 sau 3 puncte, două rânduri alcătuiesc o cerință de 5 puncte, iar lucrarea întreagă adună 90 de puncte, la care se adaugă cele 10 din oficiu.

Exercițiul 1. (5 p) — două pătrate desfăcute și un radical.

Pătratul unei sume și pătratul unei diferențe se desfac cu formulele de calcul prescurtat. Aici $a=\sqrt{3}$, $b=1$, iar $a^2=(\sqrt{3}{)}^2=3$: $$(\sqrt{3}+1{)}^2=3+2\sqrt{3}+1=4+2\sqrt{3},(\sqrt{3}-1{)}^2=3-2\sqrt{3}+1=4-2\sqrt{3}\text{(3 p)}.$$ La scădere, a doua paranteză își schimbă semnele: $(4+2\sqrt{3})-(4-2\sqrt{3})=4+2\sqrt{3}-4+2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$. Factorul $4$ intră sub radical ca $16$, deci $4\sqrt{3}=\sqrt{16\cdot 3}=\sqrt{48}$, iar diferența cerută este $$(\sqrt{3}+1{)}^2-(\sqrt{3}-1{)}^2=\sqrt{48}\text{(2 p)}.$$

Exercițiul 2. (5 p) — două drepte și punctul lor comun.

Dacă $(x,y)$ se află pe ambele grafice, atunci $y=f(x)$ și $y=g(x)$; abscisa trebuie deci să facă egale cele două funcții. Ecuația $2x+1=-2x+5$ devine, după trecerea termenilor cu $x$ în stânga și a celor liberi în dreapta, $4x=4$, deci $x=1$ (2 p). Ordonata este valoarea pe care ambele funcții o iau în $1$: $f(1)=2\cdot 1+1=3$, iar $g(1)=-2\cdot 1+5=3$ confirmă calculul. Graficele se taie în punctul $(1,3)$ (3 p).

Exercițiul 3. (5 p) — ecuație cu puteri ale lui $3$.

Fracția $\frac{1}{3}$ este $3^{-1}$, deci ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2x}={\left(3^{-1}\right)}^{-2x}=3^{2x}$, iar ecuația devine $3^{x-2}=3^{2x}$. Puterile lui $3$ cu exponenți diferiți sunt numere diferite, așa că exponenții trebuie să coincidă: $$x-2=2x\text{(3 p)}.$$ De aici $\mathbf{x}=-2$. Se verifică în ecuația inițială: stânga este $3^{-4}=\frac{1}{81}$, dreapta este ${\left(\frac{1}{3}\right)}^4=\frac{1}{81}$ (2 p).

Exercițiul 4. (5 p) — numărare cu cifre care se pot repeta.

Numărul este impar exact când se termină cu o cifră impară. Printre $1,2,\dots ,8$ sunt patru astfel de cifre: $1$, $3$, $5$ și $7$, deci unitățile admit $4$ alegeri (2 p). Zecile pot fi orice cifră din listă: cifrele se pot repeta, iar $0$ nu se află printre ele, așa încât prima cifră nu cere nicio precauție în plus. Fiecărei alegeri a unităților îi corespund $8$ alegeri pentru zeci, iar regula produsului dă $4\cdot 8=32$ de numere (3 p).

Exercițiul 5. (5 p) — mijloc de segment și distanță.

Mijlocul $M$ al lui $AC$ are drept coordonate mediile aritmetice ale coordonatelor capetelor: $x_M=\frac{0+6}{2}=3$ și $y_M=\frac{2+6}{2}=4$, adică $M(3,4)$ (3 p). Între $B(5,2)$ și $M(3,4)$ se aplică formula distanței dintre două puncte: $$BM=\sqrt{(3-5{)}^2+(4-2{)}^2}=\sqrt{4+4}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}\text{(2 p)}.$$

Exercițiul 6. (5 p) — triunghi cu laturile $9$, $12$ și $15$.

Pătratele laturilor îndeplinesc $A{B}^2+A{C}^2=81+144=225=15^2=B{C}^2$. Egalitatea este relația lui Pitagora, iar reciproca ei arată că unghiul $A$, cel din fața laturii $BC$ (cea mai lungă), este drept; $BC$ este ipotenuza (3 p). Pentru unghiurile ascuțite $B$ și $C$, sinusul se citește ca raport între cateta din fața unghiului și ipotenuză: în fața lui $B$ stă $AC$, în fața lui $C$ stă $AB$. $$\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15}=\frac{4}{5},\sin C=\frac{AB}{BC}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5},\sin B+\sin C=\frac{4}{5}+\frac{3}{5}=\frac{7}{5}\text{(2 p)}.$$

Subiectul al II-lea · cerința 1 (5 p) — valoarea legii pentru o pereche.

În definiția legii, $x$ devine $4$ și $y$ devine $2$: $$4\ast 2=-\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 2+\frac{1}{3}(4+2)+\frac{2}{3}\text{(3 p)}.$$ Primul termen este $-\frac{8}{3}$, al doilea $\frac{1}{3}\cdot 6=\frac{6}{3}$, iar al treilea $\frac{2}{3}$. Suma lor: $4\ast 2=-\frac{8}{3}+\frac{6}{3}+\frac{2}{3}=\frac{0}{3}=0$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 2 (5 p) — legea, scrisă cu doi factori.

Se grupează termenii care conțin $x$: $-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}x=-\frac{1}{3}x(y-1)$. Termenul $\frac{1}{3}y$ se rescrie $\frac{1}{3}(y-1)+\frac{1}{3}$, iar fracția nou apărută se adună cu $\frac{2}{3}$: $$x\ast y=-\frac{1}{3}x(y-1)+\frac{1}{3}(y-1)+\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\text{(3 p)}.$$ Ultimii doi termeni dau $\frac{1}{3}+\frac{2}{3}=1$, iar primii doi au factorul comun $y-1$: $$x\ast y=(y-1)\left(-\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\right)+1=-\frac{1}{3}(x-1)(y-1)+1,$$ oricare ar fi numerele reale $x$ și $y$ (2 p).

Subiectul al II-lea · cerința 3 (5 p) — o ecuație cu un operand fixat.

Forma din cerința II.2 dă, pentru orice $x$ real, $$4\ast x=-\frac{1}{3}(4-1)(x-1)+1=-(x-1)+1=-x+2\text{(2 p)}.$$ Ecuația $4\ast x=x$ devine $-x+2=x$, deci $2x=2$ și $\mathbf{x}=1$. Verificare: $4\ast 1=-\frac{1}{3}\cdot 3\cdot 0+1=1$ (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 4 (5 p) — elementul neutru.

Neutralitatea lui $e=-2$ cere două egalități, $e\ast x=x$ și $x\ast e=x$, valabile oricare ar fi $x$ real. Forma cu doi factori dă $$(-2)\ast x=-\frac{1}{3}(-2-1)(x-1)+1=(x-1)+1=x\text{(2 p)}.$$ Pentru ordinea inversă a operanzilor: $$x\ast (-2)=-\frac{1}{3}(x-1)(-2-1)+1=(x-1)+1=x.$$ Ambele egalități se verifică pentru toți $x$ reali, deci $e=-2$ îndeplinește definiția neutrului pentru legea „$\ast$” (3 p).

Subiectul al II-lea · cerința 5 (5 p) — ecuația $x\ast x=-2$.

Punând $y=x$ în forma cu doi factori, $x\ast x=-\frac{1}{3}(x-1{)}^2+1$ (2 p). Ecuația $x\ast x=-2$ devine $$-\frac{1}{3}(x-1{)}^2+1=-2,\text{adica˘}-\frac{1}{3}(x-1{)}^2=-3,\text{deci}(x-1{)}^2=9.$$ Numerele al căror pătrat este $9$ sunt $3$ și $-3$, așadar $x-1=3$ sau $x-1=-3$, adică $\mathbf{x}=4$ sau $\mathbf{x}=-2$ (3 p). Probă: $4\ast 4=-\frac{1}{3}\cdot 9+1=-2$ și $(-2)\ast (-2)=-\frac{1}{3}\cdot 9+1=-2$.

Subiectul al II-lea · cerința 6 (5 p) — inegalitate pentru orice $x$ nenul.

Pentru $x\ne 0$, numărul $\frac{1}{x}$ este real, deci forma cu doi factori se aplică operanzilor egali cu $\frac{1}{x}$: $$\frac{1}{x}\ast \frac{1}{x}=-\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{x}-1\right)}^2+1.$$ Scăzând $1$ din ambii membri ai inegalității $\frac{1}{x}\ast \frac{1}{x}\le 1$ se obține varianta echivalentă $-\frac{1}{3}{\left(\frac{1}{x}-1\right)}^2\le 0$ (3 p). Ambii membri se înmulțesc cu $-3$, număr negativ, deci semnul $\le$ devine $\ge$: ${\left(\frac{1}{x}-1\right)}^2\ge 0$. Pătratul unui număr real nu poate fi negativ, deci inegalitatea are loc pentru toți $x$ nenuli; pașii fiind echivalențe, rezultă $\frac{1}{x}\ast \frac{1}{x}\le 1$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 1 (5 p) — matrice: determinant de ordin 2.

Din produsul elementelor $1$ și $0$ de pe diagonala principală se scade produsul $2\cdot (-1)$ al celeilalte diagonale: $$\det B=1\cdot 0-2\cdot (-1)\text{(3 p)}.$$ Rezultă $\det B=0+2=2$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 2 (5 p) — matrice: determinant în funcție de $n$.

Pentru $x=2n$ și $y=2n+1$ se obține $A(2n,2n+1)=\left(\begin{array}{cc}2n& 2n+1\\ 1& 2\end{array}\right)$, iar $$\det \left(A(2n,2n+1)\right)=2n\cdot 2-(2n+1)\cdot 1=4n-2n-1=2n-1\text{(3 p)}.$$ Cum $n$ este natural nenul, $n\ge 1$, deci $2n-1\ge 1$ și determinantul este un număr natural. În plus, $2n-1=2(n-1)+1$ are restul $1$ la împărțirea cu $2$, deci este impar. Determinantul este așadar natural și impar, oricare ar fi $n$ natural nenul (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 3 (5 p) — matrice: o egalitate pentru orice $x$.

Adunarea matricelor lucrează pe poziții: $$A(2x,0)+A(0,2x)=\left(\begin{array}{cc}2x& 0\\ 1& 2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}0& 2x\\ 1& 2\end{array}\right)$$ $$=\left(\begin{array}{cc}2x+0& 0+2x\\ 1+1& 2+2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}2x& 2x\\ 2& 4\end{array}\right)\text{(3 p)}.$$ Din toate cele patru elemente se poate scoate factorul $2$: $$\left(\begin{array}{cc}2x& 2x\\ 2& 4\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{cc}x& x\\ 1& 2\end{array}\right)=2A(x,x),$$ oricare ar fi $x$ real (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 4 (5 p) — matrice: egalitatea a două produse.

Fiecare element al unui produs este suma produselor dintre o linie a primei matrice și o coloană a celei de-a doua: $$A(x,y)\cdot B=\left(\begin{array}{cc}x\cdot 1+y\cdot (-1)& x\cdot 2+y\cdot 0\\ 1\cdot 1+2\cdot (-1)& 1\cdot 2+2\cdot 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x-y& 2x\\ -1& 2\end{array}\right),$$ $$B\cdot A(x,y)=\left(\begin{array}{cc}1\cdot x+2\cdot 1& 1\cdot y+2\cdot 2\\ (-1)\cdot x+0\cdot 1& (-1)\cdot y+0\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}x+2& y+4\\ -x& -y\end{array}\right).$$ Egalitatea celor două matrice înseamnă patru egalități, câte una pe fiecare poziție: $x-y=x+2$, $2x=y+4$, $-1=-x$ și $2=-y$ (3 p). Ultimele două ecuații dau $\mathbf{x}=1$ și $\mathbf{y}=-2$. Primele două se verifică: $1-(-2)=3=1+2$ și $2\cdot 1=2=-2+4$ (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 5 (5 p) — matrice: suma elementelor, cu un logaritm.

Pentru primul parametru ${\log }_{3}x$ și al doilea egal cu $1$, matricea este $A({\log }_{3}x,1)=\left(\begin{array}{cc}{\log }_{3}x& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$, iar suma elementelor ei este $${\log }_{3}x+1+1+2=4+{\log }_{3}x\text{(3 p)}.$$ Condiția din enunț este $4+{\log }_{3}x=5$, adică ${\log }_{3}x=1$, deci $x=3^1=3$. Valoarea $3$ este strict pozitivă, deci logaritmul există și $x=3$ convine (2 p).

Subiectul al III-lea · cerința 6 (5 p) — matrice: ecuația $A(x,y)\cdot A(x,y)=2I_2$.

Membrul drept este $2I_2=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, iar produsul matricei cu ea însăși, calculat poziție cu poziție, este $$A(x,y)\cdot A(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x\cdot x+y\cdot 1& x\cdot y+y\cdot 2\\ 1\cdot x+2\cdot 1& 1\cdot y+2\cdot 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}{x}^2+y& xy+2y\\ x+2& y+4\end{array}\right)\text{(2 p)}.$$ Egalitatea celor două matrice înseamnă $x^2+y=2$, $xy+2y=0$, $x+2=0$ și $y+4=2$. Ultimele două dau $\mathbf{x}=-2$ și $\mathbf{y}=-2$. Primele două se verifică: $(-2{)}^2+(-2)=2$ și $(-2)(-2)+2\cdot (-2)=0$ (3 p).

Pentru părinți și profesori

Varianta 3 a probei E. c) de matematică M_pedagogic, din sesiunea specială a Bacalaureatului 2022, se adresează candidaților de la filiera vocațională, profilul pedagogic, specializarea învățător-educatoare. Lucrarea are trei subiecte, iar fiecare subiect conține șase cerințe, a câte 5 puncte fiecare; împreună, cele 18 cerințe fac 90 de puncte, iar candidatul are trei ore de lucru. Se acordă 10 puncte din oficiu. Enunțurile de mai jos sunt cele de pe foaia oficială; calculele, avertismentele și întrebările ghidajului sunt scrise de Matepolis, iar fiecare rezolvare își numără punctele pe rândurile foii de evaluare.

Cuprinsul lucrării. Primul subiect trece prin șase teme distincte: diferența $(\sqrt{3}+1{)}^2-(\sqrt{3}-1{)}^2$, intersecția a două drepte, ecuația exponențială $3^{x-2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2x}$, numărarea numerelor impare cu două cifre, distanța până la un mijloc de segment și triunghiul cu laturile $9$, $12$, $15$. Al doilea subiect pornește de la legea $x\ast y=-\frac{1}{3}xy+\frac{1}{3}(x+y)+\frac{2}{3}$; scrisă ca $-\frac{1}{3}(x-1)(y-1)+1$ la cerința II.2, ea ajută apoi la cerințele II.3–II.6. Al treilea subiect pleacă de la matricele $A(x,y)$ și $B$ și cere, în ordine, doi determinanți, o sumă de matrice, o egalitate între două produse, o sumă de elemente și un produs egal cu $2I_2$.

Programa, pe clase. Potrivit programei de examen M_pedagogic (OMEN 4430/2014), cerințele se împart astfel: din clasa a IX-a, funcția de gradul întâi cu graficul ei și triunghiul dreptunghic; din clasa a X-a, radicalii, ecuațiile exponențiale, logaritmul, numărarea și distanța dintre două puncte; din clasa a XI-a, legile de compoziție; din clasa a XII-a, matricele și determinanții. Pentru ecuația exponențială a itemului 3 se poate relua lecția Bac tehnologic: ecuații exponențiale și logaritmice, iar pentru determinantul de ordinul doi din cerințele III.1 și III.2, lecția Determinantul 2×2 pentru tehnologic: calcul rapid.

Capcane verificate pe numere.

• Exercițiul 4: cifrele se pot repeta, deci $11$ și $33$ sunt numere valide; cu cifre diferite ar fi $4\cdot 7=28$ de numere, însă enunțul nu impune asta și rezultatul este $32$.
• Exercițiul 6: unghiul drept se recunoaște prin pătratele laturilor, nu prin suma lor; adunarea simplă, $9+12=21$, nu dă $15$, deci nu poate servi drept test.
• Cerința II.2: din desfacerea produsului $-\frac{1}{3}(x-1)(y-1)$ rămâne termenul $-\frac{1}{3}$, care împreună cu $+1$ dă $-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$, termenul liber al legii.
• Cerința II.3: soluția $x=1$ a ecuației $4\ast x=x$ nu face din $4$ un neutru al legii; neutralitatea ar cere $4\ast x=x$ pentru toți $x$, iar la $x=0$ se obține $4\ast 0=2$.
• Cerința II.5: ecuația $(x-1{)}^2=9$ are două rădăcini, $4$ și $-2$; cine reține numai $x-1=3$ pierde valoarea $x=-2$.
• Cerința II.6: la $x=1$ se obține chiar egalitatea, pentru că $1\ast 1=1$; deci inegalitatea din enunț nu poate fi strictă pentru orice $x$.
• Cerința III.2: cuvântul „nenul” contează: pentru $n=0$ s-ar obține $2\cdot 0-1=-1$, iar $-1$ nu aparține lui $\mathbb{N}$.
• Cerința III.4: produsele $A(x,y)\cdot B$ și $B\cdot A(x,y)$ diferă în general; la $x=0$ și $y=0$, de pildă, elementul din stânga sus este $0$ în primul produs și $2$ în al doilea.
• Cerința III.6: pătratul unei matrice nu se obține ridicând fiecare element la pătrat; la $x=-2$ și $y=-2$ elementele la pătrat dau $\left(\begin{array}{cc}4& 4\\ 1& 4\end{array}\right)$, iar produsul $A(x,y)\cdot A(x,y)$ este $2I_2$.

Despre litere. Exercițiul 2: $x$ este argumentul lui $f$ și al lui $g$, iar în rezolvare devine abscisa punctului comun. Exercițiul 3: $x$ este necunoscuta ecuației. Itemii 5 și 6: $A$, $B$, $C$ sunt puncte în reper, respectiv vârfurile triunghiului; în rezolvarea itemului 5, litera $M$ notează mijlocul lui $AC$. Subiectul al II-lea: $e=-2$ este neutrul propus la cerința II.4; $x$ și $y$ sunt numere reale oarecare la cerința II.2, $x$ este oarecare la cerința II.4, iar la cerința II.6 este oarecare și nenul; la cerințele II.3 și II.5, $x$ este necunoscuta. Subiectul al III-lea: de la cerința III.1 încolo, $A$ și $B$ sunt matrice, iar $x$ și $y$ sunt parametrii lui $A(x,y)$, necunoscute la cerințele III.4 și III.6; la cerința III.3 apare numai $x$, oarecare, în parametrii matricelor $A(2x,0)$, $A(0,2x)$ și $A(x,x)$; la cerința III.2 parametrii sunt $2n$ și $2n+1$, cu $n$ natural nenul; la cerința III.5, numărul căutat $x$ apare în logaritmul ${\log }_{3}x$, care este primul parametru al matricei.